Единицы целочисленных групповых колец конечных групп с прямым сомножителем порядка 3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.552.7

ЕДИНИЦЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ КОНЕЧНЫХ ГРУПП С ПРЯМЫМ СОМНОЖИТЕЛЕМ ПОРЯДКА 3

С.А. Колясников1

Получено строение единиц целочисленных групповых колец конечных групп типа Л^3, где Л содержит центральную подгруппу порядка 3. В качестве примеров найдены группы единиц целочисленных групповых колец абелевых групп типов (9,3), (9,3,3) и (15,3).

Ключевые слова: абелева группа, групповое кольцо, группа единиц группового кольца.

1. Основная теорема

Пусть О = А X(Ь) - конечная группа, где Ь - элемент порядка 3, А содержит центральную подгруппу (а) порядка 3. Через V(ЖО) обозначим нормализованную группу единиц целочисленного группового кольца ЪО.

Рассмотрим следующие гомоморфизмы:

р0: V(ЖО) ^ V(ЖА), х ^ х(Ух е А), Ь ^ 1;

р : V(ЪО) ^ V(ЖА) = V(ЪО /<аЬ)), х ^ х(Ух е А), Ь ^ а2; р2 : V(ЪО) ^ V(ЖА) = V(ЪО /<а2Ь)), х ^ х(Ух е А), Ь ^ а ;

(Рз : V(ЖО) ^ V(ХО/<а», £ ^ £<а) Щ е О)).

Зафиксируем полную систему представителей левых смежных классов группы А по подгруппе (а) , и обозначим это множество через Н . Дополнительно рассмотрим инъективное отображение

~: Ш/<а) ^ Щ, Н{а) ^ Н{УН е Н).

Теорема 1. V(ЪС) = ((Ь)хУ(ЖА)) лК, где

К = <и = 1 + ^(1 + аЬ + а2Ь2) + £23=1(1 + а2Ь + аЬ2) + и3:1(1 + а + а2)> пЖ , р(у) = и,

р2(и) = и2 е (1 +1«а))) пV(ЖА), р3(Ц) = и3 е (1 +1«Ь))) п V(ЖО/(а)). I«а)) - идеал кольца ЖА , порожденный элементами а — 1, а2 — 1; I(<Ь)) - идеал кольца ЖО/(а) , порожденный элементами Ь — 1, Ь2 — 1 (об идеалах см. [1]).

Доказательство. Из теоремы 1 статьи [2] мы имеем У(1,С) = ((Ь)хУ(ЖА)) аК , где К = (1 + А(ЖА) )А(Ж(Ь)) п V(ЖО), А(ЖА)А(Ж(Ь)) - идеал, порожденный как аддитивная подгруппа кольца ЪО элементами (х — 1)(Ь — 1), (х — 1)(Ь2 — 1) для любого х е А \{1}. Поэтому нам осталось показать только то, что К имеет такой вид как в формулировке теоремы.

Возьмем и е К и запишем его в следующем виде

( \ \

и =

Z ahh + Z ahaha + £ а'ha2

2 I 1 + | Z Phh + Z Phaha + Z Pha2

V heH heH heH /

„ ha

ha

V heH heH heH

■ b +

+

А элементы v1,v2 eV (ZA) и u3 eV (ZG/ (a))

«I =

X Yhh + Z Yhaha + Z Yha2ha2

V heH heH heH 7

■ b2.

Z ^hh + Z ^haha + Z ^ha2ha2

ha

heH heH heH

1 Колясников Сергей Андреевич - старший преподаватель, кафедра общей математики, Южно-Уральский государственный университет.

E-mail: [email protected]

U2 =

I 'hh + Z 'haha + E ''ha2

V heH

heH

heH

(

U3 =

/

2

A

Е клЛ< °> + Е уьькЬ(а + Е ^/,*2 л*2 < а>

V ЛеЯ ЛеЯ ЛеЯ у

Из условий, что ^0(у) = 1 (т.к. ие ^) и если ^(Ц) = и, (2>2(Ц) = и2 , ^з(у) = и3, мы получаем

следующую систему уравнений.

Г1 0 0 1 0 0 1 0 0 "

0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

0 1 0 0 0 1 1 0 0

0 0 1 1 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 0 0 0 1

0 0 1 0 1 0 1 0 0

1 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 1

(

( ahл 0ha

аh 2

ha

в

Pha

^ha2

Yh

Yha

V Yha2 J

\

0

0

Ц

&ha

\a2

'h

'ha

'ha2

Vh

Vhb \Vhb2 J

где

£h =-

[1, л = 1;

[о, л Ф1.

Заметим, что сложив три уравнения каждого отображения, мы получим ограничения для и1.

и, и3

&h + Цha + \a2 = £h ;

&h + &ha + &ha2 =^h ; &h + &ha + &ha2 = ^h •

Отсюда мы имеем, что Ц_,ь2 е (1 +1«a))) nV(ZA), а и3 е (1 +1(ф))) nV(ZG/(a)) .

Далее, решая нашу систему, мы получим единственное решение

ah = (Ц + 'h + Vh V3; aha = (&ha + 'ha + Vh - ^h )l3'; О = ^2 + 'ha2 + V - £h )/3 ;

Ph = (&ha2 + 'ha + Vhb V3 ; Ph = (&h + 'ha2 + Vhb - ^h V3; вha2 = (&ha + 'h +Vhb -^h V3;

Yh = (&ha + 'ha2 +Vhb2V3; Yha = Ц +'h + V - ^h V3; Yha2 = (& +'ha + V - ^h V3 •

Затем, подставив эти значения в и и сгруппировав соответствующие коэффициенты, легко увидеть, что получится

и = 1 + UU-1(1 + ab + a2b2) + иЦ=1(1 + a2b + ab2) + U3=1(1 + a + a2). (1)

Введем дополнительное отображение p: K ^ V(ZA) X V(ZA) X V(ZG/(a)), действующее no правилу

<p(v) = {p(v),p(v),p(v) )•

Это отображение является инъективным гомоморфизмом.

Действительно, так как

p(uw) = (p(vw),p2(vw),p3(vw)) = (p () p (w), p(v)p(w), p3(v)p3( w)).

И в силу ТОГО, ЧТО

(1 + a + a2)2 = 3(1 + a + a 2),

(1 + ab + a 2b2)2 = 3(1 + ab + a2b2),

(1 + a2b + ab2)2 = 3(1 + a2b + ab2),

Единицы целочисленных групповых колец конечных групп с прямым сомножителем порядка 3

(1 + а + а 2)(1 + Ь + Ь2) = (1 + Ь + Ь 2)(1 + а + а2) =

= (1 + а 2Ь + аЬ 2)(1 + аЬ + а 2Ь 2) = (1 + аЬ + а 2Ь 2)(1 + а 2Ь + аЬ 2) =

= (1 + а + а2)(1 + аЬ + а 2Ь2) = (1 + аЬ + а2Ь2)(1 + а + а2) =

= (1 + а 2Ь + аЬ2)(1 + а + а2) = (1 + а + а 2)(1 + а 2Ь + аЬ 2).

И так как, м?г -1, ^2 -1 е I(<а)), а ^2 -1 е I«Ь)),

(м>г -1)(1 + а + а2) = (^2 -1)(1 + а + а2) = (#3 -1)(1 + Ь + Ь2) = 0 . vw = ( + ((1 + аЬ + а 2Ь2) + ((1 + а 2Ь + аЬ 2) + и31(1 + а + а2) )х

х( + ((1 + аЬ + а 2Ь2) + ((1 + а 2Ь + аЬ2) + + а + а2) ) =

= 1 + и1(1 + аЬ + а 2Ь 2) + ^2^32-1 (1 + а 2ь + аЬ2) + ^^3^3-1 (1 + а + а2).

Вообще говоря, и^3 Фи3м>3, но зато легко видеть, что и3^3(1 + а + а2) = ь3м>3(1 + а + а2). Таким образом, мы показали, что отображение ф определено корректно и является гомоморфизмом. А инъективность следует из (1), как единственного решения системы. Теорема доказана.

В следующих разделах мы приведем примеры использования этой теоремы для некоторых абелевых групп.

2. Группа единиц целочисленного группового кольца абелевой группы типа (9,3)

Пусть О = {а | а9 = 1)х(Ь | Ь3 = 1) . Описание группы единиц V(Ж{а)) известно из работы [3]. Для удобства вычислений возьмем базис как в работе [2].

V(Ж(а)) = (а) х ^, ^ = {их) х (ы2 ),

где

щ = 1 - (а + а8) + (а2 + а7), и-1 =-1 -(а + а8) + (а3 +аб) + (а4 +а5), и2 = 1 - (а2 + а7) + (а4 + а5), и-1 =-1 - (а2 + а7) + (а3 + аб) + (а + а8).

Согласно теореме 1 мы имеем

V (ЖО) = (а) х (Ь) х (и1) х (и2) х К,

где для любого и е К

и = 1 + и-1 (1 + а 3Ь + а бЬ 2) + и1 (1 + а 6Ь + а 3Ь 2),

3 3

и, и2 е (1 +1((а3))) п V(Ж(а)), и так как V(ЖО/(а3)) - тривиальная группа (см. [3]) ф3 (у) = 1. Если V8 Ла1 , V8 ща1 , то

^—1; =0 1 ’ 1—И=0^1

и = 1/3 ((1 + Л + №0) 1 + (Л + №1)• а + (Л + №2)' а + (Л + №з ) ■ а + (Л4 + №4) • а +

+(Л + №5) • а + (+ №б) • а + (Л + №7) • а + (Л + №8) • а + (Лб + №з ) • Ь + (Л + №4) • аЬ +

+(Л + №5) • а2Ь + (Л0 + №б -1) • а^Ь + (Л + №7) • а4Ь + (Л2 + №8) • а^Ь + (Л + №0 -1) • абЬ +

+(Л4 + №1) • а 7Ь + (Л + №2) • а8Ь + (Лз + №б) • Ь2 + (Л4 + №7) • аЬ2 + (Л + №8) • а 2Ь 2 +

+(Лб + №0 -1) • а3Ь2 + (Л + №1) • а4Ь2 + (Л + №2) • а5Ь2 + (Л0 + №3 _ 1) • абЬ2 +

+(Л + №4) • а7Ь 2 + (Л + №5) • а8Ь2).

Далее заметим, что иь и2 е (1 +1((а3))), так как

и1 = 1 - а2(аб -1) + а(аб -1), и2 = 1 - а(аб -1) + а(а3 -1) + а2 (а3 -1).

Поэтому рассмотрим гомоморфизм ф: К ^ ^ х ^, действующий по правилу

ф(и) = (ф[(и),ф2(и)).

Составим таблицу произведений элементов и1, и2

Таблица 1

Коэффициенты при

1 а + а8 2 7 а2 + а а3 + а6 4 5 а + а

и! 1 -1 1 0 0

и12 5 -4 3 -2 1

и13 19 -18 15 -9 3

и2 1 0 -1 0 1

22 и 5 1 -4 -2 3

и2 19 3 -18 -9 15

и1и2 -1 0 1 1 -1

22 й" -5 -1 5 3 -4

и1 и 2 1 1 -2 0 -1

2 2 и1 и 2 7 1 -6 -3 5

Из табл. 1 с помощью (2) видно, что

(и2,1),( и3,1),(1, и3),(1, и3) е^( К), и для 0 < /1,/2,/1,/2 < 2 (и22,и/1^2 ^(К) тогда и только тогда, когда

г1 =1, г2 = 2,71 = 2, Л =1 или г1 = 2, г2 =1, Л =1, ./2 = 2 .

Выбрав из них порождающие, мы получаем следующий результат.

Теорема 2. (р(К) = <(и1и^,и12и2))х<(и2,1))х<(1,и]3))х<(1,и^)). ^хГ/^(К) = Ж3 хЖ3 хZ3 .

Таким образом, мы уже можем записать и порождающие группы V(ZG), но в следующей теореме, решив вопрос об индексе подгруппы Милнора (см. [1, стр. 45]), мы выберем более удобный базис.

Теорема 3. Пусть Ж^) - подгруппа Милнора, тогда | V(ZG): Ж^) |= 1,

V(ZG) = {а) х(Ь) х(и1) х (и2) х (и3) х(и4) х (и5) х(и6),

где

и1 = 1 - (а + а8) + (а2 + а7), и2 = 1 - (а2 + а7) + (а4 + а5),

и3 = 1 -(аЬ + а8Ь2) + (а2Ь2 + а7Ь), и4 = 1 -(а2Ь2 + а7Ь) + (а4Ь + а5Ь2),

и5 = 1 - (аЬ2 + а8Ь) + (а2Ь + а7Ь2), и6 = 1 - (а2Ь + а7Ь2) + (а4Ь2 + а5Ь).

Доказательство. По определению Ж^) подгруппа группы V(ZG), порожденная подгруппами V(ЖС), когда С пробегает все циклические подгруппы группы G . Перечислим все V(ЖС) для нашей группы.

V(Х{а3 >) = <а3) , V(Z<Ь)) = <Ь> , V(Z<a3Ь» = <аъЬ), V(Z<aбЬ)) = <а%) ,

V(Z(a)) = {а) х(и1) х(и2), VаЬ)) = (аЬ) х(и3) х (и4) , V(Z(аЬ2)) = (аЬ2) х (и5) х (и6 ) . Утверждение следует из теоремы 2 и из того, что

_1 _1 2 2 _1 _1 3

^(^^и иб ) — (и^2 , и1 и^) , (р(и2и3и5 Ыб ) — (и2 , 1) ,

ф(и1и4и-1и-1) = (1,и3 ) , ф(и2и3-1и-1и5 ) = (1,и3) .

Теорема доказана.

3. Группа единиц целочисленного группового кольца абелевой группы типа (9,3,3)

Пусть G = {а | а9 = 1) х (Ь | Ь3 = 1) х(с | с3 = 1) . Через А обозначим подгруппу А = (а) х(Ь) .

Описание группы единиц V(ZA) возьмем из теоремы 3.

V(ZA) = (а)х<Ь)х^^ = <и1)х...х<и6).

Колясников С.А. Единицы целочисленных групповых колец конечных групп

с прямым сомножителем порядка 3

Согласно теореме 1 мы имеем V(ZA) = (a)X(b)X(с)X(u1)X...X(u6)XK,

где для любого и е K

и = 1 + -и—1 (1 + a 3b + a 6b 2) + u1 (1 + a 6b + a 3b 2),

3 3

U, u2 е (1 + I((a3))) n V(Z(a)), и так как V(ZG/(a3)) - тривиальная группа (см. [3]) <p3(v) = 1.

Далее заметим, что uf_ е (1 +1((a3))),£ = 1,...,6. Поэтому рассмотрим гомоморфизм p: K ^ FXF, действующий по правилу p(u) = [p\(v),p2(v)).

Из теоремы 2, так как (abl )3 = a3, i = 0,1,2, следует что (u|, 1), (1, и3) е p(K). Также

( u22, u/1 и22), (u33 (4, uj и44), (5 u66, u55 u66) е p(K), it, j = 0,1,2 тогда и только тогда, когда

l1 = l3 = l5 = 1, l2 = l4 = l6 = 2, j1 = j3 = j5 = 2, j2 = j4 = j6 = 1

ИЛИ

l1 = l3 = l5 = 2, l2 = l4 = l6 = 1, j1 = j3 = j5 = 1, j2 = j4 = j6 = 2 .

Затем в пакете GAP (см. [4]) было проверено, что

(u44u66,u,71 u22ujujujuj )g p(K), l^,) = 0,1,2.

Таким образом, мы получили следующий результат.

Теорема 4. K = < w1) X... X < w12 ), где

p(W1) = (u1u^, u12u2), p(W2) = (^u^, u32u4), p(W3) = (i^u62, uj2u6),

p( W4) = (u!,1), p( W5) = (u4,1), p(w6) = (u6,1),

p( w7) = (1, uf), p( w8) = (1, u3), p(w9) = (1, u33),

p( w1o) = (1, u4), p( wn) = (1, u53), p( w12) = (1, u6).

F X F/ p(K) = Z 3 X Z 3 X Z 3 X Z 3 X Z 3 X Z 3 X Z 3 X Z 3 X Z 3.

Так же, как и в предыдущем разделе, решается вопрос об индексе подгруппы Милнора.

Теорема 5. Пусть W(G) - подгруппа Милнора, тогда | V(ZG): W(G) |= 1.

4. Группа единиц целочисленного группового кольца абелевой группы типа (15,3)

Пусть G = (a | a15 = 1) X (b | b3 = 1) . Описание группы единиц V(Z(a)) было получено в работе

[2]. Для удобства вычислений возьмем другой базис.

V (Z( a)) = {a) X (u0) X F, F = (u1) X (u2) X (u3),

где

u0 =-1 + (a3 +a12), u—1 =-1 + (a6 +a9),

uj"1 =-3 - 3(a + a14) - 2(a2 + a13) - (a3 + a12) + 2( a5 + a10) + 3(a6 + a9) + 3( a7 + a8),

u2 = 3 - 2(a2 + a13) + (a3 + a12) + 2(a4 + a11) - (a5 + a10) - 2(a6 + a9) + (a7 + a8),

u-1 =-3 + 3(a + a14)-3(a2 +a13) + 3(a3 +a12)-2(a4 +axl) + 2(a5 +a10)-(a6 +a9), u3 = 3 + (a + a14) - 2(a3 + a12) - 2(a4 + a11) - (a5 + a10) + (a6 + a9) + 2(a7 + a8), u3-1 = 3 + 3(a2 + a13) - (a3 + a12) - 3(a4 + a11) + 2(a5 + a10) + 3(a6 + a9) - 2(a7 + a8).

Согласно теореме 1 мы имеем V(ZG) = (a)X(b)X(u0)X(u1)X(u2)X(u3)XK, где для любого ие K

и = 1+ UU-1 (1 + a 5b + a10b2) + Uu-1 (1 + a10b + a 5b 2) + U^^-1 (1 + a5 + a10),

U, u2 е (1 +1 «a5») n V (Z< a)), а u3 е (1 +1 (<b))) n V (Z< a5)).

Обозначим через / изоморфизм групп V(Z(а)) и V(ZG/{а5)), действующий по правилу /: а ^ аЪ{аъ) . Тогда V(ZG/(а5)) = (аЬ(а5)) X(и0 ) XF', F' = (и^) X (u2 ) X(и3) , где

иг=/(иг), i = 0,1,2,3.

Далее заметим, что u1,u2,и3 е (1 +1({а5))), а и[,и2,и'3 е (1 +1((b))) так как м1 = 1 + (а4 + а - 1)(а5 -1) - (2а4 - 2а3 + 2а2 - а + 1)(а10 -1), и2 = 1 - (2а4 - а3 - а2 + 2а +1)(а5 -1) - (2а3 - а2 - 2а +1)(а10 -1), и3 = 1 + (а4 + 2а3 + 2а2 + а -1)(а5 -1) - (а4 - 2а2 - 2а +1)(а10 -1), и1 = (а5) + (а 4 (а5) + 2а3 (а5) - 2а (а5) - (а5) )(Ъ -1) --(2а4<а5 > - 2а2<а5 > - а{а5) + <а5 »(Ъ2 -1), м2 = (а5) + (2а4 (а5) - 2а3 (а5) + а2 (а5) - (а5 ))(Ъ -1) +

+(а3 <а5) - 2а2 <а5 > + 2а<а5) - <а5 >)(Ъ 2 -1), и'3 = (а5) + (2а4 (а5) - 2а 2 (а5) - а{ а5) + (а5) )(Ъ -1) +

+(а4 <а5) + 2а3 <а5) - 2а<а5) - <а5 >)(Ъ 2 -1).

Причем и0 й (1 +1«а5»), a u0 й (1 +1«Ъ>)).

Поэтому рассмотрим гомоморфизм р: К ^ F X F X F/, действующий по правилу

р(и) = (р(у),р2(^),р3(у)).

Аналогично, как в примере для группы Z 9 X Z 3, мы имеем здесь, что

(и3,1,1),(1,и3,1),(1,1,и'3 )ер(K), i = 1,2,3.

Далее с помощью GAP (см. [4]) было проверено, что

( и22 и33,и1/1и22 и33 ,u']k1u'2k2 и3ъ) е р(К), if, jf ,kt = 0,1,2(£ = 1,2,3).

тогда и только тогда, когда показатели степеней соответствуют значениям из табл. 2.

Таблица 2

i1 i2 i3 j1 j2 j3 k1 k2 k3

0 0 0 1 0 1 2 0 2

0 0 0 2 0 2 1 0 1

0 0 1 0 0 2 1 0 2

0 0 1 1 0 0 0 0 1

0 0 1 2 0 1 2 0 0

0 0 2 0 0 1 2 0 1

0 0 2 1 0 2 1 0 0

0 0 2 2 0 0 0 0 2

i1 i2 i3 j1 j2 j3 k1 k2 k3 i1 i2 i3 j1 j2 j3 k1 k2 k3

0 1 0 0 2 0 2 1 2 0 2 0 0 1 0 1 2 1

0 1 0 1 2 1 1 1 1 0 2 0 1 1 1 0 2 0

0 1 0 2 2 2 0 1 0 0 2 0 2 1 2 2 2 2

0 1 1 0 2 2 0 1 1 0 2 1 0 1 2 2 2 0

0 1 1 1 2 0 2 1 0 0 2 1 1 1 0 1 2 2

0 1 1 2 2 1 1 1 2 0 2 1 2 1 1 0 2 1

0 1 2 0 2 1 1 1 0 0 2 2 0 1 1 0 2 2

0 1 2 1 2 2 0 1 2 0 2 2 1 1 2 2 2 1

0 1 2 2 2 0 2 1 1 0 2 2 2 1 0 1 2 0

1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 2 1 0 1 2

1 0 0 1 0 2 0 0 2 1 1 0 1 2 2 2 1 1

с прямым сомножителем порядка 3

1 0 0 2 0 0 2 0 1 1 1 0 2 2 0 1 1 0

1 0 1 0 0 0 2 0 2 1 1 1 0 2 0 1 1 1

1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 0 1 0

1 0 1 2 0 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 1 2

1 0 2 0 0 2 0 0 1 1 1 2 0 2 2 2 1 0

1 0 2 1 0 0 2 0 0 1 1 2 1 2 0 1 1 2

1 0 2 2 0 1 1 0 2 1 1 2 2 2 1 0 1 1

1 2 0 0 1 1 2 2 1 2 0 0 0 0 2 2 0 0

1 2 0 1 1 2 1 2 0 2 0 0 1 0 0 1 0 2

1 2 0 2 1 0 0 2 2 2 0 0 2 0 1 0 0 1

1 2 1 0 1 0 0 2 0 2 0 1 0 0 1 0 0 2

1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 0 1 1 0 2 2 0 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 2 0 0 1 0 0

1 2 2 0 1 2 1 2 2 2 0 2 0 0 0 1 0 1

1 2 2 1 1 0 0 2 1 2 0 2 1 0 1 0 0 0

1 2 2 2 1 1 2 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 2

2 1 0 0 2 2 1 1 2 2 2 0 0 1 2 0 2 1

2 1 0 1 2 0 0 1 1 2 2 0 1 1 0 2 2 0

2 1 0 2 2 1 2 1 0 2 2 0 2 1 1 1 2 2

2 1 1 0 2 1 2 1 1 2 2 1 0 1 1 1 2 0

2 1 1 1 2 2 1 1 0 2 2 1 1 1 2 0 2 2

2 1 1 2 2 0 0 1 2 2 2 1 2 1 0 2 2 1

2 1 2 0 2 0 0 1 0 2 2 2 0 1 0 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1

2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 0 2 0

Выбрав из них порождающие, мы получаем следующий результат.

Теорема 6. К — <'№1)X...X<м>9), где

р(М?1_) = (м1,uз,р(^2) = (М2,М2,М1 М2М3 ), <№ъ) = (М3,М3 ,М1М3 ),

р(^ = (1, uluз, и12и32), р(^5) = (1, и3,1), р( ^6) = (1, м33,1),

р(^7) = (1,1, и3), р3( ^8) =(1,1, и23 ), р( ^9) = (1,1, и33 ),

^ X р(К) = Ж 3 X Ж 3 X Ж 3 X Ж 3 X Ж 3.

Так же, как и в предыдущих примерах, решим вопрос об индексе подгруппы Милнора и вы-

берем более удобный базис.

Теорема 7. Пусть Ж^) - подгруппа Милнора, тогда | V(ZG): Ж^) |= 1,

V (ZG) = {а) X (Ь) X (и0) X (и1) X... X (и12),

где

и0 = -1 + (а3 +а12), и (х) — 3 - 2(х + х14) + 2(х2 + х13) - 2(х3 + х12) + (х4 + х11) - (х5 + х10) + (х6 + х9),

О О О О А О

и1 = и (а), и2 = и (а ), и3 = и (а ), и4 = и (аЬ), и5 = и (а Ь ), и6 = и (а Ь), и7(а Ь),

/I О О 1 О

и8 = и(а Ь ), и9 = и(а Ь), и10 = и (а Ь), и11 = и (а Ь ), и12 = и (а Ь). Доказательство. Перечислим все V(ЖС), порождающие Ж^), когда С пробегает все циклические подгруппы группы G .

V(Ж<а5)) = <а5) , VЩЬ)) = <Ь) , V(Ж<а5Ь)) = <а5Ь), V(Ж<а10Ь)) = <а10Ь) , V(Ж<а3 >) = <а3) X (и0 ), V(Ж<а)) = (а) X(и0) X(и1) X(и2) X (и3), V(Ъ{аЬ)) = (аЬ) X (и0) X (и4) X (и5) X (и6),

V(Ж(а2Ь)) = (а2Ь) X (и0) X(и7) X (и8) X (и9), V(Ъ{а3Ь)) = (а3Ь) X (и0) X(и10) X(и11) X (и12). Утверждение следует из теоремы 6 и из того, что

р(и101ип1и121) = (м^ и3, и1) , р(и1 и2и3 и4и6и7 ) = (и2, и2 , и1 и2и3 ),

р(и1 М"у М8 М9 М1 0М1 2) — | М3 , , М1М3 ), р(М1 М3 М-у М9 М1 0М1 2) — \1, ^1М3, М1 М3 ),

P(U2U4U6U9Uj2) — (1,U2,1) ,

p(Uj U3 U4U8U1 0 Uj jUj 2) — (l,1, Uj )

p(ufU^u^u^u-^) = (l,1, u33) .

p(u3u4 ju6 ju7 ju8 U 1u1 01u1 2j) = (l, u33,l),

p(UjU3U5U9Uj0) =(l,1,U2 ),

Теорема доказана.

Литература

1. Бовди, А.А. Мультипликативная группа целочисленного группового кольца / А.А. Бовди. -Ужгород: Ужг.гос.ун., 1987. - 210 с. (Деп. УкрНИИНТИ 24.09.87, №2712-Ук87).

2. Колясников, С.А. О группе единиц целочисленного группового кольца конечных групп разложимых в прямое произведение / С.А. Колясников. - Новосибирск, Ред. Сиб. мат. журн., 2000. - 45 с. (Деп. В ВИНИТИ 30.03.00, №860-В00).

3. Алеев, Р.Ж. Единицы циклических групп порядков 7 и 9 / Р.Ж. Алеев, Г.А. Панина // Известия вузов, Математика. - 1999. -№ 11(450). - С. 81-84.

4. Martin Schonert et а1. GAP - Groups, Algorithms, and Programming. Lehrstuhl D fur Mathe-matik, Rheinisch Westfalische Technische Hochschule, Aachen, Germany, sixth edition, 1997.

UNITS OF INTEGRAL GROUP RINGS OF FINITE GROUPS WITH A DIRECT MULTIPLIER OF ORDER 3

1

S.A. Kolyasnikov

The description of units of integral group rings of finite groups of type A*Z3 was obtained, where A contains a central subgroup of order 3. For example, the unit groups of integral group rings of Abelian groups of the types (9,3), (9,3,3) and (15,3) were found.

Keywords: Abelian group, group ring, unit group of group ring.

References

1. Bovdi A.A. Mul'tiplikativnaya gruppa tselochislennogo gruppovogo kol'tsa (Multiplicative group of integral group ring). Uzhgorod: Uzhgorodskiy gosudarstvennyy universitet, 1987. 210 p. (in Russ.).

2. Kolyasnikov S.A. O gruppe edinits tselochislennogo gruppovogo kol'tsa konechnykh grupp razlozhimykh v pryamoe proizvedenie (About group of units of integral group ring of finite groups factorable into direct composition). Novosibirsk, Red. Sibirskogo Matematicheskogo Zhurnala, 2000. 45 p. (in Russ.).

3. Alev R.Zh., Panina G.A. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika). 1999. Vol. 43, no. 11. pp. 80-83.

4. Martin Schonert et al. GAP - Groups, Algorithms, and Programming. Lehrstuhl D fur Mathe-matik. Rheinisch Westfalische Technische Hochschule, Aachen, Germany, sixth edition, 1997.

Поступила в редакцию 6 марта 2013 г.

1 Kolyasnikov Sergey Andreevich is Senior Lecturer, General Mathematics Department, South Ural State University.

E-mail: [email protected]