CC BY
30
ФОРМИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ В ГРАДИЕНТНЫХ ВОЛНОВОДАХ С ИЗГИБАМИ МАЛЫХ РАДИУСОВ
Повышение интереса к исследованиям распространения света в изогнутых световодах обусловлено развитием волоконно-оптических линий связи и интегральной оптики.
На практике имеются не только прямые волноводы, во многих случаях они бывают изогнутыми, что приводит к трансформации энергии между модами. Перераспределение энергии между направляемыми модами влияет на межмодовую дисперсию и приводит к искажению передаваемого сигнала, а переход же энергии в моды излучения ведет к потерям.
Изогнутые световоды рассматривались в основном с целью изучения потерь на изгибах [1-4]. Анализ влияния малых отклонений оси градиентного волокна от прямой линии на связь между его модами приведен в [5].
Целью настоящей работы является исследование связи между модами многомодового световода с параболическим профилем показателя преломления при искривлении его оси по некоторому радиусу г.
Эффективный профиль показателя преломления
Рассмотрим плоский световод с параболическим профилем показателя преломления:
п2(х) = п2 - оо2х2 1x1 < а ц)
п2(х) = п2 - со2а2 = п2 1x1 > а
В [1] показано, что если световод (1) изогнут по радиусу г, то для исследования распространения света в нем можно рассматривать эквивалентный прямолинейный световод с эффективным профилем показателя преломления
ПЭФФ(Х) - п2<х> + ?>2 . (2)
который удовлетворяет тому условию, что распределения поперечного поля в нем и в изогнутом световоде совпадают. На рис. 1 представлены профиль показателя преломления (1) и эффективный профиль показателя преломления (2), который удобно записать в виде
РИС. 1
ПЭФФ(Х,) =no2- -I2x'2
I no со2 , з
-( 1 + V 1 + 8 -^Гр. ) “ x
4 x'“ r2
I x I < a
Xі - Д
ПІФФ(Х') n^(1 +
эфф
где:
эфф 1
IXI > a.
(3)
Д , . = \ 1 + 8 —£-
эфф 4 ..a r
- n<w ч + -Iм»;
ш =
w2 - —- - 6a)2 ( r2
34 '*ue»ik > ,<4)
Отсюда видно, что распространяющееся по волноводу излучение при искривлении его оси смещается к внешней границе волновода, причем величина смещения определяется значением дЭфф(г*' При Уменьшении радиуса изгиба глубина эффективного профиля показателя преломления уменьшается, что вызывает переход высших направляемых мод в моды излучения. При некотором критическом радиусе г все излучение покинет волновод. Величи-
кр
на г была оценена в работе [з] . Очевидно, что это соответствует случаю,
кр
когда Ддфф(г) становится равным полуширине волновода а.
При |х’| < а - Дэфф = аэфф
(1+ ^1 + 8 -,Па~) -2 х’3 + — х,ц «1 (5)
со2 г2 г г2
и эффективный профиль показателя преломления эквивалентного прямолинейного световода в первом приближении можно аппроксимировать параболичным
п2 (х’) = п'2 - со’2 х’2 . (6)
эфф о
Таким образом, исследование распространения света в изгибах световодов с параболическим профилем показателя преломления сводится к аналогичной задаче для несоосной стыковки волноводов с различными градиентными параметрами, которая была рассмотрена в работах [б ,7] .
Известно, что в параксиальном приближении при параболическом поперечном распределении показателя преломления частота осцилляции траектории луча не зависит от его амплитуды и одинакова для всех лучей [5,8]. То есть ячейка фазового пространства координат и импульсов, соответствующая входному пучку, перемещается без деформации границ. Для такого волновода на расстояниях, кратных периоду осцилляции траектории луча, распределение поперечного поля будет повторять начальное. Однако при учете непараксиальности, а также отклонения эффективного профиля показателя преломления от параболического частота осцилляции траектории луча будет зависеть от его амплитуды, что приводит к расфазированию лучей и усреднению их фаз на некотором расстоянии г '. Фазовая ячейка при этом расплывается и переходит в кольцо в фазовом пространстве, которое при дальнейшем распространении излучения вдоль волновода не меняет своей формы (рис. 2) . Однако на коротком начальном участке г « лучи в определенных сечениях окажутся сфазированными и поле будет повторять поле на входе.
Это явление можно использовать при конструировании фильтра мод, Ра~ ботаюшего в режиме согласования, при котором конечные ширины мод и лучей постоянны, а конечные траектории центров мод и лучей имеют такой *е функциональный вид, как начальные. Согласование достигается периодически с периодом, равным периоду осцилляции луча в изгибе, причем длина изогну
того участка 1 должна удовлетворять условию 1 << г.,.
м
Рис. 2
На расстояниях т. » гм информация о фазах лучей теряется и поле Удобно описывать с помощью мод, коэффициенты связи между которыми определяют модовый состав конечного излучения.
Коэффициенты связи между модами
Для исследования коэффициентов связи между модами воспользуемся Результатами работ [б,7].
Коэффициенты связи между модами изогнутого участка Iп • > и
начальными модами 1ш> определяются квадратами модулей интегралов перекрытия Т™, = <п' 1т> , выражения для которых были получены в [ 6,7] . Для рассматриваемой задачи
о , 2 / о) о)1» ^ г к со а)1 . 2 1
т°= (^пзт) ехр{" 7 5+гг лэфф} '
где:
° - ГО- (2К“'* йэфф; (8)
т = " Щ+ш’’ ^2к “' > 4 лэфф
Н (о, т) - полиномы Эрмита от двух переменных [9]. тп
Полезными при вычислениях могут оказаться реккурентные соотношения для интегралов перекрытия:
(9а)
(96)
тп' . л.(» )*ТП' + Тп'_1 + I -^г — Тп’ >
т+1 £ т+1 т-1 £ ш+1 т £ /т+1 03 Ш
_п'+1 п I п' { п'-1 1, т ^ { Тп’ _ 1 _б п'
ш - ГН’ГТ5 Тш + ГпТ+Г т-1 I /^771 ш 1
Тп' = ^(-Л^) ^ ТП\ - 1(*Ц£М ТП’+1 - ± -£г Л* ТП' , (9в)
ш+1 Г) т+1 т-1 I) т+1 т л /т+1 “ т
Тп'+1 = _ £, п' Л п’-1 + 1 /Ш+1 Л тп* _ 1 _б___ п' (9г)
т л п' + 1; т л п'+Эг т+1 ^ т ,
где
ш+ш' ш-со' г- ,к ш , | .
Е = —------ ; л = ——1 ; о = ( — ) д
(9д)
2/сосо' 2/шсо' 2 э<^
Коэффициенты связи между модами начального и конечного прямолинейных участков волновода при длине изогнутого участка будут определяться выражением
К™" = Е W1' , (Ю)
п п 1 >
где:
1'
мп ~ коэффициенты связи между модами начального прямолинейного и и изогнутого участков волновода, определяемые из выражения (7) ;
т11
, — коэффициенты связи между модами изогнутого и конечного прямо-линейного участков волновода, которые можно рассчитывать при помощи (7), переменив шиш' местами и положив
4,фф - И - /» + 8-^ г/4.
Суммирование в (10) ведется по всем направляемым модам изогнутого участка.
Используя вид коэффициентов связи, нетрудно показать, что непрерыв-
<3 Д
ное и достаточно медленное (—V, « 1) изменение радиуса изгиба не
а 2
вызывает перераспределения энергии между модами. Это явление дает другую возможность использования изогнутого волокна в качестве фильтра мод, работающего в режиме согласования. Такой фильтр будет состоять из волокна, изогнутого по спирали, причем число направляемых мод будет определяться наименьшим радиусом кривизны спирали.
Потери
Потери в изгибах волноводов вызываются перераспределением энергии между модами волновода, в результате которого часть энергии направляемых мод переходит в моды излучения. Если по начальному прямолинейному участку волновода распространяется пучок света с энергией Ро» то энергию направляемого излучения на конечном прямолинейном участке можно оценить по формуле
р = ; ? Р , <“>
ост т=0 п"=0 т т
где:
М - число начальных возбужденных мод;
N - число направляемых мод данного волновода;
М
Р - энергия т-й начальной моды, причем Е Р = Р0.
т=0
Для реальных световодов с градиентным параметром о ~7-10~3 мкм-1 и шириной 2а ~60 мкм количественная оценка показывает, что перераспределение энергии, а следовательно, и потери становится существенным при Радиусах г ~2*10“ мкм. При дальнейшем уменьшении радиуса изгиба потери быстро увеличиваются, и при радиусах порядка г ~2*102 мкм все излучение покидает волновод.
Другой вид потерь обусловлен туннелированием волны через внешнюю границу световода и рассмотрен в [4]. Потери энергии на туннелирование в данной моде зависят от показателя преломления внешней среды и возрастают с увеличением порядкового номера моды. Это дает возможность использовать изогнутые волноводы в качестве перестраиваемых рефрантомет-Ров, чувствительность которых можно менять путем измерения на выходе волновода энергий различных мод. На практике выделение из пучка света, получаемого на выходе волновода, данной поперечной моды можно осущест-вить с помощью пространственных фильтров, синтезируемых на ЭВМ [10, 11].
Литература
1. Heiblum М., Harris J.H. - IEEE J. QE, 1975,
vol. 11, p. 75.
2. M a г с u s e D. - J. Opt. Soc. Amer., 1976, vol. 66, p. 311.
3. Моршнев С.К., Францессон А.В. - Квантовая электроника, 1982, т. 9, № 2.
4. Winkler С., Love J.D., Ghatak A.K. - Opt.
Quantum El., 1979, vol. 11, p. 173-183.
5. Унгер Х.Г. Планарные и волоконные оптические волноводы. - М.: Мир, 1980.
6. Krivoshlykov S.G., Sissakian I.N. -
Opt. Quantum El., 1979, vol. 11, p. 393.
7. Кривошлыков С.Г., С и с а к я н И.Н. - Кван-
товая электроника, 1980, т. 7, № 3.
8. А д а м с М. Введение в теорию оптических волноводов. -
М.: Мир, 1984.
9. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные
функции. - М.: Наука, 1974, т. 2.
10. Голуб М.А., К а р п е е в С.В., Кривошлыков С.Г., Прохоров А.М., С и с а к я н И.Н., С о й-
ф е р В.А. - Квантовая электроника, 1983, т. 10, с. 1700.
11. Голуб М.А., Карпеев С.В., Кривошлыков С.Г., Прохоров А.М., С и с а к я н И.Н., С о й-
ф е р В.А. - Квантовая электроника, 1984, т. 11, с. 1869.
