CC BY
29
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2007 Математика и механика № 1
УДК 517.54
Г.Д. Садритдинова
ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЛЯ МОДУЛЯ ПРОИЗВОДНОЙ НА КЛАССЕ р-СИММЕТРИЧНЫХ ФУНКЦИЙ
В работе продолжается исследование задачи о границе областей значений функционалов на классах однолистных функций. Прослеживается путь нахождения экстремальных управляющих функций в уравнении Левнера для модуля производной на классе р-симметричных функций.
Экстремальная задача о границе областей значений функционалов на классах однолистных функций продолжает оставаться актуальной. Одним из эффективных инструментов решения вопросов, связанных с этой задачей, является параметрический метод.
Рассматривается функционал I(/р, 20) = \/р (г0 )| , где г0 - фиксированная
точка круга Е = (г: |г| < 1}, не равная нулю, /р принадлежит классу Бр, р=1,2,..., голоморфных в Е функций_/Р(г) = г+..., однолистно отображающих Е на области, имеющие р-кратную симметрию вращения относительно начала, то есть таких, что
I ,2жЛ \ !2пк
/р (е р г/ = е * /р (г), к = 1,2,...,р - 1.
Известно, что функции, на которых этот функционал принимает граничные значения, принадлежат плотному подклассу класса Бр функций вида
fp (2) = 1™ ? (2т),
где д(г, т) - решение уравнения Левнера
= »р (т) + ЯР , 0 < т < «, ?(2, 0) = геЕ, (1)
йт цр (т)
в котором управляющая функция р,(т) является гладкой, |р,(т)| = 1.
Управляющие функции, приводящие к граничным функциям функционала, мы называем экстремальными управляющими функциями. Задача о нахождении таких функций для а^ / '(г) решена И.А. Александровым и А.И. Александровым на классе 5 [1], Г.Д. Садритдиновой на классе Бр [2].
В работе прослеживается путь нахождения экстремальных управлений для функционала 1(/Р, г0). Поскольку граничные значения этого функционала не зависят от а^ г0, возьмем г0 = г, 0 < г < 1.
Выполняя некоторые преобразования над уравнением (1), приводим его к виду
й т ц р -др
Дифференцируя (2) по г, получим
2с р
2 (2)
Интегрируя (2) и (3) по т, 0 < т < да, приходим к равенствам
?Р (*,т)
1п М) = -2].
г 0 ц' (т)-;' (г.т)
Л т
1п
г/0(2) _ 0 % ир (т)др (г, т)
“2 Р
/0 (2) о [ир (т)~с,р (г,т)]'
из которых при г = г следует, что
Ср _ + _ рур др
^Р ~^Р (р-др)
d т.
Обозначив
будем иметь
т)| = Р(Г т), д (г, т )ц (т) = р (г, т )у (г, т)
1п/Р (г) = -21
Р Р У Р + РР Р У Р
d т.
(4)
1 -РУР (1 -рРур )
В полученном интегральном представлении 1п /р (г) заменим переменную т на р по формуле
I |2
1 -р р ^ р\
Л т = -—,-----г-т- Л р,
р (1 -Р2 Р)
которая следует из уравнения (1) и указывает на монотонную зависимость р от т, причем р(г, 0) = г, Нш р (г, т) = 0 . Придем к равенству
1п /Р ( г) = -2|
Р (УР -РР)
Рр ^Р + 2ггР^Ф 1 -Р2р 01 -р2р'
(5)
Здесь по формуле у = ^^Р вводим вещественнозначную функцию /(г, р), де-1
(1 - 5 V
лаем замену р = I----I и получаем
1 ч Г( 1 * + * * +*5 I 1 . л 2 »\
1п/р (г) = Л “^ + ^1----------------------------1пI1 - г22 )
•ч р г - г г - к) 5 р 4 '
где ст =-
1 - г1 1 + г1
. В этом равенстве легко выделяются вещественная и мнимая части.
0
о
56
Г.Д. Садритдинова
Таким образом,
1п
, . 1 г2 -1 г2 - s2
где Я С*>г) =—+ -2---------2 .
2 +1 г2 + s2
Уравнение (я,г) = 0 имеет единственный вещественный корень / = /0(у) = 0.
Найденное значение / таково, что g (я,г0 (я)) = шт g (я,г) = -1 - —. Тогда при / = 0
Р
функционал 1(/р, г) принимает свое минимальное значение.
Для того чтобы подойти к максимуму данного функционала, введем в (5) вместо функции у(г, р) вещественнозначную функцию и(г, р) по формуле
У =
и -1
и +1
и, заменив р на я, получим
1п ГР (г) = |
1 і - и і - 5и ------------+-------------
_ р1 + и I + 5И
Выделяя здесь вещественную и мнимую части, будем иметь
ds s
1п
где
|/Р(г ^ ( - г 2р )р = | ф (*>«)—,
ф (^ и ) = -
11 2 і 2 2 1 1 - и + 1 - 5 и
р 1 + и2 1 + 52и 2
Уравнение (й,и) = 0 имеет единственный вещественный корень и=и0(я) = 0,
причем
Ф (я,и0 (я)) = тах ф (я,и) = 1 + — .
Р
Таким образом, при и = 0 функционал 1(/р, г) принимает свое максимальное значение.
Укажем минимум и максимум функционала 1(/р, г). Так как
\/; (г)(і - г)р < |і+■
то
. _2
(1 + гр)+ Р (1 - гр ))
Поскольку у = 1 при / = 0, то, проинтегрировав уравнения й 1п р _ 1 - р2 р
АГР (г)|
1 + г1
иД
(І т
■, р(г, 0) = г,
(6)
2
f (г, т) рР (УР УР) г( 0
'---------1—- =------------------, arg f (г, 0) = 0,
d т
II -р Р 7 рГ
(7)
следующие из уравнения Левнера (1), при у = 1 с учетом формулы (4) находим
Кт) = 1
Решение уравнения (1) с найденной ц(т) имеет вид
1
р
(і-УІ1 - 4К (г)е-р )
4 К1 (г)е
-рт
где К1 ( 2 ) = -
. Однозначная ветвь функции с выбирается в соответствии с
(1 + 2Р )
условием с;(г, т) = е тг +.... Таким образом,
/„ (г) = Ііт еТд(г, т) = (.^ (г))) =-
- экстремальная функция для Щр, г0), на которой функционал достигает минимума.
_1 і
При и = 0 получаем у = (-1)7. Интегрируя уравнения (6) и (7) с у = (-1)"р , из
формулы (4) находим р (т) = (-1)7.
Уравнение Левнера (1) с такой р,(т) имеет решение вида
1
<; =
однозначная ветвь которого выбирается в соответствии с условием
С(г, т) = е)Тг +...
Тогда
/ (г) = Ііт е\(г,т) = (К2 (г))р =-
(1 - гр)
- функция класса 5р, дающая максимальное значение функционалу 1(/р, г0).
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров И.А., Александров А.И. Экстремальные управляющие функции в уравнении Левнера в теореме вращения // ДАН. 2000. Т. 371. № 1. С. 7 - 9.
2. Садритдинова Г.Д. Управляющие функции и аргумент производной // Вестник ТГУ. 2003. № 280. С. 78 - 80.
и
г
г
Принята в печать 11.09.07.
