Формирование оптимальных стратегий инвестора на российском фондовом рынке с помощью методов теории игр Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

_ 47 (137) - 2012

Инвестиционная политика

УДК 336.051

ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ ИНВЕСТОРА НА РОССИЙСКОМ ФОНДОВОМ РЫНКЕ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ИГР

Н. А. КЛИТИНА,

ассистент кафедры фундаментальной и прикладной математики E-mail: klitinanina@yandex. ru Ростовский государственный университет «РИНХ»

В статье представлен анализ стратегий инвестора на российском рынке ценных бумаг с помощью основных критериев теории игр и сведения матричной игры к задачам линейного программирования. В результате определены оптимальные стратегии инвестора, формирующего инвестиционные портфели из различных по составу активов российских эмитентов, за разные периоды времени, что способствует повышению ожидаемой доходности в условиях неопределенности и риска.

Ключевые слова: инвестиция, инвестиционные портфель, формирование, управление, оптимальный, стратегия.

В экономике приходится сталкиваться с ситуацией, когда при наличии многих участников эффективность решения одного из них зависит от того, какие решения приняли другие участники. Ситуации такого типа называются конфликтными. Построением математических моделей конфликтных ситуаций и разработкой методов решения возникающих в этих ситуациях задач занимается теория игр.

Конфликт может возникнуть также из различия целей, которые отражают не только несовпадающие интересы различных сторон, но и многосторонние интересы одного и того же лица. Конфликт может проявляться не только в результате сознательных действий различных участников, но и как результат

действия тех или иных «стихийных сил», т. е. «игр с природой».

Отличительная особенность «игры с природой» состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные ходы партнер по игре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых игроком 2 действительно может быть природа, например обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами.

Под «природой» может также пониматься рынок ценных бумаг, противостоящий инвестору, конкурирующая среда. «Природа» может выступать как антагонистическая сторона, а может — как кооперативная среда. Знание оптимальных стратегий «природы» позволяет определить наиболее неблагоприятные условия для игрока 1, которые его ожидают, и оценить необходимые ресурсы, дающие ему возможность получить некоторый гарантированный доход.

Применим методы теории игр и к портфельному анализу. Вкладчик формирует инвестиционный портфель в зависимости от своих целей и отношения

47 (137) - 2012

Инвестиционная политика

к риску, выбирает любое количество и вид активов, вкладывает средства на разные периоды.

Портфельное инвестирование позволяет планировать, оценивать, контролировать результаты всей инвестиционной деятельности в различных секторах фондового рынка. Основная задача портфельного инвестирования — улучшить условия инвестирования, придав совокупности ценных бумаг инвестиционные характеристики, которые недостижимы с позиции отдельно взятой ценной бумаги и возможны только при их комбинации. Цель вкладчика заключается в формировании наиболее выгодного для него инвестиционного портфеля.

С помощью некоторых известных методов теории игр проанализируем действия инвестора, стремящегося к оптимальному результату, используя сформированные портфели ценных бумаг. Портфельное инвестирование помогает инвестору создать нужный портфель, а теория игр — проанализировать действия вкладчика с существующими портфелями.

На примере «игры с природой» рассмотрим нахождение оптимальных стратегий для инвестора на российском рынке ценных бумаг. Анализ проведем с найденными из всего эффективного множества оптимальными портфелями, т. е. портфелями с минимальным показателем риска для разных типов инвесторов [1].

Составим платежную матрицу, строками которой являются стратегии вкладчика, т. е. он формирует инвестиционные портфели из различных по составу активов российских эмитентов. Столбцами являются периоды, на которые инвестор хочет делать вложения в данные портфели.

Вкладчик может работать только с одним портфелем, а может использовать и все три. Проанализируем различные действия инвестора с помощью основных критериев теории игр и сведения матричной игры к задачам линейного программирования (см. таблицу).

Элемент матрицы А (а.) показывает, какой доход может получить инвестор с одного сформированного оптимального инвестиционного портфеля за разные периоды: кратко-, средне- и долгосрочный.

Необходимо определить пропорции, в которых инвестор может применять все три портфеля ценных бумаг, чтобы получить максимальный гарантированный доход вне зависимости от того, какие периоды будут использованы.

Данная задача может быть сведена к антагонистической игре. В данном случае в качестве первого игрока выступает инвестор, а в качестве второ-

Данные для анализа действий инвестора [4]

Портфель ценных бумаг 1 мес. 6 мес. 1 год min

Агрессивный (0,0028 0,0018 0,0014 ^ A = 0,0015 0,0022 0,0021 [ 0,001 0,0016 0,0024 J 0,0014 0,0015 0,001

Сбалансированный

Пассивный

max 0,0028 0,0022 0,0024 -

го игрока - природа, т. е. период времени. Будем предполагать, что природа как игрок может вести себя таким образом, чтобы максимально навредить инвестору, преследуя тем самым противоположные интересы. Эти предположения позволяют оценить тот доход, который вкладчик может получить в том случае, если время может навредить в максимальной степени. В этом случае инвестор имеет в своем распоряжении три чистые стратегии:

- первая чистая стратегия предполагает, что инвестор играет на рынке ценных бумаг только с агрессивным портфелем;

- вторая чистая стратегия предполагает, что инвестор работает только со сбалансированным портфелем;

- третья чистая стратегия предполагает, что инве с-тор формирует только пассивный портфель. Проверим, имеет ли данная игра седловую точку. Найдем нижнюю и верхнюю цену игры:

а = maxmin ar = max{0,0014;0,0015; 0,001} = 0,0015;

i j j

ß = min max aij = min{0,0028; 0,0022; 0,0024} = 0,0022.

j i

Поскольку а Ф ß, данная антагонистическая игра не имеет седловой точки, а значит, и решения в чистых стратегиях нет. Цена игры лежит в диапазоне 0,0015 < V < 0,0022. Из платежной матрицы видно, что при всех условиях доход инвестора будет не меньше 0,15 %, но, если цены на активы будут расти, то он может составлять до 0,22 %.

Решение игры следует искать в смешанных стратегиях. Сведем игровую задачу к задаче линейного программирования. Если первый игрок- инвестор-применяет свою оптимальную смешанную стратегию X*, а второй игрок- природа- применяет последовательно свои чистые стратегии, то математическое ожидание дохода, который инвестор может получить, будет не меньше цены игры V. Следовательно, должна выполняться следующая система неравенств: ' 0,0028X* + 0,0015х* + 0,001х* > v < 0,0018xj* + 0,0022X* + 0,0016x3* > v . 0,0014x* + 0, 0021x* + 0,0024x3* > v

Инвестиционная политика

47 (137) - 2012

Разделим каждое из неравенств, входящих в систему, на V и введем новые переменные:

X Х2 ^£3

А =— , Р2 = ~ , Рз = ~ .

V V V

В результате получим новую систему неравенств:

' 0,0028р + 0,0015р2 + 0,001 р3 > 1 < 0,0018р + 0,0022р2 + 0,0016р3 > 1. 0,0014р + 0,0021р2 + 0,0024р3 > 1

Разделим равенство х* + х2 + х3 = 1 на V и выясним, что новые переменные р1, р2, р3 удовлетворяют условию р* + р2 + р3 = 1/ V.

Поскольку цель первого игрока — максимизация выигрыша, а математическое ожидание его не меньше цены игры, то этот участник будет стремиться максимизировать цену игры, которая эквивалентна минимизации величины 1^.

Для инвестора задача определения оптимальной стратегии поведения свелась к задаче линейного программирования:найти минимум функции 2 = р* + р2 + р3 при следующих функциональных ограничениях:

' 0,0028р + 0,0015р2 + 0,001 р3 > 1 < 0,0018р + 0,0022р2 + 0,0016р3 > 1 0,0014р + 0,0021р2 + 0,0024р3 > 1

и прямых ограниченияхр* > 0, р2> 0, р3> 0.

Переходим ко второму игроку, природе. Если она будет применять свою оптимальную смешанную стратегию У, а первый игрок будет последовательно применять свои чистые стратегии, то математическое ожидание проигрыша второго игрока будет не больше цены игры. Следовательно, должна выполняться следующая система неравенств: '0,0028у* + 0,0018у* + 0,0014у32 < V 0,0015у** + 0,0022у* + 0,0021у* < V. 0,001у* + 0,0016у* + 0,0024у* < V

Разделим каждое из неравенств, входящих в систему, на V и введем новые переменные:

у* у* у3

4* =—, 42 =— , 43 =— .

V V V

В результате получим новую систему неравенств:

0,00284* + 0,0018д2 + 0,0014^3 < 1 0,00154* + 0,002242 + 0,002143 < 1. 0,0014* + 0,001б42 + 0,002443 < 1

7х"

Разделим равенство y* + y2 + y3 = 1 на v и получим: новые переменные q, q2, q3 удовлетворяют условию q* + q2 + q3 = 1/ v.

Поскольку цель второго игрока — минимизация проигрыша, а математическое ожидание его не больше цены игры, то этот игрок будет стремиться минимизировать цену игры, которая эквивалентна максимизации величины 1/v.

Для второго игрока (природы) задача определения оптимальной стратегии поведения свелась к задаче линейного программирования:найти максимум функции F = q* + q2 + q3 при следующих функциональных ограничениях:

0,0028q* + 0,0018q2 + 0,0014q3 < 1 0,0015q* + 0,0022q2 + 0,0021q3 < 1 ^ 0,001q* + 0,0016q2 + 0,0024q3 < 1

и прямых ограничениях: q* > 0, q2 > 0, q3> 0.

Таким образом, чтобы найти оптимальную смешанную стратегию второго игрока, необходимо также решить задачу линейного программирования.

Задачи обоих игроков свелись к паре двойственных задач линейного программирования: F = q* + q2 + q3 ^ max,

0,0028q* + 0,0018q2 + 0,0014q3 < 1 0,0015q* + 0,0022q2 + 0,0021q3 < 1 ^ 0,001q* + 0,0016q2 + 0,0024q3 < 1

при q* > 0, q2 > 0, q3> 0 и

Z = p* + p2 + p3 ^ min, ' 0,0028p + 0,0015p2 + 0,001 p3 > 1 <0,0018p + 0,0022p2 + 0,0016p3 > 1 0,0014p + 0,0021p2 + 0,0024p3 > 1

при p* > 0, p2 > 0, p3> 0.

Обе задачи решаются в двойственной симплекс-таблице. В итоге получаем следующие результаты: Q* = (182,6793;13,5318;331,5291);

P' = (209,7429; 189,4452;128,5521); Fmax = Zmm = 527,7402; v=0,001895;

X * = (0,3974;0,359; 0,2436);

Y2 = (0,3462; 0,0256; 0,6282).

В соответствии с этим инвестору гарантирован средний доход в размере 0,1895 % при самых неблагоприятных условиях. Оптимальные смешанные стратегии инвестора следуют в чередовании чистых стратегий-формируем все три инвестиционных

43

47 (137) - 2012

Инвестиционная политика

портфеля и выбираем их следующим образом: агрессивный портфель - в 39,7 % случаев, сбалансированный - в 35,9 % и пассивный - в 24,4 %.

Таким образом, если игра не имеет седловой точки, то для увеличения дохода необходимо использовать не одну, а несколько чистых стратегий. Иначе говоря, игрок должен чередовать во всех партиях некоторую чистую стратегию, которая максимизирует платеж.

В нашем случае инвестор не должен ограничивать себя формированием одного портфеля на определенный период времени, он может использовать все рассматриваемые варианты портфелей ценных бумаг для увеличения доходности в соответствии с найденными оптимальными смешанными стратегиями. Если за рассматриваемый период активы, входящие в состав портфелей, вырастут в цене, выбранный план даст возможность увеличить доход.

Рассмотрим случай, когда вкладчик предпочитает работать только с одним инвестиционным портфелем, не растрачиваясь на составление нескольких. Найдем наилучшую чистую стратегию, используя следующие критерии теории игр.

1. Условия игры задаются матрицей A = (аД^.

Пусть игрок А имеет стратегии А1, А2... А а природа - состояния B1, B2... Bn. Наиболее простой является ситуация, когда известна вероятность Pj каждого состояния природы B При этом, если учтены все возможные состояния, то

P + P2 +...+ Pj +... + Pn = L

Если игрок А выбирает чистую стратегию А1, математическое ожидание выигрыша составит Piai1 + Р2а i2 + "•+ Pn a,n .

Наиболее выгодной будет стратегия, при которой достигается

max(Piai1 + P2ai2 + . + Pnain ).

i

При известном распределении вероятностей различных состояний природы критерием принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша [2].

Пусть для рассматриваемой задачи известно, что вероятности выбора периода одинаковы и равны 1/3. В этом случае оптимальная стратегия инвестора определяется так:

max КУъ «0,0028 + ^ «0,0018+^ -0,0014 );

(Уъ -0,0015 + уъ«0,0022+уъ -0,0021);

(Уъ «0,001 + Уъ -0,0016+Уъ -0,0024)}; max{0,0019998;0,0019331;0,0016665}= 0,0019998.

Инвестору целесообразно использовать первую стратегию, создавая агрессивный портфель.

2. Критерий Вальде [2].

Рекомендуется применять максиминную стратегию. Она достигается из условия maxmin aj

i j j

и совпадает с нижней ценой игры. Критерий является пессимистическим. Считается, что природа будет-действовать наихудшим для инвестора способом:

maxmin a.. = max {0,0014;0,0015;0,001}= 0,0015.

i j j '

В этом случае вкладчику целесообразно использовать вторую стратегию, т. е. работать со сбалансированным портфелем ценных бумаг.

3. Критерий максимума [2].

Этот параметр является оптимистическим.

Считается, что природа будет благоприятна для

человека, и выбирается условие max max aj.

ij

maxmax ay = max {0,0028;0,0022;0,0024}= 0,0028 .

В этом случае целесообразно использовать первую стратегию.

4. Критерий Гурвица [3].

Этот параметр рекомендует стратегию, определяемую по формуле

max{a min a v + (1 - a) max a j },

i j j j

где а- степень оптимизма, изменяемая в диапазоне [0, 1].

Критерий придерживается промежуточной позиции, учитывающей возможности как наихудшего, как и наилучшего поведения природы. При а = 1 параметр превращается в критерий Вальде, при а = 0 - в критерий максимума. На а оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем больше последствия ошибочных решений и желания застраховаться, тем а ближе к единице.

Для определенности примем а = 0,4.Тогда для первой стратегии инвестора

а max at] + (1 - а) min aj =

= 0,4-0,0028 + (1 - 0,4)«0,0014 = 0,00196.

Для второй стратегии

а max a t] + (1 - а) min a j =

= 0,4-0,0022 + (1 - 0,4)-0,0015 = 0,00178. Для третей стратегии

а max a j + (1 - а) min ap =

= 0,4-0,0024 + (1 - 0,4)-0,001 = 0,00156. Вкладчику целесообразно выбирать первую стратегию, т. е. формировать агрессивный портфель.

5. Критерий Сэвиджа [3].

Инвестиционная политика

47 (137) - 2012

Суть этого параметра состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек, если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.

Элемент матрицы рисков находится по формуле

r=max a - , где max a.. — максимальный элемент в столбце исходной матрицы.

Оптимальная стратегия находится из выражения min{max(maxa. - a.)}.

Максимальныйэлемент в первом столбце -0,0028; во втором - 0,0022; в третьем - 0,0024. Найдем все элементы матрицы рисков: r11 = 0,0028 - 0,0028 = 0; r21 = 0,0028 - 0,0015 = 0, r31 = 0,0028 - 0,001 = 0,0018; r12 = 0,0022 - 0,0018 = 0, r22 = 0,0022 - 0,0022 = 0; r32 = 0,0022 - 0,0016 = 0: r13 = 0,0024 - 0,0014 = 0,001; r23 = 0,0024 - 0,0021 = 0, r33 = 0,0024 - 0,0024 = 0.

Матрица рисков имеет вид

( 0 0,0004 0,001 ^

стратегии. Также, используя основные критерии теории игр, в большинстве случаев получен аналогичный результат: для инвестора наиболее выгодно работать с агрессивным портфелем при рассматриваемых активах. Следовательно, можно сделать вывод: разные методы теории игр приводят к почти одинаковым рекомендациям относительно действий инвестора. Разница лишь в том, что в первом случае используются смешанные стратегии, т. е. можно задействовать все три оптимальных портфеля, а во втором - один наиболее выгодный.

В рассмотренном примере инвестор формирует оптимальный инвестиционный портфель с помощью методов портфельного анализа, подбирая активы российских эмитентов в зависимости от 0013; типов портфелей: агрессивный, сбаланси-0004' рованный и пассивный. Доходность и риск портфелей меняются в зависимости от срока

0006; 0003;

0,0013 0,0018

0

0,0006

0,0003 0

min{max(max av - a..)} =

= тт(0,001;0,0013;0,0018) = 0,001..

Значит, инвестору выгоднее использовать первую стратегию.

Из пяти рассмотренных критериев в четырех случаях рекомендуется применять первую стратегию, т. е. инвестору необходимо формировать агрессивный портфель, состоящий только из акций российских компаний.

Следует отметить, что каждый из рассмотренных критериев не может быть признан вполне удовлетворительным для окончательного выбора решений, однако их совместный анализ позволяет более наглядно представить последствия принятия тех или иных управленческих решений. Если рекомендации совпадают, можно с большей уверенностью выбрать наилучшее решение, если рекомендации противоречат друг другу, окончательное решение надо принимать с учетом сильных и слабых сторон.

Исследуя матрицу оптимальных портфелей с помощью сведения матричной игры к двойственным задачам линейного программирования, автор получил наибольшую вероятность выбора первой

инвестирования средств в активы, т. е. время может как увеличить доход вкладчика, так и навредить ему в максимальной степени.

Инвестору выгодно формировать агрессивный портфель на краткосрочный период времени, сбалансированный - на среднесрочный и пассивный -на долгосрочный, но с полной уверенностью прогнозировать поведение активов на рынке ценных бумаг в определенный момент времени невозможно из-за наличия огромного количества факторов, напрямую или косвенно влияющих на динамику котируемых эмитентов. Поэтому, используя методы теории игр, инвестор может определять оптимальные стратегии, с помощью которых получит максимальный гарантированный доход вне зависимости от того, какие периоды будут использованы.

Таким образом, прогнозирование динамики конъюнктуры российского рынка ценных бумаг с помощью методов теории игр позволяет найти оптимальную стратегию инвестора за разные периоды, что способствует повышению ожидаемой доходности в условиях неопределенности и риска.

Список литературы

1. Клитина Н. А. Формирование портфелей ценных бумаг для различных типов инвесторов// Финансовая аналитика: проблемы и решения. 2011. № 23 (65).

2. КрассМ. С., Чупрынов Б. П. Математические методы и модели для магистрантов экономики // СПб: Питер, 2006.

3. Математические методы и модели исследования операций / под ред. Колемаева В. А. // М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2008.

4. URL: http://www. stocks. investfunds. ru.

7х"

45