CC BY
86
2009
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Студенческая наука
№ 150
УДК 330.163.2
ЭЛАСТИЧНОСТЬ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
А.Р. ДЕМИДОВА
Статья представлена доктором технических наук, профессором Самохиным А.В.
Статья подготовлена под руководством кандидата технических наук, доцента Жулевой Л.Д.
В статье представлена возможность вычисления эластичности экономических функций с помощью математических операций.
Одна из важнейших задач любого бизнеса - это установление связи между изменением цены на реализуемую продукцию и доходом. Наивная уверенность, что доход тем больше, чем выше цена на него, при рыночной экономике рано или поздно приводит к банкротству. Действительно, суммарный доход выражается формулой:
Я — Р • 0;
где: Р - цена единицы продукции;
0 - ее количество.
Если фирма повышает цену на единицу продукции, то это уменьшает объем продаж (вспомним, что кривая спроса - это убывающая функция). Интуитивно ясно, что здесь важны не абсолютные изменения цены и количества продукции, а относительные или, как говорят, процентные. Дадим теперь необходимые определения.
Эластичность спроса от цены определяется как отношение
процентное изменение спроса Ев — .
процентное изменение цены
Это определение требует некоторых разъяснений. Если какая-то переменная величина X меняется от значения Х1 до Х2, то:
АХ — X2 - Х1;
иногда называется абсолютным изменением величины Х, а отношение АХ называется относи-
Х1
тельным изменением величины Х. Процентное изменение величины Хэто:
АХ
100;
т.е. относительное изменение просто умножается на 100. Взяв процентное изменение спроса 0, цены Р и, подставляя их в определение эластичности спроса от цены, получим:
Е, =-
АЄШ0 Ї.Ґ АР
У
/1 — -100
0
Сокращая общий множитель 100, окончательно имеем:
Е —-Р-А0 ° 0 АР •
Для того чтобы пользоваться этой формулой, необходимо иметь кривую спроса, которая и связывает функциональной зависимостью величины Р и 0. Типичный график кривой спроса
приведен на рис. 1, где цена уменьшается от значения Р1 до Р2, что приводит к соответствующему увеличению спроса от значения 01 до 02.
Из этого же рисунка ясен смысл знака «минус» при определении эластичности Е^: при таком определении она положительна. Действительно, изменение цены Р:
АР — Р -Р;
отрицательно, т.к. кривая спроса - убывающая функция.
При использовании формулы для эластичности спроса от цены не представляет труда вычисление:
АР — Р2 -р, А0 — £ -01.
Что касается самих величин Р и 0, то для них можно взять значения Р1 и 01 или Р2 и 02. Разумным компромиссом является использование средних значений, т.е.:
Рр — 2 ( Р - Р ) ■ 0С — 1 ( 0.+ 02 )■
Вычисленную таким образом эластичность называют дуговой эластичностью, т.е. средней на каком-то отрезке кривой спроса (рис. 1).
Для примера найдем дуговую эластичность спроса от цены, когда цена Р изменяется от значения 136 до значения 119, а кривая спроса имеет вид:
Р — 200 - 02.
В обозначениях (рис. 1) имеем:
Р —136; Р2 —119.
Подставляя значение Р1 в кривую спроса, последовательно имеем:
136 — 200 - 02; 02 — 64; 0 — ±8.
Отрицательное значение отбрасывается как не имеющее смысла, поэтому 01 — 8. Аналогичным образом подстановка Р2 дает 119 — 200 - 02. Откуда 02 — 9 . Далее имеем:
Рср — 1 (Р + Р2) — 1 (136 +119) —127,5 .
Вычисляем среднее значение для Р и 0:
е,—2 (а+02)—2 (8+9)—8>5.
Подставляя полученные величины в формулу для вычисления эластичности спроса от цены, окончательно имеем:
Рср А0 127,5 1
Еп —--------—--------- ---- — 0,88 .
° Ор АР 8,5 (-17)
Дуговая эластичность, определенная выше, имеет один существенный недостаток: ее значения зависят от выбора второй точки, т.е. от выбора Р2.
В этом случае можно легко убедиться, если в предыдущем примере для Р2 взять значение, отличное от 119, эту неоднозначность можно устранить, если брать значение 02 сколь угодно близко к 01, т.е. считать, что:
АР — Р2-Р; А0 — 02-0,;
становятся сколь угодно малыми величинами. Это, в свою очередь, означает, что мы переходим к пределу и по определению производной имеем [1]:
шА&—
ар®0 АР ёР
В общем случае, однако, кривая спроса это функция:
р—/(0).
Поэтому следует воспользоваться формулой для производной обратной функции:
ё0 — — 1
~ёР ~ —/'(0) •
ё0
од, - А0 ё0
Заменяя теперь в формуле для дуговой эластичности отношение на , приходим к
формуле для точечной эластичности спроса от цены:
Е —-Рё0 ° 0 ёР •
Вернемся к предыдущему примеру и вычислим точечную эластичность, используя приведенные там данные. Имеем кривую спроса:
Р — / (0) — 200 - 02.
Далее последовательно находим:
% -/,(0)—-20;
ё0 — 1 —______1_
ёР ~ /'(0)— 20 •
Подставляя производную в формулу для точечной эластичности, окончательно получаем:
Е —-Р
ЕВ
Р
0 I 20; 202 •
Полагая:
Р — Р —136; 0 — 0! — 8;
находим численное значение точечной эластичности:
136 136
Еа —--------------------т —-— 1,0625;
2 • 82 128
как и следовало ожидать, отличное от значения дуговой эластичности.
В зависимости от численных значений эластичности спроса от цены различают:
• товары эластичного спроса. В этом случае повышению цены на 1% соответствует понижение спроса более чем на 1%, и наоборот, понижение на 1% цены приводит к росту покупок больше чем на 1% (эластичность Ев больше 1);
• товары неэластичного спроса. В этом случае повышению цены на 1% влечет за собой понижение спроса менее чем на 1%, и наоборот, уменьшение цены на 1% приводит к росту покупок менее чем на 1% (эластичность Ев меньше 1).
Аналогично эластичности спроса от цены вводится понятие эластичности предложения [2]:
г _ процентное изменение предложения е5 _ .
процентное изменение цены
Символически можно записать:
Е _ Р АО " О АР •
В данном случае знак «минус» не нужен, т.к. кривая предложения это возрастающая функция и эластичность предложения от цены всегда положительна.
Если обозначать через (йР), (О2, Р2) две произвольные точки на кривой предложения, как показано на рис. 2 и положить далее:
АР _ Р, - р; АО _ О, - й;
р _ ,(Р +Р ); О _ 2 (О1+ О2);
то, подставляя их для выражения Е, получим дуговую эластичность предложения от цены.
Рис. 2
Соответствующее выражение для точечной эластичности предложения от цены имеет вид
[3]:
Е —
5 0 ёР •
Установим теперь важное соотношение между предельным доходом и эластичностью спроса от цены. Предположим, что кривая спроса это линейная функция. Теперь же мы будем считать кривую спроса произвольной функцией:
Р—/ (0).
Тогда суммарный доход будет:
Л—0 • Р—0 • / (0).
Предельный доход - это производная от суммарного дохода по количеству товара 0, т. е.
ёЛ — ё ё0 ё0
Применяя далее правило дифференцирования произведения двух функций, получаем:
RQ = dR=d (Q' / Q)) •
я О _—• / (О)+О • .
ОёО —О
Учитывая, что _ 1, перепишем предыдущее равенство:
ёО
К’ _Р+О.ёР_Р^+О..—Р.\
—О I Р —О)
Вспоминая определение точечной эластичности спроса от цены:
Е _-Р• —О • в О —О ’
получим, что:
- _ О • _ О • —Р •
Ев Р ' —О Р ' —О ’
—Р
и, следовательно:
R Q = я •
Полученная формула связывает предельный доход с эластичностью и справедлива (еще раз подчеркну), при произвольной кривой спроса. Перейдем к рассмотрению выводов, которые можно сделать из полученной формулы.
Если эластичность спроса от цены меньше единицы, т.е. ED < 1, то, очевидно -1 > 1.
Ed
Поэтому предельный доход отрицателен при любой цене (непосредственно следует из формулы). Это означает, что суммарный доход - это убывающая функция в той области, где спрос неэластичен.
Аналогично, если спрос эластичен, т.е. ED > 1, то -1 < 1, и из формулы непосредственно
D ED
видно, что предельный доход положителен независимо от цены. Отсюда можно сделать, что для товаров эластичного спроса суммарный доход - это возрастающая функция.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 2005 - Т. 1, 2.
2. Кучуков Р.А. Экономическая теория. - М.: Экономика, 2007.
3. Колесников А.Н. Математика для экономистов. - М.: НТФНИТ, 1997.
ELASTICITY OF ECONOMIC FUNCTIONS
Demidova A.R.
In the article possibility of calculation of elasticity of economic functions by means of mathematical operations is presented.
Сведения об авторе
Демидова Алиса Романовна, студентка факультета менеджмента и общественных коммуникаций МГТУ ГА, область научных интересов — математика, экономика.
