Эквидистанта дробной рациональной параболы Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.165.533

ЭКВИДИСТАНТА ДРОБНОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ ПАРАБОЛЫ

И.В. Епифанов, Л.В. Виноградов

Кафедра теплотехники и тепловых двигателей Инженерный факультет Российский университет дружбы народов ул. Орджоникидзе, 3, Москва, Россия, 115419

В работе представлена программа расчета и построения дробной рациональной параболы, ее эволюты и эквидистанты, которые могут быть применены при профилировании лопаток тур-бомашин.

Ключевые слова: турбина, лопатка, профиль, парабола, эволюта, эквидистанта.

Парабола на основе дробной рациональной функции применяется при профилировании элементов турбомашин. На рис. 1 показана расчетная схема дробной рациональной параболы (ДРП) [1].

Рис. 1. Расчетная схема параболы: XA, xC — углы наклона касательных в начале и конце параболы; b — хорда; fmax — максимальная ордината; a — абсцисса положения максимума; x, y — текущие координаты; ABC — контрольный треугольник параболы

В практике профилирования лопаток турбин перед тем как построить кривую, например параболу, строится так называемый контрольный треугольник, образованный касательными крайних точек кривой. На следующем этапе в этот треугольник вписывается того или иного вида кривая. Для ДРП исходными данными являются: координаты начальной точки А: абсцисса х = 0, y = 0, угол наклона касательной %А, хорда профиля лопатки b = 100, координаты точки С х = b, у = 0, угол наклона касательной %с.

Уравнение параболы имеет вид

У(х) =

B ■ х - х2

2 • A ■ х + C'

(1)

Нетрудно показать, что коэффициенты, входящие в уравнение (1), можно рассчитать по формулам

B = Ь, (2)

С = Ь • ), (3)

со1 (х A )• !ап (Хс)-1

А = -

2 • !ап (Хс)

(4)

После подстановки значений коэффициентов в формулу (1) получим основную зависимость для дробной рациональной параболы:

УDRP Ь, ХA , ХС ) =

(Ь • x - x2)

2 •

со! (х A )•!ап (Хс )-1

2 • !ап (Хс)

• X + Ь • A )

(5)

При профилировании лопаток важным параметром является положение и величина максимума ординаты, например спинки профиля. Для вычисления абсциссы максимальной ординаты ДРП можно воспользоваться формулой, полученной из естественного условия равенства нулю первой производной от функции (5). После несложных преобразований можно получить выражение для расчета абсциссы максимальной ординаты параболы:

Ь •

хтахDRP (Ь, ХA , ХС ) = '

!ап (Хс)

!ап (ХA )

- ь • со! (Х A )•!ап (Хс)

со! (Х A )•!ап (Хс )-1

(6)

При вычислении параметров эволюты ДРП необходимо знать формулы для ее первой и второй производных.

Для первой производной выражение имеет вид

( „2 ,2 \ \ Л

!ап(Хс) •

УxDRP (х, Ь, ХА , Хс ) = '

x -ь • со! (Ха)• !ап(Хс)...

+ 0 -х2 • сЫ(ха)• !ап(Хс)... + 0 + 2 • Ь • х • со! (х а )• !ап (Хс)...

(х + ь • сЫ (х а )•!ап (Хс)-- х •со! (Х а )•!ап (Хс)) Для второй производной выражение более простое:

( и х х )= 2•Ь' • со!(Ха)• !ап(Хс)2

УxxDRP\X, Ь, ХА , Хс / =

(7)

(х + ь •сЫ (х А )•!ап (Хс) х •с° (х А )•!ап (Хс))

(8)

Известно, что радиус кривизны дробной рациональной параболы по длине параболы меняется. В некоторых случаях расчета параметров течения в каналах,

очерченных подобными параболами, необходимо знать величины радиусов кривизны или кривизны обводов, так как с этим связан поперечный градиент скоростей и термодинамических параметров потока в канале. В работе [2] приводятся формулы, позволяющие рассчитать и величину радиусов кривизны контура и изменение этих радиусов по длине параболы:

3

. I1 + Ухпкр — b, Ха , Хс) . Кпяг — Ь, Ха, Хс)=—|-—-). (9)

\УххВКР — Ь, ХА , ХС ^

Для построения эволюты необходимо знать координаты центра кривизны. В параметрическом виде формулы для абсцисс и ординат в соответствии с [2] имеют вид

\2\

yxDRP — b, Xa , Xc )-(1 + yxDRP — b, XA , Xc )

X0DRP — b, XA , XC )= X--(—7-)-, (10)

yxxDRP — 7, XA , XC )

i1 + yxDRP (X, b, Xa , Xc ) ) Уоdrp — b, Xa , Xc ) = yDRP — b, Xa , Xc ) +-—t-)— • (11)

yxxDRP (X, b, XA , XC )

При параболе и ее элементах приходится строить касательные и нормали. Для построения касательной к эволюте и нормали к ДРП можно воспользоваться формулой (12)

Nev (x2, П) = tan I a tan (yxdrp — b, Xa , Xc )) + П + —drp — b, Xa , Xc )) )"

v 2 у (12)

'(X2 -(x0DRP (x, b, XA , XC ))).

Для построения эквидистанты дробной рациональной параболы получено параметрическое уравнение вида

XEKV (x, b, XA , XC , AR ) = X0DRP (x, b, XA , XC ) + (—RP (x, b, XA , XC ) + AR ) '

' cos (a tan (yxDRP — b, Xa , Xc ))^, ( )

yEKv — b, X A, Xc , Ar ) = Уо drp — b, X a , Xc ) + (—drp — b, X a , Xc ) + Ar )

( (14)

'sinI atan (yxDRP — b, XA, Xc )) + 2 I •

В таблице представлена программа Fraction R_Function.xmcd построения дробной рациональной параболы с различными исходными параметрами, абсцисс и ординат центра кривизны параболы, эволюты, эквидистант с уменьшенными и увеличенными ординатами и т.д.

Таблица

Программа Fraction R_Function.xmcd

№

п/п

Наименование параметра

Формула, результат расчета

Значения начальных параметров: углов на входе и выходе,хорда

b := 100

Xa 25' 180

B := b

B := 100

XC :=(10)'-^-Лс v ; 180

Уравнения и значения коэффициентов

C := b ' cot (xa )

A :=

cot (xa )' tan(XA)- 1 2' tan (xc )

C = 214.451 A = 1.763

Уравнения парабол 1(х)

b ' x - x2

2' A ' x + C

YdRP (( b XA' Xc ):=

(bx - x2

2 I' x + b' cot (Xa

Графический вид парабол

Абсцисса положения экстремума параболы

XmaxDRP (b' XA' XC )

tan (Xc tan (Xa

- b'cot (Xa )'tan (Xc )

cot (xa )' tan (xc )-1

xmaxDRP

(b, Xa, Xc ):= 38.078

Первая и вторая производные

YxDRP (x,b' Xa. Xc):='

yxxDRP (x, b, %A, XC ):_"

' x2 - b2 ' cot (Xa )' tan (Xc )... ^ tan(xc)' + 0 - x2 cot (xa )' tan (xc )...

+ 0 + 2' b ' x' cot (xa )' tan (xc ) ^

x + bcot (x a ) ■ tan(xc) -' xcot (xa )tan (xc ))2

_2' b2 ' cot (xa ) tan (xc )2_

x + b ■ cot (xa ) ■ tan (xc )-' x' cot (xa )' tan (xc ))3

Радиус кривизны параболы

Rdrp (x' b' Xa ' Xc ) =

("I + Yxdrp (x,b' Xa' Xc )

3

2W

Уxxdrp (x' b' Xa ' Xc )

2

3

4

5

6

7

Продолжение

№

п/п

Наименование параметра

Формула, результат расчета

Изменение величины радиуса кривизны ДРП по длине хорды

Абсцисса центра кривизны ДРП по формуле [2].

ХСЮПР (Х, Ь, ХА, Хс)х

УхОПР ( ХA, Хс) ■ (1 + УхОПР (x, b, ХA, Хс )2 УххРПР (х, ь, ХА, Хс )

10

Ордината центра кривизны

Уоопр (x,b, ХA, Хс) := УОПР (x,b, ХA, Хс) +

"1 + УхОПР (x,b, ХA, Хс )2 УххОПР (х, Ь, ХA, Хс )

11

Уравнение касательной к эволюте и нормали к дробной рациональной параболе

Меу (х2, п) := 1ап

11ап(р (п b,ХA,Хс )).

+ 0 + -

х2...

+ 0-хоопр (п b, ХA,Хс)

+ 0 + (У 0ОПР (Т1, Ь, ХA, Хс))

8

9

Окончание

№

п/п

Наименование параметра

Формула, результат расчета

12

х2:= хООНр (100, Ь, хА, Хс ), (р (100, Ь, ха, Хс ) + 1) -110

Эволюта с касательными к ней

13

Параметрические уравнения эквидистанты (АЯ — смещение эквидистанты)

Абсцисса

ХБКУ (х, Ь, Ха, ХС, АЯ ) Х0ЭЯР (х,Ь, ХА, ХС)■ ■ ■

+ 0 +ГЯ-Р (х,Ь,:

+ 0 + АЯ

^Р^Ь XA, ХС]-х х ) Л (а^п(р(х,ь,ХА,ХС))■■■

XA, ^"[«ю _ п

п п + 0 + —

Ордината

Увку (x, Ь XA, ХС: + 0 + Г RDRP (х,Ь,

,Ая )

Ха, ХС ) ■

А

+ 0 + а

УoDRP (x, Ь Ха, ХС)■■■

п(Р (Х,Ь,XA, ХС ))■■■ п

atan( п

+ 0 + -

V

14

Эквидистантные дробные рациональные параболы

15 '

У0ВР(.х, Ь,ха, Хс.) УЕКУ (х> Ь, ХА, Хс, АН.) УЕКУ (х> Ь' ХА, Хс, -ДН.)

40

100

X, ХЕКу(.Х, ь, Ха, Хс, Ан), уРКу (X, Ь, Ха, Хс, -Ав)

Конец программы

В результате проведенной работы:

—получены аналитические зависимости для дробной рациональной функции, которая применяется при построении парабол при аналитическом профилировании лопаточного аппарата турбин и компрессоров;

—разработана программа, реализующая построение эволюты дробной рациональной параболы, которая позволяет строить эквидистантные параболы с увеличенной и уменьшенной ординатами. Эквидистантные кривые позволяют осуществлять анализ формы межлопаточного канала проточной части турбомашин на предмет его конфузорности или диффузорности.

Приведенные численные данные и графические построения могут быть использованы при тестировании программы.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Холщевников К.В. Теория и расчет авиационных лопаточных машин. — М.: Машиностроение, 1970.

[2] Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М.: Физматгиз, 1963.

THE EQUIDISTANT OF FRACTION RATIONAL PARABOLA

I.V. Epifanov, L.V. Vinogradov

Department of heating engineers and heat engines Engineering faculty Peoples' Friendship University of Russia Ordzhonikidze str., 3, Moscow, Russia, 115419

An article presents an analytic method and program for designing fraction rational parabola, its evolutes and equidistant. These elements may be used for designing of the turbine blade profiles. Key words: turbine, blade, profile, parabola, evolutes, equidistant.