CC BY
35
1834
Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1834-1836
УДК 531
ЭВОЛЮЦИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА В ПЕРЕХОДНОМ РЕЖИМЕ НА ОСНОВЕ НЕЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА
© 2011 г. Т.А. Хантулева, А.В. Литвинов
Санкт-Петербургский госуниверситет
Поступила в редакцию 15.06.2011
В рамках нелокальной теории переноса рассмотрена задача о распространении плоской волны, индуцированной ударом по твердому материалу. Описана эволюция формы фронта волны в процессе ее распространения. Рассчитано производство энтропии внутри фронта в зависимости от начального состояния среды, скорости и длительности ее деформирования. Обнаружена область синергетического образования вихре-волновых структур.
Ключевые слова: распространение волны, индуцированной ударом, производство энтропии.
Проблема замыкания уравнений переноса в переходных режимах, когда реакция среды на внешнее воздействие зависит от размеров и геометрии системы, не решается в рамках концепции сплошной среды. Нелокальная теория переноса, разработанная на основе неравновесной статистической механики и теории адаптивного управления, позволяет описывать реакцию конденсированной среды на нагружение в широком диапазоне режимов от упругого до гидродинамического [1-6].
Решается задача о распространении импульса умеренной интенсивности с плоским фронтом в конденсированной среде вдоль оси x. Скорость переноса импульса разделена на две части u = = U + v, где U — фазовая скорость распространения колебаний, а v — массовая скорость, максимум которой за счет дисперсии среды движется с групповой скоростью. В длинноволновом пределе фазовая скорость упругих волн совпадает с продольной скоростью звука в среде U ^ C = const и u = C + v. Перенос импульс а характеризуется масштабными параметрами: т = t/tR (отношение времени релаксации ко времени нагружения), 0 = tJtR (отношение времени запаздывания ко времени на-гружения), £ = Ct /L (отношение расстояния, пройденного возмущением за время нагружения, к характерной длине системы). В безразмерных переменных Z = (t — x/C)/t В = x/L уравнения баланса массы и импульса для полупространства, где массовая скорость отнесена к V0 (скорость внешнего нагружения), записываются в виде
dv 1 ЭСП ЭП п -+£-= 0.
(2)
dpi _ро dv i cdpov = 0 эс с эс э^ '
эс с эс э^
В нулевом приближении среда с плотностью р0 неподвижна, V = 0, а в первом приближении по параметру v/C << 1 при импульсном нагружении (£ ^ 0) из (1) получается v/C = р1/р0 = е (р1 -возмущение плотности, е — деформация).
Интегральное выражение для продольной компоненты потока импульса П (отнесенного к р0СУ0) на основе разработанной нелокальной теории [5—7] изначально не разделяется на конвективную (обратимую) и диффузионную (необратимую) части и позволяет описать все механизмы переноса импульса, включая волновые процессы
ct
п=сжс, z', t t)
о о
[Z, Z< 1
dv dv
(1)
га(0 = < (3)
[1, 1.
Для релаксационного ядра переноса ^ построена модель, включающая параметры т, Ф, £, в зависимости от которых уравнения переноса меняют свой тип. Параметры — не константы среды, а функционалы процесса, определяемые законами внутреннего управления с обратными связями на основе метода скоростного градиента. Цель управления — минимизация интегрального производства энтропии внутри фронта — достигается при различных сценариях эволюции [4—7].
На начальной стадии процесса ^ < << при нагружении ю = £ < 1, £ ^ 0, когда релаксацию можно считать замороженной, т ^ <», временные и про странственные переменные разделяются,
Эволюция волнового фронта в переходном режиме на основе нелокальной теории переноса
1835
ЖС, С, = (С, СЖ—^) ^ 1 -8(|5 —
память становится незатухающей, а реакция любой среды является упругой. Предел упругости зависит от свойств среды и скорости деформации при нагружении. В нулевом приближении по малому параметру у/С << 1 напряжение (3) определяется упругими моделями среды р0С = р0С0 + 40/3 (К = р0С0 иG - модули объемного сжатия и сдвига соответственно). В первом приближении упругая реакция среды пропорциональна деформации П = V. Уравнение (2) в упругом пределе при П = V и £ ^ 0 обращается в тождество. На больших характерных временах нагружения t<< t < tR, ю = £ < 1, £ ^ соответствующих стадии завершенной релаксации т ^ 0,
^ (С, О ^8(С-0,
когда остается только локальная зависимость от пространственной координаты = х, из (3) получается ньютоновская модель среды с вязкостями X + 4|/3 = (К + 40/3)^ = p0C2tr, а уравнение (2) обращается в уравнение диффузии импульса. Таким образом, конечная стадия нагружения любой среды определяется гидродинамической реакцией с диффузионным механизмом переноса импульса. Для твердых материалов — это пластические течения.
В переходном режиме при ^ = t = t для ко -ротких импульсов, когда £ ^ 0, механизмы волнового и диффузионного переноса в модели ре-
ffl(C) =
[Z, Z < 1,
(4)
[1 ^ 1.
Для интегродифференциального уравнения (4) построено приближенное решение, описывающее весь спектр режимов распространения импульса от упругой волны до гидродинамического режима. На рис. 1 представлена эволюция профиля скорости: толщина фронта растет с расстоянием х от плоскости удара. Двухволновой профиль массовой скорости на расстоянии х от поверхности ударного нагружения зависит от начальной скорости деформации, длительности и формы начального импульса.
На рис. 2 изображены траектории градиентного спуска по поверхности производства энтропии из разных фазовых точек т, Ф. Эволюция параметров модели т(х), Ф(х) при движении фронта позволяет проследить релаксацию упругого предвестника, изменение толщины пластического фронта, скорости его распространения, а также вычислить производство энтропии и энергию, запасенную в структуре среды за фронтом волны при синергетической самоорганизации. Сравнение профилей скорости с экспериментами по ударному нагружению твердых материалов, где после прохождения фронтов обнаружены следы вихре-волновых структур [1,2], подтвердило адекватность модели для прогнозирования реакции конденсированных сред на динамическое нагру-жение.
Рис. 1
лаксационного ядра не разделяются. Уравнение переноса импульса (2) с асимметричной гауссовой моделью ядра принимает вид [4—7]
V (С, 5) =Ю с ехр{П(;—5 —^))2 {^ (С, и
Рис. 2
Список литературы
0
1. Khantuleva T.A., Mescheryakov Yu.I. // Intern. J. Solids and Structures. 1999. V. 36. P. 3105-3129.
2. Хантулева Т.А., Мещеряков Ю.И. // Физическая
1836
Т.А. Хантулева, А.В. Литвинов
мезомеханика. 1999. Т. 2, №5. С. 5-17.
3. Khantuleva T.A. High-pressure compression of solids VI: old paradigms and new challenges. Berlin: Springer, 2003. P. 215-254.
4. Хантулева Т.А. // Химическая физика. 2005. Т. 24, №11. С. 36-47.
5. Хантулева Т.А., Никулин И.А. // Химическая
Физика. 2008. Т. 27, №3. С. 81-91.
6. Khantuleva T.A., Nikulin I.A., Serebryanskaya N.A. // Proc. 4th Europ. Conf. on Structural Control. St.-Peters-burg, Inst. of Problems in Mech. Eng. RAS. 2008. V. 1. P. 404-411.
7. Хантулева Т.А., Серебрянская Н.А. // Изв. ву-зов. Физика. 2009. Т. 52, №2/2. С. 165-171.
WAVEFORM EVOLUTION IN THE TRANSITION REGIME BASED ON THE NONLOCAL TRANSPORT THEORY
T.A. Khantuleva, A.V. Litvinov
In the framework of the nonlocal transport theory the problem on plane shock-induced wave propagation in solid is considered. Waveform evolution during its propagation is obtained in result. Entropy production inside the front depending on the initial medium state, velocity and strain duration is calculated. A region of synergistic formation of vortex-wave structures is found.
Keywords: shock-induced wave propagation, entropy production.
