CC BY
31
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
пользовать при исследованиях математических моделей элементарных частиц методом решетки.
Автор выражает благодарность за плодотворные дискуссии доктору физ.-мат. наук И.Л. Боголюбскому, профессору И. Монтвею и кандидату физ.-мат. наук В.К. Митрюшкину. Особую благодарность автор выражает за полезные обсуждения и активную поддержку профессору М. Мюллеру-Пройскеру.
Библиогафический список
1. Кройц, М. Кварки, глюоны и решетки / М. Кройц. - М.: Мир, 1988.
2. Wilson K.G. Confinement of quarks // Phys. Rev. D. 1974. V 10. P. 2445-2459.
3. DeGrand T. and Toussaint D. Topological excitations and Monte Carlo simulation of Abelian gauge theory // Phys. Rev. D. 1980. V 22. P. 2478-2489.
4. Duane S., Kennedy A., Pendleton B. and Roweth D. Hybrid Monte Carlo // Phys. Lett. B. 1987. V 195. P. 216-222.
5. Gottlieb S., Liu W., Toussaint D., Renken R. and Sugar R. Hybrid molecular dynamics algorithms for the numerical simulation of quantum chromodynamics // Phys. Rev. D. 1987. V 35. P. 2531-2542.
6. Montvay I. An algorithm for gluinos on the lattice // Nucl. Phys. B. 1996. V 466. P. 259-284.
7. Montvay I. and Mbnster G. Quantum Fields on a Lattice. Cambridge: University Press, 1994.
8. DeGrand T. A conditioning technique for matrixinversion for Wilson fermions. // Comput. Phys. Commun. 1988. V. 52. P. 161-164.
9. Sokal A. Monte Carlo methods in statistical mechanics. Lectures at Cargese Summer School, 1996.
10. Gupta R., Kilcup G. and Sharpe S. Tuning the hybrid Monte Carlo algorithm // Phys. Rev. D. 1988. V 38. P. 12781287.
11. Montvay I. Quadratically optimized polynomials for fermion simulations // Comput. Phys. Commun. 1998. V 109. P. 144-160.
12. Kalkreuter T. and Simma H. An accelerated conjugate gradient algorithm to compute low lying eigenvalues: a study for the Dirac operator in SU(2) lattice QCD // Comput. Phys. Commun. 1996. V 93. P. 33-47.
13. Kennedy A. and Pendleton B. Cost of the generalised hybrid Monte Carlo algorithm for free field theory // Nucl. Phys. B. 2001. V 607. P. 456-510.
14. Bogolubsky I.L., Mitrjushkin V.K., Montvay I., Mbller-Preussker M. and Zverev N.V Performance studies of the two-step multiboson algorithm in compact lattice QED // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2002. V 106. P. 1052-1054.
ФЕРМИОННЫЕ ДЕТЕРМИНАНТЫ ВЕКТОРНОЙ И КИРАЛЬНОЙ U(1) МОДЕЛЕЙ SLAC-ФЕРМИОНЫ НА ДВУМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ С РЕГУЛЯРИЗАЦИЕЙ ПО ПАУЛИ - ВИЛЛАРСУ
Н.В. ЗВЕРЕВ, доц. каф. физикиМГУЛ, канд. физ.-мат. наук
Модели фермионов на решетке предназначены для адекватного описания разных фермионных частиц вне рамок теории возмущений. Однако прямой переход от непрерывных моделей к моделям на решетке приводит, в полном соответствии с «no-go» теоремой [3], к неверному описанию свойств фермионов. В частности, модели по К. Вильсону [4] для фермионов с нулевой массой не являются инвариантными относительно киральных преобразований, что приводит к несогласию определенных выражений для решеточных диаграмм с выражениями непрерывных теорий.
С. Дрелл и др. [5] предложили модели SLAC-фермионы на решетке. Достоинством этих моделей является их инвариантность относительно киральных преобразований. Однако данные модели не являются локальными и поэтому не согласуются с непрерывными теориями [6, 7].
Для преодоления этого недостатка моделей SLAC-фермионы и на бесконечной решетке и достижения их согласия с непрерывными моделями в рамках теории возмущений А. Славнов
[8] предложил способ их улучшения путем регу-
ляризации по Паули - Вилларсу. Эта регуляризация состоит во введении в действие моделей на бесконечной решетке вспомогательных полей Паули - Вилларса. Такие нефизические поля устраняются в пределе нулевого шага решетки. Однако модели SLAC-фермионы с такой регуляризацией на конечной решетке и вне рамок теории возмущений исследованы не были.
Целью данной работы являются исследование фермионных детерминантов векторной и киральной U(1) моделей SLAC-фермионы на двумерной конечной решетке с регуляризацией по Паули - Вилларсу вне рамок теории возмущений и выяснение вопроса о согласии этих решеточных регуляризованных детерминантов с детерминантами непрерывных теорий в однородном и неоднородном внешних калибровочных полях.
Выбор фермионных детерминантов, калибровочной группы U(1) (абелевой группы), однородного и неоднородного калибровочных полей и двумерной решетки вызван тем, что:
(1) фермионный детерминант является производящим функционалом для однопетлевых
122
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
фермионных корреляционных функций и в наибольшей степени характеризует модель;
(2) непрерывные двумерные абелевы модели фермионов имеют точные решения вне рамок теории возмущений [9, 10], с которыми можно будет сравнить полученные ниже решеточные выражения;
(3) численные расчеты при указанных детерминанте, группе, калибровочных полях и решетке являются достаточно точными и реальными по продолжительности.
1. Векторная модель SLAC-фермионы в однородном поле 1.1. Действие и детерминант без регуляризации
Исследуем сначала векторную U(1) модель SLAC-фермионы на двумерной конечной решетке без регуляризации по Паули - Вилларсу. Действие этой модели имеет следующий вид [1, 5]
SVS = Z V-Y,D (* - y)PexP
* Z 4.
V у . (1)
Здесь суммирование выполняется по узлам двумерной решетки х и у с целочисленными координатами
х , у = -N/2+1, -N/2+2, .... N/2, а также по направлению ц = 1,2; N - четное число узлов решетки вдоль каждого направления; шаг решетки выбран a = 1; ух - физическое фермионное поле с массой т0 = 0, удовлетворяющее антипериодическим граничным условиям [11]
V
х± N ц
= -vx , Д = 1,2;
где уц - эрмитовы матрицы Дирака размером 2 х 2 в двумерном пространстве;
£ц(х) - фермионная решеточная SLAC-производная в координатном пространстве
D (х) = —- х N
N/2 I 2_* 2
Z К(p) exP 1^7 Z(Рц -12)^
N
(2)
Ц=1
где P (p) - фермионная решеточная SLAC-произ-
Д 41
водная в импульсном пространстве:
2п
Рц (Р) = N (Рц- mN -1/2); - N/2 +1 < рц < N/2; т = 0, ±1, ±2, ... .
В (2) суммирование выполняется по целочисленным компонентам импульса p = -N/2+1, -N/2+2, ..., N/2; ц = 1,2. В формуле (1) P-экспонентой обозначена величина
У
X, у ,Д
z —х д д
х
Д
PexP
* Z 4
U U
х,Д
х+Д,Д
1, х = у ,
’ д 7 д ’
— U
N
N
у-д,д
, х < у < х +--------, у < х--------,
’ц ц 2 ’Хц ц 2
. . . N N
U . —U . U ,х-------------< у < х , у > х + —,
У,Д’Д о ^ц ц’^ц ц О х-ц,ц у+ц,ц 2 2
ГГ N N
■■U л , у = х +-----, у = х------.
’^Д Д л ’ •'Д Д л
х+Ц,Ц у-Ц, Д 2 2
Re U U
х,
Здесь U - U(1) (абелево) калибровочное
поле на решетке
^ц =
где Ахц - вещественный потенциал калибровочного поля.
Данное поле удовлетворяет периодическим граничным условиям
U „ = U , v = 1,2.
х ± N у,ц
х,ц ’
Действие модели SLAC-фермионы (1), в отличие от действия модели по К. Вильсону [4], инвариантно относительно глобальных киральных калибровочных преобразований, но нелокально.
Исследуем фермионный детерминант этой векторной U(1) модели SLAC-фермионы во внешнем однородном калибровочном поле. Потенциал данного поля [11], имеет вид
А = ^
х,ц n ц
(3)
где h - вещественные значения, не зависящие от узлов решетки х; ц = 1,2.
Подставляя (3) в действие (1), переходя в импульсное пространство (т.е. выполняя преобразование Фурье) и используя представление матриц Дирака в виде
(0 1 ^ (0 -* ^
Y1 =
11 0)
Y 2 =
0
получим следующее выражение для фермионного детерминанта в однородном внешнем калибровочном поле, нормированное на 1 при h1 = h2 = 0
D [h] = fr B2(Р, h) (4)
DVS[h] Ц R2y m . (4)
p=-N/2+1 B (p, 0)
Здесь произведение выполнено по всем импульсам Р с целочисленными компонентами p = -N/2+1, -N/2+2, ., N/2; ц = 1,2;
B 2( p, h) = Z B2( p, h);
ц=1
где B^p,h) - ковариантная фермионная решеточная SLAC-производная в импульсном пространстве
у
Z —X
д д
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
123
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
B (P, h)
N I (-1)
• 2 п
sin —
z+1 N
(p - h - - )z
\f M M 2 /
. (5)
z=-N/2+1 z ^0
sin
N/2
Данная ковариантная производная при h = 0 равна B (p,0) = P (p). Зависимость B (p,h)/2n от (p -hm-1/2)/N, рассчитанная согласно (5), представлена на рис. 1. Эта зависимость на конечной решетке является пилообразной с периодом, равным 1. Но, в отличие от фермионной SLAC-производной на бесконечной решетке [5], она является непрерывной, осциллирует вблизи значений (pM-h m-1/2)/N = ±1/2, и при этих значениях величины (p -h -1/2)/N производная B (p,h) = 0.
Значения фермионного детерминанта на решетке (4) сравним в пределе N ^ да со значениями детерминанта непрерывной векторной U(1) модели на двумерном торе. Выражение для непрерывного детерминанта Dvc[h] [10, 11] имеет вид
Dvc[h] = e~2^ П|F[n, h]F[n, -h]|2, (6)
n=1
где
F[n, h] =
-2n(n-1/2)+2ni(h +h )
1 + e 12
1 + e-2 n (n-1/2)
Решеточный и непрерывный детерминанты (4) и (6) удовлетворяют следующим свойствам симметрии и периодичности:
D[hph2] = D[h2,h1] = D[-h1,h2] = D[h1+n1,h2+n2], (7) где n1, n2 = 0, ±1, ±2,....
Поэтому достаточно рассмотреть значения детерминантов для полей h в диапазоне 0 < hM < 1/2; m = 1,2.
Численные расчеты решеточного DFS[h] и непрерывного на торе Dvc[h] фермионных детерминантов по формулам (4) и (6) показали, что эти детерминанты не согласуются, т.е. значения DFS[h] при N ^ да не переходят в Dvc[h].
Покажем такое несогласие на выражениях однопетлевых диаграмм взаимодействий. Для этого исследуем зависимости от N решеточных выражений диаграмм при импульсе однородного калибровочного поля k = 0: поляризационного оператора ПД0) для диаграммы второго порядка и выражения Гга(0) для диаграммы с четырьмя внешними линиями. Данные выражения имеют следующий вид
Пга (0)
С,(0)
д2
~~2ln Dvs [h] dh
д4
■дТln DVS[h]
dh
h=0
h=0
(8)
Рис. 1. Зависимость ковариантной фермионной SLAC-производной BM(p,h)/2n от (p -hM-1/2)/N [10]: 1 - N = 16; 2 - N = 160Ц
Рис. 2. Значения Пга(0) и Г Д0) диаграмм векторной модели SLAC-фермионы на решетке в зависимости от N в однородном поле с импульсом k = 0 [10]: 1 - ДД) по (9); 2 - ГшД0).
Эти решеточные зависимости сравним с соответствующими непрерывными значениями на торе.
Подставляя формулу (4) в (8), получим зависимость ПД0) на решетке от числа узлов N
( в,(p, 0)B'(p,0) Y
Пга (0) = I
-2
4
B 2( p,0)
B'2(p,0) + Bl(p, 0)B"(p,0)
(9)
B 2( p,0)
где B1(p,h) и B2(p,h) определены по (5) и в (4), соответственно; символ ‘ обозначает производную по h1; суммирование выполнено по всем двумерным импульсам с целочисленными компонентами p м = -N/2+1, -N/2+2,...,N/2; m = 1,2. Аналогично получим зависимость ГшД(0) от N.
Выполним аналитические оценки полученных выражений диаграмм при больших N. Сначала в формуле (5) для величины B (p,h) и в выражениях всех производных Bm(p,h) по hм заменим импульсы p м на p м+N/2, учтем периодичность
V
124
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
зависимостей от (p -h -1/2)/N величины B (p,h) и всех ее производных по h , а также заменим суммирование по z интегрированием по £, = nz/N от -п/2 до п/2. В результате получим, что при p | ~ N/2 значения величины B (p,h) и всех производных B (p,h) по h при h = 0 имеют порядок 1.
Далее, в формуле (9) для nvs(0) и в соответствующем выражении для rm1VS(0) заменим суммирование по p2 интегрированием по переменной = 2n(p2-1/2)/N от -п до п. После ин-
тегрирования учтем, что при pj << N/2 и h1 < 1/2 величина B1(p,h) « 2n(p1-h1-1/2)/N (рис. 1). Учтем также, что при pj ~ N/2 значения величины B1(p,0) и всех производных B1(p,h) по h1 при h1 = 0 имеют порядок 1. В результате получим следующие оценки:
Ц#) = O(N), ГшД0) = O(N). (10)
Нами выполнены численные расчеты зависимостей от N величины П^(0) по (9) и величины r1111VS(0). Данные этих расчетов приведены на рис. 2. Видно, что решеточные значения П^(0) и Г1Шга(0) прямо пропорциональны числу N. Это согласуется с аналитическими оценками (10), но существенно отличается от значения Пгс(0) = 2п [11] и от конечного значения Г1Шгс(0) непрерывной теории на торе. Здесь величину Г1Шгс(0) получаем, подставляя (6) в (8) с последующим четырехкратным дифференцированием по h. Несогласие решеточной и непрерывной теорий вызвано нелокальностью действия модели SLAC-фермионы на решетке.
Итак, аналитическое и численное исследования показали, что фермионные детерминанты векторной U(1) модели SLAC-фермионы без регуляризации на двумерной конечной решетке и непрерывной векторной U(1) теории на двумерном торе во внешнем однородном калибровочном поле не согласуются из-за нелокальности решеточного действия. Ниже выясним, будет ли необходимое согласие этих детерминантов при регуляризации полями Паули - Вилларса (PV) действия векторной модели SLAC-фермионы.
SPV - SLAC-действие полей PV, полученное путем дискретизации непрерывного действия полей PV
Zi,. y, D,(r - у ) PexPx
Spv = Z
_
Z A
Ф +Z m ф ф
T r, y r T r, XT r, x
>.
Здесь Фгх - бозонные или фермионные поля PV с массами M удовлетворяющие тем же антипериодическим граничным условиям, что и физическое фермионное поле ух; суммирование по r выполнено по всем полям PV; остальные обозначения те же, что и в выражении (1).
Исследуем фермионный детерминант векторной регуляризованной модели SLAC-фермионы на двумерной конечной решетке во внешнем однородном калибровочном поле с потенциалом по (3). После подстановки и преобразований, как при выводе выражения для DVS[h], получим следующее выражение для детерминанта DVR[h] ре-гуляризованной векторной модели на решетке
{ B2(p, h) + M2 Л B 2( p, 0) + M
2
r J
(11)
Dvr [h] = Dvs [h] П П
r p=-N/2+1
где DVS[h] - детерминант нерегуляризованной модели SLAC-фермионы по (4); величина B2(p,h) определена в (4); произведения выполнены по всем двумерным импульсам с целочисленными компонентам p от -N/2+1 до N/2 и по всем полям PV с индексом r; cr = 1 для фермионного поля PV Фгх и cr = -1 для бозонного поля PV ф Детерминант DVR[h] также удовлетворяет свойствам симметрии и периодичности (7), что позволяет рассматривать поля h только в диапазоне 0 < h < 1/2; , = 1,2.
Для устранения расходимостей выражений диаграмм nvs(0) и r1111VS(0) на решетке при N ^ да поля PV должны удовлетворять тем же условиям, что и в непрерывной теории [2] для одного, трех, пяти и т.д. полей PV
Z Cr +1 = 0, (12)
x, у ,ц
У
X
r
z =x U ц
X
C
1.2. Численное исследование детерминанта при регуляризации
Действие двумерной векторной U(1) модели SLAC-фермионы с регуляризацией PV имеет вид [1]
S = S + S
VR VS PV
где SVS - нерегуляризованное действие векторной модели SLAC-фермионы, определенное по (1);
и, кроме того, для трех, пяти и т.д. полей PV
Z cMl = 0. (13)
r
Сравним регуляризованный детерминант на решетке DVR[h] с детерминантом непрерывной теории на торе DVC[h]. С этой целью выполним по (11) расчеты зависимости DVR от регуляризующих масс Mr при фиксированных значениях h1 и h
Сначала рассмотрим случай одного бозонного поля PV с массой M. При этом удовлетворе-
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
125
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
но условие (12). Результаты расчетов зависимости D от М и значения DVC по (6) приведены на рис. 3 (кривая 3 и прямая 1). Видно, что согласие DVR с DVC обеспечивается только при одном значении PV массы M = М где в случае N = 160 масса М0 = 0,03. Даже небольшое изменение величины М приводит к значительному несогласию между решеточным и непрерывным детерминантами.
Теперь рассмотрим случай трех полей PV: двух бозонных полей с одинаковыми массами M и одного фермионного поля с массой М>/2. При таком выборе выполняются условия (12) и (13). Результаты расчетов D от М для этого случая даны на том же рисунке 3 (кривые 2, 4). Видно, что согласие D с D наблюдается для массы M в интервале М1 < М < М2, где М1 ~ N~0,9 и М2 ~ 1/V N . Для N = 160 значения М1 = 0,04 и М2 = 0,2. Эти значения М1 и М2 практически не зависят от h за исключением случая hц ^ 1/2; ц = 1,2.
Нами выполнены расчеты по формулам (11) и (6) зависимостей DVR и DVC от однородного внешнего поля h2 в области 0 < h2 < 0,5 при разных h1 для решеток с числом узлов N = 32 и N = 160 при регуляризации тремя полями PV с массами М=М1 и М=М Типичные результаты представлены на рис. 4. Видно с учетом свойств (7), что для N = 160 три поля PV обеспечивают хорошее согласие решеточной и непрерывной теорий в области |hj < 0,4 при М = М2 = 0,2 (кривая 5) и в области |h | < 0,48 при М = М = 0,04 (кривая 4).
В узкой области внешнего поля h2 вблизи |h2| = 1/2 детерминант векторной модели SLAC-фермионы резко уменьшается. С увеличением числа узлов решетки N ширина этой области уменьшается. Особенности и причины такого поведения решеточного регуляризованного детерминанта обсудим ниже.
1.3. Аналитическое исследование
детерминанта при регуляризации
Исследуем аналитически детерминант DVR[h] векторной U(1) модели SLAC-фермионы на двумерной конечной решетке в однородном внешнем калибровочном поле при регуляризации тремя полями PV. В определении этого детерминанта по (11) с учетом (4) произведения сомножителей берутся по всем целочисленным компонентам фермионного импульса p от -N/2+1 до N/2. Двумерная область этих компонентов импульсов представляет собой решетку из N2 точек с шагом 1 по N точек в каждом направлении ц = 1, 2.
1,0
0,8
0,6
0,4
Рис. 3. Детерминанты DV двумерных векторных U(1) моделей в зависимости от PV массы М в однородном поле с h = h2 = 0,2 [10]: 1 - DVC на торе по (6); 2, 3, 4 - Dvr регуляризованной модели SLAC-фермионы на решетке по (11): 2 - N = 32, три поля PV; 3 - N = 160, одно поле PV; 4 - N = 160, три поля PV.
_ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - г - " '' \ - \ *. - \\ '. ~ Н ' ' . ■ \' ! 1 1 | 1 1 1 1 | 1 1 1 1 | 1 1 1 1 | 1 1 _
- : - - . _ 1 -
- ; I \ i " х 2 -
- \з ' \ ' \ 4 : 1 I I I I 1 I г
^ : - M2 i i i i i i i i i i i i
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
M
Рис. 4. Детерминанты DV двумерных векторных U(1) моделей в зависимости от однородного поля h2 при h1 = 0,2 [10]: 1 - DVC на торе по (6); 2, 3, 4, 5 - DrR регуляризованной модели SLAC-фермионы с тремя полями PV по (11): 2 - N = 32, М = М1 = 0,19; 3 - N = 32, М = М2 = 0,4; 4 - N = 160, М = М1 = 0,04; 5 - N = 160, М = М2 = 0,2; h2* - поле срыва по (19) при N = 160, М = М1 = 0,04 и % = 0,95.
4 □ 1 . ь. иа
3 — ■ О о о о о о ■
2 — ■ О о о о о о ■
1 — ■ О о о о о о ■
0 - b. о о л in* о о о о ■ ь
-1 — ■ о о о о о о ■
-2 — ■ о о о о о о ■
-3 -4 — □ а 1 1 ь 1111 1 1 □ а 1
-4 -3 -2-10 1 Pi 2 3 4
Рис. 5. Три части (a, b, in) двумерной решеточной области фермионного импульса с компонентами p ц = 1, 2. Число узлов решетки в каждом направлении N = 8.
126
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Разобьем эту область импульсов на следующие части (рис. 5):
- четыре крайние угловые точки всей решетки импульсов с компонентами рц = -N/2+1 или N/2, где ц = 1, 2, назовем угловыми частями области импульсов (индекс a - светлые квадратики на рисунке);
- четыре граничные стороны всей решетки импульсов с компонентами рц = -N/2+2,...,N/2-1 и одновременно р3-ц = -N/2+1 или N/2, где ц = 1, 2, назовем боковыми частями области импульсов (индекс b - темные квадратики);
- оставшуюся область импульсов с компонентами рц = -N/2+2,...,N/2-1, где ц = 1, 2, назовем внутренней частью области импульсов (индекс in - светлые кружки).
При таком разбиении области фермионных импульсов регуляризованный детерминант DVR[h] с учетом произведений по компонентам импульса рц в (11) и (4) имеет следующее представление
DJh] = ЯМОДОД, (14)
где Dm[h], Da[h] и Db[h] - составляющие регуляри-зованного детерминанта.
Эти составляющие определяются формулами (11) и (4), произведения в которых берутся по всем компонентам импульсов, находящихся в соответствующих частях области импульсов: внутренней (in), угловых (a) и боковых (b) частях. Вследствие симметрии принятых частей области импульсов каждая составляющая детерминанта в (14) удовлетворяет свойствам симметрии в (7), но не удовлетворяет свойству периодичности.
Рассмотрим вначале составляющую детерминанта Din[h]. Дифференцируя выражение для lnDJh] по h ц и hv с учетом (11) и (4), получим выражения для регуляризованных решеточных диаграмм взаимодействий второго и более порядков. Аналитические оценки этих выражений выполнены нами аналогично оценкам (10) в данной внутренней части области импульсов при jhj < 1/2. При этом были использованы свойства симметрии в (7), а также учтены условия (12) и (13) для массы M трех полей PV. В результате получим следующее асимптотическое выражение DJh] = DFC[h](1 + O(1/MN) + O(M 4N)). (15)
Для последующих оценок составляющих Da[h] и Db[h] мы, пренебрегая осцилляциями, аппроксимируем зависимость ковариантной производной B (p,h) от переменной Ъ = (р -h -1/2)/N следующими тремя прямыми отрезками (рис. 1):
B ц (P, h)
2п
Ъ | Ъ |<------------
2 N ’
11
1
-(N - 1)(Е-1/2)-- — <£<-
2 2N
1
<<
2
11
-(N - 1)(Ъ +1/2), — <Ъ <— +-------. (16)
ц 2 ц 2 2N
Оценим составляющую детерминанта Da[h] в области однородного поля |Кц| < 1/2. Подставим аппроксимацию (16) в формулу (11), в которой произведение возьмем по импульсам в четырех угловых частях области импульсов. В результате получим
[(1/2- | h |)2 + 2(M/2п)2 "I (1/2- | h |)2
D [h] = ±--------------------J2---------х
a [(1/2- | h |)2 + (M/2п)2"
х(1 + O(VN) + O(M4)),
где обозначено (1/2-jh|)2 = (1/2-jh1|)2 + (1/2-jh2|)2. При условии (1/2-jh|)2 >> M2 полученная оценочная формула для Da[h] приобретает вид
a f . \
Da[h] = 1 + O| N | + о
M4
(17)
[(1/2-|h|)2 Рассмотрим теперь составляющую детерминанта Db[h] в области |h | < 1/2. Используя аппроксимацию (16), представим выражение (11) для Db[h] в виде экспоненты от суммы величин вида \п[В2(р,И)+М2], где суммирование выполним по импульсам на четырех граничных сторонах области импульсов. Перейдем от суммирования по компонентам рц к интегрированию по переменным Ъ = (р - h - 1/2)/N в пределах от -1/2 до 1/2, где ц = 1, 2. Учтем также условия (12) и (13) для PV масс. В результате получим оценку в виде
2 H[| h |,mJi]H[| h |,0]
D, [h] = П ц ------ ц х
b if H 2[|hJ, M ]
х(1 + O(1/N) + O(M4 N)).
Здесь обозначено
H[|hJM = =exp{2nN^/(1/2- | \ |)2 + (M/2n)2 }. При условиях 1/2-jh ц | >> M, где ц = 1, 2, полученная оценочная формула для Db[h] приобретает вид
Db[h] = exp j-MI-[(1/2-1h |)-3 + (1/2-1 h21)-3 ]J х
х(1 + O(1/N) + O(M4 N)) (18)
В большей части рассматриваемой области внешнего однородного поля, для которой
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
127
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
1/2-|h | >> (M4N)1/3, из (14) с учетом (15), (17) и
г
(18) получим следующую оценку значений регу-ляризованного детерминанта:
DJ_h] = Dvc[h](1 + O(1/MN) + O(M4N)).
Из данной оценки следует, что согласие решеточного детерминанта векторной модели SLAC-фермионы с детерминантом непрерывной теории на торе обеспечивается при массе M PV полей в диапазоне 1/N << M << 1/N174. Этот аналитический диапазон согласуется с диапазоном M для согласия теорий, полученный при численном исследовании детерминанта DVR[h] (см. п. 2.2 и рис. 3): M < M < M2, где M1 - N-09 и M2 - 1/VN .
В очень малой части рассматриваемой области внешнего однородного поля, для которой 1/2-|hJ < (M4N)1/3, происходит согласно (18) резкое уменьшение составляющей Db[h]. Следовательно, с учетом (14), (15), (17) и (18), в этой области регуляризованный решеточный детерминант DVR[h] отличается от непрерывного детерминанта DVC[h]. Такое несогласие теорий из-за резкого уменьшения составляющей Db[h] в узкой части области внешнего поля вблизи |h | = 1/2 подтверждено также численным исследованием (рис. 4).
Найдем значение поля срыва h2*, начиная с которого при |h2| ^ 1/2 в случае 1/2-|hJ >> (M4N)1/3 детерминант DVR[h] существенно отличается от DVC[h] так, что DVR[h]/DVC[h] < ^, где £, < 1. Это неравенство с учетом (14), (15), (17) и (18) приводит к следующему соотношению:
( \/Г4М Y/3
|А,|> К= 1 -
M4 N 32n3ln^-1
(19)
В пределе N ^ да при указанном выше диапазоне массы M значение поля срыва h2* стремится к 1/2, и векторная регуляризованная модель SLAC-фермионы согласуется с непрерывной теорией на торе во всем диапазоне значений поля h^. Полученные аналитические результаты находятся в хорошем согласии с данными численного исследования, приведенными на рис. 4.
Таким образом, введение регуляризации PV в действие векторной U(1) модели SLAC-фермионы на двумерной конечной решетке устраняет эффекты нелокальности во всей области внешнего однородного поля, кроме узкой области вблизи |hj = 1/2, и приводит к согласию решеточной и непрерывной теорий. При этом наименьшее число полей PV, необходимое для такой регуляризации, равно трем. В узкой области внешнего поля вбли-
зи |hj = 1/2 решеточная теория не согласуется с непрерывной из-за вклада импульсов на боковых сторонах всей области импульсов. При N^ да эта узкая область несоответствия теорий исчезает.
2. Киральная модель SLAC-фермионы
2.1. Аргументы детерминантов положительно-киральной и 11112 моделей в однородном поле
Исследуем возможность использования теории SLAC-фермионы на конечной решетке для двумерных киральных U(1) моделей. Так как действие киральной модели SLAC-фермионы является калибровочно-инвариантным и поэтому не описывает киральную аномалию (нарушение классической киральной калибровочной симметрии), то эту киральную модель можно использовать только в случае неаномальных теорий. Одной из таких неаномальных теорий является кираль-ная U(1) 11112 модель, состоящая из четырех по-ложительно-киральных фермионов с безразмерным зарядом 1 и одного отрицательно-кирального фермиона с зарядом 2 [11]. В непрерывном пространстве данная модель является неаномальной, поскольку все кирально-неинвариантные выражения для диаграмм второго порядка сокращаются в силу выполнения следующего соотношения для зарядов: 12 + 12 + 12 + 12 = 22.
Фермионный детерминант киральной модели в калибровочном поле общего вида является комплексной величиной. Регуляризация полями PV меняет значение модуля детерминанта, но не изменяет величину его аргумента.
Исследуем аргумент детерминанта ArgDCS[h] киральной U(1) 11112 модели SLAC-фермионы на двумерной конечной решетке в однородном внешнем калибровочном поле с потенциалом по (3). Аргумент детерминанта ArgDCS[h] этой модели на решетке так же, как и в соответствующей непрерывной теории на торе, является суммой аргументов детерминантов четырех по-ложительно-киральных фермионов с зарядом 1 и одного отрицательно-кирального фермиона с зарядом 2
ArgDCS[h] = 4ArgD+S[h] - ArgD+S[2h] mod 2n, (20) где ArgD+S[h] - аргумент детерминанта положительно-киральной U(1) модели SLAC-фермионы без регуляризации PV для фермиона с зарядом 1.
Из (20) видно, что согласие аргументов детерминантов решеточной и непрерывной
128
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
U(1) 11112 моделей обеспечивается согласием аргументов детерминантов решеточной и непрерывной положительно-киральных U(1) моделей. Поэтому рассмотрим аргумент детерминанта ArgD+S[h] в однородном внешнем поле.
Действие S+S положительно-киральной U(1) модели SLAC-фермионы определяется формулой (1), в которой матрицы заменены на у^Р+. Здесь Р+, а также Р_ в последующих исследованиях - положительно- и отрицательно-киральные проекторы
Р± = 2(1 ±Yз), Y3 = -№
Подставляя потенциал однородного поля (3) в соотношение (1) для S+S и выполняя операции, аналогичные преобразованиям в п. 2.1 при выводе формулы (4), получим следующее выражение для комплексного фермионного детерминанта положительно-киральной U(1) модели SLAC-фермионы в однородном поле
B.(p, h) + iB2(p, h)
D+ s [h] = П ^-----------W_L (21)
+S p=-N2+1 Д( p, 0) + iB2( p, 0)
где BJp,h) - ковариантная фермионная
SLAC-производная в импульсном пространстве по (5); произведение в (21) выполнено по всем двумерным импульсам с целочисленными компо-нентамиpц от -N/2+1 до N/2; ц = 1, 2.
Соответствующее выражение для фермионного детерминанта положительно-киральной непрерывной теории на двумерном торе во внешнем однородном поле [10, 11] имеет вид
да
D+c [h] = +ih2) П F[n, h]F [n, -h], (22)
n=1
где величина F[n,h] определена в (6).
Детерминанты (21) и (22) удовлетворяют следующим свойствам симметрии
D+^hJ = D+lh^hJ = ^-[-h^]. Вследствие киральной калибровочной инвариантности решеточной положительно-кираль-ной модели SLAC-фермионы, ее детерминант (21) периодичен по h
D+shh] = D+s[h1+n1,h2+n2], П1, n2 = 0,±1,±2,....
Непрерывная положительно-киральная теория, в отличие от решеточной модели SLAC-фермионы, не обладает указанным свойством ки-ральной инвариантности. Но детерминант D+C[h] этой непрерывной теории удовлетворяет свойству в виде [11]
D+c [h, + n„ h2 + n2] = (-1Г2 ^ D+c [h„ h2].
Из данных свойств детерминантов решеточной и непрерывной моделей следует, что
согласие аргументов этих детерминантов в однородном поле hц возможно лишь в области |h | < 1/2. Если в этой области h имеется согласие аргументов детерминантов положительно-ки-ральных решеточной и непрерывной моделей, то в силу калибровочной симметрии 11112 решеточной и непрерывной моделей будет обеспечено согласие аргументов детерминантов данных 11112 моделей. При последующем исследовании аргументов детерминантов положительно-киральных моделей в однородном поле, в силу указанных свойств, достаточно рассмотреть поля в области 0 < |AJ < 1/2; ц = 1, 2.
Нами по формулам (21) и (22) были выполнены расчеты значений аргументов детерминантов ArgD+S[h] и ArgD+C[h] в указанной области однородного поля. Результаты расчетов при h1 = 0,4 даны на рис. 6. Видно, что во всей области 0 < h2 < 1/2 зависимость ArgD+S от h2 (кривые 2) существенно отличается от зависимости ArgD+C от h2 (кривые 1).
3.0
2.5
2.0
1.5 + 1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
Рис. 6. Аргументы детерминантов ArgD+ положительно-киральных U(1) двумерных моделей в зависимости от однородного поля h2 при h = 0,4: 1 - ArgD+C на торе по (22); 2, 3, 4, 5 - для модели SLAC-фермионы на решетке по (21) при N = 32 и 160: 2 - ArgD+S, 3 - ArgD+in, 4 - ArgD+a , 5 - ArgD+ь
0,47
0,48 0,49 0,50 0,51
h2
0,52
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
129
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
На этом же рисунке приведены также зависимости от h трех составляющих ArgD+m, ArgD+a, ArgD+b величины ArgD+S, которые были рассчитаны по (21) с произведениями, взятыми по импульсам во внутренней (in), угловых (а) и боковых (b) частях всей двумерной области импульсов (см. п. 2.3 и рис. 5). Для данных составляющих справедливо, согласно (21), соотношение ArgDJh] = ArgD+m[h] + ArgDJh] + +ArgD+b[h] mod 2n.
Оказалось, что в области однородного поля 0 < h2 < 1/2 - s(N), где s(32) = 0,14 и s(160) = = 0,02, выполняются следующие соотношения
ArgD+,n * ArgD+a * ^g^ |ArgDJ << |ArgDJ.
В указанной области однородного поля вклад в ArgD+S[h] больших импульсов в угловых частях всей области импульсов (кривая 4) примерно равен вкладу импульсов во внутренней части (кривая 3), а вклад больших импульсов в боковых частях отсутствует (кривая 5). Поэтому величина ArgD+S[h] (кривая 2) в два раза превышает соответствующее непрерывное значение (кривая 1)
ArgDJh] * 2ArgD+c[h]. (23)
В области 1/2 - s(N) < h2 < 1/2 кривые 3 и 4 для ArgD+m и ArgD+a практически совпадают между собой и с кривой 1 для ArgD+C непрерывной теории. В этой области кривые 2 для ArgD+S с разными N отходят друг от друга за счет расхождения кривых 5 для ArgD+b. Из-за вклада больших импульсов в боковых частях области импульсов (кривые 5) значения ArgD+S резко изменяются (кривые 2) и соотношение (23) не выполняется. При N ^ х величина s(N) ^ 0.
Из соотношения (20) и установленного выше отличия аргументов детерминантов решеточной и непрерывной положительно-киральных U(1) моделей следует, что аргумент детерминанта ArgDCS[h] киральной неаномальной U(1) 11112 модели SLAC-фермионы на двумерной конечной решетке в однородном внешнем калибровочном поле отличается от соответствующей величины ArgDCC[h] непрерывной теории на двумерном торе. Это отличие вызвано нелокальностью модели SLAC-фермионы, в связи с чем в однородном поле появляется нефизический вклад в величину ArgD+S[h] и, следовательно, в ArgDCS[h] больших импульсов с угловых частей всей области фермионного импульса. Регуляризация 11112 модели SLAC-фермионы полями PV, как сказано выше, не изменит данного отличия решеточной и непрерывной моделей.
2.2. Детерминант регуляризованной 11112 модели в неоднородном поле
Продолжим исследование киральной неаномальной U(1) 11112 модели SLAC-фермионы на двумерной конечной решетке, но теперь в неоднородном внешнем калибровочном поле с постоянным двумерным импульсом [12].
Действие киральной 11112 модели SLAC-фермионы с регуляризацией PV в определяется выражением [8]
SCR = SCS + SPV , (24)
где SCS - действие киральной модели SLAC-фермионы без регуляризации;
SPV - действие поля PV
PV
4
SCS = ZZ V+ixУдP D (x - У)PeXP
l=1 x,у ,Д
+
spv = Zi уц D (x - y)
x, у Л
_
Z A
f УД
хУдР-D (х - У) Pexp i Z A z ,Д
V z =х ДД J
V+U +
V-
f Г Уд Ц
Pexp i Z A L-i ^д
V _ гд=хд Jj
ф у +Z M ФхФх .
Здесь у - физическое векторное фермионное поле для положительно-кирального фермиона с зарядом 1, l = 1,2,3,4; у-х - физическое векторное фермионное поле для отрицательно-кирального фермиона с зарядом 2; массы этих полей т0 = 0; P+ и P - положительно- и отрицатель-но-киральные проекторы (п. 3.1);
у
z —х Д Д
У
x, У ^
Pexp
z
Д
=х
Д
- P-экспонента,
определенная в (1); D^) - фермионная
SLAC-производная в координатном пространстве по (2); фх - бозонное поле PV с зарядом 2 и массой M. Поля у у и фх удовлетворяют антиперио-
дическим граничным условиям (п. 2.1).
Нами выбрано только одно бозонное поле PV фх. Если в результате нашего рассмотрения выяснится несогласие регуляризованного одним полем PV решеточного и непрерывного детерминантов, то мы продолжим исследование решеточной модели с большим числом полей PV, как в пп. 2.2 и 2.3.
Потенциал неоднородного внешнего калибровочного поля с постоянным двумерным импульсом k имеет вид
Ах,д = N \ cos N k ^/2), (25)
где h^ - вещественные величины, не зависящие от узлов решетки; kx = k^ + ^х2; хд и kд
130
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
принимают целочисленные значения x ,
k = -N/2+1,...,N/2; ц = 1,2; k,2+k2 * 0.
Подставляя потенциал (25) в действие (24) и используя представление матриц у как в п. 2.1, получим следующее выражение для детерминанта киральной решеточной регуляризо-ванной 11112 модели SLAC-фермионы в данном неоднородном поле
DCR[h,k] = Dcs[h,k] Dpv[h,k], (26)
где DCS[h,k] и Dpv[h,k] - нормированные на 1 при h1 = h2 = 0 решеточные нерегуляризованный детерминант и детерминант PV поля в неоднородном калибровочном поле. Эти детерминанты в случае калибровочного поля U общего вида выражаются как
DCS = (detB[U]BАд) (detB[U2]B‘‘[1])*, (27) Dpv = det (b^[U 2]B[U2] + M2 ) x
x (B[1]B[1] + M2). (28)
Здесь B[U] - комплексная матрица в координатном пространстве, определяемая формулой
By [U ] = Д( x - y) Pexp
'T A д
+
+iD2 (x - y) Pexp
I A,
где фермионная SLAC-производная D (x-y) после преобразований приводится к виду
D(x -y) = 5 ( -5 ) л(-1)(Ц Ц ) ; ц = 1,2.
3-ц-"3-ц v Ц Ц'Ыsin (Ц yЦ
В формулах (27) и (28) величина B[U2] - матрица B[U] в калибровочном поле вида Ц.ц2 = exp(2iA); B[1] - матрица B[U] в калибровочном поле U,ц = 1 для всех x и ц; символ t означает операцию эрмитова сопряжения по всем координатам x.
Значения решеточного детерминанта (26) будем сравнивать в пределе N ^ да со значениями соответствующего детерминанта непрерывной 11112 модели на двумерном торе. Выражение для непрерывного детерминанта имеет вид [9, 12]
Dcc [h, k] = exp \ -4п
(kA - kA)2
k2 + k22
(29)
причем k12+k22 * 0. Особенностью данного непрерывного детерминанта является его вещественность, т.е. ArgDCC[h,k] = 0.
Рассмотрим вопрос о возможности согласия детерминантов решеточной регуляризованной и непрерывной киральных 11112 моделей в неоднородном поле (25) с компонентами импульса
z, =x
1 1
zx
22
kц * 0, ц = 1,2. Используя метод работы А. Слав-нова [8], мы выполнили аналитические оценки выражений решеточных и непрерывных однопетлевых фермионных диаграмм, дающих вклад в детерминанты. В результате установлено, что вследствие калибровочной инвариантности модели SLAC-фермионы выражения решеточных диаграмм второго и более порядков для аргумента детерминанта ArgDCR[h,k] и ArgDCS[h,k] отличаются от выражений соответствующих непрерывных диаграмм, равных нулю согласно (29), на величины порядка 1/N. То есть в пределе N ^ да ArgDCR[h,k] = ArgDCS[h,k] ^ ArgDCC[h,k] = 0.
Значения ln|DCR[h,k]| и ln|DCC[h,k]| регу-ляризованной решеточной и непрерывной 11112 моделей равны суммам значений соответствующих диаграмм взаимодействий второго, третьего и более порядков. По нашим оценкам, при k * 0, где ц = 1,2, вследствие калибровочной инвариантности выражения для решеточных регуляри-зованных диаграмм третьего и более порядков отличаются от соответствующих диаграмм непрерывной теории, равных нулю согласно (29), на величины порядка 1/N и 1/MN. Остается исследовать возможность согласия диаграмм второго порядка, которые пропорциональны поляризационным операторам П™ (k) и nCC (k). Эти операторы определяются по формуле
nv (k)
д2
dh dh
ц v
ln |DC [h, k ]
h=0
(30)
где Hv(k) = П^А) или П^А) при DC[h,k] = = DCR[h,k] или DCC[h,k], соответственно.
Подставляя выражение для решеточного детерминанта (26) в формулу (30) и дифференцируя по h и hv с учетом (27) и (28), получим следующее выражение для поляризационного оператора регуляризованной 11112 модели SLAC-фермионы
N/2
ПCR (k) = 4 I {v(1)(p, k)V(1)(p, k) x
p=-N/2+1
x G (P, k) + AvH(P, k)] - АКц (p)}, (31) где обозначено
V">( p, k) = P (p + k)" P (p)
N ■
- Sin A
n N
Giv (p, k) = [Рц (p + k)Pv (p) +
+P (p)Pv (p + k) - 5!V xl A (p + k)px (p)] x
X=1
x [p0(p)p0(p + k) - LM (p)LM (p + k
H (p, k) = M2 Lm (p) Lm (p + k),
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
131
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
K ( р) = К(2) ( р, к) P (p) [L (p) - LM (p)],
L0( p) =
E P2( p)
, LM (p) = [L-)1(p) + M2 ] \
V(2)( р, к) =
P (P + к) + Pu (p - к) - 2P (p)
(N s.n y)
Здесь величина P (p) определена в (2); BJp,h) - по (5); символ ‘ означает операцию дифференцирования по р; M - масса PV поля; 5к 0 = 5к 05к 0; в (31) суммирование выполняется по целочисленным компонентам импульса p от -N/2+1 до N/2; ц = 1,2.
Далее, из (30) с учетом (29) находим выражение для поляризационного оператора непрерывной 11112 модели
Пс (к) = 8п
(
5 -
к к ^
Ц V
^V к,2 + к2
(32)
2 J
Оценки выражения (31) с учетом формулы (32) показывают, что при кц Ф 0, где ц = 1,2, справедливо следующее асимптотическое соотношение
1
ПCR (к) = Псс (к) + O(M2 ln2N) + O
P'V ^ 'MN
В соответствии с этим соотношением, для согласия при N ^ да поляризационных операторов П™ (к) и nCC (к), а значит, для согласия решеточного и непрерывного детерминантов необходимо выполнение для PV массы M условия в виде 1/N << M << <<1/lnN.
Нами были выполнены численные расчеты величин ArgD^h^] и |.Ося^,к]| регуляризован-ной киральной U(1) 11112 модели SLAC-фермионы на решетке во внешнем неоднородном поле вида (25) с h1 = 0,2, h2 = 0,4 и к1 = к2 = 1 при числах узлов N = 8, 12, 16, 20 и 24. Одно указанное значение калибровочного поля и числа N < 24 взяты в связи со значительным усложнением и большой продолжительностью компьютерных расчетов. Это вызвано невозможностью простой аналитической диагонализации матрицы B[U] в формулах (27) и (28) для рассматриваемого внешнего поля.
Каждое значение |.Ося^,к]| вычислено при таком значении регуляризующей PV массы M = M^N^), для которого величина
меньше всего отличается от значения
ЕП“ (к)
Ц=1
ается от зн
Епс (к),
Ц=1
х=1
равного 8п согласно (32). Зависимость M0 от N при к1 = к2 = 1 имеет вид M0 ~ N~0,28. Эта зависимость удовлетворяет указанному выше условию для PV массы, при котором согласуются поляризационные операторы и, следовательно, детерминанты регуляризованной решеточной и непрерывной 11112 моделей в случае неоднородного внешнего калибровочного поля.
Результаты численных расчетов значений ArgDCR и IDCRI показывают, что в пределе N ^ да данные решеточные величины стремятся к соответствующим непрерывным значениям ArgDCC и Dccl.
Заключение
В данной работе рассмотрены фермионые детерминанты векторной и киральной U(1) моделей SLAC-фермионы с регуляризацией по Паули - Вилларсу на двумерной конечной решетке. Доказано аналитически и численными расчетами, что введение такой регуляризации в действия моделей устраняет эффекты нелокальности как векторной модели в однородном внешнем калибровочном поле при трех регуляризующих полях, так и киральной неаномальной 11112 модели в неоднородном внешнем поле при одном регуляризу-ющем поле. В пределе бесконечного числа узлов решетки значения фермионных детерминантов этих решеточных регуляризованных моделей в указанных калибровочных полях совпадают со значениями детерминантов непрерывных теорий на двумерном торе.
Однако нелокальность 11112 модели SLAC-фермионы в однородном внешнем поле регуляризацией не устраняется вследствие нефизического вклада больших компонентов фермионного импульса в угловых частях всей области его компонентов. В связи с этим аргумент детерминанта данной киральной регуляризован-ной модели в однородном поле не согласуется с соответствующей величиной непрерывной теории.
Полученные результаты целесообразно использовать при исследованиях моделей фермионов методом решетки.
Автор выражает благодарность за плодотворные дискуссии кандидатам физ.-мат. наук В.Г. Борнякову и С.В. Зенкину. Особую благодарность автор выражает за полезные обсуждения и активную поддержку академику РАН А.А. Слав-нову.
132
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
