CC BY
296
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011 Геология Вып. 1 (10)
ГЕОФИЗИКА, ГЕОФИЗИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОИСКОВ ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ
УДК 550.83
Применение спектрального анализа при обработке геофизических данных
А.И. Банщиков3, Б. А. Спасскийъ
a ООО ПермНИПИнефть. E-mail: [email protected] b Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15. E-mail: [email protected]
(Статья поступила в редакцию 28 января 2011г.)
Рассматриваются особенности применения основных положений спектрального анализа при обработке геофизической информации. Показано наличие связи между функциями, представленными во временной и спектральной областях. Основное внимание уделено не столько собственно математической стороне вопроса, которая детально описана во многих учебниках, сколько (по возможности) краткому физическому истолкованию основных положений и формул спектральных преобразований геофизических данных.
Ключевые слова: спектральный анализ функций, корреляционные и энергетические характеристики.
Введение
Результаты интерпретации геофизических исследований используются широким кругом специалистов, работающих в геологических организациях. При этом конечный геологический результат является продуктом правильного планирования методики полевых работ, регистрации данных, их обработки и геологической интерпретации. К сожалению, иногда занимающиеся этим группы специалистов относятся к разным организациям, выигравшим тендер на проведение полевых работ, обработку или интерпретацию.
И если методы обработки и интерпретации полевых материалов в разных геофизических методах отличаются, то теория, на которой основана обработка геофизических данных, является единой. Поэтому знание основ математического
аппарата, используемых при проведении процедур обработки и анализе геофизических данных, является фактором, который позволяет наиболее эффективно и грамотно решать весь круг планируемых геологических задач.
Предметом измерений в разведочной геофизике являются различные физические поля (магнитное, электрическое, волновое и т.п.), особенности которых обусловлены геологическим строением и физическими свойствами горных пород. К сожалению, эти поля содержат информацию не только об объектах, интересующих геологов (полезный сигнал), но и различного вида помехах (влияние вмещающих пород, ошибки измерения, ошибки преобразования информации в дискретный вид при ее регистрации и обработке и т.д.).
Основной целью обработки данных является определение «истинных» пара-
© Банщиков А.И., Спасский Б.А., 2011
метров полезного сигнала, искаженного действием помех. Поэтому каждый специалист (и геофизик, и геолог), который занимается геологической интерпретацией данных, должен не только хорошо представлять себе, но и обязательно учитывать при работе то, как те или иные процедуры, которым подвергается геофизическая информация на всех этапах работ, влияют на параметры сигнала и конечные результаты геологического истолкования получаемых материалов.
С учетом этого в данной статье основное внимание уделено не столько собственно математической стороне вопроса, которая детально описана во многих учебниках [1, 3, 4, 6, 8 и др.], сколько (по возможности) краткому физическому истолкованию основных положений и формул спектральных преобразований. Эти знания, на наш взгляд, позволят более грамотно подойти к толкованию геофизических данных широкому кругу специалистов и тем самым избежать неоднозначности решения поставленных задач.
Основные идеи спектрального анализа
Методы спектрального анализа играют доминирующую роль в современных геофизических исследованиях. Спектральный анализ - один из самых эффективных методов обнаружения причинных связей между компонентами анализируемых процессов [2 и др.]. Используя идеи спектрального разложения измеряемых функций на отдельные спектральные компоненты, можно выделить полезную информацию на фоне помех.
Хорошо известно, что любой дом (строительный объект) можно построить из отдельных кирпичей. Аналогично можно считать, что большинство измеряемых геофизических функций являются суммой более простых функций («кирпичиков»), свойства которых хорошо известны. Раскладывая сложную функцию на более простые составляющие, можно достаточно просто изучить особенности «строения» сложных функ-
ции, сделать анализ процесса их прохождения через любую, даже сложную систему регистрации или обработки, выделить из наблюденной функции полезную (сигнальную) и шумовые компоненты. В соответствии с принципом суперпозиции сумма всех простых сигналов на выходе системы даст тот же результат, который получится при прохождении сложной функции. Именно поэтому при обработке геофизической информации используется ряд преобразований, позволяющих разложить сложную функцию на более простые.
Простейшими сигналами являются гармонические a(t) колебания (синусоиды и косинусоиды, рис.1, а), текущая амплитуда (а) которых изменяется во времени t по закону
a(t) = A cos rn(t + т) = A cos (at + p).
Здесь A - максимальная амплитуда колебаний с периодом T = 1/f = 2п/а, а
величина т = - это некоторый сдвиг
во времени относительно начального момента, например t = 0, величину (р = а - т часто называют сдвигом по фазе или начальной фазой колебаний.
а) .А
Г
б) x
і
fl
f2^Ix^ її 0
f^vvwvm о
ІДІ
fl f2 f3 f4 f5
Ф
5(f)
Д)
fl f2 f3 f4 f5
Рис.1. Гармоническое колебание (а), геофизическая функция x(t) (б), ее разложение на гармоники разных частот (в) и соответствующие ей амплитудно- и фазовочастотный спектры (г) и (д)
Преимуществом гармонических колебаний перед другими простыми функ-
0
f
f
циями является то, что они не меняют свою форму при любых преобразованиях, а меняют лишь свои параметры: амплитуду, начальную фазу ^ и частоту f или со ) колебаний.
Из физики хорошо известно, что луч белого света с помощью призмы можно разложить на отдельные цветовые компоненты (соответствующие электромагнитным колебаниям разных частот), дающих радугу. Аналогично большинство геофизических функций x(t) можно представить в виде суммы гармонических (синусоидальных и косинусоидальных) колебаний разных частот, имеющих разные амплитуды и фазы ф(ю) колебаний (рис.1, б и в).
Математически факт разложения сложной функции x(t) на гармонические колебания (амплитуда и фаза которых на разных частотах контролируется комплексным спектром Х(т)) можно записать в виде интегралов Фурье в такой форме:
ад
Х(а) = Jx(t) • е-Jm dt, (1)
—ад
ад
x(t) = -2т \X(ю) • eJ03tda. (2)
—ад
Здесь x(t) - анализируемая функция, изменяющаяся во времени или пространстве, Х(т ) (или X(f), если используется циклическая f, а не круговая частота) -комплексный частотный спектр функции x(t). Выражения типа (1) соответствуют прямому преобразованию Фурье, а формулы (2) - обратному.
Формулы (1) и (2) часто записывают, подчеркивая взаимность прямых и обратных преобразований, в более простом виде как пару преобразований Фурье Х(т) о-x(t).
По формуле Эйлера выражение е ±оЯ соответствует сумме или разности соответствующих косинусов и синусов: е ±Jmt = cos rnt ± jsin rnt .
При этом предполагается, что гармонические колебания существуют как для
положительных, так и для отрицательных частот.
С учетом этих замечаний физический смысл прямого преобразования Фурье
состоит в следующем: любую геофизическую функцию х^) (еще раз подчеркиваем - не вдаваясь глубоко в математическую сторону этого вопроса) можно разложить на бесконечное множество синусоид и косинусоид различных частот, амплитуд и фаз. Величины амплитуд и фаз каждой частотной компоненты (синусоид и косинусоид) позволяют сформировать два графика: амплитудно-частотный и фазово-частотный спектры (рис.1, г и д), которые дают комплексный спектр Х(а>).
Физический смысл обратного преобразования состоит в следующем: если суммировать бесконечное множество синусоид и косинусоид разных частот, амплитуды и начальные фазы которых соответствуют комплексному спектру Х(ю), то в результате суммирования получим начальную функцию х({).
Пара выражений (1) и (2) преобразований Фурье устанавливает однозначное соответствие между функцией х^) и ее комплексным частотным спектром Х(а ). При использовании пространственной функции х(1) в частотной области ей будет соответствовать так называемая пространственная частота к (волновое число), и комплексный спектр будет обозначаться как Х(к). Более детально вопросы, связанные с волновыми числами, будут рассмотрены ниже.
Таким образом, под спектром понимается некоторая зависимость от частоты (или волнового числа) величин амплитуд, начальных фаз, энергии либо других параметров каждой частотной компоненты (синусоиды или косинусоиды), на которые раскладывается сигнал.
При обработке геофизической информации считается, что комплексный спектр Х(т) раскладывается на действительную и мнимую части, т.е.
Х(а ) = а(т) - ]Ъ(<а). (3)
Здесь а(а) - действительная (вещественная) часть (косинус-трансформанта), а
Ъ(а) - коэффициент при мнимой части (синус-трансформанта) комплексного
спектра Х(а). Соответственно величины а(т ) и Ъ(т) определяются следующим образом:
ад
а(ю) = | x(t) • cosatdt,
—ад
ад
Ъ(а) =| x(t) • sin cotdt.
—ад
Наличие мнимой части в (3) свидетельствует о том, что гармонические составляющие (синусоиды и косинусоиды) в функции x(t) складываются не синхронно, а с определенными фазовыми сдвигами.
Поэтому комплексный спектр Х(а) связан с амплитудно-частотным |Х(ю)| и фазово-частотным ср(а) спектрами соотношением
Х(ю) = |Х(ю)| • е , (4)
где |Х(ю)| = л]а2(ю) + Ъ2(ю) ,
^(®)=arctg .
Преобразования Фурье применимы для большинства видов геофизических функций. В вышеуказанных формулах преобразований Фурье интегрирование проводится по всем частотам в бесконечных пределах. Отрицательные частоты не имеют физического смысла, но их часто очень удобно использовать при математических преобразованиях. Получаемые в этом случае спектры являются двусторонними (изображаются на графиках для положительных и отрицательных частот).
Таким образом, преобразование Фурье ставит во взаимно однозначное соответствие измеряемый в геофизике сигнал как действительную функцию одного аргумента (времени или пространства) и комплексную функцию другого аргумента, имеющего размерность, обратную размерности аргумента действительной функции (частоты или пространственной частоты).
Соответственно наблюденные геофизические функции могут анализироваться
либо во временном (пространственном) представлении (рис. 1, б), либо в спектральной области в виде двух спектров (рис. 1, г и д): амплитудно-частотного (или просто амплитудного) и фазовочастотного (фазового или спектра запаздывания фаз). Оба представления функций (во временной и частотной области) совершенно равнозначны, но в одних случаях удобнее пользоваться спектральными представлениями (например, говоря о действии фильтров или процедур обработки), а в других - временными (когда нас интересует, например, изменение формы сигналов при анализе сейсмического волнового поля).
Поскольку геофизические наблюдения проводятся в течение некоторого интервала времени Т (т.е. функции х(7) являются ограниченными во времени, а не бесконечными), то на практике при спектральном анализе их часто считают периодическими (с периодом, равным Т или 2п). В этом случае согласно теореме Фурье периодическая функция х(7) может быть представлена бесконечным рядом Фурье:
2nnt
2nnt_
х^) = ао + ^ (а„ со^ + Ъ„ эт^р),
п=1 Т Т
где а0, а„, Ъп - коэффициенты, а п - номер члена разложения функции х^) в ряд.
Отсюда следует, что исходный периодический сигнал х(0 в результате разложения в ряд Фурье представляется конечной суммой косинусоидальных и синусоидальных функций (гармоник).
В связи с этим амплитудно-частотный спектр |Х(&»)|периодической функции, бесконечной во времени, будет дискретным. Чем больше величина периода Т повторения функции во времени, тем меньше частотный интервал Ао> между гармониками спектра. При стремлении периода Т к бесконечности спектр становится непрерывным, поскольку величина Аа стремится к нулю, а спектр состоит из бесконечно большого числа гармоник. Поэтому считается, что периодические функции анализируются с использовани-
ем формул ряда Фурье, а импульсные функции (энергия которых сосредоточена в некотором частотном диапазоне) - с использованием формул интеграла Фурье.
Теоремы преобразований Фурье
Если функции хф и Хф образуют пару преобразований Фурье, то для них можно сформулировать несколько теорем, применимых для анализа самых разных функций (процессов).
1. Свойство взаимно однозначного соответствия друг другу функций хф и Хф, которое гласит, что у каждой функции хф имеется соответствующий только ей единственный комплексный спектр Хф. И наоборот, каждый комплексный
спектр Хф) = |Х(ф)| • е~^(ф), состоящий из амплитудного |Х(ф)| и фазового ф(ф)
спектров, характеризует одну единствен -ную функцию хф. Если один из спектров меняется, во временной области мы получим уже другую функцию х2ф.
а)
%«>
о
2н
•гп ' Г
г
1 гр 'ГР
Рис.2. Минимально-фазовый и нулъ-фазовый импульсы (а) и их фазовые спектры (б)
Так, достаточно широко используются при обработке сейсмических данных сигналы с различными фазовыми спектрами. Наибольшее применение здесь нашли [6] понятия минимально-фазовых сигналов, которые образуются при использовании взрывчатых веществ для возбуждения колебаний, и нуль-фазовых (возникают при использовании виброисточников). Даже при равенстве ампли-
тудно-частотных спектров, но различии их фазовых ф}ф и у2ф спектров (рис. 2, а и б) форма сигналов А1Ф и А2ф во временной области будет различной. Для ноль-фазовых спектров характерны нулевые сдвиги между гармониками в полосе пропускания полезного сигнала (в диапазоне граничных частот от f нгр до Гвгр).
Минимально-фазовые сигналы характеризуются максимумом энергии в начальной части и не являются симметричными, а ноль-фазовые являются симметричны относительно центральной части сигнала и характеризуются его наименьшей длительностью во времени.
2. Свойство подобия или двойственности прямых и обратных преобразований Фурье, согласно которому любая теорема, доказанная для одного из преобразований, справедлива и для другого.
а)
АТ
ж®
X®
-АТ/2 0 АТ/2 0 / Ли в
б) /\ ж(П ||ХЮ
_ Л - 1 1
0 ю
2А1 = 1/А Т
Рис. 3. Прямоугольная функция хф и ее амплитудно-частотный спектр \Хф\ (а). В силу подобия прямых и обратных преобразований Фурье прямоугольному импульсу в частотной области соответствует во временной области зтс-функция
Так, если в области времени взять некоторую прямоугольную функцию (прямоугольный импульс) с амплитудой, равной единице, и длительностью АТ (рис. 3), то в частотной области ей будет соответствовать некоторая функция, называемая щелевой или интерполяционной (Бтс-функция). Если, наоборот, в области времени имеется сигнал в виде интерпо -ляционной функции, то в частотной области будет наблюдаться сигнал (амплитудно-частотный спектр) прямоугольной формы, соответствующий частотной характеристике фильтра нижних частот.
Амплитуда прямоугольного импульса в частотной области (который фактически является амплитудно-частотной характеристикой фильтра нижних частот) зависит от площади прямоугольной функции (ее длительности АТ) во временной области. Частотаф0 соответствует граничной (максимальной) частоте амплитудно-частотного спектра \Х(а)\. При этом ширина основного максимума (экстремума) интерполяционной функции связана с длительностью прямоугольной функции (величиной АТ во временной области или величиной Аф = 2ф0 = 1/АТ по оси частот).
3. Спектр функции ХЕ (ф), состоящей из суммы нескольких функций х ф1) ^ Хф), равняется сумме спектров этих
N
функций, т.е. ХЕ (ф) = 2 Хг (ф).
I=1
4. Комплексный спектр Х1(ф) колебания х() = х(1 -Т), сдвинутого по оси времен на величину т относительно первоначального положения импульса х(1), имеющего комплексный спектр Хф), претерпевает следующие изменения: его амплитудно-частотный спектр остается неизменным , т.е.
|Х (ф )| = Х(ф )|,
а изменяется лишь фазово-частотный спектр ^1(ф).
5. Изменение временного масштаба аргумента функции х(1) приводит к соответствующему (обратно пропорциональному) изменению частотного масштаба осей его спектров. Так, при сжатии (растяжении) функции х(1) во времени ее амплитудно-частотный спектр расширяется (сжимается) по оси частот, т.е. максимум амплитудного спектра смещается в область верхних (сжатие сигнала во времени) или нижних (растяжение сигнала) частот.
6. Остановимся еще на одном свойстве спектральных преобразований, широко используемых при обработке геофизических данных. Предположим, что имеется две пары функций х() и х2({), кото-
рым соответствуют комплексные спектры Х1(т) и Х2(т): т.е. х 1 (I) о- Х1(а) и х2 @ о- Х2 (а). Если перемножить оба комплексных спектра, то получим новый спектр Х(ю ), которому соответствует некоторая временная функция х(1:), т.е.
Х (ю) = Х 1(ю) • Х 2(ю),
где х(1) ^ Х(а).
Спрашивается, как выразить функцию х(Х), являющуюся парой преобразования (обратным преобразованием) спектра Х(ю), через функции х 1 (I) и х2 (I). Оказывается, что искомую функцию можно описать посредством интеграла типа
ад
х(I) = | х1(т) • х2 (I -г)йт =
(5)
ад 4 у
= | х1(^ — г) • х2(г)йх.
—ад
Интегралы такого типа называются интегралами Дюамеля или интегралами свертки.
Здесь I и т - это начальное время, от которого отсчитываются сдвиги т, используемые при расчете сумм парных произведений обеих функций по формуле
(5). При этом одна из функций переворачивается задом наперед. Кратко (без использования интегралов) операция свертки функций записывается так:
х(г) = х^) * ^).
Двумерные преобразования Фурье
Часто при анализе и обработке геофизической информации предполагается, что переменной (аргументом) функции х(1) является время. Аналогично можно представить некоторую функцию любой вещественной переменной, например расстояния I. В этом случае в частотной области будем иметь переменную, называемую пространственной частотой к или волновым числом. Аналогично формулам (1) и (2) для пространственных функций можно записать прямое и обратное преобразования Фурье:
Х (к) = | х(1) • е
■]Ы
сВ
Корреляционные функции
и
1 ад
х(1) = — |Х(к) • е]Ыйк .
2п
Здесь Х(к) - комплексный спектр пространственной функции х(1). Если ф и ю представляют собой частоту колебаний
ф _ /т или к, - ^т ■
где Т - период колебаний, то пространственная частота к показывает число длин волн X в единице измерения расстояния. Если обозначить через V* кажущуюся скорость, то X = V*^T, а пространственная частота
к = 2УХ = ю/У* = 2я/(У*Т).
Очень часто при обработке геофизической информации преобразованиям Фурье подвергаются не одномерные функции х({), а многомерные: двумерные, трехмерные и т.д. В этом случае в двумерном варианте каждой пространственновременной функции х(1, I) будет соответствовать свой двумерный комплексный спектр Х(ф, к) или Х(а, к). При этом переменные I и I могут иметь различный физический смысл: пространства по двум координатным осям или пространства и времени и т.д. Двумерное (прямое и обратное) преобразование Фурье для пространственно-временных функций изображается следующими формулами:
Х(а>,к)= I х()-е 1<лск • I х(1)-е
-} (о!+а)
При обработке геофизической информации широкое применение в практике получили корреляционные функции. На их использовании основаны многие способы выделения полезной информации на фоне шумов. Обычно корреляционные функции позволяют определить степень подобия двух функций между собой и их взаимное расположение относительно друг друга по координате (независимой переменной). Так, функция взаимной корреляции г 2 (г), или ФВК, позволяет установить степень сходства (подобия) формы двух функций х1(^) и х2(^) при различных временных сдвигах т между ними.
Математически расчет ФВК проводят с использованием выражения
ги(0 = | х1<>)• хг(г + ?)й*
—ад
ад
= | х1(^ + г) • х2 (^)й
(6)
,/>
х(г,1) = | | Х(ф,к)е;(а*+к1) сСасСк.
—ад —ад
Аналогично можно записать формулы преобразований Фурье для трехмерного случая. Двумерные или трехмерные преобразования Фурье используются при обработке (например фильтрации) карт или кубов параметров.
Процесс нахождения ФВК подобен свертке двух функций, но при расчете ФВК не проводится обращения (переворота) одной из функций во времени.
Расчет ФВК можно представить таким образом. Анализируемые функции располагают рядом на графике, совмещая по оси времен их начальные значения. В этом случае сдвиг т между функциями х1(^) и х2(1) равен нулю. Проводят перемножение значений обеих функций в точках, расположенных с шагом Д1 по оси времен, и выполняют интегрирование (суммирование) полученных произведений отсчетов функций. Результатом такой процедуры является значение величины г12 для сдвига т = 0.
Аналогично находят такие суммы парных произведений значений обеих функций для разных сдвигов т - как для положительных (в сторону уменьшения времен), так и для отрицательных (в другую
сторону) значений. График зависимости г12(г) и есть ФВК. Очевидно, что максимальные значения функции взаимной корреляции будут наблюдаться в том случае, когда форма сигналов х1(^) и х2(^) при сдвиге становится подобной. При этом максимум ФВК смещается по оси времен на величину т, которая характеризует смещение областей подобия сигналов. Значения ФВК, близкие к нулю, будут соответствовать случаю отсутствия подобия (наибольшего различия). Большие отрицательные значения г12 характеризуют наличие зеркального подобия функций (соответствие максимумов одной функции минимумам другой).
Чтобы максимальные значения ФВК не превышали единицу (в случае максимального подобия функций), обычно ФВК нормируют, т.е. используют для расчета формулы типа
ад
| х1 (ґ) • х2(ґ + ї)йі
{М]2 & ■ |[х2(ґ )]2 &
—ад —ад
Если в качестве функции х1(^) выступает синусоида с частотой ^, а функция х2{1) состоит из колебаний многих частот, то расчет ФВК позволяет извлечь эту частоту /1 из второй функции, т.е. величины значений функции взаимной корреляции будут пропорциональны значениям амплитуды этой частоты /1, имеющимся в функции х2 (^).
Если обе функции х1(^) и х2(^) являются сложными сигналами, состоящими из многих частотных компонент, то функция взаимной корреляции будет содержать частоты, общие для обоих сигналов. ФВК достигает максимума в том случае, когда большая часть частотных компонент обоих сигналов будут иметь одинаковые фазы. Таким образом, ФВК позволяет обнаружить лучшее соответствие (сходство) между двумя функциями, даже если эти функции засорены по-
мехами (имеют в составе разные частотные компоненты).
Результат корреляции любой функции х1(^) со своей копией (самой функции с собой) называется функцией автокорреляции Ь(т), или ФАК. Она является частным случаем функции взаимной корреляции, когдах1(^) = х2(1) . Применительно к сигналам с конечной энергией ФАК является количественной интегральной характеристикой формы сигнала и представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала х(1), сдвинутых относительно друг друга на время т:
ад
Ь1 (г) = г11 (г)= | х1 (^) • х1(^ + т)& -
—ад
ад
= | х1(^ + г) • х^)^ Ъ1(-т).
—ад
Это выражение показывает, что функция автокорреляции симметрична относительно начальной точки, где т = 0 и где она достигает максимума. Поскольку ФАК является результатом взаимной корреляции сигнала с самим собой, то фазы всех частотных компонент (равные при расчете ФВК разности фаз обеих функций) будут одинаковыми и разность фаз будет равна нулю. Поэтому функция автокорреляции не несет информации о фазах частотных компонент, на которые она раскладыв ается.
В практике обычно используются нормированные значения ФАК:
ад
| х1 (^) х1 (^ + т)&
%) = ---------------------.
|[х1<7)]2 Л
—ад
Основные особенности ФАК сводятся к следующему:
- ФАК образуется как результат интегрирования по всей оси времен X произведений сигнала с его копией, сдвинутой на интервал времени т. Каждому сигналу (функции) соответствует строго определенная ФАК, но не наоборот, т.е. разные функции могут иметь одну и ту же функ-
цию автокорреляции. По ФАК нельзя восстановить форму сигнала так же, как по известной площади плоской фигуры нельзя определить ее форму.
- ФАК имеет размерность мощности или энергии сигнала и является четной функцией временного сдвига.
- Любое значение автокорреляционной функции не превосходит ее значения в точке т = 0, где автокорреляционная функция имеет максимальное значение.
- ФАК периодического сигнала сама является периодической функцией с тем же периодом, что и анализируемый сигнал х(1). Причем периодичность по ФАК выявляется даже лучше, чем при анализе самой функции х().
- У всех сигналов, кроме периодических, ФАК убывает по мере увеличения т. Степень спада значений ФАК характеризуется интервалом корреляции.
Особенно широко применяется понятие ФАК при анализе случайных функций. Так, если анализируемая функция осложнена случайными помехами, то основной максимум ФАК (когда т = 0) будет по амплитуде значительно превышать все последующие экстремумы.
Энергия и мощность сигналов
Помимо амплитуд и фаз различных частотных компонент измеряемого геофизического сигнала, которые анализируются при спектральном анализе, при обработке информации удобно рассматривать энергетические характеристики функций. Понятия мощности и энергии в теории цифровой обработки являются количественными характеристиками сигналов, отражающими определенные их свойства и динамику изменения их значений (отсчетов) во времени, в пространстве или по любым другим аргументам.
Основными энергетическими характеристиками сигнала как функции времени являются мгновенная (текущая) мощность р(). В общем случае мгновенная мощность (энергия) находится как величина, пропорциональная квадрату амплитуды,
Р0) = х 2о).
Средняя мощность сигналов х(1) определяется квадратом амплитуд на период колебаний.
I 12
Действительная величина X (ю)|
квадрата амплитудно-частотного спектра известна как спектр мощности Ех (ю)
или энергетический спектр, либо более точно как спектральная плотность мощности или спектральная плотность энергии [3, 4, 8 и др.], т.е. мощность или энергия, приходящаяся на единичный интервал оси частот. Иначе
I 12
Ех(©) = X(ю)• X*(ю) = \Х(ю)| .
Здесь обозначение Х*(ю) соответствует комплексно сопряженному спектру функции, обращенной во времени х(-1;), т.е.
х(-1;) Х*(ю).
Поскольку в выражение для Ех(ю) входит квадрат абсолютного значения амплитудного спектра |Х(ю)|, то информация о
фазовом спектре отсутствует. Это означает, что если задана только мощность сигнала, то восстановить первоначальную форму сигнала х(1) невозможно. Для восстановления сигнала х(1) должен быть задан комплексный спектр X(ю), т.е. должны быть известны и амплитудночастотный, и фазово-частотный спектры. Поэтому, например, функции х() и х2^), имеющие одинаковые амплитудные, но разные фазовые спектры, будут иметь одинаковые спектры мощности, но их форма будет отличаться. При этом сдвиг функций во времени (четвертая теорема свойств спектров) не повлияет на их энергетический спектр.
С учетом вышеприведенных формул теории спектральных преобразований [2,
3, 6, 7 и др.] можно утверждать, что функция автокорреляции Ъх(\) и энергетический спектр Ех(ю) функции х(1) являются парой преобразований Фурье, т.е.
Ъх О) ^ Ех (®).
Если функция х(1) не является периодической, то значения функции автокор-
реляции Ъх(т) обычно убывают с возрастанием т. Функции автокорреляции некоторых геофизических явлений часто уменьшаются по экспоненциальному закону с увеличением временного сдвига, например
Ъх (г) - е
или
Ъх(г) « е■ оо$а0т, а > 0.
Подобные процессы получили название марковские. Энергетические спектры таких функций в технике называются красным шумом. Чем шире полоса частот амплитудного спектра таких функций -тем быстрее затухает функция автокорреляции (тем уже ее основной максимум).
Если в амплитудном спектре присутствует бесконечно большое число частотных компонент (широкополосный спектр), то функция автокорреляции такого сигнала представлена единичным импульсом. Функции такого типа называются белым шумом. Эти понятия (особенно белый шум) широко используются в теории обработки информации (например, при производстве так называемой обратной фильтрации, или деконволюции). Так, под термином «отбеливание сигнала» предполагается добавление к нему помех, характеризующихся достаточно широким амплитудно-частотным спектром.
Если при проведении анализа имеются две функции х1 ^) о- X1 (ю ) и
х2 (^) о- X2 (© ), характеризующиеся
энергетическими спектрами
22
Е1(ю) = 1X^)1 и Е2(ю) = X2(ю)| ,
то можно вычислить взаимный энергетический спектр Е12 (ю) этих функций, который определяется выражением
Е1,2(®) = X Г (®) • X 2(®).
В отличие от энергетических спектров Е1(ю) или Е2(ю), которые всегда вещественные и положительные, взаимный энергетический спектр в общем случае является комплексным. Поэтому толь-
ко его модуль Е12 (ю) может использоваться в качестве меры взаимной энергии. На основе понятия взаимного энергетического спектра формируется понятие когерентности.
Когерентность, или коэффициент когерентности |/12(©)| функций х1(^), и
х2(^) определяется следующим образом [2]:
I , ч| Е1,2(®)
^12(®) = I — .
' , ' л/Е» • Е»
Когерентность, если не обращать внимания на ее нормирующий знаменатель, фактически является спектром функции взаимной корреляции. Иначе этот факт можно записать как
Е1» ^ ^1,2(^).
В физике когерентность характеризует согласованное по какому-либо признаку (энергии) протекание во времени не-
скольких колебательных или волновых процессов.
Если функция взаимной корреляции определяет подобие формы колебаний двух процессов, то при определении понятия когерентности в основу кладется подобие функций по энергии. Поэтому, например, при суммировании сейсмических трасс, являющихся смесью записей полезного сигнала и помех, соседние трассы считаются когерентными, если их суммарная амплитуда велика, поскольку сигналы отдельных каналов подобны и, складываясь в одинаковой фазе, дают большую суммарную амплитуду. Там же, где суммарная амплитуда мала, сигналы на соседних трассах отличаются друг от друга и не являются когерентными.
Если сдвиг во времени между энергетически выраженными колебательными процессами на нескольких сейсмических трассах остается постоянным во времени или меняется по строго определенному закону, то такие процессы также являются когерентными.
П,2(т)
Х10) — XI (Г)
I I
Ь1(т) — Е1( А
Х2(1) — Х2(Ц
I
Егф — Ь2(т)
Е1,2(Г)
Рис.4. Связь временных и спектральных характеристик сигналов
Заключение
Таким образом, при обработке геофизической информации анализу подвергаются не только временные или спектральные особенности данных полевых наблюдений, но и их корреляционные и энергетические характеристики. Связь этих характеристик между собой для функций х() и х() показана на рис. 4. Возможность использовать при обработке и интерпретации широкий круг временных и спектральных характеристик позволяет часто избежать неоднозначности решения обратной задачи в геофизике.
Если геолог может изучать горные породы, проявления тектоники, процессы осадконакопления непосредственно, то геофизики имеют дело только с физическими полями этих объектов. Сейчас задача геофизических работ формулируется как построение с заданной точностью и достоверностью модели виртуального геологического объекта. При этом понятие модели включает набор его совершенно конкретных характеристик -геометрической формы, внутренней
структуры и пространственного взаимоотношения слагающих его слоев или зон, характеризующихся разным распределением геологических и петрофизических характеристик.
Библиографический список
1. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов: практический подход. 2-е изд.; пер. с англ. М.: Изд. дом «Вильямс», 2004. 992 с.
2. БатМ. Спектральный анализ в геофизике.
Построение неискаженных изображений среды составляет сущность процедур обработки данных сейсморазведки, а обнаружение объектов, распознавание их геологической природы и оценка параметров - сущность процедур интерпретации. Все эти процедуры практически полностью формализованы в рамках компьютерных систем обработки и интерпретации. При этом граф обработки -это последовательность процедур математической обработки информации с целью уменьшения влияния множества источников неопределенности (шумов, помех, ошибок и т.п.), создающих общий уровень энтропии (неоднозначности, степени достоверности) полученных знаний
[6]. А математические процедуры, составляющие этапы обработки, являются точными знаниями для модельных примеров, так как дают точные решения при строго определенных граничных условиях.
Однако даже точное соблюдение последовательности действий, предусмотренных в руководствах обработки, далеко не всегда обеспечивает успешное решение геологической задачи, а построенная модель объекта может оказаться неточной.
Это объясняется тем, что решение обратной задачи в геофизике часто является неоднозначным, а любые геофизические работы носят исследовательский характер. А это требует понимания информационной сущности этих процедур. Поэтому каждый участник планирования, проведения, обработки и интерпретации геофизических исследований должен знать не только как поступить, но и почему надо поступить так, а не иначе [5].
М.: Недра, 1980. 535 с.
3. Голъденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов: учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1990. 256 с.
4. Давыдов А.В. Цифровая обработкасиг-налов: тематические лекции / УГГУ, ИГиГ.
Екатеринбург, 2007. ИКЬ: http://www.prodav.narod.ru/dsp/index.html
5. Козлов Е.А. Модели среды в разведочной сейсмологии. Тверь: Изд-во «ГЕРС», 2006. 480с.
6. Козлов Е.А., Гогогненков Г.Н., Лернер Б.Л. и др. Цифровая обработка сейсмических данных. М.: Недра, 1973. 312 с.
7. Никитин А.А. Теоретические основы об-
работки геофизической информации:
учебник для вузов. М.: Недра, 1986. 342 с.
8. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. 848 с.
9. Солонина А.И. и др. Основы цифровой обработки сигналов: учеб. пособие. СПб.: Петербург, 2005. 768 с.
Application of Spectral Analysis in Geophysical Data Processing
A.I. Banshchikova, B.A. Spasskyb
bPermNIPIneft, [email protected] bPerm State University, 614990, Perm, Bukirev st., 15 E-mail: [email protected]
In this article features of spectral analysis in geophysical data processing are discussed.
It is shown the coupling a time-space functions with their spectral transforms. Special attention is paid not to mathematical aspects of the problem discussed in corresponding textbooks on mathematics but to physical interpretation of the basic principles and formulas.
Key words: spectral analysis, time-space functions, spectral transforms of time-space functions.
Рецензент - доктор технических наук В.И. Костицын
