CC BY
64
УДК 624.075.22
А.С. Чепурненко, В.И. Андреев*, Б.М. Языев
ФГБОУВПО «РГСУ», *ФГБОУ ВПО «МГСУ»
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПРИ РАСЧЕТЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ
Задача устойчивости полимерного стержня при ползучести решена энергетическим методом в форме Тимошенко — Ритца. Возможные перемещения точек были заданы в виде тригонометрического ряда с неопределенными коэффициентами. Численно при помощи комплекса MatLab получен результат при различных уравнениях связи деформаций ползучести и напряжений. Показана необходимость учета «младших» составляющих высокоэластической деформации при использовании уравнения Максвелла — Гуревича.
Ключевые слова: стержень, устойчивость, энергия, работа, выпучивание, ползучесть.
Рассмотрим шарнирно опертый стержень, нагруженный сжимающей силой F и имеющий начальную погибь v0 = f (x). Расчетная схема представлена на рис. 1.
Рис. 1. Шарнирно опертый стержень, сжатый силой Е
Выражение для потенциальной энергии деформации имеет вид [1]
П =-\сЫУ = йУ. (1)
2у 2У
Здесь под е понимается упругая деформация, для рассматриваемой задачи она может быть записана в виде [2]
ВЕСТНИК
МГСУ-
1/2013
е = ео +-
д V
дх2
-У - е ,
(2)
где е0 — осевая деформация стержня; е*— высокоэластическая деформация.
Величиной е0 можно пренебречь ввиду ее малости по сравнению с полной деформацией.
Подставим (2) в (1) и перейдем от интеграла по объему к тройному интегралу:
1 1
П =-1Е (х)ёх |
{ 2 д V
гдх 2 У
2 т *
у - 2е
2 д V
дх2
-у +
(е- )2
11
ёЛ = -| Е (х ) <
I (х )
22 д V
ч&2 у
- 2
д V 2
| е*ydЛ + | (е*) ёЛ > ёх.
дх Л Л
Сближение концов стержня при выпучивании определяем по формуле
А = А-Ао =-
1 1 1
о
+ 2--0 !> ёх.
дх дх
Тогда работа внешних сил определяется как
1F} — | + 2-
А = F Д = - F N1 —
2 0 I V дх
дх дх
Потенциальную энергию системы записываем в виде
1 1
Э = П - А=—| Е (х)ёх |
(я2 \
д V
кдх2 У
2
2 т * д V
У —2У +
дх2
(■* )2
ёЛ -
-1 ^ {[£ Т + 2 £ £ Ц
2 0 I Гдху дх дх I
(3)
Согласно методу Тимошенко — Ритца задаемся предполагаемой формой изгиба в виде суммы функций с неопределенными множителями аг (г = 1,...,п) [3]:
v(х) = Х а /г. (4)
г =1
Здесь под понимаются функции от х, удовлетворяющие геометрическим граничным условиям задачи, т.е. такие, которые относятся к прогибам и углам поворота, независимо от а
Разрешающие уравнения для определения неизвестных коэффициентов ряда представляют собой систему линейных алгебраических уравнений [4, 5]:
® = о, = 0,..., ^ = 0. (5)
д«! д«2 дап
О
Л
Примем число членов ряда п = 10.
После подстановки (4) в (3) и последующего дифференцирования выражение (5) преобразуется к виду
2 2-Л - Г} А ^х \ =
i ■ S a Ь» f df
dx dx
jE (x) ^ jj e* ydA\dx + F J f d0 dx,
0 dx2 LA k = 1,..., n.
или в матричной форме:
B * X = C,
dx dx
(6)
где a c b11 bl2-b1n
X = < с = B =
an„ cn. bn1 bn2---bnn _
bk = Je (x)/ (x ^ dx - F jf^dx, 0 dx2 dx2 0 dx dx
Ck =JE (x {j s* ydAdx + F J^dr dx-
дх дх
и "" ^ ли
Система (6) подходит под любое уравнение связи и позволяет получать решение независимо от способа закрепления, формы поперечного сечения, функции изменения начальной погиби.
Алгоритм определения деформации е* в каждый момент времени приводится в [6, 7].
Для шарнирно опертого стержня принимаем . (пх| . . (лхг| . .
П) = А>8т^у^ А =п
Будем использовать закон деформирования, который описывается уравнением Максвелла — Томпсона:
L н}
1— E
o-Hs
д = _1 д1 пЕ
где п — время релаксации напряжений; Е и Н — мгновенный и длительный модули упругости соответственно.
Такой закон используется в работе П.А. Белоуса [8] для решения задачи устойчивости полиэтилена низкой плотности (ПНП). Автор по аналогии с Эйлеровой силой вводит в рассмотрение длительную критическую силу
F =
п2 Н/
¡2 '
ВЕСТНИК
МГСУ-
1/2013
При Е < ЕД скорость роста деформаций ползучести уменьшается, и прогиб стремится к конечному значению. Если Е > ЕД, прогиб неограниченно возрастает. При F = Fд скорость роста деформаций ползучести постоянна.
Вычисления, как и в [8], выполнялись для шарнирно опертого стержня квадратного сечения при следующих параметрах:
£ = 20-
мм
.2 '
Н = 5,6-
мм
п = 600с; Ь = й = 20 мм; / = 300 мм; / = 0,16 мм.
Для исследуемого стержня из ПНП ЕД = 8,2 кг. График зависимости стрелы прогиба / от времени при различных значениях нагрузки представлен на рис. 2. Как видно из графика, решение задачи хорошо согласуется с решением, полученным П.А. Белоусом, что позволяет говорить о достоверности результатов. 2-1-1-1-1-1-1-1-1-1—
1,2 1, мм 1
0,8 0,6 0,4 0,2 0
2,5 t , час
Рис. 2. Зависимость стрелы прогиба от времени при различных значениях сжимающей силы
Рассмотрим теперь задачу устойчивости для полиэтилена высокой плотности. В качестве уравнения связи будем использовать уравнение Максвелла — Гуревича, которое имеет вид [9]
д " п*'
где /* — функция напряжений; п — коэффициент релаксационной вязкости.
* *
)* _ ^ —,
1 = 1
* = *
П* П0
/
где По — коэффициент начальной релаксационной вязкости; Е— модуль вы*
сокоэластичности; т — модуль скорости.
Высокоэластические деформации е* представляются спектрами времен релаксации полимера:
* ^ *
е = > е .
хз
В [2] при решении задач устойчивости ограничиваются только «старшей» составляющей высокоэластической деформации 8X1, обосновывая это тем, что
рассматривается относительно непродолжительный временной период. Пред*
ставляет интерес, какой вклад вносит «младшая» составляющая ех2 при выпучивании стержня.
Данные для полиэтилена высокой плотности были взяты из [10]:
* 6 КГ-с * 7 КГ-с кг
Лод= 1,3-106—; По,2 = 1-1°7 —Е»д = 90
мм
мм
мм
2 '
Е»,2 = 28,^ -КГ2; m" = 0,189^-; E = 75^-мм мм мм
Размеры стержня принимались равными Ь = Н = 10 мм, I = 157 мм. Вычисления производились при трех значениях сжимающей силы:
Е = 20 кг, ^2 =10 кг, Е, = 5 кг.
Эйлерова сила для рассматриваемого стержня равна = 25 кг.
Графики зависимости составляющих полной деформации от времени
*
при различной величине нагрузки показаны на рис. 3—5. На графиках 8х —
*
«старшая» составляющая высокоэластической деформации, е х2 — «младшая» составляющая, е — упругая деформация.
0,01
0,005
-0,005
-0,01
-0,015
-0,02
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
t , час
0
Рис. 3. Зависимость деформаций от времени при F = 20 кг
ВЕСТНИК
МГСУ-
1/2013
х 10-3
10
20
30 t , час
40
50
60
Рис. 4. Зависимость деформаций от времени при F = 10 кг
х 10-3
-1,5
-3,5
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
t , час
Рис. 5. Зависимость деформаций от времени при F = 5 кг
Из графиков видно, что «младшая» составляющая высокоэластической деформации начинает проявляться даже при небольшом времени, особенно при величине нагрузки, близкой к эйлеровой силе.
Таким образом, применяя уравнение Максвелла — Гуревича к задаче устойчивости полимерного стержня, необходимо учитывать, как минимум, две составляющие высокоэластической деформации.
Библиографический список
1. Александров А.В. Сопротивление материалов. Основы теории упругости и пластичности. 2-е изд., испр. М. : Высш. шк., 2002. 400 с.
0
2. Устойчивость сжатых неоднородных стержней с учетом физической нелинейности материала : монография / Е.С. Клименко, Е.Х. Аминева, С.В. Литвинов и др. Ростов н/Д : Рост. гос. строит. ун-т, 2012. 77 с.
3. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. 2-е изд., пере-раб и доп. М. : Машиностроение, 1991. 336 с.
4. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М. : Наука, 1975. 984 с.
5. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М. : Гостехиздат, 1946. 532 с.
6. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел : монография. М. : Изд-во АСВ, 2002. 288 с.
7. Турусов Р.А. Температурные напряжения и релаксационные явления в осесим-метричных задачах механики жестких полимеров : дисс. ... канд. физ-мат. наук. М., 1970. 104 с.
8. Белоус П.А. Устойчивость полимерного стержня при ползучести с учетом начальной кривизны // Труды Одесского политехнического института. 2001. № 2. С. 43—46.
9. Гуревич Г.И. Деформируемость сред и распространение сейсмических волн. М. : Наука, 1974. 482 с.
10. Гольдман А.Я. Прочность конструкционных пластмасс. Л. : Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1979. 320 с.
Поступила в редакцию в октябре в 2012 г.
Об авторах: Чепурненко Антон Сергеевич — студент института Промышленного и гражданского строительства, ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «РГСУ»), 344022, г. Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, д. 162, [email protected];
Андреев Владимир Игоревич — доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН, заведующий кафедрой сопротивления материалов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 483-55-57, [email protected];
Языев Батыр Меретович — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой сопротивления материалов, ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «РГСУ»), 344022, г. Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, д. 162, 8 (863) 201-91-09, [email protected].
Для цитирования: Чепуренко А.С., Андреев В.И., Языев Б.М. Энергетический метод при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Вестник МГСУ 2013. № 1. С. 101—108.
A.S. Chepurnenko, V.I. Andreev, B.M. Yazyev
ENERGY METHOD OF ANALYSIS OF STABILITY OF COMPRESSED RODS WITH REGARD FOR CREEPING
The problem of stability of polymer rods with account for creeping was resolved using the energy method customized by Tymoshenko and Ritz. Possible patterns of displacements were provided in the form of trigonometric series with undetermined coefficients. The principle of the minimal total potential energy of the system was taken as the basis. According to this principle, the form in which the potential energy has a minimum value is implemented in all possible patterns of deformation occurring due to the loss of stability. The energy method makes it possible to replace the solution of complex differential equations by the solution of simple linear algebraic equations. The result was obtained numerically using MatLab software applicable to different equations describing deformations and stresses caused by the exposure to creeping. The problem was solved for low and high density polyethylene. The equation of Maxwell and Thompson was
ВЕСТНИК 1/2013
1/2013
employed in first case, and the equation of Maxwell and Gurevich — in the second one. The necessity of taking account of a "minor" component of elastic deformations using the Maxwell — Gurevich equation was proved.
Key words: rod, stability, energy, behaviour, buckling, creeping.
References
1. Aleksandrov A.V. Soprotivlenie materialov. Osnovy teorii uprugosti i plastichnosti [Strength of Materials. Fundamentals of the Theory of Elasticity and Plasticity]. Moscow, Vyssh. shk. publ., 2002, 400 p.
2. Klimenko E.S., Amineva E.H., Litvinov S.V., Yazyev S.B., Kulinich I.I. Ustoychivost' szhatykh neodnorodnykh sterzhney s uchetom fizicheskoy nelineynosti materiala [Stability of Compressed Heterogeneous Rods with Account for the Physical Nonlinearity of the Material]. Rostov-on-Don, Rostov State University of Civil Engineering Publ., 2012, 77 p.
3. Alfutov N.A. Osnovy rascheta na ustoychivost' uprugikh system [Fundamentals of Stability Analysis of Elastic Systems]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1991, 336 p.
4. Vol'mir A.S. Ustoychivost' deformiruemykh system [Stability of Deformable Systems]. Moscow, Nauka Publ., 1975, 984 p.
5. Timoshenko S.P. Ustoychivost'uprugikh system [Stability of Elastic Systems]. Moscow, Gostekhizdat Publ., 1946.
6. Andreev V.I. Nekotorye zadachi i metody mekhaniki neodnorodnykh tel [Some Problems and Methods of Mechanics of Heterogeneous Bodies]. Moscow, ASV Pub., 2002, 288 p.
7. Turusov R.A. Temperaturnye napryazheniya i relaksatsionnye yavleniya v osesimmetrichnykh zadachakh mekhaniki zhestkikh polimerov [Thermal Stresses and Relaxation Phenomena in Axisymmetric Problems of Mechanics of Rigid Polymers]. Moscow, 1970, 104 p.
8. Belous P.A. Ustoychivost' polimernogo sterzhnya pri polzuchesti s uchetom nachal'noy krivizny [Stability of a Polymer Rod Exposed to Creeping with Regard for Its Initial Curvature]. Trudy Odesskogo politekhnicheskogo instituta [Works of Odessa Polytechnic Institute]. 2001, no. 2, pp. 43—46.
9. Gurevich G.I. Deformiruemost' sred i rasprostranenie seysmicheskikh voln [Deformability of Media and Propagation of Seismic Waves]. Moscow, Nauka Publ., 1974, 482 p.
10. Gol'dman A.Ya. Prochnost'konstruktsionnykh plastmass [Structural Plastic Strength]. Leningrad, Mashinostroenie Publ., 1979, 320 p.
About the authors: Chepurnenko Anton Sergeevich — student, Rostov State University of Civil Engineering (RSUSE), 162 Sotsialisticheskaya St., Rostov-on-Don, 344022, Russian Federation; [email protected];
Andreev Vladimir Igorevich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Associate Member of RAACS, Chair, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (499) 483-55-57;
Yazyev Batyr Meretovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Chair, Department of Strength of Materials, Rostov State University of Civil Engineering (RSUCE), 162 Sotsialisticheskaya St., Rostov-on-Don, 344022, Russian Federation; [email protected]; +7 (863) 201-91-09.
For citation: Chepurenko A.S., Andreev V.I., Yazyev B.M. Energeticheskiy metod pri raschete na ustoychivost' szhatykh sterzhney s uchetom polzuchesti [Energy Method of Analysis of Stability of Compressed Rods with Regard for Creeping]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 1, pp. 101—108.
