CC BY
25
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 10 Выпуск 2 (2009)
УДК 517.588+512.548.2
ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ МЁБИУСА НА АБЕЛЕВЫХ ПОЛУГРУППАХ
© 2009. Е. А. Горин (г. Москва)
Аннотация
Выясняется, на каких локально конечных абелевых полугруппах X с единицей I имеется функция со значениями в коммутативном кольце с единицей, аналогичная классической функции Мёбиуса натурального аргумента.
В отличие от теории Роты такая функция существует не всегда, и существование непосредственно связывается с нулями ("-функции полугруппы в характерах с конечными носителями с одной стороны и характеристикой кольца значений с другой. Для некоторых колец ответ упрощается. Например, целозначная функция Мёбиуса существует тогда и только тогда, когда уравнение x2 = x не имеет в X никаких решений, кроме x = И. Библ. 12.
The Mobius inverse formulas on Abelian semigroups
© 2009. by E.A.Gorin
Abstract
Let Л be a commutative ring with identity element. Given a locally finite Abelian semigroup X with identity element H one may ask if the Mobius-type Л-valued function exists on X. As it is proved in the present paper the existence of such a function often depends on the following property of (function of X: this function has not zeros % such that the support of the character % is a finite subset of X. Z-valued Mobius function exists if and only if x2 = x implies x = I. Bibl. 12.
Key words: Locally finite Abelian semigroup, ideal, idempotent, character, (-functions, algebraic invertibility.
1 Введение
1. Формулы обращения были открыты Мёбиусом в 30-е годы Х1Х-го века. Вероятно, Гаусс их раньше не знал, поскольку Мёбиус учился у Гаусса (наблюдательной астрономии). Впоследствии они переоткрывались, например, П.Л.Чебышевым и Риманом, безусловно независимо, поскольку ни тот, ни другой на Мёбиуса не ссылаются (кстати, Риман не ссылается и на Чебышева, в том числе и по другим поводам, хотя это имя ему было заведомо известно, так как упомянуто в его архиве).
В ХХ-ом веке были найдены многочисленные и разнообразные обобщения,
о некоторых из которых я ниже упомяну, однако мои обстоятельства не позволяют мне заниматься библиографическими изысканиями (да и вряд ли они здесь уместны), хотя это и лишает меня претензий на полную оригинальность.
Классическая функция Мёбиуса есть вещественная функция ц = ц(п) натурального аргумента, принимающая значение (- 1)г, если и есть произведение г попарно различных простых. Кроме того, по определению, ц(1) = 1 и ц(п) = 0, если и делится на натуральный квадрат > 1.
Формулы Мёбиуса распадаются на две пары. Первая пара формул похожа на дискретную свертку Вольтерры, причем формула обращения включает функцию Мёбиуса. Вторая пара получается из первой заменой оператора свертки предсопряженным.
Красивый пример первой пары дает теорема Гаусса: если ф(п) — число обратимых элементов группы Z/(n) (функция Эйлера), то
В этих формулах явно присутствует частичный порядок на множестве N натуральных чисел, при котором т < п означает, что п делится без остатка на т.
Один из вариантов второй пары заключается в следующем. Обозначим через / какую-нибудь (скажем, комплексную) функцию вещественного аргумента Ь >
0, равную 0 при всех достаточно больших Ь. Тогда имеет место эквивалентность:
Классическая функция Мёбиуса тесно связана с классической ^-функцией Римана. Именно,
и
(1\п
п=1
п=1
для суммируемых характеров х, т.е. при условии ^^=1 |х(п)| < то. В частности, при х(п) = п-\ где Яе А > 1, первый сомножитель в качестве функции от комплексного переменного А совпадает с классической ^-функцией.
Заметим, что в формуле (1) характером называется произвольный гомоморфизм из натурального ряда N по умножению в поле комплекс пых чисел {С, х} с «забытым» сложением. Аналогичный смысл будет иметь {Е, х} для произвольного поля Е (пли коммутативного кольца).
Формула (1) означает, что при переходе к характерам ^-функция Римана и функция Мёбиуса становятся взаимно обратными относительно обычного «поточечного» умножения. Именно это обстоятельство служат источником обобщения, которое здесь будет подробно обсуждаться. Наш общий подход среди прочего позволяет совсем просто объяснить изысканность классической мёби-усовой последовательности
1,-1,-1, 0,-1,1,-1, 0,0,1,....
Дело в том, что, по основной теореме арифметики, полугруппа (по умножению) N есть прямая сумма счетного семейства копий полугруппы Z+ неотрицательных целых чисел, а общая функция Мёбиуса, о которой в основном пойдет речь, «функториальна».
2. Среди различных обобщений функции Мёбиуса и формул обращения заметное место занимает теория Роты 60-х годов прошлого века, основы которой описаны в известной книге М.Холла по комбинаторике [1]. У Холла даны примеры и применения теории Роты, ряд других применений к комбинаторике и топологии указан в [2, 3].
В отличие от сказанного выше в схеме Роты исходный объект — частично упорядоченное (ч.у.) множество X с минимальным элементом, удовлетворяю-
ЛА ЛА def с
щее условию локальной конечности: при каждом с £ X множество лс = {ж £ X I х < е} конечно. На X рассматривается алгебра ^ вещественных матриц т, для которых т(а, Ь) = 0 если условие а < Ь нарушается. Среди этих матриц выделяется матрица, инцидентности р, для которой р(а,Ь) = 1, если а < Ь. На К имеет смысл естественное произведение матриц. В теории Роты матрица р называется ^-функцией ч.у. множества X, эта матрица, как оказывается, обратима, и обратная к ней называется функцией Мёбиуса ч.у. множества X.
р
наш взгляд, более прозрачное, чем приведенное у Холла. Заметим, что в теории Роты обе функции становятся матрицами, т.е. функциями двух переменных, так что включение классической ситуации, где речь идет о двух функциях, заданных на различных множествах, требует дополнительных комментариев.
Наш исходный объект — абелева полугруппа X с операцией а х Ь и единицей I. Предполагается, что выполняются следующие условия изолированности
единицы и локальной конечности:
(a) если а х Ь = I, то а = Ь = I,
(b) для каждого е £ X конечно множество {х, у £ X | х х у = е}.
(МС)
Обозначим через Л коммутативное кольцо с единицей 1д- Пусть Е ^свободный Л-модуль на X. Локальная конечность полугруппы X позволяет наделить Е структурой коммутативной Л-^гебры: еели и, •и —функции на X со значе-ЛЛ
умножения рассматривается свертка:
Заметим, что с точки зрения функционального анализа наиболее простым Е
общих распределений на полуоси неотрицательных чисел.
Положим £(х) = 1д при всех х £ X ж £(1) = 1д, 8(х) = 0л если х = I.
Ясно, что £ служит единицей по свертке. Функция Мёбиуса, м на X определяется как решение уравнения
(если решение существует).
Функция Мёбиуса, единственна, (если она существует). Действительно, если £ * м1 = 8 и £ * м2 = £, то применяя обычное рассуждение, получим
Заметим, что в одном частном случае (но зато в некоммутативной ситуации) определение функции Мёбиуса на полугруппе со значениями в Z вместе с некоторым достаточным условием существования появляется в [4], на что среди прочего обратил моё внимание (не известный мне) рецензент первоначального варианта данной работы. В своём месте мы более детально сравним результаты.
3. В этой статье мы опишем довольно обозримые условия существования решения уравнения (2) и поясним на примерах разнообразие возможностей. Чтобы не загромождать формулировки, ниже (во введении) описываются только отдельные результаты.
Л0
разрешимости уравнения (2) служит условие £'(х) = 0 для всех «характеров» X: X ^ {Л, х} с конечными носителями. Здесь (и далее) для и £ Е мы полагаем
£ * м = 8
(2)
М1 * £ * М2 = (М1 * £) * М2 = 8 * М1 = М1 = М1 * (£ * М2) = 8 * М2 = М2.
х&Х
Л=С
С
каким-нибудь кольцом коэффициентом. Однако, вообще говоря, ответ на вопрос о существовании зависит от выбора кольца (или поля), в частности, ^от
Л0
существует или нет одновременно.
Если функция Мёбиуса существует при Л = Z, то она существует и при любом выборе кольца коэффициентов. Критерий существования в случае Z можно сформулировать, как и выше, но с заменой области значений полугруппами {Е, х} с конечными полями Е. Вместе с тем, критерием служит и отсутствие нетривиальных идемпотентов в X (т.е. {в2 = в} ^ {в = !}).
С другой стороны, для нетривиальных циклических (моногенных) X нет целозначной функции Мёбиуса, но для всех простых р, кроме конечного подмножества (зависящего от Са^^)) есть функция Мёбиуса на X со значениями в Z/(p) (если есть Q-знaчнaя функция).
Поскольку речь идет о задаче линейной алгебры, по ходу дела нам приходится рассматривать системы уравнений, матрицы и детерминанты, и в этих терминах формулируются очевидные промежуточные критерии обратимости. Однако, удовлетворительно решить вопрос об обратимости так удается редко. Вместе с тем, такие инструменты играют важную вспомогательную роль, и особенно эффективны в сочетании с рассмотрением максимальных идеалов в полугруповых алгебрах по свертке.
4. В свое время к функции Мёбиуса меня привела необходимость переписать тауберову теорему Караматы на случай, когда вместо ехр(-АЬ) под интегралом стоит 1/ вЬ АЬ: в качестве дополнительных множителей вместо значений Г-функции тогда появляются значения ^-функции, а переход от одного к другому можно реализовать при помощи мёбиусовой процедуры.
А.Р.Миротин обратил моё внимание, что аналогичные конструкции иногда возможны в непрерывном варианте. Например, если рассмотреть правую полуось по сложению, то в качестве «функции Мёбиуса» появляется производная 8
го).
5. В заключение этого затянувшегося введения я хочу остановиться на нескольких терминологических тонкостях.
Как это видно из введения термин «характер» будет пониматься очень широко, и я постараюсь каждый раз пояснять, о чем идет речь.
ЛЕ
зоваться «малый» Л-модуль Т, включающий только функции из Е с конечными носителям,и. Хотя чисто формально второй модуль составляет часть первого, их следует строго различать (подобно пробным и обобщенным функциям). В частности, символы 8 и 8а и т.п. отсылают к Е, а для аналогичных функции в Т мы используем А, Да и т.п.
Как в теории меры на группах или в теориях обобщенных функций, мы будем использовать свертки / *и и и * •и, где f Е Т и и,ь Е Е, определяемые немного по-разному и намеренно по-разному обозначаемые1. Свертка двух элементов из Т, строго говоря, не используется.
Чтобы дать аккуратное определение алгебры над коммутативным кольцом
Л
ние алгебры А с единицей над кольцом Л — это кольцо А с единицей, в центре
Л
ЛА
кает соблазн сказать «Л-^гебра» (или даже «Л-поле», если Л — поле), но это грозит неприятностями (как мне строго заметила Г.М.Цукерман).
Л/
ким образом, Л/-мгебра^ это алгебра над кольцом Л//, где /^ идеал в Л (не совпадающий с Л). Если М — максимальный идеал в Л, то Л/М будет Л/-полем. Л/
2 Полугрупповой квазипорядок
1. Квазипорядок на множестве X — это такое бинарное отношение a < Ъ, что a < а для всех a Е X и a < с, если a < Ъ и Ъ < с. Множество с отмеченным квазипорядком называется квазиупорядоченным. Такое множество является частично упорядоченным, если дополнительно a = Ъ, тогда a < Ъ и Ъ < a В общем случае мы будем писать a ^ Ъ, если одновременно a < Ъ ж Ъ < a.
XX док (п.к.) в соответствии с правилом: a < Ъ тогда и только тогда, когда Ъ = a х x при некотором x Е X. Кстати, при натуральном n для элемента
/у \У /у \У \У /у
tv /\ /\ • • • /\
4------^------'
га раз
используется и обозначение xn.
В основном нас будет интересовать п.к., однако следующая лемма, несомненно известная специалистам, относится к общему случаю. В этой лемме А* — группа обратимых элементов кольца Л и S(X) — группа перестановок мно-X
отступление от «генеральной линии», позволяющее, в частности, при желании немного упростить построение основ теории Роты.
Лемма 1. Пусть X — конечное квазиупорядоченное множество и т —такая, матрица на X ф X со значениями в Л, что т(a, Ъ) Е Л* только при a < Ъ.
1 Последовательный формалист различал бы области определения функций из E и F
Пусть п Е Б (X). Если
]^[ т(х, п(х)) Е Л*,
то х ^ п(х) для всех х Е X.
Доказательство. Так как {Л, х} — коммутативная полугруппа (по умножению), то из обратимости произведения вытекает обратимость каждого из сомножителей. Следовательно, при каждом х Е X элемент т(х,п(х)) обратим. По условию тогда х < п(х), так что х < п(х) < п(п(х)) < .... Так как п имеет конечный порядок, то получается, что х < п(х) < х. □
Из леммы 1 вытекает
Лемма 2. Пусть X — конечное ч. у. множество ит — такая матрица, что т(а,Ь) = 0л только при а < Ъ. Тогда det(т) = ПХ&х т(х,х) и, следовательно, т т(х, х) Е Л*
Лемма 2, в частности, влечет за собой в случае частичной упорядоченности обратимость матрицы р при любом кольце коэффициентов.
2. В дальнейшем для краткости мы будем считать, что отмеченные во введении (МС) условия выполнены (если противное явно не оговаривается).
При а,Ь Е X обозначим через а = а(а, Ь) число решений х Е X уравнения а х х = Ь
Заметим, что даже в очень простых ситуациях матрицы ржа могут принципиально различаться.
ПРИМЕР 1. Пусть X = {I,-1,1}. Здесь {±1} — подгруппа целых чисел по умножению и И - присоединенная единица полугруппы. Таблица Кэли очень проста, и мы получаем
Здесь det(р) = 0 и det(а) = 3. Легко видеть, что (полугрупповая) функция Мёбиуса в данном случае существует, в частности, для всех простых полей, кроме 2/(3).
Если «укоротить» исходную полугруппу до X = {1,1}, то матрица р станет обратимой, тогда как det(а) = 2 так что над полем 2/(2) (полугрупповой)
□
х £ X.
□
3 Дальнейшие предварительные замечания
1. Пусть с единицей I. Подмножество I С X называется
идеалом, если I Е I и X х I = I. Отметим, что понятие идеала в полугруппе заметно отличается от понятия идеала в кольце. Например, в кольце 2 целых чисел числа, делящиеся на 3 или на 5, идеала не образуют, однако, если забыть про сложение, то такие числа составят идеал.
Идеал I называется простым, если из х х у Е I вытекает, что хотя бы один из элементов «и у принадлежит I.
Если I — простой идеал, то X \ I называется простым дополнением. Простое дополнение У — подполугруппа с той же единицей I, обладающая следующим свойством: если х х у Е У, то х Е Ужу Е У. Каждое прямое дополнение является простым дополнением.
Пусть У — простое дополнение в X ж и, V Е Е(X). Тогда из определений следует, что (и|У) * ^\У) = (и * v)|Y. В частности, сужение функции Мёбиуса на простое дополнение — функция Мёбиуса этого дополнения. В этом утверждении прямое дополнение, вообще говоря, нельзя заменить подполугруппой (см. пример 1).
2. Элементы х1,х2 Е X будем называть независимыми, если существуют такие подполугруппы X1, X2 С X, что X = X1 х X2, причем х1 Е X1 и х2 Е X2.
Функция V на X со значениями в какой-нибудь полугруппе называется слабо мультипликативной, если V(х1 х х2) = V(х1) х V(х2) для каждой пары х1,х2 независимых элементов.
Лемма 3. Функция Мёбиуса прямой суммы есть (мультипликативная) прямая сумма функций Мёбиуса слагаемых. В частности, функция Мёбиуса слабо мультипликативна.
Мы опустим доказательство, заметим только, что существование функции Мёбиуса на прямой сумме эквивалентно существованию функций Мёбиуса на
□
3. Непосредственно из определения вытекает
Лемма 4. Если функция Мёбиуса существует, то её значения {р(а)} составляют единственное решение системы уравнений
Обратно, если систем,а (3) разрешима, то компоненты, решения суть значе-
ПРИМЕР 2. Пусть } ^счетное семейство попарно не пересекающихся полугрупп, каждая из которых изоморфна аддитивной полугруппе 2+ неотрицательных целых чисел. Полугруппа 2+ — один из тех немногих примеров, когда система (3) легко решается и, по лемме 4, получается, что в этом случае
(Ь Е X).
(3)
а£Х
ния функции Мёбиуса.
□
ц(0) = 1, ц(1) = —1 и р(п) = 0 при остальных п > 2. Конечно, это эквивалентно тому, что элементы ряда
ао + а1 + а2 + ...
представляются в виде вп — вп-1, п > 1, через частичные суммы. Прямая сумма полугрупп Xk изоморф на N так что из леммы 4, в частности, сразу извлекается классическая функция Мёбиуса для N (а её внешняя экзотичность исчезает).□
4 Общие критерии
1. При / Е Т и и Е Е мы определяем свертку / -к и Е Т равенством
(/*и)(х) = X! /(х х у)и(у).
у&х
Легко видеть, что определение корректно.
При фиксированном с Е X положим
X,, == {х Е X \ х < с.}
Заметим, что Xc — один из наиболее важных объектов в данном тексте. Пусть и Е Е и пусть Ти: / ^ /*и. Тогда Ти(Т) С Т. Более того, Ти(Тс) С Тс при каждом с Е X, где Тс == {/ Е Т \ вирр(/) С Xс}.
Непосредственно из определений вытекает, что отображение и ^ Ти является Л-линейным, биективным и, кроме того, Ти*у = ТиТ-и для каждой пары и^ Е Е. Иначе говоря, семейство операторов {Ти} составляет алгебру А, изо-Е и Ти
Ти
когда обратимы, все его сужения Ти\Тс.
Замечание. С точки зрения функционального анализа здесь наблюдается довольно редкое явление: редукция обратимости к «конечномерной» ситуации. Для Л = С это вроде бы снимает проблему обратимости: достаточно взять детерминант матрицы оператора и проверить, что он не нулевой. Но это иллюзия, поскольку придется просмотреть, вообще говоря, необозримое семейство. Другой путь — включить максимальные идеалы и характеры. Поскольку (как мы увидим) в данном случае за обратимость будут отвечать финитные характеры, а последние зачастую легко описать, такой путь может оказаться более предпочтительным. Однако лучше всего сочетать оба подхода, особенно в случае
□
ЕЛ
Т
(и,/) = ^ и(х)/(х)> (и еЕ,/ еТ). хеХ
По оператору Ти составим мат рицу ти с элементам и из Л,
Ти(а,Ь) = (6а,ТУАЬ), (а, Ь Е X).
Если и = £, то легко получается, что
т£(а, Ь) = а (а, Ь) ■ 1А.
При с Е X положим
^(Ти) == det(тu(a, Ь)\а,Ь<с).
Следующее очевидное предложение оформляется в виде леммы исключительно для удобства ссылок.
Лемма 5. Оператор Ти, а вместе с ним и элемент и Е Е будут обратимыми тогда и только тогда, когда, йс(ти) Е Л* при каждом с Е X. □
Из сказанного выше и этой леммы сразу вытекают арифметические условия существования функции Мёбиуса. Например, при Л = 2 обратимы только ±1, так что все детерминанты должны, принимать одно из этих значений. Для теории Роты такой ответ является вполне удовлетворительным поскольку для матрицы инцидентности р, как мы видели2 (лемма 2), это условие выполняется. Однако, в а-ситуации такое «решение» нельзя назвать удовлетворительным. Другое дело, что этот очевидный факт, как мы уже отмечали, оказывается полезным в комбинации с другими.
2. В дальнейшем следует иметь в виду естественные вложения X, Л С Е, при которых а ^ 6а и Л ^ Л6. Заметим, что обе инъекции сохраняют операции.
Следующую лемму, которая придаст формулировкам большую простоту, легко извлечь (как мне объяснили специалисты) из хорошо известных фактов (см., например, [6, Предложение 2.4]). Однако, чтобы не нарушать стиль изложения, я приведу элементарное прямое доказательство.
Лемма 6. Пусть Р — поле и Л — подкольцо в Р с той же единицей. Предположим, что относительно естественных операций Р является конечно поЛЛ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По существу мы проведем индукцию по «размерности» РЛ
По предположению, каждый элемент / Е Р имеет (быть может, не единственное) представление
/ = Л0е0 + Л1е1 + ... + Лпеп
с некоторыми фиксированными элементами ек Е Р и целым п > 0. При п = 0 имеем е0 = Л0е0, так что Л = Р.
2 И как давно известно.
п
отметим какой-нибудь соответствующий набор [еь}. Мы утверждаем, что тогда соотношение
^оео = ае + а2е2 + ... (4)
с а0 = 0 не возможно. Действительно, допустим, что такое соотношение есть. Пусть / Е Р. Так как а0 = 0, то / = а0д с некоторым д Е Р, для которого
д = Лоео + Л1е1 + ... + Лпеп
при подходящих Ль Е Л. Умножим последнее равенство слева и справа на а0 и заменим справа а0е0 по формуле (4). Тогда мы получим укороченное представ/п Таким образом, при минимальном п (и фиксированных еь) представление единственно. Теперь мы можем написать представление для /е0 вместо / и разделить слева и справа на е0. Этот трюк позволяет считать, что е0 = 1. 0=ЛЕЛ
Л 1 = Л0 + Л1е1 + ... + Лпеп>
так что
1 = ЛЛ0 + ЛЛ^1 + ....
Поскольку представление единственно, справа останется только первое слагае-ЛЛ0 = 1 □
Теперь мы фиксируем с Е X и рассмотрим Л-^гебру Ас операторов А = Ти\Тс. Заметим, что в качестве Л-модуля алгебра Ас является конечно порожденной, поскольку в определении свертки /-ки суммировать достаточно по у < с, так что в определении оператора А можно сначала взять сужение u|Xc (т.е. при построении алгебры Ас использовать только функции и, сосредоточенные на Xc).
В соответствии с общими принципами, А Е Ас будет обратимым в Ас тогда и только тогда, когда А Е М для всех максимальных идеалов М С Ас, не совпадающих с Ас.
Обозначим через ф сквозной гомоморфизм
Е ^ А ^ Ас ^ Ас/М = Ес.
Ясно, что Ес является Л/-полем и конечно порожденным модулем над Л/кольцом ф = ф(Л) С Ес. По лемме 6, факти чески ф являете я Л/-полем, а Ес — его конечным расширением.
3. В следующем ниже построении биективного соответствия, аналогичного хорошо известным многочисленным фактам для групп, нет ничего неожиданного.Мы сохраняем введенные выше обозначения.
Так как при сквозном (Л-линейном) гомоморфизме ф элемент и Е Е проводится через Ас, то ф(и) = 0 только при условии вирр(и) ПХс = 0. Иначе говоря, 8Ирр(ф) С Хс-
Пусть х(х) == ф($х)- Ясно, что х: X ^ {Ес, х} ^характер, причем снова
8ирр(х) С Хс-
Лемма 7. Формула х(х) = ф(&х) устанавливает биективное соответствие между характерами х: X ^ {Ес, х} и Л линейными гомоморфизмами ф, причем, и(х) = ф(и), для каждого и Е Е.
Доказательство. Имея характер х: X ^ {Ес, х} с конечным носителем,
ф
ф(и) = X! и(х)х(х)-
хеХ
Лф
Проверим мультипликативность. В приводимой далее выкладке нет ничего
х
написать формулы, в которых суммирование идет формально по всем значениям переменных, хотя фактически — по конечному подмножеству (и это тоже стандартный трюк. Пусть и,у Е Е. Тогда
ф(и * V) = ^2 х(х)(и * v)(x) (по определению)
х€Х
= Е х(х) и(а)у(Ь) (по определению свертки)
х£Х ахЬ=х
= х(а)и(а)х(Ь)ь(Ь) (так как х^характер),
х£Х ахЬ=х
и окончательно,
ф(и * ^ = {X! х(а)и(а)} • {X! х(ЬМЬ)}
аеХ ЬеХ
= ф(и) • ф(^.
Отметим, что
и(х) = ^ х(х)и(х) = ф(и).
х£Х
□
Следующая теорема — прямое следствие двух последних лемм и общих алгебраических соображений.
Теорема 1. Элемент и Е Е тогда и только тогда обрат им, когда и(х) =
0
конечном расширении Л/-полей. □
4. Формулировка, разумеется, упрощается, если кольцо коэффициентов обладает дополнительными свойствами, например, является алгебраически за-
0
исходить за счет специального выбора и. Например, в проблеме обратимости е полезно сочетаются леммы 4 и 5 с теоремой 1, так как каждая из матриц а(а,Ь) является целочисленной.
Теперь мы переходим непосредственно к проблеме существования функции Мёбиуса. Мы увидим, что из приведенных выше почти тривиальных лемм вытекают некоторые не вполне очевидные, но вполне содержательные утверждения.
Каждое поле Л характеристики 0 содержит копию поля Q рациональных чисел и, допуская некоторую вольность, мы будем считать в этих случаях, что
о с Л.
Следствие. Функция Мёбиуса на X существует или нет одновременно для всех полей характеристики 0, и её значения принадлежат О. Условие и(х) = 0 достаточно проверять для финитных характеров х: X ^ {С, х}.
Действительно, если функция Мёбиуса существует при каком-нибудь из указанных полей, то, по лемме 5, при каждом с Е X выполняется условие ёе1(а(а, Ь)) = 0, где а,Ь < с.
Это означает, что система уравнений для определения значений функции Мёбиуса разрешима в О □
Замечание. Если функции Мёбиуса на X нет над О, то хотя бы одна из матриц а(а, Ь) вырождается, а тогда функции Мёбиуса нет и ни над каким кольцом. Очевидно, что кольцо Ъ играет противоположную роль («если есть, то есть»).
Аналогично обстоит дело в случае полей характеристики р > 0. В этом случае роль О переходит к простом у полю Ер, а значения пробных характеров берутся из всевозможных полей Ед, где q = рп.
Более того, не считая возрастающей сложности вычислений для предъявления функции Мёбиуса, не сложнее разобраться с кольцами конечной характеристики т > 2. Вместо простых полей в качестве области значений теперь появляется кольцо вычетов Ъ/(т), а в качестве значений пробных характеров—элементы всевозможных полей Ед, где q = рп и р\т.
За пределами этого списка остается необозримое множество возможных значений колец коэффициентов. По разным причинам наиболее важным из них является кольцо Ъ всех целых чисел. Поэтому мы посвятим этому кольцу от-ДбЛЬНЫИ рэздбл.
5. Мы начнем с нескольких замечаний, первое из которых представляет
Лемма 8. Если X-конечная полугруппа из т > 2 элементов, то на X нет Ъ значной функции Мёбиуса.
Доказательство. Пусть х^главный характер (совпадающий с е). Тогда е:'(х1) = т. Если целозначная функция Мёбиуса существует, то это число не
имеет простых делителей. Однако т > 1.
□
Следующее утверждение вытекает из исследований Фробениуса конца XIXго века: каждая конечная полугруппа содержит нетривиальный идемпотент
Будем говорить, что в X имеет место слабое свойство сокращения, если для каждой пары а,Ь Е X выполняется условие
Лемма 9. Условие (5) выполняется тогда и только тогда, когда, в X нет нетривиальных идемпотентов (т.е. {в2 = е} ^ {е = 1}. Если эти условия, выполняются, п.к. будет частичным, порядком (но не обратно). Условие сокращения в X равносильно совпадению матриц р и а.
Доказательство. Ясно, что из условия (5) вытекает отсутствие идемпотентов. Покажем, что ч.п. также является следствием этого условия.
Допустим, что х ^ у, т.е. х = а хужу = Ь х х. Поэтому х ху = (а хЬ) х (х х у), так что а х Ь = I. Следовательно, а = Ь ж х = у.
Остается (кроме последнего утверждения) проверить что (5) вытекает из отсутствия идемпотентов (и указать пример).
Пусть а = а х Ь, причем Ь = I. Тогда а = а х Ьк при каждом натуральном к, так что Ьк < а. Следовательно, моногенная полугруппа {Ьк} целиком содержится в конечном множестве Xa. По теореме Фробениуса, эта полугруппа содержит
НбТрИВИЭЛЬНЫИ ИД6МПОТ6НТ.
В качестве примера можно взять X = {0,1} с операцией шах{х,у}.
Наконец, очевидно, что всегда р(а,Ь) < а(а,Ь). Строгое неравенство для а, Ь ах х = Ь
х1 х2 (а х Ь) х х1 = (а х Ь) х х2
а х х1 = а х х2 х1 = х2
Ь а(а, Ь) > 2 □
Наконец, применительно к нашей ситуации мы сформулируем результат Лаллемана (см. [4, гл.11, 3.2]).
Представление элемента х Е X в виде
где хк = 1 при всех к называется его (конечным) разложением. Например, при X = N для х = 6 имеется всего 3 разложения: 6 = 6, 6 = 2 • 3и6 = 3 • 2. Таким образом, учитывается порядок следования сомножителей. С другой стороны, элементы хк разложения могут повторяться. В частности, если X содержит нетривиальный идемпотент, то условие конечности множества разложений нарушается .
х
ет лишь конечное число разложений. Тогда на X имеется целозначная функция
(см., например, [9, §1-6]).
□
ахЬ = а =>- Ь =1.
(6)
х = х1 х х2 х ... х хт,
Мёбиуса, причем р(х) равно разности между числом разложений с четным чис-хк 6
ется два четных разложения и одно нечетное, что приводит к «правильному» значению классической функции, р(6) = 1. Вопрос о необходимости условия конечности в [4] не обсуждается. □
Для краткости мы будем писать просто 1 вместо более аккуратного 1д и т.п. Характер х: X ^ {Е, х} будем называть вполне конечным, если он имеет конечный носитель, а его значения принадлежат какому-нибудь конечному полю Е. Кроме главного характера х1; будет использоваться характер (вполне конечный) Хо> Для которого Хо(!) = 1 и Хо(х) = 0 для остальных х Е X. Ясно, что в рассматриваемом классе полугрупп «такой зверь» есть.
Теорема 2. Следующие условия эквивалентны,:
(a) на X существует X значная функция Мёбиуса р;
(b) в,с(е) = ±1 для каждого с Е X;
(c) е(х) = 0 дм каждого вполне конечного характера х/
(с!) при каждом конечном Е на X нет никакого вполне конечного характера, кроме х = хо;
(е) в X нет идемпотентов, кроме е = I;
(Г) в X имеет м,есто слабое сокращение;
^) для каждого х Е X множество его разложений конечно.
Доказательство. Эквивалентность условий (а), (Ь) и (с) уже установлена. Из леммы 9 вытекает эквивалентность условий (е) и (с!).
Если выполняется условие (с!), то, тем более, выполняется условие (с). Предположим теперь, что выполняется условие (а). Покажем, что тогда выполняется условие (с!).
Пусть х _ вполне конечный характер и У — его носитель. Тогда У — конечное простое дополнение с Х-значной функцией Мёбиуса р\У. По лемме 8, в этом случае У = {I}.
Пусть е —идемпотент в X. В таком случае X,; — подполугруппа. Действительно, если а,Ь < е, то а х х = е = Ь х у при некоторых х,у Е X. Поэтому е2 = (а х Ь) х (х х у), т.е. а х Ь < е2 = е.
Предположим теперь, что выполняется условие (Ь). Тогда de (е) = ±1. Но это влечет за собой, что конечная полугруппа X,; имеет Х-значную функцию Мёбиуса. Следовательно, X,. = {I}.
Обратно, если нарушается условие (Ь), то, по доказанному, нарушается и условие (ё). Следовательно, на X имеется вполне конечный характер с носителем У = {I}. Так к ак У ^конечная полугруппа, то, по теореме Фробениуса, в У
Если нарушается условие (е), т.е. в X имеется нетривиальный идемпотент е, то нарушается и условие Лаллемана ^), так как е = е2 = е3 = .... С другой стороны, предположим, что условие ^) нарушается для некоторого элемента с Е X. Все элементы разложений обязаны содержаться в конечном множестве
Xc. Отсюда легко следует, что в Xс должна содержаться некоторая бесконечная последовательность {ак} степеней какого-то элемента а Е Xc. Но, если I < к и ак < с, то и а1 < с. Поэтому фактически в X содержатся все степени элемента а, начиная с некоторой, и, таким образом, в X содержится нетривиальная моногенная полугруппа. Снова по теореме Фробениуса, в этой полугруппе есть
НбТрИВИЭЛЬНЫИ ИД6МПОТ6НТ.
В частности, в данном контексте условие Лаллемана оказывается критерием существования Х-значной функции Мёбиуса. □
5 Примеры
1. Выше мы привели несколько простых примеров. Здесь мы расширим этот список. Роль различных примеров различна по важности. Кроме того, они различаются по объёму и сложности и поэтому оформляются по-разному. Для удобства ссылок мы сохраняем только сплошную нумерацию.
ПРИМЕР 3. Этот пример аналогичен одному из стандартных в теории Роты (см., в частности, [1, формула (2.2.10)]). Пусть ад — не пустое множество и X = Яе^и) — совокупность всех его конечных подмножеств, включая пустое 0. X является абелевой полугруппой с (МО) условиям, если в качестве операции рассмотреть х и у. Неравенство х < у означает, что х С у, и относительно этого порядка X является ч.у. множеством. В [1] проверяется, что
р_1(х, у) = —^ад-Сагад.
Это и есть формула (2.2.10), представляющая функцию Мёбиуса в смысле Роты.
Займемся полугрупповой функцией Мёбиуса. Можно было бы использовать указанный результат, однако мы дадим непосредственное доказательство того факта, что над Q
2Сага(ж)р(х) = (_1)Сагад (6)
Легко видеть, что каждое из множеств Xc — простое дополнение. Кроме тоГО, X — направленное семейство то включению. Поэтому можно считать и конечным и применить индукцию по числу г = СаМ(и), причем достаточно вычислять только р(и). Заметим, что значения вроде а(а, Ь) в данном случае зави-
а, Ь
на вектор исходный вектор-строку мы представляем написанным слева от матрицы, а результат — справа (тогда сохраняется правило «строка на столбец»). Наконец, мы будем писать
Ьт(т\к) вместо
тк .
Легко видеть, что p(w) = —1/2, если Card(w) = 1. Будем считать, что при Card(x) < r формула (6) имеет место. Чтобы завершить индукцию, достаточно предположить, что (6) выполняется и при x = w, и в этом предположении убедиться, что
a(x, w)p(x) = 0
x<w
поскольку функция Мёбиуса единственна, если она есть. Так как a(x,w) = 2Card(x)^ то остается прОВерИТЬ, что ^2x<w(—1)Card(x) = 0. Однако, эта сумма совпадает с ^k=0(—1)kbin(r|fc) = (1 — 1)r = 0 □
2.
ПРИМЕР 4. Рассмотрим полугруппу X С Z+ содержащую 0. В этом случае X — полугруппа с сокращением, а = р, и X имеет целозначную функцию Мёбиуса. Например, как мы уже отмечали (пример 2), если X = Z+ то р(0) = 1, р(1) = —1 и ц(к) = 0 при к > 2.
X
но, X включает все числа, начиная с некоторого (минимально возможного) т.
X
Каждый комплексный характер х кроме %0, допускает реалпзацпю: х(к) = ак, а = 0, для всех к из X. Действительно, если х = Х0> то х(к) = 0 при всех к Е X. Если к,1 > т, то
Х(к + 1 + 1) = Х(к) ■ X(l + 1) = Х(1) ■ Х(к + 1),
так что Х(к)/Х(к + 1) = const, и дело легко доводится до конца.
При т > 1 представляет интерес вычисление числа т по заданным образующим и близкие вопросы (см., например, [7] и [8]). При двух образующих, скажем, p и q, будет т — 1= pq — p — q (Сильвестр), однако дальше всё существенно сложнее.
Формальной ^-функцией полугруппы X С Z будем называть формальный степенной ряд по степеням z:
fx(z) = Y, zk■
kex
Этот ряд сходится при комплексных z, lzI < 1, и представляет в этом диске аналитическую функцию, причем, fx (0) = 0. Последнее гарантирует обратимость fx те только в кольце формальных степениых рядов над Z, но и в алгебре
0 fx
ряд gx называется формальной функцией Мёбиуса. Обе функции продолжаются до рациональных функций над С, например, еели X = Z+ то
fx (z) = 1 + zk1 + zk2 + ■ ■ ■ + zkr + zm/(1 — z),
где 1 < к\ < к2 < ■ ■ ■ < кг < т — 1. Заметим, что числа кг могут вообще отсутствовать.
Все коэффициенты функции дх суть целые числа, последовательность которых совпадает с функцией Мёбиуса полугруппы X. Что происходит в общем случае, сказать затруднительно, однако мы опишем несколько ситуаций, в которых дело обстоит совсем не так, как при X = 2+.
В некотором смысле простейший нетривиальный случай тот, когда X =
\ {1}. В этом случае
/ ч 1 _ 2 1 _ 22 ^ 2 3 5
дх2 =1 - 2 + г2 = ТТЗ = 1 - 2 — 2 + 2 -
Этот случай очевидным способом включается в серию аналогичных. Именно, если т = 2п и X = {0, 2, 4,..., 2п, 2п + 1,...}, то
1 I 2 2п+1
х (2) = -^тгг-.
и функция Мёбиуса снова включает в качестве значений только 0 и ±1, причем бесконечно часто.
Вообще, функция Мёбиуса будет ограниченной тогда и только тогда, когда все нули формальной ^-функции просты и принадлежат единичной окружности (это общий факт), но я не знаю других примеров. В случае классической ^-функции вопрос о простоте всех нулей, кажется, остается открытым, и это придает дополнительный интерес алгебраической ситуации.
Полугруппа X = {0, 3,4,...} приводит к /х(г) = (1 — г + г3)/(1 — г). В этом случае числитель — частный случай полинома р(г) = (1 — z)q(z) + гп, где п > 3 — нечетное натуральное число, q — полином с целочисленными коэффициентами, причем 1 + deg(q) < п и q(0) = 1. Ясно, что в этом случае р(±1) = 0.
р
не принадлежит единичной окружности. Так как р(0) = q(0) = 1, то р имеет (комплексные) нули как внутри, так и снаружи диска \г\ < 1. У формальной функции Мёбиуса с подобной ^-функцией появляется особенность строго внутри диска, так что для коэффициентов Тейлора (т.е. самой функции Мёбиуса)
Иш ^(п)!1^ > 1,
п^<х>
в частности, функция Мёбиуса не будет ограниченной.
ЗАМЕЧАНИЕ. Фиксируем какую-нибудь из рассмотренных полугрупп X С
и образуем последовательность её копий ^р}, занумерованных простыми числами. Прямая сумма составит мультипликативную полугруппу М С N если в каждом из слагаемых «образующую» хр заменить на соответствующее про-р
Например, если X = \ {1} (простейший случай), то в качестве М полу-
чится «натуральный ряд», в котором каждое простое будет встречаться только в степени > 2 (даже в составе других чисел). В М нет основной теоремы
арифметики, зато есть аналог ^-функции, эйлерова произведения и функции Мёбиуса. В частности, ^-функция этой полугруппы М (при соответствующем выборе обозначений) просто выражается через классическую: £(2А)£(3А)/((6А).
Возникает вопрос о распространении на подобные ситуации тех или иных результатов теории чисел, подобно тому, как Б.М.Бредихин модифицировал асимптотический закон распределения простых чисел3 для подсчета базисных элементов свободной абелевой полугруппы. Замечу, что результаты Бредихина детально изложены в [10]. По поводу их развития имеются два практически идентичных текста: [11] и [12]. □
3. В этом и следующих пунктах мы завершим список примеров рассмотрением конечных моногенных (циклических) полугрупп и близких к ним.
Сначала мы вернемся к определениям и некоторым результатам из [9, §1.6] (восходящим к работам Фробениуса конца Х1Х-го века).
Моногенной (циклической) полугруппой называется полугруппа
{х, х2,х3,...},
х
различны, то в результате добавления I, получается полугруппа, изоморфная
2+.
В противном случае последовательность степеней становится периодической, начиная с некоторой степени хг, так что хг = х8, где г < в. Среди всех таких пар выбирается та, для которой в = т является наименьшим возможным.
Полагая т = г + Ь, мы получим «определяющее соотношение» в виде хш = хг . Снова прпсоединяя I, мы получим конечную полугруппу рассматриваемого т
всю полугруппу X (т.е. оснащенную точкой I). Число г называется индексом полугруппы, а число Ь — периодом.
Существенный факт состоит в том, что набор {хг ,хг+1, ... ,хТ+г-1} составляет циклическую подгруппу с единицей е = 1. Во всей полугруппе X элемент е является единственным нетривиальным идемпотентом в полугруппе. Теперь, говоря о матрице а, мы будем иметь в виду функцию на всей прямой сумме X ф X.
Моногенной полугруппе X с соотношением хш = хг для наглядности естественно сопоставить граф по следующему образцу (т = 7, г = 4):
3В англоязычных текстах пишут кратко: PNT (от prime number theorem).
4. Таблица Кэли (или таблица умножения) конечной полугруппы X порядка т = Сагё(Х) — это квадратная таблица, на пересечении а-строки и Ь-столбца которой стоит а х Ь.
т
аЬ
Ьа
что в результате получается ст-матрица полугруппы X. Сумма чисел в каждой
т
Например, моногенной полугруппе X с соотношением х1 = Xі отвечает таб-
ЛИЦсХ
0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 со 4 5 6
0 0 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 3 4 5 6 3 0 1 1 2 1 1 1
2 2 3 4 5 6 3 4 0 0 1 2 2 1 1
СО 3 4 5 6 3 4 5 0 0 0 2 2 2 1
4 4 5 6 3 4 5 6 0 0 0 1 2 2 2
5 5 6 3 4 5 6 3 0 0 0 2 1 2 2
6 6 3 4 5 6 3 4 0 0 0 2 2 1 2
В левой части этой таблицы расположена таблица Кэли в аддитивной записи, т.е. картинка, заполненная символами и описывающая правила операции, тогда как в правой части расположена матрица4 а = ст(Х), заполненная числами. В данном частном случае общая картина заметно проясняется.
Очевидно, что матрица распадается, так что несколько первых значений функции Мёбиуса сразу предъявляются, после чего остается рассмотреть минор, расположенный в правом нижнем углу, и остается решить систему 4-го порядка. В данном случае легко довести дело до конца без дополнительных трюков. Однако не лишне заметить, что нижний минор — циклическая матрица (и это типично). Кстати, здесь получается, что ёе^ст) = 7, тогда как при соотношении х8 = х3 имеем т = 8 и ёе^ст) = —8.
Аналогично можно разобраться с более общими моногенными полугруппами, в частности, с такими, для которых г < Ь < 2г (в этом случае аналогия становится почти полной).
Рассмотрим еще один простой пример полугрупп, похожих на моногенные, в котором легко дойти до конца, рассматривая ст-матрицы.
ПРИМЕР 5. Очевидно, что никакая группа С, кроме тривиальной, не удовлетворяет (МС)-условию. Однако, если С — конечная абелева группа, то в результате расширения группы С «внешней» единицей I, получится полугруппа
4 В эпоху Гайдара у нас сразу появились дорогие бутики и развязная реклама. И вдруг голос за кадром: «Это не номер телефона, это цена!». Удивительно тонко сказано, хотя телекиллеры, конечно, не отличают число от цифры и картинку (номер телефона) от числа (цена).
X с (МС)-условием. Класс таких полугрупп пересекается с моногенными при циклических С. В этом классе (независимо от цикличности) вопрос о функции Мёбиуса решается очень просто. Действительно, в этом случае присоединенная (квадратная) ст-матрица имеет вид
2 l l. .l
l 2 l. .l
т = l l 2. . l
l l l. .2
си = Card(G) столбцами. Сумма элементов каждой с троки равна и +1. Отсюда следует, что det(CT) = и + 1. Система уравнений для значений функции Мёбиуса легко решается, и получается, что (над Q) имеем
^(1) = 1 и ji(g) = -(и + 1)_1 для g £ G С X.
Над простым полем Fp функция Мёбиуса существует, если p не является делителем числа n+1. Тогда последнее обратимо (mod p), и формула для функции Мёбиуса фактически сохраняется. □
5. Выше мы, в частности, вкратце описали, как узнать существует или нет
X
нием xm = xr по существу путем рассмотрения матрицы соответствующей линейной системы. Теперь мы пройдем5 другим путем, позволяющим ответить на этот вопрос практически без вычислений. Мы снова сохраняем обозначения.
X
кольце коэффициентов имеется ^-образный характер Хо, для которого Хо(х) = 0 при всех х, кроме х = I. Ясно, что для конечных полугрупп все характеры имеют конечный носитель, в том числе главный характер х1 = е-
Каждый характер х кроме х0 и Хь имеет реализацию х(хк) = Ак, где 0 = А = 1, прпчем А"(А* — 1) = 0, так что А* = 1 (напомним, что r +1 = m). Заметим ещё, что
£(х) = (А" — 1)/(А — 1), (7)
так как А* =1.
Лемма 10. Функция Мёбиуса с коэффициентам,и из C существует тогда и только тогда, когда, gcd(r, t) = 1.
Доказательство. Так как е(х0) = 1 и е(х1) = т, то достаточно рассмотреть другие характеры х (если такие существуют).
Пусть gcd(r, t) = 1. Если е(х) = ^^о А" = 1 формуле (7)), так что А = 1, и это приводит к противоречию с предположением Х = Хь СледователЬНО, £
5 Именно так!
не имеет нулей и, по теореме 1, функция Мёбиуса существует (для всех полей 0
Обратно, пусть g = gcd(r, t) > 1 и А9 = 1, прпчем А = 1. Тогда А* = 1 и для соответствующего характера £(х) = А" — 1 = 0, так что функции Мёбиуса нет. □
Теперь мы предъявим легко проверяемые условия существования функции Мёбиуса на конечной моногенной полугруппе с коэффициентами в простых поЛЯХ.
Теорема 3. Функция Мёбиуса с Q-коэффициентами существует тогда и только тогда, когда, gcd(r, t) = 1. Если простое поле конечно, то функция Мёбиуса с коэффициентам,и из этого поля существует тогда и только тогда, gcd(r, t) = 1 p
стым.) делителем, порядка полугруппы.
Доказательство. Первое утверждение по существу совпадает с леммой 10. Кроме того, при доказательстве второго утверждения можно предполагать (и мы предположим), что условие gcd(r, t) = 1 выполнено.
Рассуждая, как в лемме 10, легко убедиться, что условие е(х) = 0 может нарушиться только при х = Хь Поэтому, еели gcd(r, t) = 1, то функция Мёбиуса не существует тогда и только тогда, когда £(х1 ) = 0 (в иоле), т.е. т = 0 (mod p) □
6. Часть из естественных вопросов остаются открытыми, и это относится не только к моногенным полугруппам.
Например, не ясно, когда для полугруппы X С Z+ функция Мёбиуса с C-коэффициентами ограничена. Очевидно, что критерием служит условие \z\ = 1 для всех нулей формальной ^-функции и их одновременная простота. Один такой пример мы привели. Однако не ясно, может ли при соблюдении первого условия простота нулей у такой рациональной функции нарушаться. Вообще, не ясно, бывают ли у таких ^-функций кратные нули. Между прочим, относительно классической ^-функции Римана это, кажется, тоже не известно.
Проблему ограниченности можно поставить и более широко, т.е. не ограничиваясь конкретным классом полугрупп X С Z+. Быть может, при решении этого вопроса следует как-то расширить класс характеров и привлечь гель-фандовы (коммутативные банаховы) алгебры.
Как и в случае дифференциальных уравнений с известным фундаментальным решением совсем легко написать решение для некоторых других правых частей, так и здесь, имея функцию Мёбиуса, легко «решить» уравнение е*u = v при известной функции v, именно и = ц * v. Например, первую формулу Гаусса из введения можно рассматривать как уравнение е * ф = х относительно ф, где х^хаРактер на полугруппе N со значениями в {C, х^, прпчем х(и) = и, nn не означает, что мы продвинулись в проблеме делимости в Л-алгебрах (или более привычных).
X X
нений также приведено во введении и по существу совпадает с одним из классических определений функции Мёбиуса.
Кратко основное содержание этой статьи намечено опубликовать в журнале
«Функциональный анализ и его приложения».
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Холл М. Комбинаторика. М., Мир, 1970 (пер. с англ.).
[2] Барнабеи М., Брини А., Рота Дж.-К. Теория функций Мёбиуса. Успехи мат. наук, 41, 3 (1986), 113-158 (пер. с англ.).
[3] Klain D.A., Rota G.-C. Introduction to Geometric Probability. Cambridge Un. Press, 1997.
[4] Лаллеман Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения. М., Мир, 1985 (пер. с англ.).
[5] Горин Е.А. Формулы обращения Чебышева Мёбиуса в контексте абелевых полугрупп. IV-я Межд.конф. по теории чисел и при. I.. Тула (2001), Тезисы докл., Изд.МГУ, 2001, с.48-49.
[6] Атья М, Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. М., Мир, 1972 (пер. с англ.).
[7] Кан И.Д. Представление чисел линейными формами. Мат.заметки, 68, 4 (2000), 210-215.
[8] Kiss G. On the extremal Frobenius problem in a new aspect. Annales Univ. Sci. Budapest, 44 (2000), 139-142.
[9] Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп, том I. М., Мир, 1972 (пер. с англ.).
[10] Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М., «Наука», 1971.
[11] Горин Е.А. Асимптотический закон распределения простых чисел в контексте свободных абелевых полугрупп. Чебышевский сб., том VI, 2 (2005), 100-128.
[12] Gorin Е.А. Asymptotic law for the distribution of prime numbers in the context of free Abelian semigroups. Russian J. of Math., vol. XIII, № 1 (2006), 31-54.
Московский педагогический государственный университет Кафедра математического анализа E-mail:evgeny. [email protected] Поступило 12.12.09
