CC BY
8
УДК 519.71
И. С. Калинина1
О ДЕЙСТВИИ ОПЕРАТОРА FE-ЗАМЫКАНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ ФУНКЦИЙ СЧЕТНОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ
На множестве функций счетнозначной логики рассматривается оператор FE-замыкания, основанный на системах функциональных уравнений. Доказано, что FE-замыкание множеств, подобных множеству {0,ж+ 1}, совпадает с классом Е| аналитической иерархии Клини. Исследованы FE-замыкания систем с характеристическими функциями для отношений сравнения. Установлено, что мощность семейства FE-замкнутых классов гиперконти-нуальна.
Ключевые слова: функции счетнозначной логики, оператор FE-замыкания.
1. Введение. Функциональные уравнения широко распространены в математике. Отличительной особенностью функциональных уравнений является то, что помимо предметных переменных, принимающих значения в основной области, уравнения содержат также функциональные переменные, значениями которых служат функции, заданные на основной области. Решения функциональных уравнений и систем функциональных уравнений рассматриваются относительно функциональных переменных, а предметные переменные обеспечивают связи между функциональными переменными и функциональными константами, входящими в уравнения, и указывают на универсальный характер этих связей (предметные переменные в функциональных уравнениях всегда находятся под действием кванторов "для всех").
Разнообразные результаты по функциональным уравнениям имеются в функциональном анализе, теории дифференциальных уравнений, универсальной алгебре и теории функций многозначной логики, теории моделей, теории автоматов, теории рекурсивных функций и других разделах математики. Однако, по-видимому, ни в одном из этих разделов вопрос об исследовании выразительных возможностей языка функциональных уравнений не ставился. Систематическое исследование выразительных возможностей языков функциональных булевых уравнений и уравнений многозначной логики (а также связанных с ними операторов замыкания) проводилось в работах [1-6]. В работе [7] получены первые результаты по функциональным уравнениям счетнозначной логики. В частности, в [7] установлено, что замыкание "классической" системы функций {0, ж + 1} относительно оператора замыкания FE, базирующегося на функциональных уравнениях, дает класс Sj аналитической иерархии Клини.
1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: isenilovaQgmail.com
В настоящей статье мы продолжаем исследование функциональных уравнений счетнозначной логики и хотим рассмотреть действие оператора КК-чамыкания на множестве Рдг функций счетнозначной логики. В теореме 1 мы устанавливаем, что РЕ-замыкание множеств, подобных множеству {О, х + 1}, также совпадает с классом Х^ аналитической иерархии Клини. В теоремах 2 и 3 мы рассматриваем системы с характеристическими функциями для некоторых отношений сравнения и исследуем вопрос о совпадении их КК-чамыкания с классом Е}. В теоремах 4 и 5 показываем, что мощность семейства всех КК-чамкнутых классов гиперконтинуальна и что при выполнении простых условий многие КК-чамкнутыо классы можно расширить до предполных.
2. Определения. Введем необходимые понятия. Пусть N = {0,1,...}, Рдг — множество всех функций на N (множество функций счетнозначной логики). Если С} С Рдг и п ^ 1, то через обозначаем множество всех функций из <3, зависящих от п переменных. Для любых п ) 1 и ¿, 1 ^ г ^ п, рассматриваем селекторную функцию е"'(х\,... ,Xi,... ,хп), значения которой совпадают со значениями переменной х%. На множестве Раг предполагаем заданной операцию суперпозиции [8]. Множества функций из Раг, замкнутые относительно операции суперпозиции, называем замкнутыми классами. В определении языка функциональных уравнений придерживаемся терминологии работ [1, 2].
Предполагаем, что каждая функция из Рдг имеет индивидуальное обозначение. Для обозначения
(п)
п-местных функций из Рдг используем символы , которые называем функциональными константа-
Си)
ми. Наряду с функциональными константами рассматриваем функциональные переменные <р\ со зна-
(п)
чениями в области Р^ . Кроме функциональных переменных используем обычные предметные переменные х\, Х2, ■ ■ ■ с областью значений N.
Иногда для обозначения функциональных констант мы будем использовать символы д, к (с индексами или без них), а также символы у^ для обозначения предметных переменных.
Пусть С Рдг. Определим понятие терма над С}. Всякая предметная переменная есть терм над С}. Если ¿1,... ,Ьп — термы над <3, /¡^ — функциональная константа, служащая обозначением функции
из (3, (р^ — функциональная переменная, то выражения //"^(¿1, • • •, ср^... ,1п) суть термы над С,
Равенством над С} называем любое выражение вида = где ^,¿2 — термы над (3• Равенства над (3 считаем также функциональными уравнениями над С,Пусть • • •, — все функцио-
нальные переменные, входящие в уравнение = ¿2- Решением уравнения = ¿2 называем систему ■ ■ ■, Функций из Рдг, которая после замены каждой переменной соответствующей
функциональной константой превращает уравнение = ¿2 в тождество (относительно всех входящих в уравнение предметных переменных). Если Н — конечная система уравнений, то решением системы уравнений Н называем систему функций из Рдг, которая является решением каждого уравнения, входящего в систему Н.
Для того чтобы с помощью решений системы уравнений определять некоторые множества функций (от одного и того же числа переменных), выделим одну из функциональных переменных системы
Н, которую назовем главной функциональной переменной системы Н. Пусть (р^ — главная функциональная переменная системы уравнений 5 и § С Р^. Говорим, что множество функций (3 определяется системой уравнений Н, если (3 является множеством всех тех п-местных функций, которые
^ „ (п)
входят в решения системы г, в качестве компоненты по переменной щ '.
Пусть (3 С Рдг. Замыканием множества С} относительно систем функциональных уравнений (коротко: ¥Е-замыканием) называем множество всех функций из Рдг, которые определяются как одноэлементные множества системами функциональных уравнений над С,РЕ-замыкание множества С,] обозначаем через РЕ[(3]. Множество (3 называем замкнутым, если (3 = РЕ[(3].
Нетрудно убедиться в том, что РЕ-замыкание удовлетворяет известным аксиомам замыкания, т. е. действительно является оператором замыкания на множестве Рдг. Кроме того, для любого множества (3 (в том числе при (3 = 0) множеству РЕ[(3] принадлежат все селекторные функции, а множество РЕ[(3] замкнуто относительно операции суперпозиции (см. также [1]).
Пусть /(ж1,...,жп) € Рдг и 7г — перестановка на множестве N. Функция ¡ж{х\,..., хп) = = 7г_1(/(7г(ж1),..., 7г(жп))) называется сопряженной с функцией / относительно перестановки тт. Если / = /7Г, то функция / носит название самосопряженной относительно перестановки тт. Множество
всех функций из Рдг, самосопряженных относительно перестановки ж, обозначим через S^. Легко убедиться в том, что множество Sw образует замкнутый (относительно операции суперпозиции) класс. Положим Н = П^тг, где пересечение рассматривается по всем перестановкам ж на множестве N.
7Г
Функции из множества Н носят название однородных функций (см. [9]).
3. Системы, подобные {0, ж + 1}. В работе [2] установлен следующий принцип сопряженности для FE-замыкания.
Утверждение 1 (принцип сопряженности для FE-замыкания). Пусть система Н функциональных уравнений над множеством функций {/i,...,/s} определяет функцию fun — перестановка на множестве N. Тогда система уравнений Н71", полученная из системы Н заменой каждой функциональной константы fi, 1 ^ г ^ s, соответствующей функциональной константой JJ, определяет функцию р.
Согласно теореме 2 из [7] класс отношений, определяемых системами функциональных уравнений над множеством {0, ж + 1}, совпадает с классом Sj аналитической иерархии Клини [10] (то же самое можно утверждать для функций, если при этом рассматривать графики данных функций). Ниже мы перечисляем еще ряд систем, состоящих из распространенных функций, которые также приводят к классу Sj. Сначала обратимся к аналогам системы {0, ж + 1}.
Для произвольной функции /(ж) из Рдг обозначим через f n n-кратную суперпозицию функции /.
Теорема 1. Пусть а, € N и /(ж) — такая функция из класса Sj, что {fn(a) : п = 1,2,...} = = N \ {а}. Тогда FE-замыкание множества {а,/(ж)} совпадает с классом Sj.
Доказательство. Поскольку / € из цитированной выше теоремы 2 работы [7] получаем, что FE[{o,/}]CSj.
В другую сторону, определим перестановку ж на множестве N соотношениями 7г(0) = а и ж(п) = = fn(a) при п > 0. Понятно, что перестановка ж также принадлежит классу Sj. Функции 0 и ж + 1 являются сопряженными с функциями а и /(ж) относительно перестановки ж. Поэтому в силу утверждения 1 FE-замыкание множества {а, /} будет состоять из всех функций, которые сопряжены с функциями из класса Sj относительно перестановки ж. Однако перестановка ж входит в класс Sj. Значит, класс S] переходит в себя при сопряжении с помощью перестановки ж. Теорема доказана.
4. Системы, содержащие характеристические функции. Характеристической функцией отношения р(х\,..., х„) назовем функцию х(жъ • • • ■> хп)-, которая принимает лишь значения 0 и 1, причем значение 1 — только на наборах, удовлетворяющих отношению р. Характеристические функции отношений х,\ = жг, х,\ < жг, х,\ ^ жг обозначим соответственно х=, Хо
Теорема 2. FE-замыкание каждого из множеств функций {0,1,х<}, {0,1,х^} совпадает с классом Sj.
Доказательство. Заметим, что ограничение на множество {0,1} любой функции, удовлетворяющей системе уравнений
¥>i(0) = 1, ¥>i(l) = 0,
представляет собой булево отрицание. Поэтому имея одну из функций Хо мы можем получить и другую функцию.
Рассмотрим систему уравнений
ср2(х,х,у) = ж, ср2(х,у,х) = ж, ср2(у,х,х) = х.
Каждая функция, удовлетворяющая данной системе уравнений, обладает "медианным" свойством: на любом наборе, содержащем не более двух различных значений, она принимает значение, которое встречается в наборе по крайней мере два раза. Теперь с использованием функциональной переменной ¥>2 и функциональных констант Хо выпишем два уравнения, которые определяют функцию ж + 1:
Х<(ж,¥?(ж)) = 1, ¥>2(1,Х$(у5я)>Х$(¥>(я)5у)) = L
Первое уравнение гарантирует, что ср(х) > ж для любых значений ж, а второе — что не существует такого у, что ж < у < ср(х). Таким образом, мы имеем обе функции 0 и ж + 1. Далее применяем теорему 2 из [7]. Теорема доказана.
Следствие. FE-замыкание каждого из множеств функций {х<}; {х^} совпадает с классом Sj.
Доказательство. Имеем х<(ж, ж) = 0. Уравнение <р\{х) = (р\{у) определяет множество всех функций-констант. Добавляя к этому уравнению еще два уравнения
ср2(х,х,у) = х, (р2(0,(р!(х),у) = у,
замечаем, что полученной системе по переменной ¥>1 будут удовлетворяеть лишь все функции-константы, отличные от 0. Значит, (0, (р\{х)) = 1 и мы приходим к уже известной системе {0,1, х<}-
Подобным образом получаем х^ (ж, ж) = 1 и с помощью дополнительных двух уравнений определяем (по переменной ¥>1) множество всех функций-констант, отличных от 1. Далее уравнение Х§;(1,9?1(ж)) = (р\{х) выделяет из этого множества констант только одну константу 0. Следствие доказано.
Тернарным дискриминатором называтся функция р(ж, у, г), принимающая значение г, если ж = у, и ж в противном случае. Согласно [9], замыкание функции р(х,у,г) по суперпозиции дает весь класс Н однородных функций. А значит, согласно следствию из принципа сопряженности, РЕ-замыкание функции р(ж, у, г) также совпадает с классом Н.
Теорема 3. РЕ-замыкание множества функций {0,1,х=} содержит класс Н однородных функций и не совпадает с классом Е}.
Доказательство. Функции данной системы являются самосопряженными относительно любой перестановки, имеющей неподвижные точки 0 и 1. В силу принципа сопряженности этим свойством будут обладать все функции из КК-чамыкания рассматриваемой системы. Отсюда вытекает справедливость второго утверждения теоремы.
Обратимся к первой части теоремы. Будем строить систему уравнений, определяющую тернарный дискриминатор р. Сначала выпишем уравнение, которое задает значения р(х, ж, г):
¥>(ж, ж, г) = г. (1)
Затем заметим, что второй пункт определения функции р можно изобразить логической формулой (ж ф у) ^ (р(х,у,г) = ж). Эту же формулу можно представить иначе, если воспользоваться функцией х=:
¿(х=(ж,у),х=(ж,р(ж,у,г))) = 1,
где 1(и,у) — булева функция, которая принимает значение 1 только на наборе (0,1). Однако булеву функцию £ определяет система уравнений
¥>1(0,0) = 0, ¥>1(0,1) = 1, ¥>1(М) = 0, ¥>1(М) = 0. (2)
Следовательно, функция р будет определяться системой уравнений, состоящей из уравнений (1), (2) и уравнения ср1(х=(х,у),х=(х,р(х,у, г))) = 1. Теорема доказана.
5. Мощность замкнутых классов. Пусть М есть произвольное подмножество из N. Обозначим через С{М) множество всех функций /, которые являютя самосопряженными относительно любых перестановок, тождественных на N \ М и произвольных на М. Если Р — некоторая совокупность подмножеств множества Ж, то пусть С(Р) = \}С{М).
м
Далее будем рассматривать не произвольные совокупности множеств, а только те, которые являются фильтрами. Фильтром (на N) назовем совокупность множеств, удовлетворяющих двум условиям: если Мь М2 е Р, то Мг П М2 е -Р, и если Мг € Р и Мг С М2, то М2 е Р.
Утверждение 2. Для любого фильтра Р множество Н однородных функций содержится в С(Р), а класс С(Р) РЕ-замкнут.
Доказательство. Согласно второму свойству фильтра множество N принадлежит фильтру Р. Следовательно, класс С(Р) содержит все функции из С(Ж). Однако С(Ж) совпадает с классом всех функций, самосопряженных относительно любых перестановок на Ж, т. е. с классом Н.
Пусть функции ..., принадлежат классу С(Р), М1,..., М8 — такие множества из Р, что д\ € С(М1),... € С{М8). Если М = М\ П ... П М3, то согласно определению фильтра Р получаем М € Р. Обозначим через С?1,..., О группы перестановок, соответствующие множествам М1,..., М3, М (в определениях множеств С{М\),..., С(М3), С(М)). Из определений следует, что группа О содержится в каждой из групп С?1,..., С8. В свою очередь из этого вытекает, что класс С(М) целиком включает каждый из классов С(М\),..., С(М8). Если теперь функция / определяется системой функциональных уравнений над множеством {дх,..., д8}, то функция / будет как минимум
самосопряженной относительно любой перестановки из группы О. Поскольку Л/ ^ /-'. приходим к заключению, что / € С(Р). Утверждение доказано.
Утверждение 3. Для любого фильтра Р, не содержащего одноэлементных множеств, множество С(Р) отлично от множества Рдг.
Доказательство. Пусть / € С(Р) • Тогда для некоторого множества М из Р имеем / € С(М). По условию множество М содержит по крайней мере два элемента. Значит, функция / будет самосопряженной относительно группы перестановок, отличной от единичной группы. В частности, функция / не может совпадать с функцией х + 1. Утверждение доказано.
Назовем фильтр главным, если он состоит из всех надмножеств некоторого множества (случаи множеств 0 и N не исключаются).
Утверждение 4. Если Р1 и Рг — два различных неглавных фильтра, то С{Р\) ф С(Р2).
Доказательство. Пусть, например, Д/ ^ и М ^ Р>- Фильтру Р2 не может принадлежать никакое подмножество множества М — в противном случае по свойствам фильтров в будет входить и множество М. Таким образом, всякое множество из Р2 пересекается с дополнением к множеству М.
Заметим, что множество М можно считать состоящим не менее чем из двух элементов. В самом деле, если М состоит только из одного элемента, то ввиду неглавности фильтра Р1, в Р1 должно входить еще хотя бы одно множество М\, отличное от множеств М и N. Тогда множество М П М\ входит в Рь а дополнение к этому множеству содержит не менее двух элементов. Вместе с тем, как отмечалось, множество М П М\ не может входить в фильтр Р2.
Определим в множестве С(М) функцию /(ж). На множестве М функция / пусть будет тождественной. Далее, если множество М бесконечно и то,Ш1,... — его прямой пересчет (пересчет в порядке возрастания), то пусть для любого г выполняется /(т*) = т^г. Если же множество М конечно, М = {т0,Ш1,... ,тг}, где I ^ 1, то пусть /(т0) = гоь /(гпг) = т2, ..., Дтг) = тп0. Тогда_функция / не входит в множество Действительно, пусть € Рг- Тогда, как мы выяснили, М П ф 0.
Поскольку фильтр Р2 неглавный, множество М2 обязано быть бесконечным. Поэтому любая функция д{х) из С{М2) является тождественной на множестве М2. Вместе с тем функция / переводит любой элемент из множества М П М2 в отличный от него элемент. Таким образом, функция / не может входить в множество С(М2). Утверждение доказано.
Назовем гиперконтинуальной мощность множества всех подмножеств континуального множества.
Теорема 4. Мощность семейства всех ¥Е-замкнутых классов гиперконтинуальна.
Доказательство. В работе [11] установлено, в частности, что мощность множества всех фильтров на N гиперконтинуальна. Так как мощность множества главных фильтров континуальна, то мощность множества неглавных фильтров гиперконтинуальна. Согласно утверждениям 2-4, каждому из неглавных фильтров Р соответствует КК-чамкнутый класс С(Р), отличный от класса Рдг. При этом разным неглавным фильтрам будут отвечать различные КК-чамкнутыо классы. Таким образом, множество всех КК-чамкнутых классов имеет мощность не меньше гиперконтинуальной. Такая же оценка сверху следует из оценки мощности множества всех подмножеств континуального множества Рдг • Теорема доказана.
Класс функций С} назовем ¥Е-предполным, если он КК-чамкнут. отличен от Рдг и при добавлении любой функции из Рдг \ (} образует систему, РЕ-полную в классе Рдг. В работе [12] для оператора суперпозиции была доказана лемма теоретико-множественного характера, которая оказалась верной для любого оператора замыкания, в том числе для оператора КК-чамыкания.
Лемма. Пусть С} — РЕ-замкнутый класс, отличный от Рдг. Если существует конечная система функций ..., /р}, такая, что система С} и {/1,..., /р} является РЕ-полной в классе Рдг, то класс С} можно расширить до РЕ-предполного класса.
Теорема 5. Если фильтр Р не содержит одноэлементных множеств, но содержит множество с бесконечным дополнением, то РЕ-замкнутый класс функций С(Р) можно расширить до РЕ-предполного класса.
Доказательство. Пусть в Р входит множество М с бесконечным дополнением. Обозначим через д\{х) функцию, которая перечисляет множество М в порядке возрастания, а через д2(х) — какую-либо функцию, удовлетворяющую тождеству д2{д\{х)) = х. Заметим, что множество С(М) содержит, например, все функции д(х), которые тождественны на множестве М и произвольным образом отображают множество М в множество М. Отсюда сразу следует, что для любой функции /(ж) из Рдг найдется такая функция д(х) из С(М), что справедливо тождество д2(д(д\(ж))) = /(ж). Если взять какую-либо инъективную функцию с(ж, у) (например, функцию (ж + у)2 + ж), то система функций
С(М) U {<7i, <72, с) будет полной в классе Рдг относительно одной лишь операции суперпозиции. Таким
образом, добавление к классу С(М) трех функций gi, д2, с приводит к FE-полной в классе Рдг системе.
Далее применяем сформулированную выше лемму. Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Марченков С. С. FE-клаееификация функций многозначной логики // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычиел. матем. и киберн. 2011. № 2. С. 32-39.
2. Марченков С.С. Оператор замыкания в многозначной логике, базирующийся на функциональных уравнениях // Дискретный анализ и исследование операций. 2010. 17. № 4. С. 18-31.
3. Марченков С. С. О классификациях функций многозначной логики с помощью групп автоморфизмов // Дискретный анализ и исследование операций. 2011. 18. № 4. С. 66-76.
4. Марченков С. С., Фёдорова B.C. О решениях систем функциональных булевых уравнений // Дискретный анализ и исследование операций. 2008. 15. № 6. С. 48-57.
5. Марченков С.С., Фёдорова B.C. О решениях систем функциональных уравнений многозначной логики // Докл. РАН. 2009. 426. № 4. С. 448-449.
6. Марченков С. С., Фёдорова B.C. Решения систем функциональных уравнений многозначной логики // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2009. № 4. С. 29-33.
7. Марченков С. С., Калинина И. С. Оператор FE-замыкания в счетнозначной логике // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2013. № 3. С. 42-47.
8. Марченков С. С., Фёдорова B.C. О решениях систем функциональных булевых уравнений // Дискретный анализ и исследование операций. 2008. 15. № 6. С. 48-57.
9. Марченков С. С. Однородные алгебры // Проблемы кибернетики. Вып. 39. М.: Наука, 1982. С. 85-106.
10. Роджерс X. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. М.: Мир, 1972.
11. Марченков С. С. О мощности множества предполных классов в некоторых классах функций счетнозначной логики // Проблемы кибернетики. Вып. 38. М.: Наука, 1981. С. 109-116.
12. Гаври лов Г. П. О функциональной полноте в счетнозначной логике // Проблемы кибернетики. Вып. 15. М.: Наука, 1965. С. 5-64.
Поступила в редакцию 06.12.13
ON THE ACTION OF THE FE-CLOSURE OPERATOR ON THE SET OF COUNTABLE-VALUED LOGIC FUNCTIONS
Kalinina I. S.
The FE-elosure operator based on the system of functional equations is considered on the set of countable-valued logic functions. It is proved that FE-closure of the sets similar to the {0,3? + 1}, set coincides with the Sj class of analytical Kleene hierarchy. FE-closings are investigated for the systems with characteristic functions for comparison relations. The cardinality of the family of FE-closed classes is found to be hypercontinual.
Keywords: countable logic functions, FE-closure operator.
