CC BY
9
УДК 539.2:544.2:678.01:519.7:539.3:517.958
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ СХЕМЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ КВАЗИСТАТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ. Часть 6. Метод асимптотической сходимости решения проекционно-сеточных систем при конечных деформациях
АЛЬЕС М.Ю.
Институт механики Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
АННОТАЦИЯ. Исследуются эволюционные схемы численного решения систем нелинейных проекционно-сеточных уравнений неупругого поведения полимерных изделий в условиях конечных деформаций. Дается метод, обеспечивающий сходимость решения.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: эластомерные композиты, нелинейное механическое поведение, конечные деформации, краевые задачи, метод конечных элементов, эволюционные численные схемы.
Запишем модель деформирования [1] в следующем, достаточно общем виде
г
Р =я* { ВК1}, (1)
Х=0
где Р, ек 1 - симметричный тензор напряжений Пиола-Киргоффа и тензор конечных
деформаций Грина; ?](<%) - совокупность скалярных параметров, характеризующих процесс;
Ж'3 - некоторый функционал.
Расширим исходную задачу [2]
уг (Ра(за))= о,
г
Р* = Я> { £кI },
Х=о
Pa(d +УХ) n\ = Г,
I*
5 = ui>
(2)
введя вместо (1) следующее эволюционное уравнение
t
P = Ufdx eu +W { eu (X)h(X)}, начальные условия X = 0 eu = 0 (3)
где Ufl = 2/fElU + (Kf - f / )g']gkl, (4)
¡lf > 0, Kf > 0, Kf --3¡if > 0, /Hf, Kf - параметры алгоритма, размерность которых
совпадает с размерностью модулей упругости; E'jke = 0,5( g'kgjt + g'1 g]k) - единичный тензор четвертого ранга; %f - фиктивное безразмерное время; Э^ - частная производная по (•).
Уравнениями (3) введен некоторый переходный процесс «изменения» связи между напряжениями и деформациями. Физический смысл имеет только стационарное решение.
Аппроксимируя (3) по явной схеме с шагом AXf > 0, запишем следующий итерационный алгоритм решения задачи (2)
V,.
5 +1 (
рга
V
5+1
5+1Л
з,+v а и1
а а
у
5+1 5Л
- е е у
5+1 5+1
+ РЕ1 = 0,
е 2
Vгu, + V, и + Vгu, V 1ик
г ] ] г г К ]
V у
5 +1 С
Р
5+Л
за+va и
\
п.
5+1
■■г,
5+1
и.
■ и.
где и'1^1 - тензор, определяемый соотношениями (4), если в (4) произвести формальную замену параметров /, К/ на параметры / = /А%~/, К]Т = КгА%-.
Приближение (5 +1) для компонент вектора внешних поверхностных сил, обусловленных действием поверхностного давления р(ха), выглядит следующим образом
(0'а - мера Коши-Грина; 13(0) = ёй[О]- третий инвариант симметричного тензора 0'а ) Г = р^з( а) огап
за+va и
Для области V, ограниченной поверхностью 5 = 5и и 5а проекционно-сеточная аппроксимация итерационной задачи (5), исходя из слабой формы Галеркина, дает следующую систему нелинейных алгебраических уравнений относительно приближения
5+1
неизвестных узловых значений перемещений игт (т = 1, М)
5+1 5+1 5 5 5
К и + Я( и ) = Ки + Я(и) + Н (и),
5 +11 N / 5+1 5+1 Л
Ки = - 2 ^т | и'Ниа^а¥1+ и0^а¥( ) VwrdVn,
п=1 V
(6) (7)
5+11 N Г 5+1 5+1
Я( и ) =12от |зр иы V у (• и\ Vу +1 ит1 V у (+
п=1 V
5+1 5 +1 5+1 Л 5+1 1
+ иа1 1+ иы V а¥,I и1 ) К V рУ | V УrdVn,
(8)
(т = 1,М; I ,г,у,/ё Гп).
Вектор Н(и) представляет собой 5 - приближение невязки проекционно-сеточной системы уравнений Н (и) = 0 рассматриваемой исходной задачи
5 N 5 ( 5 Л .. ..
н(и)=2 от | за+и, vaV^ vl¥rdvn -2 от / - 2 л^т { =о, (9)
п=1 V V У
п=1 V
(т = 1, М; £,уё Гп; Вп).
5
а
5
5
п=1
5
а
п
Для моделей деформирования Свансона и Фарриса [1,2] имеем
р = 2//Эг] + К-
э о г]
Г э + 2
3Я1Ц -г э
3 + 211 (е)
8]
К
3К
в+1 в-у
3 + 21 1 (е) в 1 + в-у
Гэ = Этп (ОПТ , в = 473(0) -1,
где /2Э и ГЭ для модели Свансона имеют вид
ёэ =/Л (II и| I)
1 - с,
1-
:/о (IIЛ_)
• //
1 - с
1-
| Г(/ -ХЭ] ХХ4Х
для модели Фарриса
(
Дэ = /1
- в-
1 -
-+
||р
- в в Г
1
и.
I Г(/-Х)Э] (№£.
Система Н(и) = 0 для данных моделей деформирования представлена в статье [2] (уравнения (24) - (28) в [2]).
Таким образом, исходная задача (2) при помощи МКЭ и организации переходного процесса (3) свелась к системе нелинейных алгебраических уравнений (6) относительно
5+1
(Я +1) -го приближения вектора узловых перемещений и , . Необходимым и достаточным
условием локальной сходимости процесса, определяемого системой (6), к решению системы Н (и) = 0 является неравенство
(К + ЭиЯ(и))-1 [К + Эи (Я(и) + Н(и))]
< 1.
(11)
При практическом применении предложенного вычислительного алгоритма возможны различные варианты выделения матрицы в левой части (6). Эти варианты сводятся
Я+1 5+1 Я Я Я +1 Я
к тем или иным представлениям вектора Я( и ), например, Я( и ) = Я(и) + диЯ(и)( и - и).
Я
В этом случае матрица К + ЭиЯ(и) системы зависит от перемещений и, следовательно, необходимо ее переформировать при вычислениях. Затраты ресурсов ЭВМ при многократном формировании матрицы системы уравнений большой размерности велики.
Решение можно упростить, заменив в системе (6) (Я +1)-е приближение вектора Я(и) на приближение Я:
Я+1 Я Я
К и = К и + Н (и). (12)
Необходимое и достаточное условие локальной сходимости (12) к решению исходной системы Н (и) = 0 имеет вид
|| Е - К Э иН (и) < 1, где Е - единичная матрица.
(13)
Условия локальной сходимости (11), (13) малоконструктивны в том смысле, что оценить теоретически область допустимых значений итерационных параметров /, К^
исходя из этих условий затруднительно. Подбор итерационных параметров /^, К^,
I
I
Э
и
и
0
и
и
т
I
I
I
Э
и
и
и
0
и
и
обеспечивающих сходимость решения, осуществлялся численным экспериментом. Практика расчетов показала, что хорошую оценку области допустимых значений /, К/ в первом
приближении для моделей деформирования Свансона и Фарриса (10) дают следующие неравенства:
для итерационного параметра / - модель Свансона при 1и = || 1и ||
(
/ > 05
Э/о(I и )
д£..
1и + /0(1 и )
при £и * || к ||» : / >/э -0.5//0(|| к ||»)(1-/э =/л (|К1|¥)
1 - с,
1 -
- модель Фарриса при 1и
: // > 0.5р,э
Вв 1-1 + т
1 -1
■ УУ
V
'и 11р у
+1
(14)
(15)
(16)
при ¿и * || К ||» : /л > 0.5Мэ(2 + т + Вв1 -1) -/I
- в в
I.
1 + т
л
+
+
V|| 1и ||р у
„ т 1 + —
р
V|| 1и ||р у
, Мэ =
- в-
1-
" и И<¥ у (
+
V" и 11р у
для итерационного параметра К//: КЛ <
2К
(17)
(18)
1 + КБ(£ и )пЧ ехр(а)
По определению, принятому в (4), и с учетом АХ/ > 0 имеем также следующее ограничение 3К/ - 2// > 0. Из условия устойчивого вычисления величины К/иОУ оу1 (I ё Гп) в (7) необходимо также, чтобы /-К/ < 102 (см. [3, 4]). Оценки (14) - (18) получены при пренебрежении в (7) - (9) величинами малости порядка 0(ик1 Vу(икVуг) и выше и
воспользовавшись результатами теорем 1, 2 в [4, 5].
Численные расчеты показали, что предложенный алгоритм асимптотической сходимости позволяет получать всегда устойчивое сходящееся решение квазистатических задач деформирования нелинейно вязкоупругих полимерных изделий сложной формы в условиях больших деформаций (более 100 %) при немонотонных режимах нагружения, включающих участки разгрузки и повторного нагружения. Некоторые результаты по сходимости приведены [6].
На рис. 1 показано изменение внутреннего радиуса с учетом конечности деформаций для цилиндра из несжимаемого полулинейного материала [7], нагруженного по наружной поверхности давлением Р : Я1 = 0,62м; Я2 = 1,39м; / = 16,7 105 Па . Точками отмечены численные результаты, сплошной линией - аналитическое решение [7].
На рис. 2 представлено полученное с учетом конечности деформаций изменение радиального перемещения иг (сплошная линия) и кольцевой деформации е канала
(пунктир) для цилиндра, скрепленного с упругой оболочкой и нагружаемого изнутри давлением Р [8]: Я1 = 0,62м; Я2 = 1,39м; к = 0,007м; / = 16,7 105Па; пк = 0,3; Ек = 0,2 ТПа. Точками отмечены численные результаты, сплошной линией - результаты работы [8].
£
и
и
£
I
и
и
и I
и
1
т
т
£
£
£
£
£
и
и
и
и
и
£
и
и I 1¥
_I__
о to го рюуъ
Рис. 1. Изменение радиуса канала
KP
h. 9-
У
К* J **
/ fl
/ У
ß (о го зо p-íc^flo,
Рис. 2. Изменение перемещений и деформаций канала
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Альес М.Ю. Феноменологические описания нелинейного сопротивления деформированию высоконаполненных эластомерных (нано) композитов. Часть 2. Конечные деформации // Химическая физика и мезоскопия. 2010. Т. 12, № 2. С. 219-223.
2. Альес М.Ю. Эволюционные изотропные схемы численного решения нелинейных краевых задач квазистатического деформирования. Часть 4. Проекционно-сеточная постановка при конечных деформациях // Химическая физика и мезоскопия. 2014. Т. 16, № 2. С. 195-201.
3. Альес М.Ю. Эволюционные изотропные схемы численного решения нелинейных краевых задач квазистатического деформирования. Часть 1. Особенности сходимости нелинейного численного решения в условиях малых деформаций // Химическая физика и мезоскопия. 2013. Т. 15, № 3. С. 337-342.
4. Альес М.Ю. Эволюционные изотропные схемы численного решения нелинейных краевых задач квазистатического деформирования. Часть 3. Метод асимптотической сходимости для нелинейных несжимаемых сред в условиях малых деформаций // Химическая физика и мезоскопия. 2014. Т. 16, № 1. С. 25-30.
5. Альес М.Ю. Эволюционные изотропные схемы численного решения нелинейных краевых задач квазистатического деформирования. Часть 2. Метод асимптотической сходимости для нелинейных сжимаемых сред в условиях малых деформаций. // Химическая физика и мезоскопия. 2013. Т. 15, № 4. С. 502-507.
6. Альес М.Ю. Эволюционные изотропные схемы численного решения нелинейных краевых задач квазистатического деформирования. Часть 5. Особенности пошагового решения проекционно-сеточных систем при конечных деформациях // Химическая физика и мезоскопия. 2014. Т. 16, № 4. С. 494-499.
7. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М. : Наука, 1980. 515 с.
8. Jana M.K., Renganathan K., Venkateswara Rao G. Effect of Geometric and Material Nonlinearitics on the Propellant Grains Stress Analysis // J. Spacecraft. 1988. V. 25, № 4. Р. 318-320.
EVOLUTIONARY ISOTROPIC NUMERICAL SCHEMES FOR ACTION BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF NONLINEAR QUASI-STATIC DEFORMATION. Part 6. The method of asymptotic convergence of the projection-grid systems at finite deformations
Alies M.Yu.
Institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia
SUMMARY. We investigate the evolutionary scheme of numerical solutions of systems of nonlinear equations projection-grid inelastic behavior of polymeric products under finite deformations. A method of providing convergence solutions.
KEYWORDS: elastomer composites, nonlinear mechanical behavior, finite deformation, boundary value problems, finite element method, numerical evolutionary scheme.
Альес Михаил Юрьевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник ИМ УрО РАН, тел. 89128563824, e-mail: [email protected]
