CC BY
91
УДК 621.395
ФОРМИРОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ С ЗАДАННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ
О.И. Шелухин, И.А Невструев
Рассмотрены аналитические и численные методы моделирования фрактальных случайных процессов с заданным законом распределения; представлены примеры, показывающие практическую реализуемость предложенных алгоритмов.
In this paper we consider analytical and numerical methods for the fractal stochastic process modeling with target probability function. Examples showing the practical realizability proposing algorithms are presented.
Исследования показали, что телекоммуникационный трафик в ряде случаев адекватно описывается фрактальными (самоподобными) процессами. Наибольшее распространение получили модели подобных процессов с гауссовской плотностью распределения вероятностей (ПРВ).
Модель Норроса. В работах Норроса [1,2] в качестве самоподобной модели телетрафика использовано фрактальное броуновское движение (ФБД). Определение модели Норроса выглядит следующим образом.
Определение. Непрерывный интегральный процесс поступлений А() е (0, да) определяется как
А () = mt + у/ атВн (), (1)
где т > 0 и а > 0 - константы; Вн () - процесс непрерывного фрактального броуновского движения с показателем Херста Н .
Определение предполагает, что А(^ )> А(^ ), если ^ > t2 для всех ^ > 0, t2 > 0 ; т - средняя интенсивность поступлений процесса; и а - масштабный коэффициент.
Модель Норроса может быть записана и в дискретном виде:
А [] = т\ + VатВН [].
Преимуществом моделей (1) и (2) является их экономичность (три параметра), а также то, что предположение о гауссовском характере распределения позволяет получать аналитические выражения для нижних границ вероятностей заполнения буфера. Недостатком моделей является то, что предполагается, будто реальный трафик имеет гауссовское распределение, а также то, что для параметра а не существует прямого метода оценки.
Вместе с тем, в большинстве случаев предположение о гауссовском характере распределения трафика не выполняется и требуется расширить применимость модели Норроса на случай произ-
вольного негауссовского распределения. Если предположить, что — (•) - это требуемая функция распределения (ФР) выходного процесса, то можно получить фрактальный процесс У[] при помощи отображения [3]
У Н=- т,„2 )(хн И)- (2)
Здесь X н [ ] - фрактальный гауссовский шум (ФГШ) с показателем Херста Н, выбранным соответствующим образом;
( - т[Х ])2
2с 2 [X ]
FN („.„ 2 ) = F (Х Wl
1
dX
'м Ко21 3-да^р2Ла[Х ]
- гауссовская функция распределения (ФР) N (т, с2 ).
Методика моделирования включает в себя следующий алгоритм (рис. 1).
► ► [ ] ►
Рис. 1. Структура алгоритма формирования негауссовского фрактального процесса
Шаг 1. С помощью нелинейного преобразования ( 2) осуществляется преобразование ФГШ
Хн [] в процесс 2 []
= (т с2 )(Хн [] ) имеющий
равномерное распределение.
Шаг 2. При помощи опытной оценки из доступных данных получим ФР процесса (•) с требуемым негауссовским распределением.
Шаг 3. Определяем обратную функцию —1(^) для получения выходных значений
У[] = (-м(т,с2 )(Хн (/))) с требуе мым законом
распределения.
Шаг 4. Методами статистической обработки данных оцениваем эффективность моделирования.
Рассмотрим формирование негауссовского фрактального процесса с заданным распределением вида
fAw1(Y) !бе Y > Y1,
[Bw2(Y) i6e Y < Y1,
где w1(Y) = N(m,с2)- гауссовское распределение;
w2 (Y) = ^ Y - экспоненциальное распределе-
ние; А, В = const - нормировочные коэффициенты,
w(Y) =
(3)
обеспечивающие нормировку J w(Y)dY
= 1.
Форма ПРВ w(Y) представлена на рис. 2. а. Оценим ФР F(Y), соответствующую w (Y). аналитически:
F (Y)=J w1(Y )dY--0
1
-XY
їбе Y <Y,
(4)
z
i
V2na
-exp
( (Y - a)2 ^ 2a2
dY їбе Y>Y1.
Вид ФР, соответствующей (4), представлен на рис. 2, б. Так как выражение для обратной функции Р'1(У) имеет сложный аналитический вид -(У), для получения обратной функции удобно воспользоваться кусочно-линейной аппроксимацией вида ау + Ъ 1 бе УеДу,
аУ + Ъ 1 бе У еДУ,,
' ' (5)
F (Y) Н
aNY + bN
ї бе Y є AY,
N
где аі и Ьі - коэффициенты і-го отрезка аппроксимации; N - число отрезков аппроксимации.
На рис. 2, б представлена функция распределения и ее кусочно-линейная аппроксимация. Коэффициенты для аппроксимации ФР десятью отрезками на участке У є0...8 представлены в табл. 1. Максимальное значение г = 8 объясняется правилом «трех сигм».
Рис. 2. ПРВ (а) и
(X = 0,8 ; т=5; с = 1)
Соответственно обратная функция будет выражаться в виде
F-1(Y) =
ї бе Y є AY,
1’
їбе Y є AY.
(6)
Y - b
N
ї бе Y є AY,
N
N
— OQ
a
1
a
Таблица 1. Коэффициенты для аппроксимации ФР
ai 0.313 0.165 0.087 0.046 0.081 0.174 0.202 0.128 0.044 0.008
bi 0 0.118 0.243 0.341 0.229 -0.14 -0.276 0.137 0.674 0.933
AY 0-0.8 0.8-1.6 1.6-2.4 2.4-3.2 3.2-4 4-4.8 4.8-5.6 5.6-6.4 6.4-7.2 7.2-8
Зависимость, соответствующая (6), приведена на рис. 3.
Рассмотрим результаты статистического моделирования фрактального шума с ПРВ вида (3). На рис. 4 представлена реализация ФГШ.
После выполнения преобразования вида
2 [] = FN(^^2( [])получаем реализацию, представленную на рис. 5.
На рис. 6 представлена гистограмма случайного процесса, соответствующего выходу первого каскада на рис. 1.
Видно, что процесс хорошо описывается равномерным распределением.
Рис. 4. Реализация ФГШ на входе формирователя
Рис. 5. ФГШ на выходе преобразователя с характеристикой F / 2
N1^,0
Рис. 6. Гистограмма процесса на выходе преобразователя с характеристикой F
N (т,о 2 )(нI
Электротехнические и информационные комплексы и системы №1, т.2, 2006г.
43
Воспользуемся обратной функцией вида (6) для получения выходных значений Г И= Р-Х 0 2 ){Хн (О)) с требуемым законом
распределения (3). Результаты статистического моделирования представлены ^а"Ъис.7.
На рис. 8 представлена гистограмма мгновенных амплитуд реализации, изображенной на рис.7.
Важное место в формировании фрактальных процессов с заданным распределением играет оценка корреляционных свойств. На рис. 9 представлены нормированные корреляционные функции на входе и выходе формирователя. Видно, что нелинейное преобразование оказывает незначительное влияние на корреляционные свойства.
Семейство традиционных фрактальных моделей сетевого трафика значительно расширяется введением в рассмотрение обобщенного негауссовского, самоподобного стохастического процесса, называемого фрактальным движением Леви (ФДЛ).
Рис. 9. Корреляционные характеристики входного и выходного случайных процессов
Рис. 8. Гистограмма смоделированного с0 чайного процесса
На рис. 10 в двойном логарифмическом масштабе представлены графики корреляционных функций, Учитывая, что при аппроксимации прямой линией подобранной по методу наименьших квадратов тангенс угла наклона этой прямой находится в интервале (-1; 0), можно утверждать, что процесс на выходе формирователя, представленного на рис. 1, действительно обладает фрактальными свойствами. Изложенное позволяет утверждать, что данным методом можно формировать фрактальные процессы с заданным законом распределения.
Рис. 10. Корреляционная характеристика (log - log) выходного случайного процесса
Фрактальное движение Леви. Данная модель трафика определяется как
La,H (t)
1
JdLa (T)(t — т)H-1/a . (7)
Г( Н +1-1/а)
0
Фрактальное движение Леви в качестве самоподобного процесса впервые упомянуто Мандельбротом как расширение движения Леви Ьа ^)
- стохастического процесса с независимыми стационарными приращениями и плотностью распределения
юг
да
(x, t)=— f dk exp'ikc exp(-c |k|a t). 2n J
(8)
ФДЛ обладает свойством самоподобия с параметром Херста H, а его распределение является устойчивым с параметром а.
Удачным свойством ФДЛ, позволяющим использовать данный процесс для моделирования сетевого трафика, является характер плотности распределения, полностью смещенный на положительную полуось. По аналогии с моделью Норроса объем трафика, поступившего в канал за период [0, t), определяется выражением
A (t) = mt + (сm^ 7 a La,h (t) . (9)
Соответственно модель трафика задается четырьмя параметрами: m > 0 - интенсивностью; a е (1; 2] - характеристическим показателем устойчивого распределения, влияющем на его «весомость»; с > 0 - масштабным параметром, определяющем разброс значений трафика вокруг среднего значения интенсивности; H е[1/ a,1) - параметром Херста.
Фрактальное движение Леви с симметричными устойчивыми инновациями. Иногда процесс фрактального Броуновского движения (ФБД), используемый в модели Норроса, заменяется симметричным самоподобным устойчивым процессом. В результате получается модифицированная модель Норроса, с помощью которой можно моделировать трафик в соответствии с уравнением
A [t]= m + 4am (Lа,0,н [ t] ), (10)
и, следовательно, полностью определяется четырьмя параметрами (m, a, H и a ); так же, как и для модели Норроса, m - составляющая средней интенсивности поступления; a - масштабный коэффициент.
Здесь La,p,н (t) - фрактальный устойчивый
шум Леви (ФУШЛ) (fLsn-fractal Levy stable noise) [2], который определяется в интегральном виде:
Lo,P,H LHJL^-1)-“ -(t-X)H-a Ma»(dx), (11) где Ma р (dx) - независимо и одинаково распределенный устойчивый процесс.
Условие H > ■
означает положительную
Однако, так как ФУШЛ - процесс с бесконечной дисперсией (и бесконечным средним значением, если a < 1), к интерпретации m и а следует подходить осторожно.
Кроме того, поскольку ФУШЛ является более пульсирующим, чем ФБД, то вероятность A[i]< 0 больше для любых заданных m и a .
Фрактальное движение Леви с несимметричными устойчивыми инновациями [5]. Гибкость рассмотренной модели может быть дополнительно увеличена заменой симметричных случайных переменных на несимметричные, что, однако, увеличивает число параметров, которые должны быть оценены для модели. В результате процесс поступления будет описываться уравнением вида
A[t] = m + 4ат (La,p,н [t]),
где La р н (i) - фрактальный устойчивый шум Леви (11).
Использование рассмотренного алгоритма позволяет формировать самоподобные процессы с произвольным распределением.
ЛИТЕРАТУРА
1. Norros I. On the use of fractional Brownian motion in the theory of connectionless networks // J. Sel. Areas in Commun., 1995, 13(6), pp. 953-962.
2. Norros I. A Storage Model with Self-Similar Input //Queuing Systems, 1994 № 16, pp. 387-396.
3. Шелухин О.И, Тенякшев А.М., Осин А.В. Фрактальные процессы в телекоммуникациях. - М.: Радиотехника, 2003.
4 Laskin N, Lambadaris I, Harmantzis F.C, Devet-sikiotis M. Fractional Levy motion and its application to network traffic modeling // Elsevier. Computer Networks, 40, 2002, pp. 363-375.
5. Karasaridis A, Hatzinakos D. Network Heavy Traffic Modeling Using а-stable Self-Similar Process // IEEE Transaction on Communications, Vol.49 No 7, 2001. - pp. 1203-1214.
6. Karasaridis A, Hatzinakos D. Broadband Heavy-Traffic Modeling using Stable Self-Similar Processes // Proc. 2nd Canadian Conference on Broadband Research (CCBR) - Ottawa, 1998, pp. 157-168.
Дата поступления: 01.11.2005
ДВЗ, H < a - отрицательную ДВЗ и H = a - независимый процесс.
a
