CC BY
27
MS С 49J30
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД
Г.Д. Садритдинова
Томский государственный архитектурно-строительный университет, Соляная пл., 2, Томск, 634003, Россия, e-mail: [email protected]
Аннотация. Изучаются функционалы от функций комплекежнх) переменших), зависящие от значения функции и ее производных в фиксированной точке. В работе параметрическим методом установлены управляющие функции в уравнении Левнера, приводящие к 1'раничным функциям, связанным с такими функционалами на классе голоморфных однолистных в круге р-симметричных функций.
Ключевые слова: функционалы, граничные функции, управляющие функции, уравнение Левнера.
1. Введение. Пусть Sp, p =1, 2, ... — класс голоморфных однолистных в круге E = {z : |z| < 1} функций f (z) = z + ..., отображающих E на области, имеющие p-кратную симметрию вращения относительно нуля, т.е. таких что
е р z) = е р / (с) , к= 1, 2, ...,р- 1.
Плотный подкласс класса Sp образуют функции f (z) = lim eTZ (z,t), оде Z (z, т) -
t ^ro
решение уравнения Левнера
—~й-= -({z,T)—7—-—--г, <(с,0) = с, с < 1, 0<т<оо, 1)
dT ßp (т) - Zp (z,T)
в котором управляющая функция ß (т) , |ß (т)| = 1, является непрерывной или кусочно-непрерывной на [0, то).
Функционалы, зависящие от значения функции и её производных в фиксированной точке области задания, являются объектом исследования в различных экстремальных задачах, главной из которых является нахождение множества значений таких функционалов, Подобные функционалы изучались Л. Бибербахом, Г.М. Голузиным, И.Е. Ба-зилевичем, П.П. Куфаревым, H.A. Лебедевым, И.А. Александровым и другими.
Представляет интерес задача об описании управляющих функций в уравнении Левнера, приводящих к функциям, вносящим граничные точки в область значений этих функционалов. Такие ß (т) мы называем экстремальными.
В настоящей работе рассматриваются функционалы
h (f, z) = In
f (z)
12 (f, Z) = In
Zf' (z)
f (z)
/3 (f, z) = In |f' (z)|
на классе Sp, для которых параметрическим методом находятся экстремальные управляющие функции ß (т) в уравнении (1). Для функционалов /1; /3 экстремальные управляющие функции уже были получены в работах |1|-|3|. Кроме того, в работах |4|, |5| были получены экстремальные ß (т) для arg f (z) на класс ах S = S1 и Sp, p =2, 3, ...
2. Параметризация функционалов. Из уравнения (1) имеем
ld( = 1 2(р ^ d (lner() _ 2(р С dr ßP - Ср
(2)
^т - (р
Продифференцировав равенство (2) по г, и обозначая через (' производную функции ( (г, т) по г, будем иметь
"■In?
2p( pßp
d-r " Z (ßp - Zp)2 '
Проинтегрировав равенства (2) и (3) по т, 0 < т < оо, получим
In
f (z)
-2
Zp (z,т)
'0 ßp (т) - Zp (z,т)
dт
f (z) p p 2
(3)
(4)
(5)
/о (ßp (т) - Zp (z, т)) где f (z) e Sp
Множества значений функционалов In ^^ и In ue зависят от arg z, поэтому можно считать, что z = r, 0 <r< 1. Введём обозначения
|Z (г,т)| = P (г,т) > Z (г,т) ß^) = P (г,т) У (г,т)
и запишем уравнение (1) в виде
d In Z (r, т) 1 + pp (r, т) yp (r, т)
(6)
dт
откуда получаем
d In p dт
1 — pp (r, т) yp (r, т)
1 - p2p
|i - Ppypl2
• d arg Z Pp (yp - yp)
dт
|1 - Ppypf
(7)
ЭС
P (т) P (r, 0) = r
lim p (r, т) = 0.
т ^го
z=r
ln
f (r)
-2
dт,
f (r)
Г°° рР(г,т)у?(г,т) 'о 1 - (Р (г, г) ур (г, г)
/0 (1-рр(г,т)ур(г,т))5
гdт.
Заменим в этих интегралах т на p, используя формулу (7). Тогда
lnm = 2 гj^L. \ip=_,2 г =
1 - ppyp 1 - p2p
Л 1 - P2p p
1 - P2p
- - In (1 - r2p)
ЫГ-Ш = -2р
(yp - Pp) Pp
-1
dP .
f (r) Jo (1 - Ppyp) (1 - P2p)
Вместо кусочно-непрерывной функции y (r, p) , |y (r, p)| = 1, 0 < p < r, введём
i + Л1/p
вещественнозначную функцию t (r, p), такую что y
i-
V
Кроме того, в полу-
ченных интегралах сделаем замену переменной, положив p
1 - s
1/p
r P Ja t2 + 1 S p
r2p) + -p
Д + s.
^ t ds
Будем иметь
t2 + 1 s
ln
г/' (г) /(г)
1 t2 - s2 ds 1 ts ds
+ 2?;
t2 + s2 s
1 - rp
где а = ——-. Таким образом,
1 + rp
/1 (f,r) = ln
f (r)
t2 + s2 s
1
01 (s,i) ds - - In (1 - r2p) p
(9)
где g1 (s, t)
t2 - 1 1
где g2 (s,t)
t2 + 1 ps
t2 - s2 1
/2 (f,r) = ln
rf'(r)
f (r)
g2 (s, t) ds,
(10)
t2 + s2 s
Очевидно, что
0
1
r
1
/з(/,г) = 1п|/'(г)|= [ 03(М)^--1п(1-г2р) , (И)
</ а р
где д3 (в,*) = 01 (в,*) + 02 (в,*).
3. Экстремальные значения функционалов. Каждое из уравнений (д^)4 = 0, г = 1, 2, 3, даёт * (в) = 0 и * (в) = то.
Выполнив интегрирование в (9)-(11) при * (в) = 0, получаем
1 1 — гр 1 — гР Д = 1п-— , 1-2 = 1п --- , /з = 1п ■
(1 + ГР)2/Р' г 1 + ' (1+ гр)1+2/р -
То есть при * (в) = 0 функционалы 11, 12 , 13 достигают своих минимальных значений [4]. Вычислив теперь интегралы в (9)-(11) при * (в) = то, находим значения функционалов
1 1 + гр 1 + гр Ь = 111 --Г^Т > 12 = 111 --- , /з = 1п ■
(1 - гр)2/р' 2 1 - гр ' 3 (1 - rP)1+2/P '
являющиеся максимальными |4|,
4. Экстремальные управления. Восстановим управляющие функции ß (т), приводящие к минимумам функционалов Д , /2 , /3,
Берём t = 0 следовательно y = 1 /p. При таком y уравнение (8) записывается в виде
cl arg С (г, г)
-—-= 0 , arg С (г, 0) = 0 .
Следовательно, argZ (r, т) = 0. Таким образом, Z (r, т) = р (r, т), и из формул (6) находим ß = 1 /p. Значит, ß = 1 /p — экстремальные управляющие функции, доставляющие минимальные значения функционалам Д , /2 , /3.
Найдём теперь функции ß (т), приводящие к максимумам функционалов Д , /2 , /3, При t = то имеем y = (-1) /p, и уравнение (8) с начальным условием arg Z (r, 0) = 0
даёт arg Z (r, т) = 0. Используя формулы (6), находим, что ß = (—1) /p - экстремальные управляющие функции, приводящие к максимальным значениям функционалов /1, /2, /3.
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема. Экстремальные управляющие функции, приводящие к минимальным значениям функционалов /1 (f, z) = ln |f (z)/z| , /2 (f, z) = ln |zf (z)/f (z)| , /3 (f, z) = ln |f' (z)|, где f (z) G Sp , p =1, 2, .. ., имеют вид ß = 1 /p. Экстремальные управляющие функции, приводящие к максимальным значениям этих функционалов, имеют вид
ß =(-1)1/р-
Проинтегрировав уравнение Лёвнера (1) с управлением ß = 11/p, находим
Z (z,T) =
(l - у/1-Ш1 (z) е-Р-у 4Ä'i (л) е~Рт
где К1 (л) = -2 и выбираем однозначную ветвь функции ( в соответствии с
z
условием ( (z, т) = e~rz + ... . Функция / (л) = lim ет( (z, т) = -тг- является
т(1 + zP) /p граничной для функционалов Д, /2 , /3 на классе Sp, на которой данные функционалы достигают своих минимальных значений.
Проинтегрировав уравнение (1) с ß = (-1) /p, получаем
Z (z,T) =
(l - Vi+ 4K2(z) е-рту
4K2 (z) e-pT
i/p
где K2 (z)
—--yj ■ Однозначная ветвь полученного решения, удовлетворяющая
^ Е Sp, на которой функ-
/Р
условию ( т) = е + даёт функцию / (с) =-
(1 - гр)
ционалы Д, /2 , /3 достигают своих максимумов.
При р =1 получаем экстремальные управляющие функции для функционалов /1, /2, /3 на клас се
5. Заключение. Область значений любого функционала, зависящего от f (г) и f' (г), f (г) € , можно получить соответствующим преобразованием области значений
системы функционалов < ln
f (z)
arg-, In
zf' (z)
f (z)
arg ■
f Е Sp.
Исследования но описанию экстремальных управляющих функций, проведённые в данной работе, продолжаются в отношении оставшихся функционалов системы. Полученный результат развивает параметрический метод, являющийся одним из основных методов геометрической теории функций комплексного переменного.
Литература
1. Садритдинова Г.Д. Управляющие функции и модуль производной /7 Вестник Томского государственного университета. 2007. №299. С.104-105.
2. Садритдинова Г.Д. Экстремальное управление для модуля производной на классе p-симметричных функций /7 Вестник Томского ххк'ударетвенного университета. Математика и механика. 2007. №1. С.54-57.
3. Садритдинова Г.Д. Экстремальное управление для одного функционала на классах аналитических функций // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. '2014. №2. С.29-34.
4. Александров ILA. Александров А.И. Экстремальные управляющие функции в уравнении Левнера в теореме вращения /7 ДАН. 2000. 371, №1. С.7-9.
5. Садритдииова Г.Д. Веетиик Томексих) х'оеударетвенши'о университета. Математика. Кибернетика. Информатика / 2003. №280. С. 78-80.
6. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций / М.: Наука, 1976. 344 с.
7. Попов В.И. Исследование некоторых функционалов и свойств линий уровня на классах однолистных функций / Дисс. • • канд. физ.-мат. наук / Томск, 1965. 93 с.
EXTREME CONTROLS AND PARAMETRIC METHOD
G.D. Sadritdinova
Tomsk State University of architecture arid construction, Solyanaya Sq., 2, Tomsk, 634003, Russia, e-mail: [email protected]
Abstract. Functionals on complex variable functions depending on function values and derivative values at fixed point. Using parametric method control functions in the Loewner equation have been set which have led to boundary functions connected with the class of holomorphic univalent in the disk and p-svmmetric functions.
Key words: functional, boundary functions, control functions, Loewners equation.
