CC BY
421
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ В ОДНОУРОВНЕВОЙ ОРГАНИЗАЦИОННОЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ И ПЕРСПЕКТИВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РАЗРАБОТКИ ИНСТРУМЕНТАРИЯ
Богатырев В.Д.
(Самарский государственный аэрокосмический университет, Самара) [email protected]
Рассматривается задача управления одноуровневой системой для случаев трансферабельной и нетрансферабельной полезности. Приводятся реальные примеры одноуровневых организационно-экономических систем, а также интерфейс программы согласования взаимодействия.
Ключевые слова: одноуровневая система, согласованное взаимодействие, область компромисса, комбинированная система стимулирования, механизм управления взаимодействием.
Введение
Взаимодействие независимых юридических лиц в процессе хозяйственной деятельности в теории рассматривается как одноуровневая игра с сильно связанными элементами [2-4]. Однако механизмы управления одноуровневыми системами, предлагаемые в теории, на практике используются на объектах со слабо связанными элементами, когда полезность каждого не зависит от действий других, но при этом существует одно общее для всех ограничение. Такими ограничениями в системе с независимыми юридическими лицами могут быть следующие: на всех поставщиков делится ограниченный объем заказа, на всех подрядчиков делится ограниченный объем работ проекта, либо на всех перевозчиков существует один причал с ограниченной
пропускной способностью и т.д. Кроме того, на практике среди всех элементов системы, как правило, можно выделить одно лицо, которое не может управлять остальными, но, в тоже время, оно является системообразующим - с ним взаимодействуют все элементы и с ним связано одно общее на всех ограничение. Это лицо в ряде случаев может посчитать целесообразным и предложить остальным изменить условия контракта. Все это вызывает необходимость исследования механизмов управления взаимодействием, обеспечивающих устойчивость системы в новом состоянии и заинтересованность всех участников в переходе к новым условиям контракта.
1. Управление взаимодействием в системе с трансферабельной полезностью
Рассмотрим одноуровневую систему, состоящую из множества I = {1,2,3,..., элементов, стратегией каждого из которых
является выбор действия уп е Уп (п е I). Пусть целевая функция каждого элемента /п (у): У ® ^1, где у1 е У - первоначальная игровая ситуация, У = ^ Уп .
пе1
Определим «выигрыш» п-го элемента при переходе от первоначальной игровой ситуации у1 е У к ситуации х е У :
9„ (х, у1) = / (х) - / (у1) > 0. Если ц>п (х, У1) < 0, то такую ситуацию будем называть «проигрыш». Условие, при котором игровая ситуация хе У обеспечивает большую суммарную
N
полезность: Ф(х,у1) = £фп(х,у1) > 0.
п=1
Тогда постановка задачи формирования механизма управления в одноуровневой экономической системе будет следующей:
(1) них £тах[/п(у, п) - /п(у1)],
Ле®(у1) п=1 уеУ
где n е ®(yd) - система стимулирующих воздействий, обеспечивающая каждому элементу «выигрыш».
Решение данной задачи согласованного взаимодействия предлагается разбить на два этапа. На первом этапе выбирается
N
новый оптимальный план x: x е Arg max ^ fn (y). На втором
n=l
этапе (задача согласованного взаимодействия) выбираются
^ *
стимулирующие воздействия h :
(2) пшх fn(Уп,n*,x-n) = xn и fn^,n#) > fn(yd),
Уп eYn
то есть такие, которые обеспечивают заинтересованность всех элементов в выполнении плана и не меньшую полезность по сравнению со старым контрактом.
Для решения задачи второго этапа найдем разницу для целевой функции каждого элемента при реализации стратегии xn при условии, что все остальные реализуют стратегию
x-n = (xi, x2,..., xn-l, Xn+1,..., xN-l, xN ) е Y-n :
(3) Dgn(x) =
max fn ( Уп , x-n ) - fn ( x)
yn eYn
Далее все элементы делятся на три группы:
(4) 1Х = {п е /|/„(х) + (х) < /п(ул)},
(5) /2 = {п е 1\/п(х) + Agn(х) > /п(уйXЛ?п(х) > о}
(6) 1з = {п е 1|фп(х,у*) > 0 и Agn(х) = о}.
(7) 1 = 1Х и 12 и 1з и 1Х П12 П 1з =0 .
Предлагается следующая система стимулирующих воздействий:
(8) h = u =
Л
Unm neil 5 ^nm nei2
(9) <m (x„, y„ ) =j0nm’
ты 3 j
yn = xn Уп * xn
(10) и2т (хп, у„) = ] ипт , Уп х
пт п п
I 0 Уп * хп
то есть элементы из третьей группы «выплачивают» полезность в пользу элементов из первой и второй групп, только если последние выполняют план х.
При изменении параметров новые целевые функции элементов примут следующий вид:
(11) "п е /1 р (х, иП, у) = /п (У) + X иПт (хп, Уп К
те/
(12) "п е 12 Рп (x, и2, У) = /п (У) + X и1т (хп, Уп ):
те/з
(13) "т е 1з Р (x, ит , У) = !т (У) - Хипт (хп, Уп ) - Хи1т (хп, Уп ).
пе/1 пе12
Система стимулирующих воздействий должна отвечать ряду условий. Дополнительная полезность при выплате полезности, полученная каждым элементом из первой группы, должна
обеспечивать достижение уровня /п (у1):
(14) "п е /1 X ипт > -Фп (x, У1) .
те 1з
Для второй группы дополнительная полезность должна быть не меньше потерь от реализации действия хп :
(15) "п е 12 Xи1т >Лёп (х).
те 1з
Элементы из третьей группы согласятся на новый контракт, только если дополнительный эффект, получаемый каждым из
них при переходе от ситуации У1 к ситуации х , не меньше чем потери полезности при выплатах элементам из первой и второй группы:
(16) "т е 1з фт (x, У1) > X ипт + X ипгт .
пе 11 пе 1 2
В [1] доказываются следующие утверждения:
Утверждение 1. Для любого элемента при фиксированном виде стимулирующих воздействий (8-10), удовлетворяющей неравенствам (14-16), вектор действий х является равновесием Нэша:
(17) Еы (х) ={х е 7|"п е 1 "Уп е Уп Рп (x,u, х) > Рп (x, u, Уп, х-п )} .
Утверждение 2. Условие реализации согласованного взаимодействия в системе следующее:
(18) Ф(х,У1) > X[фn(х,У1) + Аёп(х)].
пе 1 2
2. Комбинированная система стимулирования
На практике, как правило, элементы не могут в явном виде делиться друг с другом полезностью (доходом). Тогда предлагается использовать комбинированную систему стимулирования и реализовать перераспределение полезности путем изменения ряда существенных параметров всей системы, например, в качестве таких параметров могут выступать цены и тарифы, объемы заказа, длительность рассрочки в оплате за выполняемые элементами работы или поставляемые ими товары, размер авансовых выплат.
В этом случае целевая функция каждого элемента системы
/п (Гп, Гп, У) зависит от двух векторов Гп = (^п!,..., Г пт,...,) и гп = (г1п ,...,гтп ,...,гМп), которые, соответственно, являются строкой и столбцом матрицы параметров контракта г = ||гпт||пе1 те1 е Я , где гпт - параметр, выбираемый п -ым элементом и общий с т -ым элементом. То есть вектор параметров гп выбирает сам элемент, а вектор параметров гп выбирают остальные. Далее для краткости будем записывать целевую функцию п -го элемента следующим образом - /п (г, у) . Предположим, что условия старого контракт включают вектор плановых действий у1 = (у1 ,..., у1 ,..., УN) и матрицу параметров г0.
В соответствии с алгоритмом, определенным ранее в первом варианте, когда перераспределение полезности происходило в явном виде, найдем потери каждого элемента
(19) Dgn(r*, x) = max max fn (rn, r*„, yn, x n) - fn (r\x)
_rn ^Rn yn Є^п _
и разобьем множество I на три группы.
Тогда новые целевые функции элементов примут следующий вид:
(20) "n Є Ii Fn (r,x,h r , y) = fn (r , y) + Z UL (rn*, xn, rn, Уп ) +
+ D/n (r*, x, Dr, r , y), (21) "n Є I2 Fn (r\x,h, r , y) = fn (r , y) + Z UL (rn, xn, rn, Уп ) +
тєі з
+ D/n (r*, x, Dr, r , y),
(22) "m Є I3 Fm (r \ x П r , y) = ^ (r , y) -Z UL 0^ xn , Гп , Уп ) -
nєI1
- Z Un2m ^ xn, rn, Уп ) + D/m (r ^, X, Dr, r , У),
ПЄІ2
где используется следующая комбинированная система
/ \
(23) h = (u, Dr), и =
Unm ПЄЛ J Unm пЄ2
V mєIз
Г ..1
mєI
Dr = Dr
nmI^I,mєI '
3
(24) и (r , x , r , y ) = *
nm n n n n
_ y = x A r = r
nm n n n n
r\ *
0 Уп * xn V rn * rn,
(25) u2 (r* x ,r , y ) = ■
nm n n n n
и , У = x A r = r
nm n n n n
r\ *
0 Уп * xn V rn * rn ,
(26) "n є I1 UI2,"m є I
* ( * ) I Dmn, Уп = xn A Гп = Гп
Drmn 0^ xn, rn, Уп ) = <L mn П П П *n
і0, Уп * xn V rn * rn ,
то есть элементы из третьей группы изменяют параметры и отдают часть своей полезности, повышающие полезность для элементов из первой и второй групп, только если последние выполняют план x и соблюдают параметры контракта r *.
При использовании комбинированной системы можно рекомендовать последовательное применение стимулирующих воздействий, в первую очередь следует использовать выплаты в явном виде, а уже при достижении допустимых границ изменять параметры в допустимой области.
Система стимулирующих воздействий (23-26) должна отвечать ряду требований.
Сумма полезностей, полученная каждым элементом из первой группы, и дополнительная полезность от изменения параметров должны обеспечивать достижение уровня fn (yd):
(27) "n е1 Xuhm +A/n (r\x r\ x) > -jn (r\ x, r \ yd).
mel з
Для второй группы суммарная полезность, перераспределяемая в пользу каждого из них, и дополнительная полезность при изменении параметров должны быть не меньше потерь от
реализации действия xn при векторе параметров r :
(28) "n е 12 X uL +A/n (Лx, Ar, Л x) > ASn (Лx).
mel з
Элементы из третьей группы согласятся на новый контракт, только если дополнительный эффект, получаемый каждым из
них при переходе от ситуации yd к ситуации x , не меньше, чем сумма полезности, перераспределяемой в пользу элементов из первой и второй групп, и потери полезности при изменении параметров:
(29) "m е I3 jm (Л x, r^ yd ) > XUL +ZUL -A/m (Л x, A^ Л x).
neIi nel2
Утверждение 3 [1]. Для любого элемента при фиксированном виде стимулирующих воздействий (23-26), удовлетворяющей неравенствам (27-29), вектор действий x является равновесием Нэша:
"п е I, "у„ е У„, "г е Л
’ -/ п п п п
Рп(г\ хЯ, Лх) > ^(г\х,ц,Гп,г*п,Уп,х-п)]
В качестве практического примера можно рассматривать взаимодействие предприятия оптовой торговли, являющееся одновременно заказчиком и поставщиком у целого ряда независимых друг от производителей и потребителей (см. рис. 1). Инвестор-заказчик инвестиционного проекта и предприятия подрядчики, поставщики, проектировщики (см. рис. 2), лизингодатель и агенты - лизингополучатель, производитель оборудования, сервисная компания (см. рис. 3), - всё это примеры взаимодействия в одноуровневой системе. Еще одним примером могут стать логистический центр (перевозчик), занимающийся хранением, перевалкой и транспортировкой грузов, с одной стороны, и его клиенты - независимые организации, с другой стороны (см. рис. 4).
Фактически, в приведенных примерах одноуровневых систем инициатором изменения контракта могут быть предприятие оптовой торговли, логистический центр, заказчик проекта, которые предлагают остальным участникам системы изменить условия или перезаключить контракт с учетом новых оптимальных планов и параметров. При этом инициаторы нового контракта должны разработать и предложить такие новые условия, которые заинтересовали бы остальных участников системы. Как правило, изменение полезности элементов в третьей группе при новом контракте существенно превышает изменение полезности у остальных, поэтому они имеют возможность различными способами «делиться» полезностью с остальными. На практике данная схема согласования взаимодействия, как правило, используется в системах со слабо связанными элементами. Тогда все элементы делятся на группы: в первой - элементы, получающие дополнительную полезность, в третьей - элементы, перераспределявшие полезность. Второй группы нет, так как
"п е I тах /п(Уп) = /п (Уп).
УпеУп
14
15
16
Рис. 4. Схема взаимодействия контрагентов при экспорте продукции, перевозимой водным транспортом
Другим направлением дальнейшего развития является разработка компьютерной программы, проводящей расчеты с использованием экономико-математических моделей управления взаимодействием. Данная программа должна быть универсальной, то есть должна иметь возможность работы с изменяемым числом элементов, любыми целевыми функциями, в том числе, изменяющимися дискретно, а также со свободно настраиваемым множеством переменных и ограничений.
$ Механизм согласования взаимодействия в одноуровневых организационно-экономических системах
□111
Файл Поиск решения Помощь Элементы системы
[ЇЇЙ/АТП
■#■ Добавить ¿Ц Изменить Ц Удалить
“3
Функция и переме
І д“у4-сІ-І“|г41 “У1 +г42лґ2+і43'ї3]
Переменная (ЗмачоЕд. |л|
ч Цена услуги 300 руб./тн ! = і
II бьем услуг I 105 тыс. у с л.тн
6 Постоянные издержки 28 млн. руб.
г41 Птсрочка оплаты 1 -му ю 0 щн.
[42 Отсрочка оплаты 2-му по 0 щн. |^|
+ Добавить] ¿Ц Изменить | Ц- Удалить
Переменные Условие Ограничение
У4 >= 0
у4 <= 105
I
У
+■ Добавить £Ц Изменить І Д Удалить I
До После
|3начение ЦФ 500 540
До После
|3начение ЦФ 1500 1550
До После
¡Значение ЦФ 20 21
Рис. 5. Интерфейс программы согласования взаимодействия
(общий вид)
Пример интерфейса такой программы предлагается на рис. 5. В левой части экрана программы предусмотрен ввод элементов системы, для каждого из них вводится целевая функция, эндогенные и экзогенные переменные, ограничения. В правой части экрана элементы и связи между ними представлены графически. Необходимо отметить, что, так как элементы связаны друг с другом и с внешней средой материальными, финансовыми и информационными связями, то параметры, характеризую-
щие эти связи, являются для одних элементов входными, а для других выходными переменными.
согласования вааимодеиствия в одноуровневых организационно-экономических системах
□0В
Г Файл Поиск решения Помощь Элементы системы |№1^АТП
3
Р Удалить
Целевая Функция и переменные
] ф" Таблица целевых функций
Элемент и |(пГ.и) | |усЛ |рп[г0^с1] ¡Иг^хлО,^) |с^дп(гх,к) ^п1г",к]+йдп(гв,)() ^п1[“,х,с1гл“,к) ¡Рп^нЖг^н) |
Поставщик. 1 25 И1-375 20 ¡1,1 0,275 0,275 1,650 0,29625 1,67125
Поставщик 2 75 4,125 07 4.785 -0,660 ¡0,743 4,668 0,74475 4.86975
Поставщик 3 100 5.500 116. 6,380. -0.880 0.880 6,380 0897 6,397
ДТП 110 |5Д]0 105 3.5 1.5 [о ~ 5,000 -0.616 4.384
Порт 200 ¡12.000 223 3,000 4,000 0 12,000 -1,645 [10.355
ИТОГО 28,000 23,765 4.235 1-0.323 27,677
ь ^ Я |
0
| Изменить -Д Удалить
До После
¡Значение ЦФ 12 14
Рис. 6. Интерфейс программы согласования взаимодействия
(результат)
Так как при приведенных способах решения задачи управления взаимодействием результат получается в виде набора неравенств, так называемой, области компромисса, то для выбора конкретного решения пользователю программы необходимо выбрать вариант распределения дополнительного эффекта, получаемого при согласованном взаимодействии. В качестве таких вариантов могут быть следующие - распределение эффекта поровну между элементами, пропорционально выручке, в соответствии с одинаковой нормой рентабельности, либо весь эффект могут получать только элементы третьей группы («выигравшие»), либо элементы первой и второй группы («проигравшие»). После выбора варианта распределения эффекта между элементами подпрограмма оптимизации целевых функций и подбора системы стимулирования предлагает окончательное конкретное решение в виде нового набора оптимального плано-
вого действия и параметров. Пример вывода результата приведен на рис. 6, слева направо в таблице указаны: оптимальный план, значения целевых функций при оптимальном плане, предыдущие значения вектора действий и целевых функций, изменения целевых функций при переходе от предыдущего действия к оптимальному плану, потери каждого элемента при выборе им оптимального плана, значения целевых функций при выборе оптимального плана с учетом потерь, перераспределение полезности между элементами при подборе системы стимулирования.
Выводы
Результаты заключаются в следующем: показано, что построение механизма управления одноуровневой системой определяется целевыми функциями и множествами допустимых действий элементов; в формализованном виде выведены условия согласованного взаимодействия; предложено в качестве стимулирующих воздействий использовать не только выплаты в явном виде, но и изменения ряда существенных параметров системы, то есть комбинированный вариант, что позволило расширить возможности управления одноуровневой системой. Перспективным направлением дальнейших исследований является изучение взаимодействия для максимально широкого круга систем с целью построения механизмов управления организационными системами, удобных для использования на практике.
Литература
1. БОГАТЫРЕВ В. Д. Механизм управления взаимодействием в одноуровневой организационной системе. - Автоматика и телемеханика. №5. 2005. С. 156-174.
2. ГУБКО М.В., НОВИКОВ Д А. Теория игр в управлении организационными системами. М.: Синтег, 2002.
3. ГЕРМЕЙЕР Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976.
4. НОВИКОВ Д.А. Стимулирование в организационных системах. М.: Синтег, 2003.
