Эффект Рашбы в полубесконечном цилиндре: точное решение, спиновое вырождение Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 4. 2008. Вып. 2

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 621.315.592

Д. Е. Цуриков, А. М. Яфясов, Б. С. Павлов

ЭФФЕКТ РАШБЫ В ПОЛУБЕСКОНЕЧТГОМ ЦИЛИНДРЕ:

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ, СПИНОВОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ

Введение. В последние годы явление спин-орбитального расщепления в двумерных системах привлекает особое внимание исследователей во всем мире, что связано с надеждами применения данного эффекта при построении различных полупроводниковых устройств, основанных на разделении электронов с различными ориентациями спинов. Один из первых проектов такого рода устройства, основанного на эффекте Рашбы [1] в двумерной системе, был представлен в работе [2]. Центральным элементом подобных приборов является потенциальная яма, в которой происходит энергетическое разделение электронов с различными ориентациями спинов. Как правило, наибольший интерес в этом случае представляют кольцевая и круговая геометрии. На сегодняшний день получено точное решение задачи в тонком кольце на основе корректного вида гамильтониана и рассчитаны различного рода физические величины [3, 4]. Получены точные решения для кольца произвольной ширины [5] и для круга [6, 7]. Следует отметить, что двумерная система является лишь приближением к реальной трехмерной задаче. Строго говоря, в попытках использовать эффекты двумеризации носителей требуется также учитывать влияние объема на спектр, что является важным аспектом в понимании физических явлений при понижении размерности. Это означает переход от круговой и кольцевой геометрий к цилиндрической. В последних публикациях предприняты попытки приближенного решения задачи в цилиндре [8, 9]. Точное решение задачи в цилиндре представляет особый интерес, так как результат в пределе будет отвечать либо случаю круглой (кольцевой) двумерной потенциальной ямы, либо случаю квантовой проволоки. Тем не менее, точное решение задачи для цилиндрической геометрии в общем виде представляет серьезную проблему. Первым этапом на пути ее решения являются простейшие модельные задачи, позволяющие, по меньшей мере, на качественном уровне получить ответы на интересующие нас вопросы.

В настоящей работе представлено точное решение задачи об электронном спектре в полубесконечном цилиндре с учетом спин-орбитального взаимодействия в присутствии однородного электрического поля. Результаты данной работы позволяют на качественном уровне проследить процесс перехода к двум предельным случаям: круглая потенциальная яма, квантовая проволока. На примере задачи в цилиндре показано, при каких условиях энергетическая сепарация электронов по ориентации спина будет отсутствовать.

Постановка задачи. В общем случае стационарные состояния электрона с учетом рашбовского слагаемого описываются [10] уравнением вида

*) Университет г. Окленда, Новая Зеландия. (Private Bag 92019, 38 Princes Street, Mathematical Sciences Building, Aucland, New Zeland, e-mail: pavlov@math.auckland.ac.nz.)

© Д. E. Цуриков, А. М. Яфясов, Б. С. Павлов, 2008

(1)

где р - импульс электрона, то - эффективная масса носителя заряда, а30 - константа спин-орбитального взаимодействия, Н - постоянная Планка, Е - напряженность электрического поля, а - матрицы Паули, V - потенциал, х - радиус-вектор электрона. Далее будем использовать сокращенное обозначение для производной по координате дг '■= д§т, а также соглашение о суммировании по повторяющимся индексам.

Рассмотрим потенциал, отвечающий случаю электрона в полубесконечном цилиндре с жесткими стенками и однородным электрическим полем внутри, направленным параллельно оси цилиндра:

у/х\ - И0Е3Ж3, уМ+Щ < Я, х3 >0

1^00, л/х\ + х2 Я, Х‘з ^ 0.

Здесь во - абсолютная величина заряда электрона. Раскрывая смешанное произведение в (1) и учитывая явный вид матриц Паули

<*=(; ;).*■=(; ■0<).-з=(; д), <з>

имеем следующую спектральную задачу в полубесконечном цилиндре: Ж

2 г _ ^

^ asoE3(di + ід2) ~£^діді + еоЕ3ж3J \Ф2) ~

^lan

діді + е0Е3жз ^%0Е3(9і - ід2)\ fipA = Е (фі soE3(ai + ід2) -^діді + Є0Е3Ж3J \Ф2)

= 0, П = |(жі,ж2,ж3) : \jx\Jrx\ < R, х3 > о|

(4)

Перейдем к безразмерной задаче в цилиндрической системе координат: д- = г costp,

^ = г simp, ^ = z, где L = 2тЙ?ёоЁ1' Безразмерные волновые функции определим как

f(r,ip,z) = Нл/Ь'ф(хі(г,ір),х2(г,ір),хз(г)) = Е'/Ьф(Ег cos ip, Ersimp, Lz). (5)

Введем также следующие безразмерные величины: а := £део aso =

Щ E3Raso,

є ~ 2™^ Е, р := £ = 2™2е° Е3Д3. В результате имеем безразмерную задачу на собственные значения:

-Artp - (?dzz + г ае~іч> (дг - ^dv) \ (fi\ (h\

-aeiv (дг + f;dv) -Arv - p2dzz + z) \f2J \/2 J (6)

1/(0, <p, z)\ < 00, f(l,<p, z) = 0, f(r,ip, 0) = f(r,ip, 00) = 0, f(r, ip, z) = f(r, ip+2n,z),

где Arip = drr + dr + - оператор Лапласа в полярной системе координат.

Далее будет построено решение задачи (6) в аналитическом виде.

Точное решение. Ищем решение задачи (6) в виде /1,2(»%Р, z) =: Хі,2(г) Подставляя данный анзац в уравнение (6), очевидным образом удается разделить переменные. При этом для функции g получаем задачу вида

{^P2dzz + z) g(z) = 7g(z), g(0) = g(00) = 0. (7)

Ее решение известно [11]:

9j(z) = си) Ai (p-2/3[г - 7i]) , 7j = -ajp2/*, a, : Ai(a,-) = 0, (8)

где у = 1,2,...- номер нуля функции Эйри, gj - собственные функции, су) - произвольные константы, А1 - функция Эйри, ^ - собственные числа, - нули функции Эйри.

Для соответствующих данному значению ] функций Хг 2 имеем следующую спектральную задачу

-Дг

аег^ (дг -Дг

4= а

. - - _ Л -ае-* (дг + ±0^) -Агір ) \\2і) Л\Х2,

|х(0,<р)\ < 00, х(1,Ч>) =0, х(г,<р) =х(г,<Р + 2тг),

Хи

(9)

где А := єу — 7^- - собственное число. Так как оператор, стоящий в левой части уравнения (9) не зависит от ], то для всех значений ] имеем одинаковые уравнения на Ха (а = 1,2), как следствие, одинаковый набор собственных значений Л.

Для решения задачи (9), используя свойство 27г-периодичпости функций Ха, разложим последние в комплексный ряд Фурье по угловой переменной:

1 оо 1 "г

Ха(г,<р) = Е Д*а(г)е**, Нка(г) = ~у= Ха^ф^Лр, О = 1,2.

у І7Ї , _ у2тг 3

(10)

Подставляя (10) в (9), получаем следующую систему уравнений с граничными условиями на коэффициенты разложения Пка

-дг

а

~^дг + ^

а + дг)

-дгг - Ьдг +

= Аі

Які

п

к+1,2

к = ^оо,

,+00

(11)

(12)

|-й*й(0)| < оо, 1-К/ь+1,2(0)| < оо, /2*1 (1) — 0, ^+1^(1) — 0.

Системе уравнений в задаче (11) удовлетворяют следующие функции

Кк1(г) = С! 1к('Ш+г) + С2Ук('Ш+г) + с31к('Ш-г) + С4Ук('Ш-Г)

Ик+1,2 (г) = ^ {1¥+ [в! ,]к+1 (ю+г)+с2Ук+1 (ю+г)] + Цг- [с3,1к+1 (ю-г) + с4Ук+1 (ш-г)]} , где Jk и У*. - функции Бесселя первого и второго рода, соответственно; 01,2,3,4 - произвольные коэффициенты; гш± := ^(у)" + А ± ; \¥± := гш± (а2 + А — ги±). Выражения

для \¥± допускают упрощение:

\¥± = ю±

= и)± а"

а

А-(?

Ат

— ) + Л ) —

а\ ч а 2)+ЛТ2

— -рек

У(?)+Ат ?)=т"58,1 (/(

В предположении Л > — (%)" выражения для \¥± примут вид

1¥+ = —аХ, 1¥- = пА ь.цпЛ.

(13)

С учетом условия ограниченности в нуле решений задачи (11) подстановка (13) в (12) дает следующий результат:

Требование обращения решений (14) в ноль на границе единичного круга позволяет получить уравнение на собственные значения

а также выражения для неизвестных коэффициентов с^з- Здесь Хпк - п-й ноль к-го

Согласно разложению (10), решение задачи в круге должно представлять собой бесконечную сумму. Предположим, что найдено некоторое Л, удовлетворяющее (15). Заметим, что в общем случае нули функций от Л, стоящей в левой части (15), совпадают в том и только том случае, когда функции для различных к связаны преобразованием

не трудно видеть, что при данном преобразовании получается уравнение, идентичное исходному. Это означает, что в бесконечных суммах (10) для данного Хпк, найденного из (15), при отсутствии случайного вырождения ненулевыми являются только два слагаемых, связанных преобразованием к —¥ —(к + 1).

Удобно ввести следующие функции

где Хпк - решение уравнения (15). Тогда единственные ненулевые коэффициенты в рядах (10) запишутся в виде

Перед тем как записать окончательное решение задачи в цилиндре, следует отметить важный факт. Можно показать, что оператор в исходной задаче (4) коммутирует с оператором Крамерса [12] (оператором инверсии времени):

где С - оператор комплексного сопряжения. Данное обстоятельство влечет за собой двукратное вырождение спектра задачи (4). При этом не трудно убедиться, что две ортогональные собственные функции, отвечающие одному и тому же собственному значению, связаны между собой преобразованием (18). Это означает, что по построенному выше решению второе линейно независимое решение получается действием оператора (18) на первое.

Таким образом, точное решение спектральной задачи (6) примет вид:

Икі(г) = с1^(м+г) +с3Л(ги_г)

Ик+1,2(г) = -Сі,]к+і{иі+г) + сд,]к+і{иі-г) SgnЛ.

(14)

Л+і(®пк+)^(®пк~) ■Зк-\-і{'Мпк—),Зк{'Мпк-\-) — 0

(15)

вида: к —ї —(к+ 1). Учитывая известное свойство функций Бесселя [11],

Рпкіі'г) ■= -Ік+іі'ШпьА-ЬІ'Шпк+г) + Л+1 (Юпк+)(Юпк-Г) 8%пХпк Рпк2('Г) := ~'1к+і{,Юпк—)'1к+і{,Юпк+'І')~І<~ ^г+1 (®пЛ+)^+1 (и^пЛ —г))

(16)

(17)

К := -іа2С,

(18)

£зпк — 'Уз Хпк, — 1,2,...; к — 0,1,...,

(19)

где 7^- и Хпк определяются из уравнений (8) и (15), соответственно. Собственные функции задачи (6) запишутся в виде

( Мг,р,г) \(1) т (Рпк1(г)е^ + Рпкф)е-^Л ( уз л

V /2(г,у>,г) ).пк зпк {рпк2(г)е^к+1^ \Р [ ЪЧ

( Мг,<р,г) \(2) (2) (Р„к1(г)е^ - Рпк2(г)е-<к+1^\ / 2/Зг„ _ Л

V /2(г,у>,г) Д.пк с^к V^1nfc2(r)ei(^;+1^ + Fnfcl(r)e-^; \Р [г

где - нормировочные постоянные, Рпк\ и определяются соотношениями (16).

Далее в процессе анализа полученных выражений мы остановимся на принципиальных моментах, важных для понимания специфики эффекта Рашбы в двумерных системах.

Анализ результатов. Прежде всего, отметим общие свойства спектра решенной задачи. Во-первых, спектр является вещественным, так как исходный оператор самосопряжен. Во-вторых, уровни энергии являются двукратно вырожденными в силу упомянутой симметрии задачи относительно преобразования (18). В-третьих, спектр представляет собой идентичные по структуре совокупности уровней, наложенные друг на друга со сдвигами по энергетической оси, пропорциональными нулям функции Эйри (19).

В силу третьего свойства в первую очередь представляет интерес рассмотреть структуру упомянутых совокупностей, образующих спектр исходной задачи. Исследуем численно поведение решений уравнения (15). Далее квантовым числом то будем обозначать порядковый номер уровня задачи в круге (11), начиная с основного, при а = 0.

Парис. 1 представлен результат численного решения уравнения (15). Графики некоторых собственных значений, отвечающих более высоким значениям квантового числа к, пересекают графики, изображенные на рисунке, однако с целью повышения наглядности рисунка они исключены. Одинаковым типом линии изображены уровни с одинаковым то, т. е. находящиеся в вырожденном состоянии при а = 0.

Очевидно, что изначально существует естественная возможность попарно сгруппировать уровни как расщепившиеся компоненты вырожденных уровней при а = 0. При этом в спектре присутствуют и не расщепившиеся уровни с к = 0 и четным те. Согласно введенному формализму квантовых чисел, систематика спектра при малых а выглядит следующим образом:

пг=0 т=1 т=2 пг= 3 т=4 га=5 пг= 6 т=7 т=8

^Аоо^ < Лр1 < Лю < Ар1 < Ли < Лго < Лрз < Ац < Л21 < А30 < Лр4 < А13 < А22 < А31 < Л40 <

п+к= 0 п+к=1 п+к=2 п+к=3 п+к=4

серия 0 серия 1 серия 2

(21)

Серия - совокупность собственных значений, содержащая единственную нерасщеп-ленную компоненту в качестве наивысшей. Внутри серии собственные значения группируются, исходя из значений суммы квантовых чисел пик. Нерасгцепленная компонента присутствует в качестве наивысшей в совокупности с четной суммой те + к.

Отличительной особенностью этого графика по сравнению с аналогами, полученными ранее в работах [6] и [7], является охват более широкой области значений по а

а

Рис. 1. Решепие задачи в круге

вплоть до отрицательных А. Это достигается за счет наличия в уравнении (15) множителя , отсутствующего у других авторов. Его выявлению способствовала специ-

фика нашей методики решения задачи (9). Очевидно, что данная поправка особенно важна при А < 0. и ее отсутствие говорило бы о неприменимости уравнения для больших а. при которых имеют место отрицательные собственные значения задачи (9). Следует отметить, что рассмотрение больших а вполне оправдано, так как в силу определения безразмерного параметра а [см. пояснения к уравнению (6)] это имеет место, как при больших электрических полях, так и при больших радиусах цилиндра.

На рис. 1 хорошо заметны два характерных явления: инверсия уровней изменение порядка следования с ростом а, отталкивание уровней запрет на инверсию некоторых собственных значений. Следует отметить, что в силу наличия возможности динамического изменения безразмерного параметра а посредством изменения величины электрического поля, данные явления могут найти применение на практике.

Обратимся теперь к рассмотрению спектра исходной задачи в цилиндре. Так как

Таблица 1 наибольший интерес представляет исследова-

Собственные числа задачи (7) шю нижних энергетических уровней, то огра-

ничимся рассмотрением первых двух серий задачи в круге (9) и первых двух уровней задачи (7). Построим зависимости е от а для следующих значений р (из таблицы).

Разным типам линий на графиках отвечают серии с различным квантовым числом сплошная ,7 = 1, пунктир j = 2. Как видно из рис. 2, р фактически является параметром двумеризации: предел р —ь 0 отвечает случаю цилиндрической квантовой проволоки: при р —ь ос имеем двумерную задачу в круге. Заметим, что учитывая определения е и р, а также вид точного решения исходной спектральной задачи (19),

р 71 72

од 0,504 0,881

100 50,4 88,1

£

а

б

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

а

Рис. 2. Решение задачи в цилиндре с линейным потенциалом при р = 0,1 (а) и р = 100 (б) в терминах размерной энергии имеем

* (\р2т Ез)

2/3

К2

2 тК

'\гк ■

(22)

Выражение (22) свидетельствует о том. что размерным параметром двумеризации является электрическое поле Еп,. Именно при больших электрических полях иижиие энергетические уровни становятся хорошо различимыми в спектре (рис. 2-6). что находится в полном согласии с ранее полученными результатами [13].

Выясним, возможно ли в рамках нашей постановки задачи энергетически разделить электроны с различной ориентацией спинов. Для этого найдем среднее значение спина в состояниях, описываемых функциями (20). По определению, среднее значение собственного момента количества движения электрона пропорционально

5'; ~ <Л <7; |/), г = 1,2,3.

(23)

Рассмотрев значение проекции спина на ось 3, подставляя (20) для первого вырожденного состояния в (23), и используя свойство ортогональности функций (8), имеем:

^ ~ (^,1 (г) в** + Г„*2 (г) | (г) в** + Г„*2 (Г) в-»к+1^

^„*2 (г) еНк+1)* - (г) | -Г„*2 (г) еНк+1)* + (г) «-***} . (24)

Используя свойство ортогональности экспонент при интегрировании по угловой переменной, получим

5'з1} ~ (Рпк1 (г) | Рпк 1 (г)) + (Рпк2 (г) | Рпк2 (г)) - (Рпк2 (г) | Рпк2 (г)) -

- {РпЬ1 (г) | (»•)> = 0. (25)

Аналогичным образом можно показать, что для нашей задачи справедливо более общее утверждение:

§1а) = 0, и= 1,2; г = 1,2,3. (26)

Это означает, что энергетической сепарации электронов с различными ориентациями спинов не происходит. В приложении будет показано, что данный факт обусловлен инвариантностью гамильтониана исходной задачи (4) относительно преобразования (18), при этом конкретный вид геометрии здесь не играет роли. Также на основе решения (20) можно показать, что равенство нулю выполняется не только для среднего значения спина, но и для плотности данной величины. В приложении показано, что этот результат также является следствием указанной симметрии оператора.

Приложение: симметрия оператора, спиновое вырождение. В силу эрмито-вости, вещественный спектр характерен для оператора вида

І*1 :=

А В В+ О

А = А+, I) = I) '.

(27)

Покажем, что для данного оператора справедливо следующее достаточное условие двукратного вырождения спектра

І*1-1- = Р, [I*1, К} = 0 =^> спектр оператора Р двукратно вырожден. (28)

Рассмотрим задачу на собственные значения для оператора (27):

= Хф (29)

Подействуем слева на выражение (29) оператором Крамерса (18), учитывая очевидный факт существования обратного оператора (К-1 = К4- ). В силу вещественности Л, имеем:

А Кф = К ГК '/\г = ГК К 1\ і ’ = РКф. (30)

Это означает, что если і[і - собственная функция оператора Р, отвечающая собствен-

ному значению Л, то в предположении выполнения коммутационного соотношения (28) Кф - также собственная функция оператора Р, отвечающая собственному значению Л. Таким образом, выражение (30) является обоснованием достаточного условия двукратного вырождения спектра (28).

Выясним, какой вид должен иметь эрмитов оператор, имеющий двукратно вырожденный спектр. Для оператора вида (27) потребуем выполнения коммутационного соотношения (28)

0 = [Р,К} =

В

£>

А В ' 0 -1 ■

в+ £> 1 0

-А С с ' -В+

-В+ А

С

0 -1

1 о

с

А В

в+ о

в

ВС + СВ+ БС - С А

СВ* + СВ+ БС - А* С

-АС + СО

-в+с ^СВ

-С А* + С О -В+С -в*с

(31)

Требуя равенства нулю элементов матрицы, имеем В+ = ^В*, О = А*. Это означает, что вещественный двукратно вырожденный спектр имеет оператор вида

А В

в+ л*

А = А+, /Г = ^/Г.

(32)

Собственные векторы данного оператора, отвечающие двукратно вырожденному собственному значению, связаны между собой оператором Крамерса

=

Ф\

Ф(2

= Кф{1) =

0 -1

1 о

с

ф(1]

ф

(1)

-ф-

(1)*

Ф;

(1)*

Очевидно, что они ортогональны:

ф^ ф(2^ = — (ф

(і)

Ф■

(і)*

Ф■

CD

Ф■

(і)

Ф■

CD

Ф

(33)

(і)*\ _

= ^{Ф(2]

Ф

(1)и

(1)

Средние значения проекций спина

§(31] ~ (ф(1) а3 ф(1)^ = (ф^ 0-3 ф(2)^ =

Фi1})

Ф■

CD

(і)

ф.

#*) = 0. (34)

(і)

Ф

(і)

(35)

Среднее значение спина по двум состояниям, отвечающим одному вырожденному энергетическом уровню, равно

" ' г"'“ ^ (36)

S3 = h IS.

(і)

з

■ 42) 1 = 0.

Аналогичным образом можно показать справедливость данного равенства для всех проекций спина

Si = 0, г =1,2,3. (37)

Это означает, что для операторов вида (31) сепарация спинов по уровням энергии невозможна. Нетрудно видеть, что оператор в левой части уравнения (4) также имеет вид (31). Следовательно, для него выполняется соотношение (36), что совпадает с результатом прямых вычислений (24)—(26). Также можно показать, что плотности вероятностей проекций спина для оператора (31) будут равны нулю. Этот факт обусловлен эффектом точной компенсации данных физических величин для двух вырожденных состояний.

Заключение. Получено точное решение задачи об энергетических уровнях и волновых функциях электрона в полубесконечном цилиндре с жесткими стенками и линейным потенциалом в присутствии спин-орбитального взаимодействия. На примере данной задачи выявлена невозможность энергетической сепарации спинов в двумерных и трехмерных потенциальных ямах в отсутствии магнитного поля. Показано, что данный факт следует из свойств симметрии оператора и не зависит от геометрии задачи. Таким образом, если гамильтониан электрона в квантовой точке коммутирует с оператором Крамерса (18), то энергетическое разделение электронов по спину не происходит.

Summary

Tsurikov D. Е., Yafyasov А. М., Pavlov В. S. Rashba coupling in half-infinite cylinder: an exact solution, spin degeneration.

An exact solution to one-particle Schrodinger equation for an electron in half-infinite cylinder in the presence of both homogeneous electric field and spin-orbit coupling is obtained. An absence of spin separation of electrons by energy levels splitting due to Rashba coupling in two- and threedimensional potential wells is shown.

1. Bychkov Y. A., Rashba E, I. Oscillatory effects and the magnetic susceptibility of arriers in inversion layers // J. Phys. C. 1984. V. 17. P. 6039-6045.

2. Datta S., Das B. Electronic analog of the electro-optic modulator // Appl. Phys. Lett. 1990. V. 56, N. 7. P. 665-667.

3. Meijer F. E., Morpurgo A. F., Klapwijk Т. M. One-dimensional ring in the presence of Rashba spin-orbit interaction: derivation of the correct Hamiltonian // Phys. Rev. (B). 2002. V. 66. P. 033107-1-033107-3.

4. Sheng J. S., Chang Kai Spin states and persistent currents in mesoscopic rings: spin-orbit

interactions // Phys. Rev. (B). 2006. V. 74. P. 235315-1-235315-14.

5. Lozano G. S., Sanchez M. J. Magnetic flux induced spin polarization in semiconductor mul-tichannel rings with Rashba spin-orbit coupling // Phys. Rev. (B). 2005. V. 72. P. 205315-1-205315-5.

6. Bulgakov E. N., Sadreev A. F. Spin polarization in quantum dots by radiation field with circular polarization j j Pis’ma v ZhETF. 2001. V. 73. P. 573-577.

7. Tsitsishvili E., Lozano G. S., Gogolin A. O. Rashba coupling in quantum dots: an exact

solution // Phys. Rev. (B). 2004. V. 70. P. 115316-1-115316-11.

8. Alves F. М., Marques G.E., Lopez-Richard V., Trallero-Giner C. Spin-orbit effects in single electron quantum rings // Semicond. Sci. Technol. 2007. V. 22. P. 301-306.

9. Савинский С. С., Велослудцев А. В. Феноменологическая модель Рашба для расчета энергетического спектра электрона на цилиндре // Письма в ЖТФ. 2007. Т. 33. Вып. 10. С. 58-63.

10. Winkler R. Spin-Orbit Coupling Effects in Two-Dimensional Electron and Hole Systems. Berlin, 2003. 228 p.

11. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. Definitions, theorems and formulas for reference and review. Sec. Ed. Koru G. A., Korun Т. M. N.Y.; San Francisco; Toronto; London; Sydney. 1968. 832 p.

12. Давыдов А. С. Квантовая механика. М., 1973. 703 с.

13. Davies J. N. The physics of low-dimensional semiconductors. An Introduction. Cambridge, 1998.

Принято к публикации 18 декабря 2007 г.