CC BY
8
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
УДК 539.2:544.2:678.01:519.7:539.3:517.958
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ СХЕМЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ КВАЗИСТАТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ. Часть 3. Метод асимптотической сходимости для нелинейных несжимаемых сред в условиях малых деформаций
АЛЬЕС М.Ю.
Институт механики УрО РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
АННОТАЦИЯ. Исследуются эволюционные схемы численного решения систем нелинейных проекционно-сеточных уравнений неупругого поведения полимерных изделий в условиях малых деформаций и несжимаемости среды.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: эластомерные композиты, нелинейное механическое поведение, несжимаемая среда, краевые задачи, метод конечных элементов, эволюционные численные схемы.
В [1], на основе вариационного принципа Германа [2], предложен всегда сходящийся устойчивый итерационный алгоритм решения линейных проекционно-сеточных уравнений для несжимаемых (или почти несжимаемых) материалов. Для нелинейных сред [3] итерационные методы решения имеют ряд особенностей [4], преодолеть которые удается [5] путем введения эволюционных уравнений для определяющих соотношений. В [5] доказана сходимость метода к обобщенному решению исходной дифференциальной задачи для случая сжимаемой среды. При нелинейном объемном деформировании, когда объемная деформация зависит от среднего напряжения а и интенсивности деформаций Iи, среда может проявлять свойства несжимаемости (или почти несжимаемости). Например, при
аппроксимации Кэ достаточно общим соотношением [3, 4] Кэ = К(1 + а~lKD(£и)пеаа) и
реализации в какой-либо точке континуума условия а + KD(lи )п ехр(аа) = 0, среда в данной точке деформируется без изменения объема.
Докажем сходимость предложенного в [5] метода
5 + 1 5 + 1
V + У; а + pgi = 0,
5 + 1 ( 5 + 1
^ = 2
э - э
Э V э ч
5 + 1
V
( 5 + 1
)
+ 2 !лэ э, - ГЭ
5
э„. = -
( 5 + 1 ^
К-1
V ) т
5 + 1
Vй и = К
+1 1 )
V1 и , + V , и 1
= К
1 5 + 1
- 1 Vй и g 3 й
1,'
( 5 + 1 > -1 ат ( 5 + 1 п ( ^ + 1 ^
1 + 1 И ехр а а 1 т
V ) V ) V )
//
( 5 + 1 5 + 1 ^ ( 5 + 1 ^ 5 + 1
+ К-1 а
а +, - а
т +1 т
)
5 + 1 5 + 1
(Я, + а gl/)п
= /1,
5 + 1
и
V
= и :
)
(1)
5 5
5
2
й
Я
Я
а
и
в классе обобщенных решений к решению исходной граничной задачи
V + р£ = 0
су = 2дэву +1 1 - 2 дКэ I ^у - г!
в = К-1 а, в у = 0,5 + V jUi)
сгуп.
^ I *
где Бу, Эу - девиаторы тензоров напряжений су и деформаций ву; gj■ - метрический тензор; с, в - среднее напряжение и относительное изменение объема; и1 - вектор перемещений;
р - плотность; g1 - единичный вектор массовых сил; f1 - заданное распределение вектора
*
внешних поверхностных сил на Бс; и* - заданное распределение перемещений на Би; Бс и Би = Б; Бс П Би =0; дЭ, КЭ - эффективные (кажущиеся) модули сдвига и объемного растяжения-сжатия; Г- - тензорная функция; д^ > 0, Ку > 0 - параметры алгоритма, размерность которых совпадает с размерностью модулей упругости д , К ; ду = дуА£-1;
К# = Ку А£ / ; 0 < К я < 2К
#
т+1 т+1
1 + К£(Iи )И*ехр(</ с )
-1
; К у - -2 д уд > 0; А£ у > 0 - шаг инте-
грирования (параметр алгоритма) эволюционных уравнений Бу = 2дуу—у + 2д-Эу - Г- , в = К-- с + КЭ-1с, £ у = 0, Эу = 0, с = 0 по фиктивному безразмерному времени £ у;
д() - частная производная по (•). Нижними индексами у тензоров и набла операторов обозначены ковариантные компоненты, верхними - контравариантные.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СХОДИМОСТИ АЛГОРИТМА В СЛУЧАЕ НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ (К-1 = 0 )
Обобщенным решением задачи (2) назовем вектор-функцию Ж = {и^, с}, для которой выполняются соотношения Коши 8у = 0,5^и,- +V уих), граничные условия и.|„ = и* на
J J J
поверхности Би , определяющие уравнения с у = 2дэву + |1 - 2 д эKЭ1]аgi7■ - ГЭ и которая
3
удовлетворяет интегральному тождеству
| {( 2д Э (и )8у (и) + сgу )ву (и) + в (и )с} ёУ = I pgiUidV + | /i й^
V V Бс
(3)
для всякой достаточно гладкой вектор-функции Ж = {и, с}, удовлетворяющей соотношениям Коши для ву (и) и однородным граничным условиям на поверхности Би . Из (3) следуют уравнения равновесия V су +pgi = 0, условие несжимаемости в(и) = 0 и
граничные условия с°п
= /' на поверхности Бс.
Определим скалярное произведение (Ж, Ж), и норму
Б
и
СГ
Б
с
(ж, ж) = |<
V
21 ггг4 (и) +(1 - - | //К /
2
4/
3
/Г/
= (Ж ,Ж )0,5
г, (г}) + (б(и) - К-1а) «г Г ¿V
(4)
и докажем сходимость предложенного алгоритма (1) при К,-1 = 0 в норме Цж||.
Теорема 2. Пусть существует единственное обобщенное решение Ж задачи (2),
параметр К// удовлетворяет условиям 0 < К// < 2К
т+1 т+1
\п
1 + КДIи)паехр(а а)
-1
К// - 31/ > 0 и параметр |д/ алгоритма (1) таков, что выполняются неравенства
, , 1 д(2|ээ 1 - Г|) , оЧ
0<^ (с2)<- "^ (с2)
0 < т1 < т2 < 2.
Г 5 Л
Тогда последовательность Ж = < и, аг, определяемая системой (1), сходится к обобщенному решению Ж = {и^, а} задачи (2) как геометрическая прогрессия
(5)
(6)
5+1 5 .. 0
5+1
|| Ж - Ж || < т^ || и - и т^ = тах Ц - т1
1 - т,
где
\\и\\ =
VV
| 2| „э, (и)э 7 (и)^
г/ Л 1
)0,5
(7)
(8)
(9)
Доказательство. Эквивалентный схеме (1) алгоритм для обобщенного решения Ж, с
5+1 5+1 5 5 1 5 5 , ,( 5 5 5 Л
учетом (см. [5]) Vй и = К -1( а-а) + Кэ1 а, Кэ1 = К-11 1+ С-1 КБ(1 и )п ехр(а а) I, имеет вид
V
( , 5+1 5+1 5+1 Л • •
Л а17 ( и , а )е, (и) + 0( и )а ¿V = Лр/и^ + | /и^,
(10)
где
5+1 5+1
5+1 5
2
5+1 5
(и, а) = 21 /г,(и - и)+(1 - 31/К/)(а - а)g,' +
5 5 5
+2|э (и)г, (и) + а g, - Г, (и) -
| э (и) - |
/
0(и ) g,
Вычитая из (10) аналогичное рекуррентное соотношение, записанное для Я -приближения, получим
1<
V
5 + 1 5 -
2|/г17 ( и -и) + (1 - 31/К/1)( СТ ~ст)
2
5+1 5 а
5+1
г, (и) +
-1
5+1 5
0( и - и) - К/ ( а - а)
/I
, 5 5-1 2 1 5+1 5 ,
21 //э17 (и- и ) - 31//К^//г ( а - а^17 -
' , 5 , 5-1 Л
FЭ7 (и) - FЭ7 ( и )
-1
а | ¿V =
5+1 5
г, (и) - К / ( а - а)а г ¿V,
5
55
5
где Fj7 (и) = 2|э (и)э7 (и) - Г^ (и) .
Я
а
5
5
5
5
5+1 5 5 + 1 5
Принимая в качестве й^ = и1 - и1 , с = с - с , с учетом (4) будем иметь
s+1 s W _ W
E
ijk 1 __
f \
s s _1 Fij _ F j
э э
_1 ^
2ц ff ( s s
3kl _
2ц ff
С s s _1 V s+1 s ^ ЭЫ _ Э kl Э ij _ 3ij
dV
_1
ffKff
's s_0 a_ a
у
(11)
V
С s s _1Y s+1 s ^
Сs s
e_ e
v у
e_ e
v у
e _e
V у
+K
_1
ff
С s+1 s Y s+1 s ^
a _a
a _a
dV,
где £ук1 = 0,5(glкgJ'e + g■^lgJ'k). Воспользовавшись применительно к правой части (11) неравенством Коши - Буняковского и учитывая, что
~"п> 0,
dea =
K-1 + D(lu )nqeqa
будем иметь
s+1 s W _ W
2
/
<
s_1 s s_1
.0,5
V
s+1
V j (u)2f (Эн _ Э ki )(Эi7■ _ Э j )dV
f s+1 s+1 s s+1 s
V j ( u )2f ( Эk I _ ЭН )( Э j _ Э77 W
0,5
(12)
VV
s .. s .. s
Ml, \ j 1 5(2 ЦэЭи (u) _ rlj (u))
где AJ (u) = EJ - э
2ц
ff
5Э'
kl
Отсюда, с учетом (9) и принятых условий (5), (6), получим
2
s+1 s s+1 s s s _1
W _ W < m3 u _ u u _ u
(13)
где m3 = max {| 1 _ m?1 |1 _ m2 |} < 1.
Сходимость процесса (1) при КЭ1 = 0 в норме (9)
s+1 s s s _1
u _ u < m3 u _ u
(14)
следует из (12), если в определении (3) исключить из рассмотрения виртуальную работу I (св(и) + всс)ёУ, положив функции и1, и1 заранее (по определению) удовлетворяющими
условию несжимаемости в(и) = 0, в(и) = 0 и сведя, тем самым, || Ж || к || и || и (13) к (14). Теорема доказана.
Из (5, 6) можно оценить область допустимых значений итерационного параметра д
ff
2
1
2
х
X
|/ > 0,5| Неравенствам 0 < К/ < 2К
В01и1 + т
1 -
Л Р
и
VI1 1и 11 р )
и
и
+1
т+1 т+1
1 + КДIи )пдехр(д а )
-1
К/ -131// >0 и (15)
(15)
как
показали расчеты, без каких-либо практических трудностей можно удовлетворить при любых (физически допустимых) значениях реологических параметров среды, немонотонных программах квазистатического нагружения и произвольно неоднородном по области напряженно-деформированном состоянии (обладающим требуемой для обобщенного решения гладкостью).
5+1 5 + 1 5 5 5
Предложенный алгоритм (1), с учетом (см. [5]) Vй и а= К-Д а-а) + Кэ- а,
/
Кэ1 = К-1
л
1 + а-1 КД1 „ )п ехр(д а)
позволяет представить решение проекционно-
сеточной задачи нелинейного деформирования как последовательность линейных решений для некоторой упругой среды с фиктивными модулями , К/
N
Еотл
п=1 V
( 5+Л
I Я17
5+1
а gJ
>
N
V! р ¿^п -хот Л
п=1 V
55
Я17
) /
Я17
V )
V Р ¿V -
у 1 Ауп
N
N
е от л pg, р¿V - х лЛ /, ра=0,
п=1 V" п=1 Я
N
( 5+1
Еот Л
п=1 V,
и VгРI - К/Р, а
5+1
N
р ^+Еот л
п=1 V,
-1 -1
К/ - Кэ
Р а
Ру ^ = 0,
(т = 1, М; I, уё Гп; ре Вп )
где
( 5+1 Л
Я7 и //
V )
//
5+1 . 5+1 . 2 5 ...
и V1 Р + V7 Р ^ - 3 ий VйР ^ g17),
(16) (17)
5 5
Я7 = |
и, и ^Р^- 3 и у VаРl *
2
5
.а,
17
.. 5
- ГЭ (и).
(18)
Для экономии вычислительных ресурсов удобно разделить проекционно-сеточную систему (16), (17) на две взаимосвязанные системы уравнений меньшого порядка относительно (Я +1) -го приближения перемещений
(5+1 5+1
Е О^ Г 1 171,й®
Е1Отт Л ~ /
п=1 Vn 2 Л/
и + и
N
- х от л
У т
п=1 V,
5
а1
- Я7 -
п IV )
//
1 - К/К
5
-1
g, Г ^ -
(19)
N у г 7 N п о
- е от л pgJ ру- е лпот л г =0
п=1 ^ п=1 Яап в
/ = 2|+ (К/ - 2 |/)g^g
1, йю
1
5
5
5
5
п
5
5
5
5
5
5
и (Б + 1) -го приближения среднего напряжения (17). Здесь определяется соотношениями (18); су = иЯ^ е . При этом, из условия устойчивого вычисления величины
КI, I е Гп при определении (су )^ необходимо, чтобы д^К^ < 102 .
Практические численные расчёты показали, что предложенный метод решений позволяет получать всегда устойчивое сходящееся решение нелинейных краевых задач немонотонного квазистатического деформирования с любой (физически допустимой) объемной сжимаемостью среды в условиях, когда реализуется существенная пространственно-временная неоднородность решения.
s
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Альес М.Ю., Булгаков В.К., Липанов А.М. К расчету напряженно-деформированного состояния элементов конструкций из несжимаемых или почти несжимаемых материалов методом конечных элементов // Авиационная техника. 2089. № 3. С. 10-13.
2. Герман Л.Р. Вариационный принцип для уравнений упругости несжимаемых и почти несжимаемых материалов // Ракетная техника и космонавтика. 2065. № 10. С. 139-144.
3. Альес М.Ю. Феноменологические описания нелинейного сопротивления деформированию высоконаполненных эластомерных (нано) композитов. Часть 1. Малые деформации // Химическая физика и мезоскопия. 2010. Т. 12, № 1. С. 69-77.
4. Альес М.Ю. Эволюционные изотропные схемы численного решения нелинейных краевых задач квазистатического деформирования. Часть 1. Особенности сходимости нелинейного численного решения в условиях малых деформаций // Химическая физика и мезоскопия. 2013. Т. 15, № 3. С. 337-342.
5. Альес М.Ю. Эволюционные изотропные схемы численного решения нелинейных краевых задач квазистатического деформирования. Часть 2. Метод асимптотической сходимости для нелинейных сжимаемых сред в условиях малых деформаций // Химическая физика и мезоскопия. 2013. Т. 15, № 4. С. 502-507.
EVOLUTIONARY ISOTROPIC NUMERICAL SCHEMES FOR ACTION BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF NONLINEAR QUASI-STATIC DEFORMATION. PART 3. THE METHOD OF ASYMPTOTIC CONVERGENCE FOR NONLINEAR INCOMPRESSIBLE MEDIA UNDER SMALL DEFORMATIONS
Alies M.Yu.
Institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia
SUMMARY. We investigate the evolutionary scheme of numerical solutions of systems of non-linear projection-difference equations of the inelastic behavior of polymer products in a small strain and incompressibility medium.
KEYWORDS: elastomer composites, the nonlinear mechanical behavior of a incompressibility medium, boundary value problems, finite element method, numerical evolutionary scheme.
Альес Михаил Юрьевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник ИМ УрО РАН, тел. 89128563824, e-mail: [email protected]
