CC BY
24
томского
Том 138
ИЗВЕСТИЯ
ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
1965
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ТЕПЛОВЫЕ СХЕМЫ ТЕЛ С ОДНОМЕРНЫМ
ТЕМПЕРАТУРНЫМ ПОЛЕМ
Решение различных задач по расчету нагрева электрических машин ввиду сложности температурного поля оказывается возможным только при использовании приближенных методов. К ним относятся, например, приведение трехмерного поля в какой-либо части машины к одномерному и метод эквивалентных тепловых схем. Объединение обоих методов позволяет избежать некоторых недостатков, свойственных каждому из них в отдельности.
Рассмотрим общий случай стационарного температурного поля в стержне с внутренними источниками тепла при передаче тепла вдоль оси х *(рис. 1). Пусть сечение ст'ержня s(x), объемная плотность источников тепла а(х) и теплопроводность К(х) меняются по длине стержня и не зависят от температуры. Тепловой поток вдоль стержня
Д. И. САННИКОВ
(Представлена научным семинаром кафедр электрических машин и общей электротехники)
Рис. 1.
(1)
На основании теплового баланса для элемента йх имеем
йА = а5 йх. Исключая А и вводя обозначения:
тепловое сопротивление на единицу длины
1
г = —,
линейная плотность источников тепла (потерь)
? = (4>
получаем дифференциальное уравнение теплопроводности
' н-т)*-»- (5>
ах \ г ах)
решение которого может быть записано в виде
t (х) = Ья (х, + /1 (х) + ¿2 • Л (*), (6)
где
= ^ -/.(х), (8)
/? (х2) — Ц (хх)
Щх) = ¡Г ах, (9)
о
(х, д) = -в (х) + в (х,) • /, (х) + 0 (Хо) . /, (х), (10)
X X
9(х) = | г {§дс(х)ах. (11)
о ' о .
Таким образом, температура складывается из трех составляющих:
— зависящей от потерь, * f\{x) и ¿2 * /г(х\ — зависящих от граничных условий. На основании общего выражения для теплового потока
' А = е (*'>-»(*■> ^ ' _ (12)
г йх ) Я(х2)~Я{хх)
о
находим потоки, выходящие из торцевых сечений,
= + (13)
И
А2 = А(^Хз) = (22+ , (14)
н
где
+ (15,
о
а^жи-, об)
о
лолное тепловое сопротивление стержня.
.Л о
(3, + <32 = | <7 «Ос = д
(18)
общие потери в стержне.
Выражениям (13) и (14) соответствует эквивалентная схема [рис. 2а), которая позволяет определить температуры tl и ^ при любых граничных условиях.
X
и /?/
а
б
Ъ I
6
Рис. 2.
Если потери удобнее отнести к одному узлу, схема преобразуется виду (рис. 26). Здесь ]
/?, . (19)
а
(20)
Температуру в любом сечении х можно найти как с помощью выражения (6), так и непосредственно из схемы, разделив стержень на две части сечением х (рис. 2 в). Параметры левой части схемы определяются из выражений (15—17) путем замены х2 на х; для правой части— заменой х.\ на х. Средний источник тепла
= (21) Средняя температура тела также может быть определена с помощью эквивалентных схем (рис. 3).
I/
где
.V .1
V = ]5-й?Х.
(22) (23)
:-ЭЬ
Вводя обозначения
О = ~~ \ 5-в(х).£/л:, (24
х1
х.>
/?- — \s-fl (25;
-VI
можно записать
в +е(*,)./!+ е(*2).Д, . (26
/7=*^=*", (27)
/¡ = ^^±^=1-/7. (28>
Составив по схеме (рис. 3а) выражения для Аи А2 и Ь и приравняв коэффициенты в этих выражениях и (13), (14) и (22), определяем параметры схемы:
+ (29)
Я; = /?(х2)-Я = /? (30>
= -+-[в - е м ^, (31).
о 1
.V,
= Г я йх + [в - е (х,)] \, (32>
о
0.' = (33)
Вторую разновидность схемы для определения средней температуры стержня получим, отнеся общие потери к одному узлу (рис. 36). Ее параметры определяются аналогичным путем:
т
<?" - - <з-и = - о.* + <з-и (35)
Третья разновидность схемы получается путем преобразования звезды,в треугольник (рис. Зв):
= (36) Ч VI
7?, = -А^ , (37)
<2-Л
Я" = 1-Ц— ■ (38)
/г, + /г,
Рассмотрим применение данного метода к конкретным телам. 1. Полый цилиндр (на единицу длины)
5 = 2тгх, а = const, X = COnst. 1
Г = - 1
2ккх q — 2 кох.
Л,
о;
I
Q
Q'
0.
(40)
а
5
4
t,
схем (рис. 2б, 36)
R
q
Ь
Рис. 3.
Q = ko (xl-xl).
Q" = 0,
х:
In
X.,
я, = r: = — —
X:
X <j X £
In----
X! 2
2KI{x\—X})
P.
In
X;
4 x^ -f x^ x
(41)
(42)
(43)
(44)
2. Стержень постоянного сечения или плоская стенка с равномерным распределением потерь
S = const, а = const, X = COnst. -— 0, ==~
Для рис. 2, а и 2, б получаем обычные выражения:
R = rl, (46)
Q = ql, (47)
Qi = Q2 = -|' (48)
Я. = R3 = -f • (49>
/?; = /?; = — . (so)
Для рис. 3, a
2
3
= = (5i)
Для рис. 3, б
Для рис. 3, в
Ло = - ~ ' (52)
о
(Г = 0. (53)
^ = - — , (54)
6
2
При простейших граничных условиях на. основании данных схем получаются -известные выражения для внутреннего сопротивления тела с параболическим распределением температуры: при симметричном охлаждении (рис. 3, в)
/?, + /?2 12
при одностороннем охлаждении
-^1—0,
t — t■¡ = Q ^ = д ;
/г, + /?, + /?" з
при отсутствии внутренних источников тепла
<3=0, -А1 = А2,
^ - £ о — О -~- == /1'> - •
+ + " 2
Полученные схемы позволяют рассчитать среднюю температуру и температуру в крайних точках тела в самом общем случае — при не-
159
симметричном охлаждении и граничных условиях любого вида — более просто по сравнению с существующими методами.
Аналогичные схемы могут быть составлены для стержня, охлаждаемого по длин'е; с учетом зависимости потерь от температуры. Пусть для стержня (рис. 4) , .
г — Const,
q= <7о(1 + (об)
gQ— потери при температуре 0, принятой за уровень отсчета, а0 — температурный коэффициент потерь.
и
/7,
t
" 4i
X dz
R,
Рис 4.
Тепловая проводимость между стержнем и окружающей средой на единицу длины А = const; температура окружающей среды изменяется линейно по длине, например, вследствие подогрева охлаждающего потока
— ^01 ( 1--— j + ¿02 ~
(57)
На основании теплового баланса для элемента йх получаем уравнение теплопроводности
1 //2/
— + 0. (58)
г ах2
Подставляя выражения (56) и (57), приводим уравнение к виду йЧ
dx-
£ _ jg
(А — aQq0) t — A ■ t01 —— A • tU2 —
(59)
решением которого служит выражение
t = {ti
btoi)
sh W-x) sh p/ / — x
+ (t2 -t„- ktu,)
sh px sh Щ
x
kUs\ ~ + kta2 ~^ h tq,
где
P = /A'r; A' = A -ao9o;
Яо .
A A7
(60)
(61, 62) (63, 64)
Средняя температура стержня
* = (¿1 + Ч ; +
где
(¿01 + ¿02) ~ + ¿<7 сЬ р/— 1
(1 2С),
(65)
(66)
Возможный вариант схемы, соответствующий данному случаю, при веден на рис. 5. Проводимости схемы определяются путем приравни
Се
7777777777
Чробёнь отсчета температуры
Рис. 5.
вания коэффициентов в выражениях для (2, А\ и Л2, составленных по схеме и полученных на основании- выражений (60) и (65):
О0 = Л/,
= — а0<70/,
= Л7Т,
(67)
(68) (69)
0, = -*-
г зЬ ,3/ Л
с;, =
Здесь
1. Згказ 7951.
2г/у
<3 =
_ с
~ 1-2:
(70)
(71)
(72)
(73)
161
В целях упрощения выражений (69—71) можно представить их в виде рядов. Взяв два первых члена ряда, получаем:
6_ г1
А'А 10
2, + Л'А
с;,
л/ 12
г1
30 А'гГ-60
(74)
(75)
(76)
При расчете распределения температуры по длине обмоток электрических машин в случае /<^60 см погрешность упрощенных формул обычно не превосходит 5%; при длине /<25 см можно ограничиться первым членом. В этом случае вид и параметры схемы соответствуют рис. 3, в при д—соп81, г=соп81 с добавлением проводимостей и отнесенных к среднему узлу и учитывающих сток тепла по длине стерж-
/////// /
Я
ы
/2 В,
пя и увеличение потерь с ростом температуры, и проводимостей
С'о и (—й 0 ), отнесенных к крайним узлам и учитывающих влияние подогрева охлаждающего потока по длине стержня. 162
В качестве ¡примера рассмотрим использование полученных эквивалентных схем для расчета распределения температуры по длине обмотки якоря машины постоянного тока при аксиальной системе вентиляции и отсутствии вентиляционных каналов в якоре. Тепловые связи между отдельными телами, входящими 1В активную часть якоря, можно представить в виде схемы !(рис. 6, а) с использованием схем (рис. 3, б) и формул (43—47, 50, 52, 53).
фмо — потери в пазовой части обмотки при температуре окружающей среды 0, принятой в качестве базы для отсчета перегрева £,
0г и ~ потери в стали зубцов и спинки. Тепловые сопротивления:
Яа — от поверхности якоря к охлаждающему воздуху,
Яг — по высоте зубца,
Rи — по толщине изоляции обмотки,
/?аъ Яа2 и /?а0 — ПО ВЫСОТе СПИНКИ,
— в зазоре между сердечником и валом, 7?в — сопротивление вала по активной длине якоря /, #вв и #вб — сопротивления на пути отвода тепла от вала через поверхности вентилятора и балансировочного кольца, ¿ок и ¿ов — перегрев внутреннего воздуха у поверхности коллектора и у вентилятора. Зависимость потерь в обмотке от температуры учитывается проводимостью
<2мо
4 235 + В
Схема приводится к простейшему виду (рис. 6, б) с одним источником тепла, отнесенным к обмотке,
Rli К;
— . - ■ / | —I—. ■ /
а
Q-Q мо + и параметрами
Q.
R
Z М
qa 1-
0,5/?,+/?
az
R
ZS
1
Rzvfiz
Go G'„ g:
(/?« + 0,5 Rz) R2UGz
1 r:
Rzm Rzt ; Gz Re Re
i R's
Rzm Rze Gr R'a + /?;
где
R
ZM
p яz
Kl — > 6
Ba 6
/?„ = 0,5/?г + Яв2+ /?„, +Ял-/?; = o,5/?e + /?i6,
R e = 0,5 Re -f- Ree, i , i _i R
Re ' Re
Re "г* Rt
(78)
(79)
(80) (81)
(82)
(83)
(84)
(85)
(86)
ze
R*+0,5RZ
Далее можно представить якорь в виде стержня с равномерно распределенными потерями q — Q/Z, охлаждаемого по длине, обладающего сопротивлением на единицу длины г, равным аксиальному coli*. 163
противлению обмотки, и соединенного последовательно с двумя стержнями, представляющими лобовые части. На основе схем (рис. 5) и (рис. 6, б) составляется полная эквивалентная схема якоря (рис. 7). Проводимости в0 схемы (рис. 5) в данном случае могут не учитываться.
Лииия с\тсчягпа пере\гро5о6
Сторона коллектора
Сторона вентилятора
Рис. 7.
Параметры лобовых частей:
<3Л--потери в одной лобовой части при'температуре в;
СТл, С/л, рассчитываются аналогично соответствующим параметрам активной части через <3Л, /л/2 и
й'ол и Сол — проводимости между лобовыми частями и воздухом рассчитываются с учетом температурного перепада в витковой изоляции по 1/6 толщины обмотки и в изоляции бандажей; кроме того, бол учитывает отвод тепла с половины поверхности, образованной выводами секций, а проводимость (%л — отвод тепла с внутренней поверхности обмоткодержателя;
Ол ~ проводимость от торца лобовых частей к воздуху.
Поскольку схемой учитывается тепловая связь между обмоткой и коллектором через выводы секций — ОЛКу то в нее входят такие параметры, как (Зк — коллекторные потери и Ск0 — проводимость от поверхности коллектора и половины поверхности соединительных выводов к воздуху.
Проводимости, отводящие тепло к охлаждающему потоку воздуха, присоединяются на схеме к точкам с фиксированным температурным потенциалом, который рассчитывается в предположении линейности изменения температуры потока вследствие его подогрева при прохождении через машину.
Расчет схемы удобно производить методом узловых потенциалов. После определения средних перегревов t, Гл и и перегревов на концах участков может быть построена кривая распределения перегрева с помощью формулы (60) или формулы эквивалентной параболы
1-Х , , X . л - , , ч X I — Л-
и
I
и*-
- I
3 СИ — ¿>)
I
(87)
На рис. 8 дана расчетная кривая распределения перегрева I по длине обмотки якоря двигателя постоянного тока, 4,5 кет, 1500 об ¡мин. Коэффициенты теплоотдачи и теплопроводности взяты из [1], потери и перегрев внутреннего воздуха определены расчетным путем. Полученная кривая удовлетворительно согласуется с показаниями термопар (точки на рис. 8), заложенных в различных местах поперечного сече-
ния пазовой и лобовой части обмотки при тепловых испытаниях двигателя. Разброс показаний термопар объясняется неравномерностью распределения температуры по сечению, а также по отдельным пазам.
Расчеты, выполненные при различных изменениях схемы, доказывают следующее:
1) учет проводи'мосгей С0 (рис. 5) дает снижение перегрева со стороны коллектора не более 0,5° и повышение с противоположной стороны не более 0,7°; следовательно, отказ от учета.является оправданным;
2) пренебрежение тепловой связью между обмоткой и коллектором приводит к значительному повышению расчетного перегрева обмотки (в среднем на 30°) 'и его выравниванию;
3) расчет в предположении постоянства перегрева воздуха по длине дает уменьшение разности перегревов лобовых частей на 4°; таким образом, неравномерность распределения перегрева по длине обмотки объясняется, в первую очередь, влиянием коллектора, а влияние подогрева воздуха является второстепенным;
4) пренебрежение теплоотдачей через вал (проводимостями О'0 и 0"п) приводит к повышению расчетного перегрева в среднем па 13°; следовательно, учет отвода тепла через вал, вентилятор и балансировочное кольцо необходим;
5) исключение проводимостей й 1 и О и приводит к схеме, которая применяется некоторыми авторами для учета аксиального сопрр-тивления обмотки; однако, в данном случае максимальный расчетный перегрев уменьшается на 8°;
6) если, кроме того, отбросить сопротивления (—/6) и (—/6) на рис. б и принять О г=2/г^ то это будет равносильно часто использующемуся допущению о том, что потери в каждом теле сосредоточены в его центре; это приводит к повышению расчетного перегрева для данной машины на 4°;
7) при увеличении мощности, размеров и скорости вращения машин искажение результатов ¡расчета вследствие рассмотренных выше упрощений схемы существенно увеличивается.
Заключение
1. Тело с внутренними источниками тепла и одномерным температурным полем изображается эквивалентной тепловой схемой, не зависящей от граничных условий.
2. Вид и параметры тепловых схем определяются на основании решения дифференциальных уравнений теплопроводности. Выражения для параметров в случаях, имеющих наибольшее практическое значение, имеют достаточно простой вид.
3. Составление тепловых схем замещения для электрических машин по данному принципу обеспечивает точность и полноту результатов расчета, характерную для метода, основанного на решении дифференциальных уравнений теплопроводности, при простоте и наглядности, свойственных методу тепловых схем.
ЛИТЕРАТУРА
1. И. М. Постников. Проектирование электрических машин. Гостехиздаг УССР, 1960.
2. Й. X а к. Метод эквивалентных тепловых схем. Ч. 1, Тех. отчет Моравского эксгт. завода, Перевод ЦБТИ НИИ электропромышленности П.-4937, 1959.
3. й. X а к. Теплопередача в электрических машинах. Ч. 1—3, Тех. отчет Моравского эксп. завода, Перевод ЦБТИ НИИ электропромышленности, П-4929—4931, 1959.
