CC BY
14
УДК 517.944
ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МОДЕЛИ ФОН КАРМАНА НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПОЛОГОЙ УПРУГОЙ ОБОЛОЧКИ С ШАРНИРНЫМ ЗАКРЕПЛЕНИЕМ КРАЯ
© 2009 г. Д.Б. Давтян
Ростовский государственный экономический университет, ул. Б. Садовая, 69, г. Ростов-на-Дону, 344002, [email protected]
Rostov State Economic University, B. Sadovaya St., 69, Rostov-on-Don, 344002, [email protected]
Излагается доказательство единственности обобщенных решений начально-краевой задачи модели Кармана колебаний пологих оболочек из материала с внутренним трением с шарнирным закреплением края.
Ключевые слова: нелинейная теория, начально-краевая задача, обобщенное решение, теорема единственности.
In this paper we proof the uniqueness theorem for generalized solutions of initial-boundary problems for the Karman vibrations of shallow shells with clamped boundary conditions of type of the hinge.
Keywords: nonlineary theory, initial boundary value problem, weak solution, uniqueness theorem.
Начально-краевая задача
i j - 8 < i < i j . где 5 - некоторое определенное для и
тт „ „ ^ число) по норме, порожденной скалярным произведе-
Нелинеиные колебания упругой пологой оболочки
нием
при движении в сверхзвуковом потоке газа описываются следующей системой уравнений [1]:
(1)
йО J-y/^iii^t J-A2ui^tjr ^
щ
A2vCO КО-з/.иСОИ. с краевыми условиями шарнирного закрепления края оболочки
32и<,/
an
dv<J
dn
дп
= 0,
= 0.
и начальными условиями
и О£=о = М0 • « ^>'£=0 = М1
(2)
(3)
Здесь Q - гладкая, ограниченная область в R ,
xeQ, t> 0, и=и<Г, v = viГ, в = вЦ, / =
eZ2 О •
со-
2 •
болевские пространства порядка п. Слагаемое уА й описывает внутреннее трение материала оболочки.
Обобщенное решение начально-краевой задачи (1) - (3)
Гильбертово пространство ВЗ1
*2Д Q 02
Ui
>
>M2i2y<27
'ft
If' 2f Jt2(i
Аналогично определяются пространства В^ /i2"' <J ~] с использованием я| К} вместо я| К}- и .
02
Обобщенными решениями начально-краевой зада-
2Д,
чи (1) - (3) называются функции иеВО
veL„
О \
0, tf >
удовлетворяющие следующим
интегральным тождествам:
\\^utu't + щи' + АиАи' - J + f,v + e~^ + 0Q
+ р———и' - ри дх\
\
dxdt-
+ j——dsdt- \u]u'4i,0~j}x = 0 .
Oil 8n 8n
LI
f J^vAv' + [ +2f,v'Udxdt = 0 on
(4)
для любых функций и' e В ' , у' е /i2"' (j и на-
0 2 0 2
чальному условию им г ^
lim||M<,/^-Mo||Z20:=0.
(5)
это пополнение множества бесконечно дифференци-
руемых на Q = D.x ij функций и {.I ^ А (1// для всех (таких, что если
Теорема существования обобщенного решения
о
о
Теорема 1. Пусть / е и\ <Г£Ш2 е Н2 <0
и0,щ е я| (>. и2 К) - Тогда существуют обоб-
щенные решения и и V начально-краевой задачи (1) -(3) в смысле (4), (5), причем
( |01 ^
u е C
4; tf J2 О
L X
V(Elr,
2 KKH^J
2 ^
I; f Э 2 о;
О Q
-1&+0 Jz
if ( а.,0 -v.OWl
О Г
<3м" | 5м' дп дп
<5^
дп
dsdz = О.
(6)
lk л II +||м„ л |L +е
и IIЦ £2 II и llfff Q,M
*f
> J1K,
О
г dr =
llff2z 11,ß
= | [м0 ,Т ,т ~],й0 ,
т +
L, Q
+ I и2 ,Т ,Vq ,т ],И0 ,Т
4 п
d т ■
(8)
Доказательство аналогично [2-4].
Теорема единственности обобщенного решения
Для упрощения действий, но не ограничивая общности, будем считать, что [.О.р тождественно равны нулю на О . Предположим, что для некоторых данных начально-краевой задачи (1) - (3) существуют два обобщенных решения: м, V и и 2, У2 . Положим и0=щ-и2, и докажем, что Щ)= О,
\'0 = 0. Тогда и о, 1'о удовлетворяют интегральному тождеству
I I +£'Амг0М1 + Дм0!*1 4о'у1 Э" ^2'у0 З1 _
Доказательство. Умножим (6) на а , / , проинтегрируем по t и просуммируем по к. В результате, переходя к пределу по к с учетом теоремы Лебега, получим (8). Лемма доказана.
Лемма 3. Для всех / е |,tf и любого с > 0 имеет
место следующая оценка:
(9)
Доказательство. Используя свойства скобки, неравенства Гельдера и Юнга, получаем
Положим и С'. / = ' где ^ - собст-
венные функции бигармонического оператора с краевыми условиями шарнирного закрепления края оболочки.
Лемма 1. Для всех а/( ( обладает 2-й
обобщенной производной, причем выполняется для почти всех /е .
®к + Т^к^к + ^как = /к >
где
А = §2^0 _• (7)
Доказательство. Подставим в (6) С где
~ произвольная бесконечно дифференцируемая финитная на ^ функция. Тогда, согласно определению обобщенной производной, получим (7). Лемма доказана.
Лемма 2. Для всех / = имеет место следующее соотношение:
1 СС^ОЗ о О =
^ 4<, Г^^Г + Сг ||К С гЦг ^ Ч*Г.
20 о 2
Лемма доказана.
Лемма 4. Для всех / е /у и любого £ > 0 имеет место следующая оценка:
li^lhi^ll^ „:+сг||Мо<,т||2о фг. (10)
2'
Доказательство. Используя свойства скобки, неравенства Гельдера и Юнга, получаем
ilh fe^Jwo <1
О t
hIT<
fo*->T iH?2 1H?2 -
О
+ ||U2
71IK < , 7 Ц2 0 ■-dT + ■c^ J ||м0 < , т Ц2 c -dz .
Z0 0
0
При выводе (10) учтено неравенство
2
О
^clh <v{lb с,
Лемма доказана.
Доказательство теоремы единственности. Из (8) -
(10) получаем ||и0 СгЦ, ^^ C£J|K ОЦ2 ^ui*
для всех / е /у . В силу непрерывности ||и0 гЦ^^, и ■ согласно неравенству Гронуола, получаем ||м0 С,г^ 0 для всех ? е
Автор выражает благодарность своему научному руководителю В.И. Седенко за постановку задачи и помощь в работе.
Литература
1. Karman Th. Collected works. Vol. 2. London, 1956. 258 р.
2. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории колебаний пологих оболочек // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1957. Т. 21, № 6. С. 747 - 784.
3. Чуешов А.Д. Сильные решения и аттрактор системы уравнений фон Кармана. // Мат. сб. 1990. № 1. С. 25 - 35.
4. Седенко В.И. Классическая разрешимость начально-краевой задачи нелинейной теории колебаний пологих оболочек // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1996. Т. 60, № 5. С. 157 -190.
Поступила в редакцию
21 марта 2008 г.
