Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Часть 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911, 517.968

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ. Часть 2

©А.И. Булгаков, Е.В. Корчагина, О.В. Филиппова

Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; импульсные воздействия; выпуклость по переключению значений (разложимость).

Рассмотрены вопросы продолжаемости решений функционально-дифференциального включения с полунепрерывной сверху правой частью и импульсными воздействиями.

Рассмотрим задачу Коши для функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями, которая определена в части 1

х е Ф(х), (1)

Д(ж(^)) = 1к(х(4)), к = 1,...,ш, (2)

х(а) = х0, (3)

В этой части будем считать, что правая часть включения (1) имеет выпуклые, выпуклые по переключению и ограниченные значения в пространстве суммируемых функций, а сам оператор, порождаемый включением 1, вольтерров полунепрерывен сверху и переводит каждое ограниченное множество пространства кусочно непрерывных функций в множество, ограниченное суммируемой функцией. Здесь исследование проводится не на основе существования непрерывной ветви у полунепрерывного снизу многозначного отображения, как в части 1, а на основе теоремы Какутани (см. [5]).

Л е м м а 1. Отображение Ф : Сп[а, Ь] ^ 0[£(ЬП[а, Ь])] замкнуто в слабой топологии

пространства ЬП[а, Ь] .

Доказательство. Пусть хг ^ ж в пространстве Сга[а, Ь] , дг (е Ф(хг)) ^ д слабо в пространстве ЬП[а, Ь] при г ^ ж. Покажем, что д е Ф(х). Так как qi ^ д слабо в Ь”[а, Ь] , то для каждого г = 1, 2,... найдутся такие числа т(г) , А* ^ 0 , ] = 1, 2,... т(г) ,

т(г)

что ^ А* =1 и последовательность 3 = 1

т(г)

А3дз+г (4)

3 = 1

сходится к д в пространстве Ъ”[а, Ь] (см. [2]). Пусть е > 0. Согласно полунепрерывности сверху отображения Ф : С”[а, Ь] ^ 0[£(ЬП[а, Ь])] , найдется такой номер I, что при всех г ^ I выполняется вложение

Ф(хг) С (Ф(ж))£. (5)

Так как дг е Ф(хг) , то из вложения (5) следует, что для любого г ^ I дг е (Ф(х))£. Так как Ф(ж) выпукло, то множество (Ф(х))£ также выпукло. Отсюда следует, что для любого г ^ I

вг, определенное равенством (4), принадлежит множеству (Ф(х))£. Поэтому д е (Ф(х))£, так как е > 0 - произвольное число, то из замкнутости множества Ф(ж) следует, что

д е Ф(ж).

Лемма доказана.

Определим отображение А : С”[а, Ь] ^ 0[С”[а, Ь]] равенством

А (ж) = ЛФ(ж), (6)

где непрерывный оператор Л : Ъ”[а, Ь] ^ С”[а, Ь] имеет вид

£

(Лг)(£) = х0 + | г(з)^з, £ е [а, Ь]. (7)

а

Л е м м а 2. Оператор А : С”[а, Ь] ^ 0[С”[а, Ь]] , определенный равенством (6), замкнут в пространстве С”[а, Ь] .

Доказательство. Действительно, согласно определению отображения А : Сп[а, Ь] ^ 0[Сп[а, Ь]] для каждого уг е А(хг) , г = 1, 2,..., найдется такое гг е Ф(хг) , что выполняется равенство

уг = Лгг.

Так как последовательность гг, г = 1,2,..., ограничена суммируемой функцией, то не уменьшая общности можно считать, что гг ^ г слабо в пространстве Ь”[а, Ь] при г ^ ж.

Поэтому у = Лг. В силу леммы 1 г е Ф(х) , а это означает, что у е А (ж). Лемма доказана.

Замечание. Так как сумма скачков является непрерывным оператором, то оператор А : С”[а, Ь] ^ 0[С”[а, Ь]] , определенный равенством

т

(Ах)С0 = А (х) + ^ х(£к м (£)Д(х(£к)), (8)

к=1

является замкнутым.

Используя теорему Какутани (см. [5]), аналогично доказательствам теорем 1-4 части 1, доказываются следующие утверждения.

Т е о р е м а 1. Найдется такое т е (а, Ь], что решение задачи (1)-(3) существует на отрезке [а, т].

Теорема 2. Для того чтобы решение ж : [а, с) ^ М” задачи (1)-(3) было продолжаемым на некоторый отрезок [а, т] (т е [с, Ь]), необходимо и достаточно, чтобы

Иш |х(^) | < ж.

Ь^е-О

Теорема 3. Если ж — решение задачи (1)-(3) на [а, т], т е (а, Ь], то существует непродолжаемое решение у задачи (1)-(3) либо на [а, с) (с е (т, Ь]), либо на [а, Ь] такое, что при £ е [а, т] выполнено равенство у(£) = х(£).

Теорема 4. Если множество всех локальных решений задачи (1)-(3) априорно ограничено, то существует такой выпуклый компакт К С С”[а, Ь] , что Н(жо, Ь) С К, А(К) С К, где отображение А : С”[а, т] ^ 0[С”[а, т]] задано равенством (8), и для любого т е (а, Ь) выполняется равенство Н(жо,т) = Н(жо, &)|[а,г].

Из леммы 2 и замечания к ней вытекает

Теорема 5. Для любого т е (а, Ь] множество Н (хо,т) замкнуто.

Пусть М С Мп. Обозначим Н(М, Ь) = и Н(ж, Ь). Пусть Н(хо) - множество всех

непродолжаемых решений задачи (1)-(3). Согласно теоремам 1, 3, непродолжаемое решение

у е H(xo) определено либо на некотором интервале [а, с) С [a, b] (с е (a, b]) , либо на

отрезке [а, b] , причем, если у е Н(жо) определено на [а, с) , то, согласно теореме 2, имеет место соотношение lim |у(t) | = ж. Далее, обозначим H(M) = |J Н(ж).

t^c-0

Аналогично определению априорной ограниченности решений задачи (1)-(3), определим априорную ограниченность решений задачи (1)-(3) в случае, когда начальные условия (3) принадлежат множеству M С Rn. При этом будем говорить, что задача (1)-(3) априорна ограничена на множестве M.

Пусть M С Rn. Обозначим

|M| = sup |x|.

жеМ

Пусть m > 0. Тогда для каждого решения у е H(M) , у которого | у (а) | < m, определим число

т(у, m) = sup{d е (а, b] : V t е [а, d] |у(£)| ^ m},

и функцию у|[а,г(y,m)] , являющуюся сужением функции у е H(M) на отрезок [а, т(у, m)]. Далее, для каждого числа m и множества M С Rn определим множество

H(M,m) = {у1 [а,т(y,m)] : у е H(M)}.

Множество H(M, m) может быть и пустым, если число m < |ж| , для любого ж е M.

Определение 1. Будем говорить, что множество H(M, m) равностепенно непрерывно, если для любого е > 0 существует такое 5 > 0 , что для любого к = 0,1,..., m и любых ti, t2 е (tk, tfc+i^ Р|[а, т(у, m)] = 0, удовлетворяющих неравенству |ti — t21 <5 , выполняется неравенство

|У(tl) — у(^:2) 1 < е

для любого у е H(M, m).

Определение 2. Пусть M С Rn - ограниченное множество. Будем говорить, что множество всех непродолжаемых решений задачи (1)-(3) на множестве M (H(M)) равностепенно непрерывно, если для любого m > |M | множество H(M, m) равностепенно непрерывно.

Л е м м а 3. Для каждого ограниченного множества M С Rn множество всех непродолжаемых решений задачи (1)-(3) на множестве M равностепенно непрерывно. Доказательство. Пусть m > |M |. Тогда множество

V(H(M,m)) = У Уг(y,m)(уI[а,т(y,m)]) С C^b] (9)

y| [a,-r(y,m)] (M",m)

ограничено, согласно определению отображения VT : с”[а, т] ^ с”[а, b] (см.(5)). Поэтому образ Ф(Ш(Н(М, m))) ограничен суммируемой функцией, а так как все «производные решения» (функции q е ЬП[а, т] в представлении решения на отрезке [а, т] (см. (6))) принадлежат этому образу, то они ограничены одной и той же суммируемой функцией на соответствующем промежутке, на котором определено это решение. Так как «скачки» решения не нарушают равностепенной непрерывности на соответствующем промежутке (tfc, tfc+i) П[а, т (у, m)] = 0, к = 1, 2, ...,m, у|[а,т (у,т)] е H(M,m) , то множество H(M,m) равностепенно непрерывно. Лемма доказана.

Теорема 6. Если задача (1)-(3) априорно ограничена, то найдется такое 5 > 0, что задача (1)-(3) априорно ограничена на шаре В[жо,5].

Доказательство. Предположим противное. Тогда найдется такая последовательность Xi ^ жо в пространстве Rn при i ^ ж, для которой при каждом i = 1, 2,...

найдется ті Є (a, b] и yi Є H(x^^) , что

ІУі(ті)| > d + i, (10)

где d > О некоторая константа. Продолжим решение yi Є H(xi,^) до непродолжаемо-

го решения. Это продолжение обозначим у* Є H(xi). Пусть т* Є (a, b] - правый конец

интервала, на котором определено решение у* Є H(xi). Пусть т* = lim т* Далее, не

І—

уменьшая общности считаем, что т* = lim т*. Очевидно, что т* Є (a, b]. Кроме того, из

І—^

определения числа т* следует, что для любого числа в Є (О, т* - a) бесконечное множество функций у* Є H(xi), i = І, 2,... ограничены на отрезке [a, a + в] и сужения этих функций на отрезок [a, a + в] в пространстве C [a, a + в] ограничены. Не уменьшая общности, будем считать, что вся последовательность у* Є H(xi), i = І, 2,... ограничена на любом отрезке [a, a + в] (в Є (О,т* — a)). Из оценки (10) следует, что найдется такая

последовательность di Є (a, т*), i = І, 2,..., что di ^ т* и lim |yi(di)| = ж. Так как,

І—^

согласно лемме 3, множество функций у* Є H(xi), i = І, 2,... равностепенно непрерывно на любом отрезке [a, a + в] (в Є (О,т* — a)), то известным диагональным процессом можно выделить из последовательности у* Є H(xi), i = І, 2,... сходящуюся на каждом отрезке [a, a + в] (в Є (О, т* — a)) подпоследовательность. Не уменьшая общности, будем считать, что сама последовательность у* Є H(xi) сходится на каждом из этих отрезков. Пусть у* і [a, т*) ^ М” - предел этой последовательности. В силу того, что оператор A і Сra[a, b] ^ Q[(>[a,b]] , определенный равенством (8), замкнут (см. лемму 2 и замечание к ней), то любое сужение функции у* і [a, т*) ^ М” на отрезок [a, a + в] (в Є (О, т* — a)) - решение задачи (1)-(3) на отрезке [a, a + в] . Далее, покажем, что

t lim o |У*(t)| = ж. (11)

t—т *— o

Предположим противное. Тогда функция у* і [a, т*) ^ М” ограничена на [a, т*). Пусть для любого t Є [a, т*) |y*(t)| < k. Зафиксируем m > k. Тогда, в силу равностепенной непрерывности множества H(M, m) (см. (9)), где M = {xi,i = І, 2,...} , для положительного числа m — k найдется такое число й > О , что для любого у Є H (M, m) и любых tl, t2 принадлежащих соответствующим интервалам, выполняется неравенство |у(tl) —y(t2) | < m—k. Не уменьшая общности, будем считать, что все di Є (т* — й, т*) и |yi(di)| > m. Выберем I столь большим, что для любого i > I и любого t Є [a, dl] выполняется |yi(t)| < k. Так как |yi(di)| > m , то имеет место неравенство

|yi(dl) — yi(di)| ^ m — k,

но это противоречит выбору числа й. Таким образом, равенство (11) доказано, но это противоречит априорной ограниченности задачи (1)-(3). Поэтому утверждение теоремы справедливо. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1.Булгаков А.И., Беляева О.П., Мачина А.Н. Функционально-дифференциальные включения с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений // Вестн. Удм. ун-та. Матем., механика. 2GG5. № 1. С. 3-2G.

2. Булгаков А. И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 3. С. 371-379.

3. Тихонов А. Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюл. Моск. ун-та. Секц. А. 1938. Т. б8. № 4. С. 1-25.

4.Bressan A, Colombo G. Extensions and selections of maps with decomposable values // Studia. math. 1988. V. 9G. № 1. P. б9-8б.

5.Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

6. Азбелев Н.В., Максимов В. П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы теории функциональнодифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1987.

7. Завалищин C. Т., Сесекин А. Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.

8. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища шк., 1987.

9. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces, Walter de Gruyter. Berlin; New-York, 2001.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты № 07-01-00305, № 09-01-97503), Министерства образования и науки РФ (программа Развитие научного потенциала высшей школы, проект № 2.1.1/1131), Норвежской Национальной Программы Научных Исследований FUGE (грант PRO 06/02) при Совете научных исследований Норвегии и Норвежского Комитета по развитию университетской науки и образования(NUFU).

Поступила в редакцию 10 апреля 2009 г.

Bulgakov A.I., Korchagina E.V., Filippova O.V. Functional-differential inclusions with impulses. Part 2. There are considered the questions of extendability of solutions to functional-differential inclusions with upper semicontinuous right-hand side and with impulses.

Key words: functional-differential inclusion; impulses; convex-valued with respect to switching.