CC BY
11
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Логунов А.С., Московских А.О., Упырь Р.Ю.
УДК 65-52
ФОРМЫ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ И ЗАДАЧИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЗАЩИТЫ ОТ ВИБРАЦИЙ_
Виброзащитная система (ВЗС) является эффективной, если она уменьшает интенсивность колебаний в рамках тех задач, которые ставятся в отношении объекта защиты. По-су-ществу, действие ВЗС как таковой сводится к созданию и реализации управлений [1,2]. Последние реализуются введением дополнительных связей, физически представляющих собой дополнительные элементы различной сложности пассивной или активной природы, создающих соответствующие динамические (корректирующие) воздействия. Сравнивая значения необходимого параметра вибрационного поля до и после введения управлений, можно определиться с эффективностью виброзащитных средств [3]. В связи с этим возникает несколько задач, решение которых формирует специфичные подходы.
1. Если на определенную механическую систему (рис. 1) действует несколько сил и при этом необходимым является формирование некоторого одного управления, то такой подход может быть реализован с помощью одноосного динамического гасителя или амортизирующего устройства, которое обеспечивает воздействие в выбранной точке, но такое устройство не влияет на основание и не изменяет структуру исходной модели, предоставляя возможности точечного силового воздействия [4].
При учете того, что силаР) приложена в точке Л объекта защиты в заданном направлении, а сам объект движется по закону ), задачей формирования управления в общем случае может быть изменение одного из параметров вибрационного поля, например, перемещения в направлении некоторой другой точки В - zB.
Полагая, что до введения управления движение точки В происходило по закону 2 В ^), запишем
Рис. 1. Принципиальная схема выбора параметров для одноосного амортизирующего устройства
где WAB (p) - передаточная функция — «перемещение по силе» или оператор динамической податливости. Формирование управления требует соответствующих средств (wz) и может быть определено как
P(t ) = -Wz ( p)zB (t), (2)
что означает введение отрицательной связи [4]. Подставляя (2) в (1), получим
Zb ( t) =[1 + Wab (p)Wz (p)]-1 -Sb (t)
(3)
или
где
Zb (t) = Kz(pв (t),
Kz(p) = 1 + Wab (P)wz(P)]-1
(4)
Zb (t) = Sb (0 + WAB (p)P(t)
(1)
характеризует связь между перемещением точки B в системе с управлением через перемещение той же точки в системе без управления, что дает возможность оценить эффективность виброзащиты. Если 2 в (t) = 20 cos rat, то из (3) следует, что
zB (t) = z0 cos(rat +ф) = 2 01 Kz (ira)| cos [ra t + argKz (ira)].
Величина
Ko(ra) = |Kz(ira)| = [1 + Wab (iraWz(i®)]-1, (6)
(5)
Рис. 2. Расчетная (а) и структурная (б) схемы ВЗС с одной степенью свободы
равная отношению амплитуд гармонических процессов zв (£) и 2в (£), называется коэффициентом эффективности на частоте ш [4, 5]. Чем меньше К0(ш), тем эффективнее виброзащита. Такой коэффициент можно выразить через функцию
1(ш) = -20^К о(ю), (7)
показывающую на сколько децибел уменьшается амплитуда колебаний.
Частным случаем описанной постановки задачи является ситуация, в которой управляемым параметром является перемещение zA(í)точки А, совпадающее по направлению с линией действия управления Р((), когда ШАВ (р) совпадает с передаточной функцией ША (р)(или динамической податливостью [6]), тогда
К о(ю) = [1 + ^^а (/ш)]Л
Условие эффективности в этом принимает вид
K 0(ш) = ■
\W'a Ы
W'a (z®)+м
-< 1,
(8)
2. Во многих практических случаях целью управления является уменьшение zв (£), а управление Р(() формируется по перемещению zA (£). В таком случае можно записать, что
Z А V ) А V ) + ^^А ( Р № ) =
= 2 А (I) - ^^А ( Р)Wz ( Р )ZA V)
или
Z А (í) = [1 + ^^А ( Р^г ( р )]-1 2 А (П (9)
где 2 А №) - перемещение точки А при отсутствии управления; ША (р) - передаточная функция «смещение на выходе по отношению к силе» или динамическая податливость объекта защиты в точке А. Так как
Zв (£ ) =2 В V ) + ШаВ ( Р Р(1) =
= 2 В V ) - ( Р )Wz ( Р ^ (£ ), то после подстановки в (9) получим
(10)
zB (t) = 2 B (t) - WAB (p )wz (p)
AB '
-1 ,
{1 + Wa ( p )w z ( p )] 2 A (t).
(11)
Таким образом, чтобы оценить эффективность виброзащиты от введения управления, необходимо знать 2A(t) и 2B (t). При гармоническом воздействии если 2A =2A0 cos ®t,
2 B =2 B 0cos(®t +a)-
z,
jB (t) = 2B0(t)cos(®t +a)-- Re w(zw)2 A 0(t )cos ®t + Im w(rn)2 A 0(t )sin ®t,
где
случае w(i®) = Wab (rnfrz (i®)[1 + Wa (i®)wz (z®)]-1.(12)
Из выражения (12) можно найти амплитуду ZB (t)
где Ш' А = ША (Р) 1- передаточная функция
«сила на выходе по отношению к перемещению на входе» или динамическая жесткость объекта защиты в точке А; (гш)- передаточная функция обратной связи. Из анализа (8) следует, что управление эффективно на тех частотах, на которых |Ш'А (гш)| мало, то есть на резонансных частотах объекта. Это происходит из-за того, что при установке виброзащитных устройств исходная система изменяет значение резонансных частот. Условие (8) выполняется и на тех частотах, на которых | ^ (гш)| становится большим. В общем случае, увеличивая коэффициент усиления в цепи обратной связи, можно увеличивать (гш)| и тем самым повышать эффективность виброзащиты [4,5].
z=
ч
(2 A 0Re w(i®)-2 B 0cos a)
h(2 a0Im МЩ-2 ,
, sin a
)2
(13)
3. Рассмотрим условия эффективности активной виброзащиты объекта массой т сод-ной степенью свободы, связанного с основанием упругим элементом жесткостью с и демпфером с коэффициентом демпфирования Ь (рис. 2а,б), силовым воздействием )и кинематическим возмущением со стороны основания ); на рис. 2.б приведена структурная схема системы.
Задачами изменения динамического состояния объекта защиты (ОЗ) в различных прикладных задачах могут быть:
а) уменьшение перемещения );
б) уменьшение перемещения ОЗ относительно основания у(£);
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
в) уменьшение усилия ЩЩ), действующего на основание.
Предположим, что управляющее воздействие (или управление) Р(Щ) формируется по абсолютному отклонению.
Р(£) = (р)х(Щ). (14)
Запишем уравнение движения ОЗ в виде тх = -(Ьр + с)у + )-(р)х; (х = у +2), (15) откуда получим, что
[Р(Щ)+(Ьр + с )2(Щ)]
х(Щ ) =
[тр2 + Ьр + с+(р)]
(16)
Кх ( р) =
1+-
^х ( р)
тр + Ьр + с
(17)
Кух =
1+
тр + Ьр + с
тр2 + Ьр+с + (р)
-1
(20)
( р)
тр + Ьр + с
К (р).
При кинематическом возмущении (Р (г) - 0) получим
у(Щ) = -тр2(тр2 + Ьр + с)-12(Щ) приwx(р) = 0,
У (Щ) =
-[тр2 + ^ х (р )]2(Щ) [тр2 + Ьр + с+wx (р)]
при wx (р) ф 0
и найдем
Кух =
1 +
Wx ( р )
тр2
1 +-
wI( р )
тр + Ьр + с
(21)
Сравнивая выражения для х(Щ) при wx (р) ф 0 и wx (р)- 0, можно найти оператор Кх (р), характеризующий эффективность виброзащиты
что совпадает с (4), поскольку
^в (р)- ^ (р) - [тр2 + Ьр + с]-1. (18)
Получив из (15) относительное перемещение у(Щ), найдем
(Р(Щ)(р)+тр2 ]2(£))
у(Щ) = \-±-ЦА (19)
1тр + Ьр + с +wx (р)1
откуда следует, что эффективность управления по абсолютномуперемещению, оцениваемая по степени снижения относительного перемещения, зависит от характера динамических воздействий (рис. 2.б). При силовых воздействиях (2(£) - 0) имеем:
у (Щ) = (тр2 + Ьр + с) 1Р (Щ) при w х (р) = 0, у (Щ) = (тр2 + Ьр + с + ^ х (р)) 1 ) при w х (р) ф 0,
Определим динамическую реакцию или усилие, действующее на основание, предполагая, что к основанию приложены силы, создаваемые упругим элементом и демпфером, а также сила - Р(Щ), то есть предполагается, что активное устройство устанавливается между объектом и основанием и воздействует на них с равными силами (действие равно противодействию). В этом случае
Щ) = (Ьр + с )у + ^ х ( р ) = [Ьр + с + w х (р )]Р (Щ) - тр2 (Ьр + с )2(Щ) (22) тр2 +Ьр + с + wx (р)
Таким образом, уменьшение реакции при введении управления зависит от характера внешних динамических воздействий (силовых или кинематических). Если кинематическое возмущение отсутствует, т.е. 2(Щ) = 0, то
Кк (р) =
[Ьр + с+wx (р)](тр2 + Ьр + с) [тр2 + Ьр + с+wx (р)](Ьр + с)
(23)
1+
wx( р )
Ьр +с
1+
wz( р )
тр + Ьр + с
а при ) = 0 (силовое воздействие отсутствует) получим соответственно —
Кк (р) =
1+
wx( р )
тр + Ьр + с
= Кх (р). (24)
Аналогичным образом может быть оценена эффективность управления по относительному перемещению
Р(Щ) = -Жу (р )у(Щ), (25)
что дает:
Ку ( р ) при ) = 0
Кху ( р ) = Г1 + при 2(Щ) = 0
1+
WУ(р)
тр + Ьр + с
wy(р)
Ьр +с
1 +-
wy(р)
тр + Ьр + с
(26)
(27)
Рис. 3. Расчетные схемы установки одноосных амортизаторов: а) свободный объект; б) объект, прикрепленный в т. А; в) амортизатор установлен между объектом и основанием
Кху ( Р ) =
1+-
( Р )
(28)
тР + ьр+с
Кк (р) = Ку (р) при Р(£) = 0, (29)
■■-1
Кк (р ) =
1+-
( Р)
тр + Ьр + с
при 2(£)=о. (30)
4. Если в п.п. 1, 2, 3 рассматривались ВЗС, в которых с помощью обратных связей формировались дополнительные (управляющие) усилия, обращающиеся в нуль при отсутствии обратной связи (занулении при отсутствии сигнала), то вопрос об учете противодействий предполагает расширение исходных позиций. Для изучения возможностей одноосного дополнительного устройства рассмотрим вначале (рис. 3.а) свободный объект, на который действуют силы ..,Рк, а 2(1) - является перемещением точки А объекта защиты. Будем полагать, что в точке А в дальнейшем будет приложена реакция от дополнительного управляющего устройства. Рассмотрим далее тот же объект, но уже прикрепленный в точке А к основанию (рис. 3.б). При этом в точке крепления возникает сила Я(£), приложенная к объекту и сила -Я(£действующая на основание. Перемещение точки А, как точки амортизируемого объекта, можно определить, используя суперпозицию.
Л(£)= 2(£)+ША (р )Я(£). (31)
Вместе с тем, так как точка принадлежит основанию, получим
Л(£) = -Ш>( Р )Я(£), (32)
где Ш0(р)- передаточная функция основания в точке крепления «перемещение по отношению к силе» или динамическая податливость. С учетом (1) и (2) можно, в конечном итоге, установить, что
2(£) = -[Ш,( р)+ша (р)]Я(£). (33)
В этом случае будем полагать, что между объектом и основанием (рис. 3.в) устанавливается дополнительное устройство (амортизатор), обладающее линейными свойствами. Пусть zA (£) - перемещение точки А амортизируемого объекта, Я'(£) - реакция амортизатора в тойже точке, zC (£)и 0(£)- перемещение точки основания и сила, приложенная в этой точке к основанию, при этом:
z а =2(£) + Ша (Р)Я'(£), (34)
Zc = Ш0( р )0(£). (35)
Используя свойства и соотношения для четырехполюсников [4,7], запишем
Я' = У 11( Р^А +У12 (Р^С , } О = У 21 ( Р ^А +У 22 ( Р ^С А
(36)
где у 11, у 12, у 21, у 22 - соответствующие передаточные функции системы.
Из (36) после исключения переменных Я', zA, zc и 2 (привлекая (33)-(35)), получим
[Ша (Р) + Ш 0( Р )]у 21 ( р )•
О(£) = -
[1 -у 22 ( Р )Ш0( Р )][1 -у 11( Р )Ша ( р )]-•
'т = Ко (р )Я(£).
•-у 12 ( Р )у 21 (Р )Ш0( Р)Ша ( Р)
(37)
Оператор КО (р), связывающий усилие О(£) с усилием Я(£), характеризует эффективность амортизатора как устройства, уменьшающего силу, действующую на основание. Поскольку zc(£) связано с Я(£)и О(£) соотношениями (32) и (35), тот же оператор КО (р)определя-ет эффективность амортизатора и по перемещению точки С основания, то, в физическом смысле, КО (р) соответствует коэффициенту передачи усилия или перемещения между точками, то есть КО (р) является передаточной функцией ШАС (р) - "смещение на входе по отношению к смещению на выходе". Из (37)
-1
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
можно получить выражение для передаточной функции, характеризующей эффективность влияния одного амортизатора по срав-нениюсдругим. Если у 0 (р )и у (р)- операторы,
определяющие свойства сравниваемых дополнительных устройств, то
Ко ( р)_
К;< р)=КО (р)
У 21 [(1 -У 22 Щ )(1 -у?1 Щ )-у02 у 01 щ щ ] У 21 [(1 -У 22^0 )(1 -У11 Щ )-у12У 21 ЩЩ ] . В частности, будем полагать, что Я' = -О = -w( р)(Zл - zc )
(38)
(39)
и
У 11( р ) =У 22 ( р ) = -w( р ), У12 ( р ) = У 21 ( р ) = И р * (40) тогда после подстановки (40) в (39), получим
Л (р) + ™ 0( р)
Ко (р)=-О л (р) + Щ 0( р) + ^ р)
Например, при w(р) = Ьр + с найдем
ЩА (р) + Щ0( р)
(41)
Ко (р)=-
Щ (р) + Ш 0( р)-
1
Ьр +с
(Ьр +с)[Щ (р) + Щ,( р)] 1 +(Ьр + с)[Шл(р) + Щ0(р)] .
5. Если известен закон движения основа-нияу(г), как показано на рис. 4.а, тогда перемещение точки С основания после присоединения объекта защиты (рис. 4.б) может быть найдено из соотношений
2(г)=у(г) - ш0( р)щг),] ад = Щ (р)Я(г), I
(42)
где Шс (р) - передаточная функция: «смещение по отношению к силе» или динамическая податливость в точке С. Исключая Я(г), найдем
2(г) = Щ(р)[Шл(р)+Щ,(р)]-1 у(г). (43)
Если между объектом и основанием имеется амортизатор (рис. 4.в), то
zл (г) = Щ (р )Я'(г), Zc (г)=у(г)+ш0( р )О(г).
(44)
ти; 1 " 01
Исключив zc, у, Я' и О из (43), (44), (36), получим
У12 (р)[Шл (р) + Щ,( р)]
zл (г) =
[1 -У 11( р )1л ( р )][1 -У 22 ( р Щ0( р)]-' 2(г) = К (р )2(г).
(45)
'-у 12 ( р)у 21 (р)Щ 0( р )Щ ( р)
Оператор К2 (р), связывающий перемещение точки Л объекта до и после установки амортизатора, характеризует его эффективность. Если использовать соотношение (40), то
Щ (р) + Щ0( р)
К (р ) =
Щл (р) + Щ0( р) + w-1( р)'
(46)
6. Пусть между объектом и основанием находится простейший амортизатор (рис. 5), для которого w = Ьр + с, тогда из (46)
w (р)
К (р ) =
ё( р)+w (р)
где
(47)
(48)
¿( р) = [Щ (р) + Щ0( р)]
Если принять d(/ю) = ц(ю) + г\(ю), то получим К 0(ш) = |Kz (ю)| =
с2 + Ь2 ю2
[ц(ю)+с] +[\(ю)+Ью]'
(49)
коэффициент эффективности амортизатора на частоте ю. При слабом демпфировании
Рис. 4. Расчетные схемы взаимодействия при известном законе движения основания: а) точка С движется по закону б) перемещение точки С после жесткого присоединения объекта; в) между точками А и С устанавливается амортизатор
Рис. 5 Расчетная схема амортизации объекта
в объекте, основании и амортизаторе коэффициент К0 принимает наибольшее значение (эффективность наименьшая) на тех частотах шр, на которых
ц(шр )+c = 0
то есть на резонансных частотах системы «объект + основание + амортизатор». Для того, чтобы выполнялось условие К0(шр )< 1 необходимо иметь
c2 + Ь 2 ш2 <[у(ш) + Ьш]2
или
c2 < V2 (ш) + 2\(ш)Ьш, (50)
что достигается, если — c < \(ш).
7. Рассмотрим эффективность амортизатора с промежуточной массой (рис. 7). В этом случае
^ + Ьр)^р2 + Ьр + c)
у 11 =у 22 =■
у 12 =у 2
mp2 + 2Ьр + 2c (Ьр + c )2
mp2 + 2Ьр + 2c
К'о (Р) =
(Ьр +c )(2dA +Ьр +c )-
(2dA + Ьр + c) •+mp 2^а + Ьр + c)
(52)
1 +-
mp 2^а + Ьр + c) (Ьр + c )(2dA + Ьр + c)
где dA = р).
Рис. 6. Расчетная схема обычного амортизатора
Условие эффективности на частоте шв общем случае имеет вид
— _1 mш2 [Ь/ш+c + dA (/ш)]
К'о (ш) =
1 —
(Ь/ш+c )[Ь/ш+c + 2dA (/ш)]
< 1.(52')
Раскрывая (52'), после преобразований получим
^ +ц)[c(c + 2ц)+Ь2 ш2 ] + 2г\(Ьш+\)
m >> 2--:-=!-—-, (53)
ш2 [(c+ц)2 +(Ьш+\)2 ]
где ц(ш) = RedA(/ш), \(ш) = 1тdA(/ш).
При слабой диссипации наибольшая величина промежуточной массы требуется для эффективности на тех частотах шр, для которых c+ц(шр ) = 0. Для этих частот из (53) существует условие
Для этих частот из (53) существует условие
(51)
m >
4cv(Шp)
шР [Ьшр +\(шр )]
2 '
(54)
Сравнивая этот амортизатор с амортизатором без промежуточной массы, можно записать
11
у0 = у02 =-ТА(ЬР + c), у02 =у01 = тА(ЬР + c). (51')
Подставляя (51) и (51') в (38) и полагая, что основание является жестким (Ш0 = 0), получим
(Ьр+c)
4c
что выполняется, если m >—.
шР
В амортизаторе, показанном на рис. 7, с промежуточной массой связан динамический
Рис. 7. Расчетная схема амортизатора с промежуточной массой
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
гаситель массы т. Пусть у и р жесткость пружины гасителя и его коэффициент демпфирования. Найдем, что сила, которую создает гаситель
Uit) = mpil^M. z{t), mt p +ßp+у
{55)
действует на промежуточную массу.
Уравнение движения промежуточной массы имеет вид
mp2 z=P-S-U,
{56)
где Р и S - силы, приложенные к этой массе со стороны нижнего и верхнего каскадов амортизаторов.
Подставляя (56) в (55), получаем
т1( у+рр)
S = P - mp2
1 +-
m( m1 p2 +ßp +у)
z,
(57)
откуда следует, что введение динамического гасителя эквивалентно замене в уравнениях движения массы т оператором
т1( у+рр)
m.{ p) = m+- .
mi p2 +ßp +y
Такая добавочная масса
m1{ y+ß/'ю)
(58)
Дт = т,(/ю) - т = - .
у- т1ю2 +р/ю
может дать наибольший эффект на частоте
ю1 =./—; при р = 0 на этой частоте установка га-V т
сителя оказалась бы эквивалентной увеличению массы т до бесконечности. Фактически на этой частоте модуль эквивалентной массы равен
|m,{zQ1 )| =
m? ю1 . m+m -—1—-i
ß
{m + m1)2 + m? Y
ß2 ю?
{59)
= {m + m1)? + m?
m1ra1
nr
При т1 << т существенныйэффект достигается лишь в том случае, если у»рю1, если т1ю1 >>р.
Разнообразие прикладных задач виброзащиты и виброизоляции предполагает детализирование внимания к особенностям введения в ВЗС типовых элементов [2]. Эффективность виброзащитных систем чаще всего определяется сопоставлением двух моделей:
первая из них считается исходной {или базовой) и не содержит специальных устройств, вторая модель выстраивается с учетом дополнительно вводимых средств, обеспечивающих в определенном частотном диапазоне снижение смещений в отдельных точках, уменьшение динамических реакций или создание определенных режимов работы. При переходе к структурным методам динамического синтеза [3] вопрос об эффективности ВЗС при гармонических воздействиях интерпретируется чаще всего через сопоставление соответствующих амплитудно-частотных характеристик.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Елисеев, С.В. Виброзащита и виброизоляция как управление колебаниями объектов / Елисеев С.В., Засядко, А.А. // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Вып.1. ИрГУПС. Иркутск. 2004. С 17-23.
2. Димов, А.В. Обобщение задач виброзащиты и виброизоляции на основе структурных методов математического моделирования / Димов А.В., Елисеев С.В., Хоменко А.П. // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Вып.2{10). ИрГУПС. Иркутск. 2006. С 46-54.
3. Eliseev S.V., Lukyanov A.V., Reznik Yu.N., Khomenko A.P. Dynamics of mechanical systems with additional ties. Publishing of Irkutsk State University of Railway Engineering. Irkutsk. Russia. 2006. 316p.
4. Коловский, М. З. Автоматическое управление виброзащитными системами. М.: Наука. 1976г. 320 с
5. Елисеев, С.В. Структурная теория виброзащитных систем. Новосибирск: Нау-ка.1978. 272 с.
6. Димов, А.В. Моделирование и динамические процессы в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов // Диссертация на соискание уч. степени канд. техн. наук, ИрГУПС, Иркутск. 2005. 183 с.
7. Упырь, Р.Ю. Математические модели механических колебательных систем на основе использования теории четырехполюсников / Упырь Р.Ю., Логунов А.С., Московских А.О., Насников Д.Н. // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Вып. 3{15). ИрГУПС. Иркутск. 2007. С 11-19.
2
2
