Функции, не подлежащие разложению посредством интеграла Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.5

И. П. ПОПОВ

ФУНКЦИИ, НЕ ПОДЛЕЖАЩИЕ РАЗЛОЖЕНИЮ ПОСРЕДСТВОМ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ

Доказывается, что ограниченные на числовой оси периодические и прямоугольные функции не подлежат разложению в непрерывный спектр гармоник посредством интеграла Фурье.

Ключевые слова: интеграл Фурье, гармоники, период, дискретный спектр, разложение.

Считается, что почти любую функцию, не являющуюся периодической на протяжении всей числовой прямой, можно представить интегралом Фурье. Таковыми являются практически все периодические функции, встречающиеся в технических приложениях, поскольку они имеют начало и конец и поэтому определены лишь на ограниченном интервале, а не на всей числовой прямой [1-10]. При решении вопроса разложимости функции в непрерывный спектр гармоник посредством интеграла Фурье, как правило, решается задача определения классов функций, для которых данное разложение возможно. В соответствии с этим подходом функции должны удовлетворять условиям, аналогичным условиям Дини и Дирихле-Жордана для рядов Фурье. В настоящей работе использован противоположный подход -определяются виды функций, которые не могут быть представлены интегралом Фурье. Как будет показано ниже, подходы не являются равнозначными - некоторые функции, подлежавшие разложению в соответствии с первым подходом, не разлагаются в соответствии со вторым.

Теорема 1. Периодическая функция может разлагаться только на гармоники кратных дуг.

Доказательство. Для периодической функции справедливо условие:

/(х,) = /(X, + Т) = /, ] = (1,2,..., I), [1,1] с N .

Для всех , можно подобрать 21 гармоник некратных дуг, удовлетворяющих 21 уравнениям:

^с/^+'Ь.) = £ске' К (^+Т )+Фк ] = / (X, ), к=1 к=1

(] = 1,2,...,I), X, е^¿1 + Т]. Очевидно, что

±ске (ИкХ'+фк) =±с/[ик(Хд +Т)+'к/(X,), к=1 к=1

(д = I +1,1 + 2,...), X, е [¿1,¿1 + Т].

©Попов И. П., 2015

Эти рассуждения не зависят от величины I, которая может быть устремлена в бесконечность. Из этого следует, что /(X) может разлагаться только на гармоники кратных дуг. Теорема доказана.

Следствие. Любые два периода периодической функции имеют идентичные наборы гармоник.

Определение. Комплекснозначная функция

/(х) = Г/( X + Т ) = /(х), при х е К, С ] см. [о, при X ек, С] является ограниченной вдоль оси абсцисс периодической функцией.

Теорема 2. Ограниченная вдоль оси абсцисс периодическая функция /(х) не представима интегралом Фурье.

Доказательство. Пусть на интервале [х1, х2] с , х2 = х1 + Т, /(х) имеет гармоническую составляющую

Ф(х) = с/рх,ср еС,Р е М.

Её значение на границах интервала: Ф = Ср/рр1, Ф2_о = с/рх2.

В силу периодичности /(х) её значения на интервале [х2, х3 ] с ^], х3 = х2 + Т , будут такими же, как на предыдущем интервале. В соответствии со следствием теоремы 1 на втором интервале имеется эта же гармоническая составляющая ф, которая на границах интервала имеет значения:

ф2+о = с/рх , фз = Ср/Ррх .

При этом ф = Ф2+0 , Ф2-0 = Фз .

Поскольку ф непрерывна, ф2-0 = ф2+0. Следовательно, ф1 = ф2-0. Это означает, что на периоде Т укладывается целое число периодов любой произвольной гармоники ф. Отсюда следует, что спектр частот гармоник, на которые может быть разложена /(х), является дискретным, в то время как у интеграла Фурье он непрерывен.

g (*)=■

Следовательно, f (x) не может быть представлена интегралом Фурье. Теорема доказана.

Следствие. Функция периодическая на всей вещественной оси не представима интегралом Фурье.

Считается, что для функции

ig (x0, при x g [£,Z], [0, при x g [£,Z], представимой интегралом Фурье, её любая гармоника существует всюду в (-да, да).

Теорема 3. Для ограниченной вдоль оси абсцисс периодической функции f (x) гармоники существуют только на отрезке [£, Z].

Доказательство. В соответствии с теоремой 2 любая гармоника из интервала [£, £+ T] имеет в нём целое число периодов, и будучи распространена на интервал [£ - T, £], имеет в последнем такое же распределение фаз относительно границ интервала, как и в интервале [£, £ + T]. Это вытекает из равенства интервалов. Следовательно, суммы всех гармоник в обоих интервалах будут одинаковыми, и в интервале слева от £ функция повторит форму функции справа от £, что противоречит определению ограниченной вдоль оси абсцисс периодической функции. То же справедливо по отношению к правой границе отрезка [£, Z ]. Таким образом, за пределами отрезка [£, Z] f (x) гармоник не имеет. Теорема доказана.

Теорема 4. Прямоугольная импульсная функция

ГP = const, при x G [£,Z],

p( *) =

0, при * £ [£,Z],

не представима интегралом Фурье.

Доказательство 1. Отрезок [£,^] может быть разбит на п равных отрезков (виртуальных периодов). При этих обстоятельствах р(х) удовлетворяет определению ограниченной вдоль оси абсцисс периодической функции. В соответствии с теоремой 3 за пределами отрезка [£, ни одна из гармоник не существует, в то время как для интеграла Фурье гармоники должны существовать всюду. Теорема доказана.

Доказательство 2. Пусть р(х) представима интегралом Фурье. При разбиении отрезка [£, ^ ] на конечное число п равных отрезков (виртуальных периодов) субимпульс pi (х), соответствующий любому периоду, можно рассматривать как прямоугольную импульсную функцию, отличающуюся от исходной только продолжительно-

стью. Поэтому, так же как и для исходной функции можно допустить, что он представим интегралом Фурье, все гармоники которого имеют периоды в п раз меньшие, чем периоды соответствующих гармоник исходной функции р(х). В соответствии с теоремами 1 и 2 гармоники субимпульса pi (х) (если они существуют) образуют только дискретный спектр, следовательно, гармоники исходной импульсной функции (если они существуют) тоже образуют только дискретный спектр, что не совместимо с представлением интегралом Фурье. Теорема доказана.

Замечание. Спектр исходной прямоугольной импульсной функции р (х) (если он существует) не зависит от числа разбиений отрезка [£, . Действительно, период первой гармоники субимпульса pi (х) (если она существует) определяется выражением

Z -£

= T :

У- (*) =

а период первой гармоники р(х) (если она существует) в п раз больше.

Следствие. Ступенчатая функция Хевисайда [1, при х > 0, 0, при х < 0 не представима интегралом Фурье.

Ступенчатую функцию можно рассматривать как предельный случай прямоугольной функции при £ ^ м .

Во избежание рассмотрения бесконечно больших периодов п тоже можно устремить в бесконечность, связав его определённым образом с Пусть, например,

^ - £ = дп + г, д, г е М.

n =

Z-£-r q

Тогда (виртуальный) период функции T = lim Z-£ = lim - qZ-q£-~

С^м п ^ — £ — г

Теорема 5. Прямоугольная импульсная функция не разлагается на гармоники, не считая нулевой гармоники, равной значению самой прямоугольной импульсной функции.

Доказывается прямой подстановкой в формулы для коэффициентов гармоник ряда Фурье.

Следствие 1. Ступенчатая функция не разлагается на гармоники.

Следствие 2. 5-функция Дирака не разлагается на гармоники.

5-функция представляет собой предельный случай прямоугольной импульсной функции с

V ( x) = ■

единичном площадью при стремлении продолжительности импульса к нулю.

С другой стороны, ô-функция равна производной единичной ступенчатой функции. Если бы ô-функция имела гармоники, то они были бы производными гармоник ступенчатой функции. Но последняя не имеет гармоник или её гармоники всюду равны нулю. Следовательно, и гармоники ô-функции также всюду равны нулю.

Теорема 6. Ограниченная вдоль оси абсцисс периодическая функция

[Aeipx, при x е[£,Z], A е С

|0, при x gfê, Z]

имеет на [£, Z] единственную гармонику

Aeipx .

Доказывается прямой подстановкой в формулы для коэффициентов гармоник ряда Фурье.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Popov I. P. Free harmonie oscillations in systems with homogeneous elements // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. - 2012. - Vol. 76. - Iss. 4. - P. 393-395.

2. Попов И. П. Свободные гармонические колебания в электрических системах с однородными реактивными элементами // Электричество. - 2013. - №1. - С. 57-59.

3. Попов И. П. Групповая скорость волнового пакета, образованного двумя свободными идентичными частицами с разными нерелятивистскими скоростями // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2015. - №3(35). - С. 69-72.

4. Попов И. П. Колебательные системы, состоящие только из инертных или только упругих элементов, и возникновение в них свободных гармонических колебаний // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2013. - №1(21). - С. 95-103.

5. Попов И. П. О некоторых аспектах магнитоэлектрического взаимодействия // Вестник Челябинского государственного университета. Физика. - 2009. - Вып. 5. - №24(162). - С. 34-39.

6. Попов И. П. Степенной ряд мер механического движения // Учёные записки Орловского государственного университета. Естественные, технические и медицинские науки. - 2014. -№6(62). - С. 37-39.

7. Попов И. П. Свободные гармонические колебания в системах с элементами различной физической природы // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2012. - Т. 18, №4. - С. 22-24.

8. Попов И. П. Колебательные системы с однородными элементами // Инженерная физика. -

2013.- №3. - С. 52-56.

9. Попов И. П. Определение фазовой скорости волн де Бройля на основе интерференции и дифракции единичных частиц // Вестник Удмуртского университета. Физика и химия. -

2014. - Вып. 3. - С. 48, 50.

10. Попов И. П. Реальные и виртуальные гармоники волновой функции свободной частицы // «Наука. Инновации. Технологии». Научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. - 2014. - №4. - С. 72-76.

Попов Игорь Павлович, старший преподаватель кафедры «Технология машиностроения, металлорежущие станки и инструменты» Курганского государственного университета.

Поступила 07.08.2015 г.