CC BY
90
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 2 (110), 2015
УДК 523.26 Дата подачи статьи: 10.12.14
DOI: 10.15827/0236-235X.110.108-112
ФРАКТАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИИ ОБРАБОТКИ, АНАЛИЗА И КЛАССИФИКАЦИИ БОЛЬШИХ ПОТОКОВ АСТРОНОМИЧЕСКИХ данных
А.В. Мышев, к.ф.-м.н., доцент
(Обнинский институт атомной энергетики - филиал «Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ», Студгородок, 1, г. Обнинск, 249040, Россия)
В работе рассматриваются новые подходы к построению моделей и логических схем алгоритмов и процедур информационных технологий обработки, анализа и классификации больших потоков астрономических данных об орбитах и траекториях малых тел. Методология построения таких моделей и схем основана на построении оценок критериев близости и связанности орбит и траекторий в пространстве возможных состояний с помощью соответствующего математического аппарата фрактальных размерностей. Логическая, алгоритмическая и содержательная сущности методов и технологий теории заключаются, во-первых, в обработке и анализе потока данных орбит и траекторий с тем, чтобы определить, образует ли он фрактальную структуру (если да, то необходимо определить центры фрактальной связанности потока и получить оценки индекса информационной связанности орбит или траекторий), во-вторых, в выделении монофрактальных структур в потоке и классификации их по признаку принадлежности к классам перколирующего фрактала или фрактального агрегата. Фрактальная теория информационных технологий обработки, анализа и классификации больших потоков данных в отличие от традиционных методов и способов позволяет учитывать как свойства регулярности и нерегулярности структуры пространства состояний информационной шкалы данных потока, так и их динамическую и информационную связанность. Формализм и логика теории позволяют более полно раскодировать информацию, скрытую в потоках данных астрономических наблюдений или измерений. В этом случае получается более полная и недеформированная содержательно-смысловая информационная картина объекта исследования, что позволяет дать, с одной стороны, более полное математическое и логическое описание пространства возможных состояний наблюдаемых объектов на траекториях их эволюции в условиях замкнутости, ограничений, обмена и неопределенности, с другой - математическое описание и отражение распределения наблюдаемых объектов в реальном трехмерном пространстве их расположения как в локальные моменты времени, так и в эволюционном развитии. Методы и подходы теории в логических и алгоритмических схемах когнитивных информационных технологий обработки и анализа потоков данных астрономических наблюдений и результатов моделирования позволяют отразить, описать и интерпретировать их как генетическую информацию, которая является носителем доминантных и рецессивных признаков. Эти признаки определены как доминирующие для технологий раскодирования информации, содержащейся в данных наблюдений и результатах моделирования. Такой подход к математическому описанию и представлению, логической структуризации и организации потоков данных наблюдений и результатов моделирования позволяет выявить скрытые закономерности, которые в рамках традиционных методов анализа получить невозможно.
Ключевые слова: связанность орбит, фрактальные меры, фрактальная размерность.
Решение многих проблем исследования космического пространства так или иначе связано с разработкой и реализацией интеллектуальных информационных технологий обработки и анализа больших потоков данных и с интерпретацией получаемых результатов и выводов с целью получения новых знаний, фактов, обнаружения и описания новых закономерностей. Для построения математических и логических схем алгоритмов и процедур обозначенных технологий в настоящее время широко используются статистические и вероятностные подходы к обработке и анализу потоков данных наблюдений или измерений [1-4]. Особенности применения этих классических подходов в технологиях обработки и анализа потоков данных астрономических наблюдений заключаются в том, что они дают только усредненные оценки и усредненное описание пространства возможных состояний исследуемого объекта. В этом случае не учитываются ни свойства регулярности и нерегулярности структуры пространства состояний, ни динамическая и информационная связанность. При таком подходе нельзя более полно раскоди-
ровать информацию, которая скрыта в потоках данных астрономических наблюдений или измерений. Получается неполная и деформированная содержательно-смысловая информационная картина объекта исследования, что делает неисполнимым, с одной стороны, более полное математическое и логическое описание пространства возможных состояний наблюдаемых объектов на траекториях их эволюции в условиях замкнутости, ограничений, обмена и неопределенности, а с другой - математическое описание и отражение распределения наблюдаемых объектов в реальном трехмерном пространстве как в локальные моменты времени, так и в эволюционном развитии.
Для преодоления этих трудностей автором разработаны новые подходы и методы создания когнитивных информационных технологий обработки и анализа потоков данных астрономических наблюдений и результатов моделирования, которые позволяют отразить, описать и интерпретировать их как генетическую информацию, являющуюся носителем доминантных и рецессивных признаков. Эти признаки определены как домини-
108
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 2 (110), 2015
рующие для технологий раскодирования информации, содержащейся в данных наблюдений и результатах моделирования. Такой подход к математическому описанию и представлению, логической структуризации и организации потоков данных наблюдений и результатов моделирования позволяет выявить скрытые закономерности, которые в рамках традиционных методов анализа получить невозможно.
Логические схемы алгоритмов и процедур технологий обработки, анализа и классификации потоков данных построены на основе теории фрактальных размерностей пространственных и временных структур, алгоритмическая и содержательная сущность которых в следующем. Обработка потока данных состоит в том, чтобы определить, образует ли он фрактальную структуру. Если образует, необходимо определить центры фрактальной связанности потока и получить оценки индекса информационной связанности. Алгоритмы и процедуры технологий анализа и классификации обработанного потока позволяют выделить монофрактальные структуры, если поток образует мультифрактал, и классифицировать их по признаку принадлежности к классам перколирующего фрактала или фрактального агрегата, а также оценить меру расхождения между геометрическими и информационными фрактальными размерностями как индикатора единства количественных и качественных характеристик потока.
Для обработки потоков астрономических данных об орбитах и траекториях объектов космического пространства получены новые критерии их близости. В качестве критерия близости двух орбит вводится количественная оценка фрактальной меры на множестве попарных расстояний между соответствующими парами точек орбит. Такая оценка фрактальной меры является критерием связанности двух орбит, посредством которого отражается степень их геометрической и информационной близости. Основная посылка и смысл введенной сущности объясняются и поясняются следующей логической схемой и алгоритмом. Во-первых, на орбитах определяются реперные (или опорные) точки, в качестве которых могут выступать перигелий или афелий орбиты. Во-вторых, относительно реперных точек выбирается N0 дискретных точек с шагом дискретизации
по истинной аномалии Av =
360°
N
где значение N0
определяется из следующих условий: 1) статистическая значимость и репрезентативность выборки; 2) уровень надежности оценки фрактальной меры. В-третьих, на каждом г-м шаге дискретизации по Av вычисляется расстояние r между соответствующими точками на орбитах. В-четвертых, после завершения предыдущего шага по всем дискретным точкам орбит определяются rmin и rmax, вы-
числяется A
= I r
- rmin I , который разбивается на
K подинтервалов. В-пятых, для заданного уровня геометрической близости двух орбит гдов (радиус сферы доверительности) вычисляется оценка уровня доверительности рдов, отражающего долю точек r,-eA, для которых справедливо r<rдов. Оценка рдов является критерием и количественной мерой фрактальной природы близости двух орбит, то есть для заданного гдов и с каким значением рдов можно считать связанными две орбиты.
Для получения количественной оценки фрактальной меры на K подинтервалах множества точек r,-e A, учитывающей одновременно емкостные и информационные размерности фрактала, используется универсальная формула, которая была выведена автором [5] и определяется выражением
K K
db
= lim
s—>0
B(s)
log(1/ e)
Z Pi log Z(1 -p^ Pj
= lim —-------j=1----------
s—0 log s
, (1)
где pt - вероятность попадания значения rt в г-й подинтервал A = I rmin - rmax I ; e - длина подинтервала для заданного разбиения интервала; pj -рандомизированная метрика между центрами j-го и г-го подинтервалов; B(s) - B-энтропия. Рандомизированная метрика pj определяется по формуле
где | r - rj | - расстояние (геометрическое или информационное) между г-м и j-м подинтервалами; |r| - длина интервала A.
Для вычисления оценки емкостной фрактальной размерности множества {гД, которая отражает свойства фрактальной геометрии «дырявого» множества точек rt eA, использовалась известная из работы [6] формула
d= - limlOI^
s—0 log s
(3)
где N(e) - число покрытий множества точек reA; e - радиус сферы покрытия. Емкостная фрактальная размерность df вводится и определяется как оценка меры нерегулярности топологической и геометрической структуры множества точек rt.
Формулы (1) и (3) использовались для получения оценок критериев связанности двух орбит, которые описывают и отражают степень пространственной близости двух орбит в определенной пространственной окрестности гдов с заданным уровнем доверительности рдов.
Логическая схема получения оценок фрактальной меры связанности потока орбит относительно оптимальной опорной орбиты и нахождение такой орбиты в потоке выражаются в виде следующего алгоритма. Первый шаг: произвольно выбирается первая фиксированная орбита потока Oj (j=ML, где L - количество орбит потока) и вычисляются попарные индексы связанностей Ik между ней и всеми другими орбитами Ok (k=ML, jk, k- пере-
109
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 2 (110), 2015
менный индекс) потока по формулам (1) и (2). Результат этого шага - множество индексов связанностей Kj={Ik} для всех орбит потока относительно выбранной опорной орбиты Oj. На этом шаге также определяются индексы связанностей Im, которые вычисляются по формуле (3) и отражают свойства фрактальной геометрии близости двух орбит, образуя множество Gj={Im}. На втором шаге вычисляется коэффициент связанности потока орбит {Ok} относительно опорной орбиты Oj по формуле (1), то есть вычисляется фрактальная размерность Rj множества Kj. Процедуры первого и второго шагов выполняются для всего множества орбит {Oj}, где j - индекс опорной орбиты. На последнем шаге алгоритма получаем множество S^6 = {Rj}, элементы которого показывают, насколько та или иная орбита может быть «центром» потока орбит, относительно которого наиболее плотно и компактно группируются орбиты. Условие выбора такого «центра» потока орбит определяется выражением
R —— min. (4)
Основная посылка и смысл обозначенной логической схемы в информационных технологиях обработки и анализа состоят в том, чтобы дать математическое и логическое описание пространства возможных состояний наблюдаемых малых тел с учетом геометрических, динамических и информационных аспектов их эволюции.
Для представления расположения тел в моменты их наблюдений и дальнейшей эволюции разработана математико-логическая схема перехода от орбитального описания положений тел к их геометрическому расположению в реальном пространстве, которая реализована в виде следующей процедуры. Во-первых, локализуется область пространства (куб или прямоугольный параллелепипед), в котором находятся наблюдаемые объекты-тела. Во-вторых, выделяется элементарный объем разбиения этой области, то есть область разбиения представляется в виде трехмерной решетки, узел которой является идентификатором элементарного объема. В-третьих, решается задача таксономии и классификации пространственного распределения малых тел на узлах трехмерной решетки. Надо выяснить, образует ли распределение тел в этом объеме регулярную либо нерегулярную пространственную структуру. Для этого использовался аппарат теории фрактальных размерностей и фрактальной геометрии [5-7]. Решение задачи состоит в выделении объема, определении пространственной геометрии и распределении тел на узлах решетки, то есть в выяснении, являются ли соответствующие подмножества узлов решетки фрактальными объектами или регулярными. В-четвертых, решалась задача пространственной кластеризации наблюдаемых объектов на узлах решетки: выделение фрактальных кластеров - перколяци-онный фрактал или фрактальный агрегат.
Фрагменты результатов обработки и анализа данных наблюдений
Для обработки и анализа данные астрономических наблюдений для малых тел Солнечной системы были сгруппированы на основании предыдущих исследований [8-11]. Приведем классификацию малых тел по группам в зависимости от ограничений на значения элементов их кеплеров-ских орбит.
Группа 1. Главный пояс астероидов: е<1/3; i<20°; 2,1 <a< 3,5 а.е.
Группа 2. Короткопериодические кометы и метеорные тела (включая астероиды группы Апол-лона-Амура): 1/3 < е < 0,95; i< 30°; a< 15 а.е.
Группа 3. Долгопериодические кометы и метеорные тела: е > 0,95; i - случайное; a> 15 а.е.
Группа 4. Троянцы (захваченные Юпитером и колеблющиеся относительно его передней и задней лагранжевых точек либрации): а ~ 5,2 а.е.
Группа 5. Астероиды группы Гильды: е ~ 0,2; i ~ 10°; a ~ 3,95 а.е.
Группа б. Астероиды группы Венгрии: е ~ 0,1; i ~ 25°; a ~ 1,9 а.е.
Группа 7. Малые тела, орбиты которых пересекают орбиту Земли в окрестности радиуса сферы ее влияния.
Результаты обработки и анализа потока астрономических данных на примере объектов-тел группы 7 в виде фрагмента приведены в таблице. В столбцах 2-4 даны фрагменты (подмножества) для множеств Gj и Kj (j=2) и соответствующие их элементам значения B-энтропии. Значения элементов этих множеств вычислялись относительно второй орбиты. Как видно из таблицы, значения всех элементов множества Gj больше единицы (условие геометрической регулярности - это равенство всех элементов единице), что говорит о фрактальных свойствах пространственной структуры потока орбит группы 7. Логические аналогии для элементов множества Kj (условие однородности геометрии потока - это равенство всех элементов нулю) указывают на то, что «дырявая» пространственная геометрия потока траекторий обладает неоднородной плотностью. На основе элементов пятого столбца была определена орбита, которая является центром притяжения потока, то есть относительно нее наиболее плотно сгруппированы орбиты тел группы. Элементы этой орбиты на момент наблюдений имеют следующие значения: a = 2,211545 a.e., i = 7,50626°, e = 0,5894668, ю = 123,26392°, Q = 313,24332°. Этот этап обработки и анализа данных в логической цепочке информационных технологий позволяет получить оценки количественной меры фрактальной природы и фрактальной геометрии потока орбит рассматриваемой группы тел, а также определить центр потока.
110
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 2 (110), 2015
Второй этап в логической цепочке информационных технологий обработки и анализа - пространственное представление и описание распределения малых тел исследуемой группы в локальной области гелиоцентрической прямоугольной системы координат. Покажем результаты, получаемые на этом этапе, на примере объектов-тел группы 1. Разбиение объема, в котором локализованы тела на момент наблюдения, определяется ограниченной трехмерной решеткой Z следующего масштаба: по оси X - 15 узлов, по оси Y - 14, по оси Z - 12. Процедура пространственной кластеризации на решетке Z позволила получить следующие результаты. Во-первых, был выделен 31 кластер: один кластер типа перколяционного фрактала и тридцать - типа фрактального агрегата. Размер перколяционного фрактала составлял 473 узла, а размеры фрактальных агрегатов варьировались от одного до нескольких узлов. Во-вторых, перколяция обнаружена в плоскости XOY. В-третьих, степень заполнения узлов решетки Z3 составляла в пределах 21 %: в окрестности 18 % занимал перколяционный фрактал, а остальное -фрактальные агрегаты. Аналогичные расчеты для тел группы 7 с теми же размерами решетки Z3 показали следующие результаты: не было обнаружено ни одного перколяционного фрактала, а только кластеры типа фрактального агрегата в количестве 31 (размеры от 1 до 9 узлов), то есть объекты этой группы не образуют компактные пространственно-протяженные образования.
Процессы перколяции малых тел на узлах решетки Z достаточно полно отражают и описывают пространственную и эволюционную связанность этих объектов на их орбитах. Эти процессы наиболее характерны для объектов группы 7, указывая на то, что пространственно-временная геометрия этих объектов в пространстве возможных состояний имеет фрактальную природу, тем самым определяя тип их фрактальной динамики. Для этого типа динамики характерна наиболее нерегулярная пространственно-временная фрактальная геометрия. Такой геометрией с небольшими пространственно-временными масштабами обладают малые тела типа метеорных тел и ряда других. Фрактальная агрегация в пространстве возможных состояний наиболее ярко проявляется в других группах малых тел. Такие фрактальные структуры отражают другой тип фрактальной динамики, проявляемой в различных пространственно-временных масштабах фрактальной геометрии по-разному: при больших - более регулярный, а при небольших - менее регулярный тип динамики (см. таблицу).
Результаты обработки и анализа данных наблюдений для групп малых тел, обозначенных выше, позволяют сделать ряд выводов и обобщений. Во-первых, разрабатываемый подход к обработке и анализу больших потоков астрономиче-
ских данных на основе когнитивных технологий раскодирования скрытой в них информации является перспективной и уникальной парадигмой в области разработки информационных технологий нового поколения для широкого класса задач современной астрономии. Во-вторых, потоки данных астрономических наблюдений можно обрабатывать, используя различные процессы и методы теории фракталов и генетических данных как для получения совокупностей и популяций выборочных данных, так и для их анализа. Эти методы и процессы отражают и определяют особенности получаемых оценок фрактальных мер и размерностей, а также область применения выводов, которые можно сделать на основе этих данных. В этом случае используются два типа выборочности - генетическая и статистическая. Статистическая вы-борочность связана с определением пространственных масштабов решетки Z3, а генетическая - с распределением информации и объектов на узлах этой решетки.
Значения для элементов множеств Gj и Kj (j=2)
и соответствующие этим элементам значения Б-энтропии
Gj и Kj (j=2) set elements values and corresponding Б-entropy values
Номер орби- ты В-энтро- пия Элементы множества Gi Элементы множества Kj Элементы множества Sорб
1 0,47507310 1,2494696 0,20632162 0,026309688
2 0 1 0 0,036631284
3 0,43012814 1,2460074 0,18680227 0,033831022
4 0,48075796 1,2096293 0,20879053 0,025871072
5 0,50522353 1,1657263 0,21941579 0,028186163
6 0,40580407 1,2416164 0,17623847 0,036397821
7 0,49851024 1,1521853 0,21650024 0,026056471
8 0,45286850 1,2466675 0,19667829 0,022999356
9 0,44742281 1,1198819 0,19431325 0,030783722
10 0,48236628 1,2204674 0,20948901 0,026293156
11 0,48084950 1,2688664 0,20883028 0,022580209
12 0,50089544 1,2177231 0,21753612 0,031327647
Фрактальная теория информационных технологий обработки, анализа и классификации больших потоков данных является, с одной стороны, логической основой и математическим аппаратом построения нового формализма раскодирования информации, скрытой в этих потоках данных, получения новых знаний и выявления причинно -следственных закономерностей. А с другой - эта теория образует логическую и математическую основу методологии построения когнитивных технологий обработки, анализа и классификации потоков данных нового поколения, когда информационный объект не исследуется в рамках какой-либо модели или схемы, а выстраивается логическая схема интеллектуальной технологии в виде: факты, закономерности и реальность. В настоящее время классические и традиционные теории обработки данных наблюдений или измерений не обладают ни логическим, ни математическим аппа-
111
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 2 (110), 2015
ратом построения интеллектуальных технологий в виде обозначенной схемы, когда условия интеллектуальной среды обусловлены модельной и алгоритмической замкнутостью, ограничениями, обменом и неопределенностью.
Литература
1. Гусева И.С., Лих Ю.С. Статистический анализ орбит комет // Изв. ГАО РАН. 2012. № 220. С. 219-224.
2. Кочетова О.М., Кузнецов В.Б., Медведев Ю.Д., Шор В.А. Каталог элементов орбит нумерованных астероидов ИПА РАН // Изв. ГАО РАН. 2012. № 220. С. 255-258.
3. Малкин З.М. Некоторые результаты статистического анализа определений галактического расстояния Солнца // Изв. ГАО РАН. 2012. № 220. С. 401-406.
4. Брюно А.Д., Варин В.П. О распределении астероидов по средним движениям // Астрономический вестник. 2011. Т. 45. № 1. С. 334-340.
5. Мышев А.В. Метрологическая теория динамики взаимодействующих объектов в информационном поле нейросети и нейрона // Информационные технологии. 2012. № 4. С. 52-63.
6. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 254 с.
7. Павлов А.Н., Онищенко В.С. Мультифрактальный анализ сложных сигналов // УФН. 2007. Т. 7. № 8. С. 859-876.
8. Емельяненко В.В., Нароенков С.А., Шустов Б.М. Распределение околоземных объектов // Астрономический вестник. 2011. Т. 45. № 6. С. 512-517.
9. Гафтонюк Н.М., Горькавый Н.Н. Астероиды со спутниками: анализ наблюдательных данных // Астрономический вестник. 2013. Т. 47. № 3. С. 213-220.
10. Нароенков С.А. Хранение и обработка астрометрических и фотометрических данных об АЗС: настоящее и будущее в России // Космические исследования. 2010. Т. 48. № 5. С. 467-470.
11. Альвен Х., Аррениус Г. Эволюция Солнечной системы. М.: Мир, 1979. 512 с.
DOI: 10.15827/0236-235X109.108-112 Received 10.12.14
FRACTALTHEORY OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF PROCESSING, ANALYSIS AND CLASSIFICATION OF LARGE ASTRONOMICAL DATA FLOWS Myshev A V., Ph.D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, [email protected] (Obninsk Institute for Nuclear Power Engineering of the National Research Nuclear University "MIPhI",
Studgorodok 1, Obninsk, 249040, Russian Federation)
Abstract. The paper considers new approaches for constructing models and logic algorithms and procedures of information technologies of processing, analysis and classification of large astronomical dataflow of small bodies’ orbits and trajectori es. The author based the methodology for constructing such models and schemes on fractal theory for constructing estimates of proximity and connectivity criteria of orbits and trajectories in the space of possible states. Logical, algorithmic and informative essence of methods and techniques of the theory is as follows. First, processing and analyzing data flow of orbits to determine whether it forms a fractal structure. If yes, it is necessary to identify centers of flow fractal connectivity and obtain estimates of the index of orbits or trajectories information connectedness. Second, selection of monofractal structures in the stream and their classification according to belonging to percolating fractal or fractal aggregate classes.
In contrast to traditional methods, fractal theory of information technologies of processing, analysis and classification of large dataflows allows taking into account the properties of regular and irregular structure of the dataflow information state space scale as well as dynamic information and their relatedness. Formalism and logics of this theory allow fuller decoding the information that is hidden in dataflows of astronomical observations or measurements. In this case, we receive more complete and informative undeformed semantic information picture of the research object, which allows giving more complete description of the mathematical and logical space of possible states of the objects observed in the trajectories of their evolution in terms of closure, restrictions, exchange and uncertainty. On the other hand, it allows giving a mathematical description and the reflection distribution of the observed object in the real three-dimensional space in the local time moments and in the evolutionary development. Methods and approaches of the theory in logical and algorithmic schemes of cognitive information processing technologies and data flow analysis of astronomical observations and modeling results allow reflecting, describing and interpreting them as genetic information that is a carrier of dominant and recessive traits. These features are defined as dominant for an information decoding technology contained in the observational data and modeling results. This approach to a mathematical description and presentation, logical organization and management of observations dataflows and modeling results reveals hidden patterns, which analysis can not be obtained by traditional analyzing methods.
Keywords: connected orbits, fractal measures, fractal dimension.
References
1. Guseva I.S., Likh Yu.S. Statistical analysis of cometary orbits. Izvestiya GAO RAN [News of the Central Astronomical Observatory of RAS]. 2012, no. 220, pp. 219-224 (in Russ.).
2. Kochetova O.M., Kuznezov V.B., Medvedev Yu.D., Shor V.A. A catalogue of IAA RAS enumerated asteroids orbit elements. Izvestiya GAO RAN [News of the Central Astronomical Observatory of RAS]. 2012, no. 220, pp. 255-258 (in Russ.).
3. Malkin Z.M. Some results of statistic analysis of the Sun galactic distance estimation. Izvestiya GAO RAN [News of the Central Astronomical Observatory of RAS]. 2012, no. 220, pp. 401-406 (in Russ.).
4. Bryuno A.D., Varin V.P. On Asteroid Distribution. Astronomicheskiy vestnik [Solar System Research]. 2011, vol. 45, iss. 4, pp. 323-330 (in Russ.).
5. Myshev A.V. Metrological Theory of Dynamics of Interaction Processed in Informational Field of Neural Networks. Informatsionnye tekhnologii [Information Technologies]. 2012, no. 11, pp. 52-61 (in Russ.).
6. Feder E. Fraktaly [Fractals]. Moscow, Mir Publ., 1991, 254 p.
7. Pavlov A.N., Onishchenko V.S. Multifractal analysis of complex signals. UFN [Physics-Uspekhi (Advances in Physical Sciences)]. 2007, no. 8, pp. 819-834.
8. Emelyanenko V.V., Naroenkov S.A., Shystov B.M. Distribution of the Near-Earth Objects. Astronomicheskiy vestnik [Solar System Research]. 2011, vol. 45, no. 6, pp. 498-504.
9. Gaftonyuk N., Gorkavy N.N. Asteroids with Satellites: Analysis of Observational Data. Astronomicheskiy vestnik [Solar System Research]. 2013, vol. 47, no. 3, pp. 196-203 (in Russ.).
10. Naroenkov S.A. Storing and Processing Astrometric and Photometric Data on NEA: Current State and Future in Russia. Kosmicheskie issledovaniya [Cosmic Research]. 2010, vol. 48, no. 5, pp. 455-459.
11. Alfven H., Arrhenius G. Evolution of the Solar System. 1976, 599 p. (Russ. ed.: Moscow, Mir Publ., 1979, 512 p.).
112
