Електродинамическая энергия в сферических слоистых наночастицах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Породько л. В., лерман л. Б.

УДК 3.537.292

електродинамічна енергія в кульових шаруватих наночастинках

У електростатичному наближенні розглянуто взаємодію кульових шаруватих наночастинок з електромагнітним випромінюванням. Із застосуванням трансляційних матриць знайдено розподіл полів у шарах кулі. Визначено інтенсивність енергії, що виділяється внаслідок наявності втрат у шарах. Задачу розглянуто в умовах радіальної симетрії.

ключові слова: наночастинки, радіальна симетрія, трансляційні матриці, кінцеві інтегральні перетворення.

1. Вступ

Наночастинки мають унікальні оптичні властивості, і внаслідок їх розмірам, відкриваються широкі перспективи для їх застосування у різних галузях науки і техніки. Зараз велику увагу дослідників привертають, так звані, біметалеві наночастинки [1], які складаються із срібного ядра та золотої оболонки, або навпаки [2]. Змінюючи вміст золота і срібла у таких частинках, вдається керувати як частотою поверхневого плазмону, так і інтенсивністю поглинання [3, 4]. Це обумовлено тим, що частоти поверхневих плазмонів золота і срібла суттєво рознесені в оптичному діапазоні, а поглинання у срібних наночастинках значно більше ніж у золотих.

Розглянуто задачу про взаємодію електромагнітного випромінювання (ЕМВ) з неоднорідною кульовою нано-частинкою. Як і в [5], на відміну від відомих робіт [6, 7] передбачається, що в загальному випадку наночастинки можуть складатися з довільної кількості шарів (концентричні кулі). Ця обставина значно ускладнює задачу оскільки потребує попереднього визначення напруженостей електромагнітного поля у шарах, що дозволяє визначити потужність теплових джерел.

Викладено постановку задачі електродинаміки і визначено функцію внутрішніх джерел, пов’язаних із зовнішнім опромінюванням. за допомогою трансляційних матриць побудовано розв’язок задачі електростатики і отримані формули для визначення напруженості електричного поля. Із загальних формул отримані замкнуті формули у важливому випадку поля, що діє вздовж осі симетрії кулі.

Ця робота продовжує дослідження [5—7], де визначаються характеристики світлорозсіяння, а в цій статті увага приділена визначенню внутрішніх полів у шарах.

2. Постановка задачі

Розглянемо кулю (рис. 1), яка складається з п концентричних шарів, зовнішні радіуси яких позначимо через rj ( і — номер шару і і = 1,2,...,п) . Для зовнішнього радіусу кулі також використовується позначення а = гп. Нумерація шарів починається з центру, тобто для ядра кулі і = 1, а для зовнішнього середовища і = п +1. Шари характеризуються різними комплексними діелектричними проникностями (ДП) є і = є' + іє'/=є' (1 + %8). Характеристики зовнішнього середовища позначаються

через Xт — Хп+1, ср,т — ср,п+1, рт — рп+1 , ет — еп+1* Задачу

будемо розв’язувати в сферичних координатах г, 0, ф, пов’язаних з центром кулі.

Рис. 1. Розрахункова схема багатошарової кулі: а — просторовий вигляд багатошарової кулі; б — переріз шаруватої кулі

Куля знаходиться під дією електромагнітного (лазерного) випромінювання з частотою ю (довжиною хвилі Хі) і вектором електричної напруженості Яв = Яв(£) = = Яе[Яв(г,0,ф)е~гЮ] та відповідним потенціалом Яе[ив(г,0,ф)е-юі]. Внаслідок втрат енергії за рахунок наявності уявної частини ДП у шарах кулі відбуваються втрати енергії, що приводить до нагріву частинки.

Інтенсивність падаючого світла (одиниця вимірювання Вт/м2) задається формулою [2]:

I (t) = І0 = c32Vem/(8п), якщо t > В, і I(t) = В, t <В.

(1)

У загальному випадку з рівнянь Максвелла у випадку гармонічної залежності полів можна отримати хвильове рівняння. Частинними розв’язками цього рівняння є плоскі хвилі Яе^г-іюі, де г = г(х, у, г) — просторовий радіус-вектор, k = 2%4є / Х — хвильове число. Якщо розглядається обмежена, відносно мала область (х, у, г « Х), k ^ В, то поля становиться можливим описувати наближеним співвідношенням Яе~ш, яке і приймається в цій роботі.

Далі розглядаються малі частинки (наночастинки), що дозволяють обмежитись електростатичним (довгохвильовим) наближенням. Для знаходження Я потрібно розв’язати задачу електростатики, яку звичайно записують у вигляді рівняння відносно потенціалу и = и(г, 0, ф):

TECHNOLOGY AUDiT AND PRODUCTiON RESERVES — № 6/1(14), 2013, © Породько Л. В., Лерман Л. Б.

41

div(egradM) = В,

(2)

де ц=р(г), є кусково-сталою функцією.

У сферичних координатах вектор електричної напруженості виражається через потенціал відомою формулою:

ll rI

u1(r,e,ф) = Z Z А,(і Ylm(e,ф),

p(r,e,ф)= ZZ вГ> I і

l=В m=-l

l+1

Ylm (e, ф).

(9)

3(r, e, j) = gradu(r, e, j) = du er + —1 a

dr r sin Є9ф

du 1 du

еф + r эёee. (3)

3. Розв'язок задачі та його обґрунтування

У постановці задачі потенціали і напруженості електричного поля пропорційні часовому множнику ехр(-ію£), і задача розв’язується в електростатичному наближенні. Тому при виводі розрахункових співвідношень для скорочення запису цей множник будемо опускати. Задачу будемо формулювати відносно потенціалів.

Потенціали електростатичного поля в кожному з шарів позначимо через и. — и. (г, 0, ]), потенціал зовнішнього поля — через и0 — и0(г, 0, ф), а збурений потенціал, який вносить куля, через ир — ир(г,0,ф). Для кожного шару електричні напруженості Е.(г,0,ф) пов’язані з потенціалами співвідношеннями:

du j 1

Я j (r, 0, ф)=gradu j (r, 0, ф) = ^- er +

.ЇИ e +1 ^ ~ (4)

dr ' r sin e Эф ф r de ,

Э

,2 duj

dr l dr ) sin2 e Эф2 sin e 9e

д I . aduj I A sin e^rf = В.

ae

Враховано, що внаслідок обмеженості розв’язків в початку координат і на нескінченості = В, В/т = В.

При дії довільного зовнішнього поля на поверхні кулі, тобто при г = а, його потенціал ив(г,0,ф) та частинна похідна ди0(г,0,ф)/дг, обчислені на поверхні, будуть задавати деякі функції F(0,ф) = ив(а,0,ф), G(0, ф) = диє(а, 0, ф)/дг, які при досить загальних умовах можна розкласти в ряд за сферичними гармоніками:

F(e, ф) = Z Z fmPi (cos e)eimj,

l =В m=-l

G(e,ф) = Z Z gmPi (cos, )еітф,

l=В m=-l

(1В)

де ег, еф, е0 — орти сферичної системи координат.

Для кожного шару ДП є сталою, і рівняння (2) перетворюється на рівняння Лапласа, записаним для кожного шару:

1 д2и. 1 . ...... _

1 , . 1 , , „ (5)

де коефіцієнти /іт, glm рядів обчислюються за відомими формулами [9].

Розв’язок задачі отриманий за допомогою трансляційних матриць [6, 7, 10], полягає в знаходженні у розкладах (10) довільних сталих в кожному шарі. Матриці переходу від і -го до (і + 1)-го шару ^(г^ьГі) дозволяють зв’язати довільні сталі сусідніх шарів:

( і+1) =

= І

(11)

де Ут? = [АР,ВРГ — вектор довільних сталих для і -го шару, а матриця переходу для кулі має вигляд:

На межах шарів повинні справджуватися умови неперервності потенціалів і нормальної складової вектора електричної індукції П = єЯ, и = и+1,

є і+1диі+1

На поверхні кулі, тобто у випадку, коли і = п і г = а, матимемо умови:

T, = Іі+1, rj ) =

t( j,lm) Чі

t (j ,lm) 21

t (j,lm) 42

t ( j,lm) 22

1

£ j duj / dr = £ j+iduj+i / dr. (6) =—---

A,?

-£j+i(l + 1)lj| ~£jl(rj

-£ j+їі1 і

2l-1

+£ jl\r~aa

2l-1

-£j+i(l+1) l —

-£j+ill і

2l +3

-£ j (l + 1)l f

+£j(l+1)l і

2l +3

(12)

un — un+1 un — Uв + up

du

dun £ ------— = £

cn dr :

Эuв

9r

9r

(7)

До умов (5, 6) додаються умови обмеженості розв’язків в початку координат і на нескінченності, тобто

(8)

Розв’язки рівнянь для j -го шару і збуреного потенціалу записуються у вигляді розкладів за сферичними

гармоніками Ym (e, j) = (cos e)eimj, (cos e) — при-

єднані функції Лежандра [7, 8].

а визначник = -є і+1(2/ +1) (а / Гі )2 з точністю до множ-

ника є і+і є визначником Вронського фундаментальних розв’язків, який обчислено на межі поділу шарів.

При переході від і-го до (і + д)-го шару будемо мати:

g(j+q) = т(j+q)(r r )g(j

I im = T im (rj + q, rj )gim

(j+q)

(13)

де при запису використана трансляційна матриця, яка визначається добутком матриць переходу:

т(j+q)(r. r.) = t(j+q-1)t(j+q-2) т(j)

T im (rj+q, rj ) = т im т im ..Jlm ■

(14)

і (r,e, ф)=z Z

l =В m=-i

Аі (і)+ B,) і і

l+1

Якщо в рівності (14) покласти і = 1, і + q = п, то ^/т(0,ф), одержимо трансляційну матрицю переходу від першої

до останньої межі поділу

42

технологический аудит и резервы производства — № 6/1(14), 2013

J

Ttn)-Tmn)(rn, г-)=nTm

j=l

n - j)

(15)

Відповідно за випадком значень індексів І = 1, т = 0 (задача становиться асиметричною, і індекс т писати не будемо) всі коефіцієнти розкладів потенціалів за

Всі довільні сталі виражаються через дві: А^ та винятком одного обертаються на нуль, тобто В;"+1), які визначаються з системи:

(4т+41т>)Ат> - в(п+1) = /1т,

Є„ [^1 - С\ї + 1)]А(І> + гт (І + 1)ВГ> = £„«&», (16)

де через і(1т), ґ<1т>, і(2т), 4т) позначені елементи трансляційної матриці Т^.

З системи (16) знаходимо:

ет [ У/т (І + 1) + agml]

Uj (r, е) = A

t(і) r+1(і) і a

tii,ij a+t2i,ij I r

cos е,

(22)

де введено позначення

A = A(1) --

3aemE0

A(1) = A m =

____________^mUmy^ 1 +7 1 u6mlJ___________ (17)

em[tilm)+t2-m)](l+1)+en[ti1m)l-t2-m)(l+1)], ( ’ що эuj(r,е>/Эф-0,

(18)

2Є m [t(1) + t21)] +Є N [t(1) - 2t<1>]'

Відповідно для похідних матимемо, враховуючи,

B(n+1) = Єmaglm [t-1) + t21) ] - Єnflm [t(1 )l + t2- (l + 1)]

£m [t-1) + t21)](l + 1) +£n[t{1 )l - t2-)(l + 1)] .

duj (r, е) 1 „

— a------= _ A

dr a

t(i) _ 2t(і) і a

4l,1j 21,1 j Ir

cos е,

Тепер можна знайти всі потрібні потенціали. Наприклад, для збуреного потенціалу із застосуванням трансляційної матриці будемо мати:

dUj (r, е)

де

= - A

t(і) r+1(і) і a

11,1 j ^ 21,1 і I „

sin е,

(23)

A(n) Alm t(lm) і 11 t(lm) 42 Г A(1) 1 Alm rt (lm) A(1) 1 t11 Alm

_ Bm. t(lm) I 21 t(lm) 22 I _ 0 _ t (lm) a(1) _21 Alm _

A(n) = t (l) A(1)

Alm = t11 Alm

B(n) = t(lm) rn(1)

lm 21 lm

u(n) = a(1)

Ulm = Alm

r"“ (a Jl+(a)l

і тоді

|F |2 =іди

lFjl \ dr

1 dUj і

r Ж

і тоді потенціал в останньому шарі представляється у вигляді:

= A2J-a

t(i) - 2t(і) і a

41,1 j 21,1 і I „

(19)

A2

Аналогічні вирази отримуємо і для інших шарів, змінюються тільки елементи матриць переходу, але всі розв’язки будуть залежати лише від сталої А^, яка

t(і) r+1(і) I a

t11,1j a + ^1,1 j I r

sin е

(24)

Отже вектори напруженості і їх модулі в шарах

ціалів у шарах матимемо розклад:

визначається формулою (17). Таким чином, для потен- знайдені, що дозволяє визначити розподіл і потужність

внутрішніх джерел у шарах. Для застосування формули (24) при розв’язуванні задачі теплопровідності [10], зробили деякі алгебраїчні перетворення. У результаті Уіт (9, ф), (20) отримаємо вираз, який має два доданки і енергія поля

представляється у вигляді:

і(r, е ф) = Х X Al(-)

l =0 m =-l

l / \l+1 a

де через t^m, позначені елементи трансля-

ційної матриці при переході від 1-го до j-го шару.

Для визначення напруженості потрібно знайти частинні похідні потенціалів по координатах. Оскільки Yim (0, j)=Pim (cos 9)(cos mj+sin mj),

If • I2 - At J-l

|Fj| 2 I a2

- 3 2 2

t (-) 4l,1 j - 2t (-) 2t21,1 j і «I і-Г У + I Q I ^ t + ra 4(t I

A2 I 1

|F |2 JdUl

\Fj\ \ dr

dUj

"Эе

dUj

Эф

t(i) - 2t(і) і a

4l,1 j 2t21,1j ( r

t(i) r+1(і) і a

4l,1 j „ + l21,1 j I „

^cos26 . (25)

(21)

Для подальших застосувань запишемо вираз у вигляді:

|F А - S(r,е)- S0(r) + S2(r)cos26,

Вираз (21) достатньо складний для безпосереднього застосування, оскільки пов’язаний з підведенням подвійних рядів до квадрату Задача суттєво спрощується

у випадку, коли поле однорідне і діє вздовж осі кулі, де введені позначення наприклад осі 2. Тоді його потенціал задається виразом u0 = - E0 2 = - E0r cos 0, і в цьому випадку Г

в розкладі потенціалу зовнішнього поля маємо s0(r) = — - —

лише один член (cos0 = P1(cos0), I = 1, m = 0). 2 I a

На поверхні кулі буде f10 = -E0a, g10 = -E0.

- 31 2 Г / \21

t (-) 611,1 j t 2 - I « 1 ^ у + t(i) r+t(i) I a J 111 j a t211 і I r )

(26)

(27)

2

3

0

2

2

3

2

2

2

+

2

2

3

2

2

TECHNOLOGY AUDiT AND PRODUCTiON RESERVES — № 6/1[14], 2013

43

- 3 2 Г 21

г 1( 2 2( I У - к (і) l+1 (i) f a | t-1,1 j a +t21,-j \ r J

\ A2 I 1

S2(r)=ті a?

4. Висновки

Розроблено математичний апарат для визначення напруженості електростатичних полів у багатошарових наночастинках. Це дає можливість визначити енергію, яка виділяється при дії лазерного випромінювання і може бути використано для лікування онкологічних захворювань.

Література

1. Prashant, K. Jain Au nanoparticles taгget canceг [Text] / K. J. Prashant, I. H. El-Sayed, M. A. El-Sayed // Nanotoday. - 2007. - V. 2, № 1. - Р. 18-29.

2. Govoronov, A. O. Gold nanoparticle ensembles as heater and actuator: melting and collective plasmon resonances [Text] / A. O. Govoronov, Wei Zhang // Nanoscale Res Lett. — 2006. - № 1. - P. 84-90.

3. Борен, К. Поглощение и рассеяние света малыми частицами [Текст] / К. Борен, Д. Хафмен. — М.: Мир, 1986. — 664 с.

4. Chatterjee, K. Plasmon resonance shifts in oxide-coated silver nanoparticles [Text] / K. Chatterjee, S. Banerjee, D. Chakravorty // Phys. Rev. - 2002. - B. 66. - P. 085421-1 - 085421-7.

5. Лерман, Л. Б. Виникнення додаткових плазмових резонансів у шаруватих малих частинках [Текст] / Л. Б. Лерман // На-носистеми, наноматеріали, нанотехнології. — 2009.— Т. 7, № 1. - С. З7-47.

6. Гречко, Л. Г. Поляризовність структурно-неоднорідних кульових частинок [Текст] / Л. Г. Гречко, Л. Б. Лерман, Д. Л. Во-доп’янов, С. В. Шостак. — Вісник Київського університету. — Серія: фіз-мат науки. — 2007. — № 1.

7. Гречко, Л. Г. Розсіювання електромагнітного випромінювання на багатошаровій кулі [Текст] / Л. Г. Гречко, Л. Б. Лерман, Н. Г. Шкода // Вісник Київського університету. — Сер. фіз.-мат. - 2004. - № 3. - C. 376-384.

8. Корн, Г. Справочник по математике [Текст] / Т. Корн. — М.: Наука, 1973. - С. 831.

9. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физи-(28) ки [Текст] / А. Н. Тихонов, А. А. Самарський. — М.:

Наука, 1972. — 355 c.

10. Породько, Л. В. Врахування кінцевої швидкості поширення тепла при лазерному розігріві поверхні твердого тіла [Текст] / Л. В. Породько, Л. Б. Лерман, О. Ю. Семчук // Хімія, фізика та технологія поверхні. - 2011. - Т. 2, № 3. - С. 343-346.

ЕЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ В СФЕРИЧЕСКИХ СЛОИСТЫХ НАНОЧАСТИЦАХ

В электростатическом приближении рассмотрено взаимодействие сферических слоистых наночастиц с электромагнитным излучением. С применением трансляционных матриц найдено распределение полей в слоистых шарах. Найдена интенсивность энергии, выделяемой вследствие наличия потерь в слоях. Задачу рассмотрено в условиях радиальной симметрии.

Ключевые слова: наночастицы, радиальная симметрия, трансляционные матрицы, конечные интегральные преобразования.

Породько Лілія Володимирівна, аспірант, відділ теорії нано-структурних систем, Інститут хімії поверхні ім. О. О. Чуйка НАН України, Україна, e-mail: [email protected].

Лерман Леонід Борисович, кандидат технічних наук, старший науковий співробітник, відділ теорії наноструктурних систем, Інститут хімії поверхні ім. О. О. Чуйка НАН України, Україна, e-mail: [email protected].

Породько Лилия Владимировна, аспирант, отдел теории наноструктурных систем, Институт химии поверхности им. А. А. Чуйко НАН Украины, Украина.

Лерман Леонид Борисович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, отдел теории наноструктурных систем, Институт химии поверхности им. А. А. Чуйко НАН Украины, Украина.

Porodko Liliia, Chuiko Institute of Surface Chemistry of National Academy of Sciences of Ukraine, Ukraine, e-mail: [email protected]. Lerman Leonid, Chuiko Institute of Surface Chemistry of National Academy of Sciences of Ukraine, Ukraine, e-mail: [email protected]

2

УДК 523.24:521.1; 523.6

Черкас Ю. В., Коломиец С. В., Волощук Ю. И.

спектральный анализ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АСТЕРОИДОВ ПО БОЛЬШОЙ ПОЛОУОСИ. LS-МЕТОД

В работе приведена методика спектрального анализа распределения большой полуоси астероидов (данная методика также может быть использованной для анализа других элементов, как астероидов, так и других малых тел Солнечной системы) без построения соответствующих гистограмм численности/вероятности, получения которых является ключевым фактором большинства, если не всех, работ аналогичного направления.

Ключевые слова: спектральный анализ, неравномерный ряд, элементы орбит, астероиды.

1. Введение

На сегодняшний день подавляющее большинство работ, направленных на изучение особенностей распределений орбит малых тел Солнечной системы в пространстве возможных орбит, базируется на построении гистограмм численности (или же вероятности) по выбранному параметру [1—4]. Данный метод интуитив-

но понятен и имеет свои преимущества, позволившие в свое время сделать ряд открытий, например, наличие люков Кирквуда в главном поясе астероидов и других особенностей, вызванных резонансными явлениями и соизмеримостями. Более того, применив простые преобразования (удаление тренда, исключение нестационарных участков), можно получить остаточный ряд, который, согласно некоторым теориям и гипотезам [2—4],

технологический аудит и резервы производства — № 6/1(14), 2013, © Черкас Ю. В., Коломиец С. В.,

Волощук Ю. И.