Эволюция волновых пакетов в двумерных структурах со спин-орбитальным взаимодействием Дрессельхауза Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.6, 538.9

ЭВОЛЮЦИЯ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ В ДВУМЕРНЫХ СТРУКТУРАХ СО СПИН-ОРБИТ АЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ ДРЕССЕЛЬХАУЗА

© 2010 г. Е.В. Фролова, Н.А. Кравец

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского frolova_el@mail.ru

Поступила в редакцию 13.05.2010

Исследована временная эволюция спин-зависимых 2Б волновых пакетов в системе со спин-орбитальным взаимодействием Дрессельхауза. Рассмотрен эффект осцилляций центра волнового пакета, т.е. zitterbewegung. Показано, что осцилляции не продолжаются бесконечно долго, а затухают с течением времени.

Ключевые слова: zitterbewegung, спин, динамика волновых пакетов.

Необычная динамика электронов и дырок в системах со спин-орбитальным взаимодействием изучалась в работах [1-4]. В системах, где полная система собственных функций образована состояниями с различной киральностью, проявляется нестандартная динамика волновых пакетов. При этом временная эволюция пакетов зависит от начальной ориентации электронного спина. Подобные эффекты рассматривались в ряде работ [1, 5-7] для пакетов со спинами, ориентированными в начальный момент в различных направлениях. В частности, в этих работах изучался эффект дрожания центра волнового пакета (zitterbewegung). Этот эффект был предсказан Шредингером еще в 1930 году [8, 9], однако получил экспериментальное подтверждение только несколько месяцев назад [10].

Рассмотрим временную эволюцию волновых пакетов в системах со спин-орбитальным взаимодействием Дрессельхауза [11]. Гамильтониан такой системы выглядит следующим образом:

*2

Н = Н0 + Ип =

р

2т

- + Р(рх6х - ру6у )

(1)

Фрь(Г) =

1 1

Л (2лй):

ехр

(2)

Собственные значения гамильтониана (1), соответствующие двум ветвям с индексами ь = ±1, выглядят как

2

е±(Р)=

2 т

± Р Р

(3)

Из (1) видно, что гамильтонианы систем со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы и Дрессельхауза связаны преобразованием: х ^у. В связи с этим в качестве начальной поляризации спина волнового пакета мы используем пример, который не рассматривался ранее ни в одной работе.

Для анализа временной эволюции электронного волнового пакета воспользуемся функцией Грина, матричные элементы которой определяются как

С к (Г, 5', /) =

= X |^рф Рь,; (г , t)ФРьк (5 ',0). (4)

Используя (2), находим выражения для компонент функции Грина:

Gn(r, 5', г1) = G22(r, 5', г) =

где т - эффективная масса электрона, р константа спин-орбитального взаимодействия, ст=(стх,ау) — матрица Паули. Собственные

функции данной задачи определяются квантовыми числами р(рх , Ру) и индексом ь = ±1

1

(2пН)2

1рЧ_ + Ыг-П )со8( йр/)р 2тН Н Н

С12(Г, г', г) = ■

(2яН)2

Гехр(-^ + рГ - Г'})sin(0^)р--1 2тН Н Н р

(5)

1Рх

ф,

-1

С21(5 •5 '•г) = (2^

|ехР(-

ip г + ip(r - Г') 2тН Н

)ап( 2Р!-) <Рр.

Н р

1

X

X

X

Компоненты спинорной волновой функции в произвольный момент времени выражаются следующим образом:

VI = I(5,5' , г)¥ к(5' ,0М5'. (6)

Рассмотрим временную эволюцию двумерного гауссовского волнового пакета со средним значением импульса р0х и начальным направ-

лением спина вдоль оси х:

¥ (г ,0) =

1

ехр

,2

2 і'

гР 0хх Н

. (7)

Подставляя (7) в (6) и используя выражения для компонент функции Грина (5), получим

¥1(5, г) =^(ф1(5, г) + ф3(5 ,г)),

V 2(5, г) = ~^1 (ф1 (5, г) + ф2 (5, г)) ,

где функции ф1, ф2 и ф3 определяются сле-

дующими выражениями:

і

Фі(Г,і) = -^ Гехр

Vя 0

,д 2Ш д 2 сі 2 £2^

2л2 ,2 ,2

- і

2т

2

2

/2 2 4 2

х 30(НГ -к)і - 2і^0і х)^(Рді)дід,

іі д/г 2 + £2і 4 + 2^0 і 2у

Ф 2(Г, 0 = -

- г

л/Л х + гу + £0^2

. д2Н д 2 і 2 2 ^

2т 2 2

/2 2 4 2 •

х /і(дл/г - £о і - 2г£0і х)8Іп(рд?)дід,

Фз(Г, 0 = -

іі

х + гу + £0 і

/я _ 1Г2 + £(2і4 + 2£0^2у

1 ехР

. д2 Ні д 2 і 2 £(2і

-г

2т

2

2

исходит в случае, когда начальная ориентация спина направлена вдоль оси г. В рассматриваемом нами примере наблюдается расщепление волнового пакета на несколько частей, центры которых движутся в одном направлении. При этом имеет место сохранение симметрии У ^- У.

Рассмотрим некий оператор Яу = <тхРу, где

Ру1 (у) = /(-у) . Если в начальный момент времени волновая функция удовлетворяет уравнению

Я у ¥(х, у,0) = +Т(х, у,0),

(8)

/2 2 4 2 •

хМд^г -к§с1 -2ikoс1 х)8т(р^/)^А^,

где 10 и 31 - функции Бесселя.

На рис. 1 представлено распределение полной электронной плотности в момент времени г = 5 (в единицах т0 = d -р-1) для структуры 1пваЛ8. В размерных единицах т = 0.05т0,

d = 2-10-5см, к0 = 0.5-105см-1, р = 3.6-106см - с-1 (оси х и у измеряются в единицах начальной ширины пакета). Из рис. 1 видно, что первоначальный гауссовский волновой пакет не расщепляется на две части, распространяющиеся в противоположных направлениях, как это про-

то и в произвольный момент времени она удовлетворяет этому же уравнению. Легко видеть,

что коммутатор оператора Яу и гамильтониана

(1) равен нулю. Как известно, два коммутирующих оператора имеют общую систему собственных функций. Таким образом, если начальная волновая функция удовлетворяет (8), то полная электронная плотность симметрична относительно замены у ^ - у .

Обсудим теперь эффект дрожания центра пакета (zitterbewegung) для начальной поляризации волнового пакета вдоль оси х. Для этого, используя импульсное представление, найдем выражение для средних значений операторов

- -Ъ д

координат г■ = гН----.

" Фі

Из рис. 1 видно, что среднее значение координаты у центра волнового пакета равно нулю вследствие соответствующей симметрии полной электронной плотности. Среднее значение координаты х центра волнового пакета содержит в себе кроме осциллирующей (затухающей с течением времени) части, постоянное смеще-

1

+

1

с

х

х

0

х

х

х

0

+ Р

1-

1

2k0 d2 2k02d 2

exp(-k0 d 2)

t+

22

+ dexp(-k0d )x x]sin^ )exp( - ) x

0

10(

h

2 pk0d2

h

0 - 12 ('

2 pk0d2

dp,

Интересно также рассмотреть пространственное распределение компонент спиновой плотности для рассматриваемого волнового пакета (рис. 3). Из рис. 3 видно, что расщепившиеся части волнового пакета имеют различные направления спина. Так в случае х-компоненты мы наблюдаем преимущественно положительные компоненты спина, а у- и г-компоненты плотности различных частей уже расщепившихся пакетов имеют противоположный знак. Таким образом, х-компонента спина имеет преимущественно положительное направление, а две другие меняют знаки при прохождении по поверхности волнового пакета.

ние, т.е. центр волнового пакета движется вдоль оси х с постоянной скоростью:

(9) Рис. 3. Распределение v-компоненты плотности спина в момент времени t = 5

где 10 и 12 - модифицированные функции Бесселя нулевого и второго порядка. Видно, что Х(?) зависит только от одного параметра

а = к0й (на рис. 2 представлена зависимость Х (?) при к0 = 3 • 105 см-1, а = 9 ). В случае, когда а >> 1, легко видеть, что постоянная составляющая скорости складывается из начального импульса волнового пакета и константы спин-орбитального взаимодействия:

V0 = ^ + р.

m

(10)

Как показано в [1], если в начальный момент времени волновой пакет имел поляризацию спина вдоль оси г, то zШerbewegung имеет поперечное направление, а в рассматриваемом случае мы имеем дело с продольным эффектом дрожания центра волнового пакета. В заключение отметим, что когда части пакета, соответствующие положительной и отрицательной ветвям спектра, расходятся на расстояние, превышающее его первоначальную длину, осцилляции прекращаются, и центр пакета движется только с постоянной скоростью.

Динамика волновых пакетов в структурах со спин-орбитальным взаимодействием имеет нестандартный характер, что может сказаться, например, на характеристиках спинового полевого транзистора Датты и Даса [12], а также на эффектах туннелирования и рассеяния. Так же нетипичная временная эволюция волновых пакетов в присутствии магнитного поля, рассмотренная в работах [1, 13], должна изменить форму линии циклотронного резонанса в 2D системах со спин-орбитальным взаимодействием.

Настоящая работа выполнена при финансовой поддержке программы «<Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1.2686), РФФИ (грант 09-02-01241-а), гранта Президента РФ для молодых ученых (MK-1652.2009.2), а так же при поддержке фонда «<Династия».

Список литературы

1. Demikhovskii V.Ya., Maksimova G.M., Frolova E.V. // Phys. Rev. B. 2008. V. 78. P. 115401.

2. Schliemann J., Loss D. and Westervelt R.M. // Phys. Rev. Lett. 2005 V. 94. P. 206801.

1

)

x

3. Schliemann J., Loss D. and Westervelt R.M. // Phys. Rev. B. 2006. V. 73. P. 085323.

4. Jiang Z.F. et al. // Phys. Rev. B. 2005. V. 72. P. 045201.

5. Maksimova G.M., Demikhovskii V.Ya., and Frolova E.V. // Phys. Rev. B. 2008. V. 78. P. 235321.

6. Demikhovskii V.Ya., Maksimova G.M., and Frolova E.V. // Phys. Rev. B. 2010. V. 81. P. 115206.

7. Демиховский В.Я., Максимова Г.М., Фролова Е.В. // Известия РАН. Серия физическая. 2009. Т. 73. № 5. С. 737-740.

8. Schrodinger E. // Sitzungsb. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-Math. 1930. Kl. 24. P. 418.

9. Barut A. O. and Bracken A. J. // Phys. Rev. D. 1981. V. 23. P. 2454.

10. Gerritsma R., Kirchmair G., Zahringer F., et al. // Nature. 2010. V. 463. P. 68.

11. Dresselhaus G. // Phys. Rev. 1955. V. 100. P. 580.

12. Datta S., Das B. // Appl. Phys. Lett. 1990. V. 56. P. 665.

13. Schliemann J. // Phys. Rev. B. 2008. V. 77. P. 125303.

WAVE PACKET EVOLUTION IN TWO-DIMENSIONAL STRUCTURE WITH DRESSELHAUS SPIN-ORBIT COUPLING

E. V. Frolova, N.A. Kravets

The time evolution of spin-dependent 2D wave packets has been studied in a system with the Dresselhaus spin-orbit coupling. The effect of wavepacket center oscillations (zitterbewegung) has been considered. It is shown that oscillations do not continue indefinitely, but decay over time.

Keywords: zitterbewegung, spin, wave packet dynamics.