CC BY
29
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС
_мвви
УДК 624.075.22:517.972.5
В.В. Купавцев
ФГБОУВПО «МГСУ»
ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ НА ОСНОВЕ ВАРИАЦИОННЫХ ФОРМУЛИРОВОК ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ
Получены две последовательности функционалов, минимумы которых являются оценками снизу и сверху для критического значения параметра квазистатического нагружения стержня. Результаты получены, исходя из вариационных формулировок задач устойчивости неоднородно сжатых упругих стержней, уравнениями Эйлера которых являются интегральные уравнения устойчивости. Вычисление оценок снизу и сверху заключается в нахождении наибольших собственных чисел матриц, элементы которых представлены в виде интегралов от произведения базисных функций.
Ключевые слова: упругий стержень, устойчивость, неоднородное сжатие, вариационная формулировка, критическая нагрузка, интегральное уравнение, двусторонние оценки, собственное число.
В [1] для упругого однопролетного прямолинейного стержня длиной 1 и переменной изгибной жесткости EI(x)(0 < x < 1) получена вариационная формулировка наименьшего критического значения параметраp квазистатического нагружения в виде задачи о нахождении минимума функционала, уравнением Эйлера которой является интегральное уравнение устойчивости стержня [2]. Стержень сжат переменным по длине продольным усилием pN(x), где N(x) > Nmin > 0. Внешние нагрузки, пропорциональные безразмерному параметру p, при потере устойчивости стержня не изменяются ни по величине, ни по направлению.
Рассмотрены следующие случаи закрепления концов стержня: 1) оба конца жестко заделаны; 2) жестко заделан один конец и шарнирно оперт другой; 3) жестко заделан один конец, а другой заделан в опору, имеющую возможность смещаться в поперечном направлении; 4) жестко заделан один конец и свободен второй; 5) оба конца шарнирно оперты; 6) шарнирно оперт один конец и другой заделан в опору, подвижную в поперечном направлении. Предполагается, что условия закрепления концов стержня допускают продольное смещение второго конца при нагружении стержня [3].
В [4] разработан численно-аналитический метод нахождения двусторонних оценок наименьшего критического значения параметра нагружения стержня в указанных задачах устойчивости, используя их вариационные формулировки в поперечных перемещениях оси стержня при потере устойчивости. Вычисление оценки снизу, так же как и сверху, заключается в нахождении наибольшего собственного числа матрицы, элементы которой выражены через известные базисные функции и вычисленные через них аналитическим способом дополнительные функции.
В данной работе, используя представленные в [1] вариационные формулировки интегрального уравнения устойчивости стержней, разработан способ вычисления двусторонних оценок наименьшего критического значения параметра квазистатического нагружения неоднородно сжатых упругих стержней переменной изгибной жесткости для указанных выше случаев закрепления концов стержня.
В [5] получены двусторонние оценки наименьшего критического значения параметра продольного сжимающего усилия в задачах устойчивости упругого стержня прямоугольного сечения в геометрически нелинейной постановке при начальных конечных деформациях на основе энергетического критерия устойчивости. Задача о равновесии упругого стержня с большими деформациями после потери устойчивости решена в [6] с помощью канонического дуального метода конечных элементов.
Используя вариационную формулировку критерия динамической устойчивости стержня в виде исчерпания его несущей способности, в [7] рассмотрена задача об устойчивости под действием возрастающего со временем продольного нагружения стержня с учетом краевых пластических деформаций.
Для различных вариантов закрепления торцов стержней в [8, 9] рассмотрена задача устойчивости и прочности тонкостенных стержней переменного поперечного сечения при продольном сжатии.
В [10] получено критическое значение продольного сжимающего усилия в задаче о локальной устойчивости упругого стержня при сильном нагреве. На основе уточненной сдвиговой теории исследована в [11] устойчивость стержней из композитных материалов.
Используя метод оптимизации, в [12] исследована задача устойчивости конструкций с односторонними связями, а в [13] получены формы потери устойчивости сжатого упругого стержня с дополнительными условиями, которые соответствуют минимуму энергии системы.
Перейдем к безразмерным величинам = х1-1, I (£) = I (1тш) , N(£) = = N) , X = 12рМтях (Е1тп) и согласно [1] введем обозначения
[Ф; ^ =}()-ф(ХМХ)Л*, [Ф; ^ = }(7(Х))- х
(1)
х \ ДсСл- X) + ч(Х, п)]Ф(П) л л/[х(л-Х) + ?(£, л)] к X,
1о 0
где в зависимости от вида закрепления концов стержня функция п) равна:
1) {-1)(1К(п - е(Д ыП) + фК(п - е2 (1К (П} в;
2) (1 -Х)е(л)/е2(1); 3) (л)/ео(1); 4)0; 5) Х-1; 6)-1.
В формулах (1) %(г) — единичная функция Хевисайда: х(г) = 1 при г > 0 и %(г) = 0 при г < 0, а
1
е (г) = { (у-1)'/7(у)Лу 1 = 0,1,2 е = (е2 (1)е (1) -е, (1). (2)
о
Первая формула (1) является скалярным произведением для функций ф(£), квадратично интегрируемых на отрезке 0 < £ < 1, и задает гильбертово про-
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС
_мвви
странство ИА [14]. Вторая формула (1) также является скалярным произведением для функций ф(£) в задачах устойчивости неоднородно сжатых стержней для 3, 4 и 6 случаев закрепления концов стержня и задает гильбертово пространство H Для 1, 2 и 5 случаев закрепления концов стержня вторая формула
(1) является скалярным произведением для функций ф(£), которые ортогональ-
i
ны на отрезке 0 < £ < 1 константам, т.е. ф(X)dX = 0. В этих случаях вторая
0
формула (1) задает гильбертово пространство HB.
Согласно [1] искомое наименьшее критическое значение X* безразмерного параметра нагружения X в рассматриваемых задачах устойчивости равно минимуму функционала в пространстве L квадратично интегрируемых на отрезке 0 < £ < 1 функций ф(£)
Г = min [ф; ф]А {[ф; ф]в }-1. (3)
ф (X)
i
Если перейти в (3) к новой переменной m (X) = J[c(h - X) + q (X, h) ] Y(h) d h,
0
то задача (3) совпадет с вариационными формулировками рассматриваемых задач устойчивости стержней, выраженными через изгибающие моменты [15].
Для нахождения оценок снизу X* нужно выбрать базисные функции ф;(£) (i = 1, 2, ...). Они должны быть точными решениями задачи, вариационная формулировка которой совпадает с (3), если в обоих выражениях (1), определяющих числитель и знаменатель функционала (3), положить N(X) = 1 и I (X) = 1. Решением этой вариационной задачи является решение уравнения Эйлера, являющегося интегральным уравнением устойчивости упругого стержня постоянного по длине поперечного сечения, сжатого продольными силами на концах, которые закреплены также как концы рассматриваемого неоднородно сжатого стержня. Поскольку решением этого интегрального уравнения является функция углов поворота оси стержня при бифуркации его положения равновесия [1], то в качестве базисных функций можно взять последовательность производных ф.(£) от форм потери устойчивости этого стержня. Формы потери устойчивости должны быть расположены в порядке возрастания соответствующих им критических значений t. (i = 1, 2, ...) параметра нагружения. Когда в первой и второй формулах (1) N (X) = 1 и I (X) = 1, то они определяют скалярные произведения гильбертовых пространств H°A = L и H°B (H°B) соответственно. Можно убедиться, что первая из указанных базисных функций является решением вариационной задачи (3), если положить N(X) = 1 и I (X) = 1, а последующие являются решениями следующих вариационных задач [14]
tj = min [ф; ф]ао {[ф; ф]во }1, [ф; ф]во = °..., [ф; ф,-]во = 0 о' = 2,3, •••). (4)
Формы потери устойчивости и их производные, являющиеся углами поворота оси стержня при бифуркации его прямолинейной формы равновесия, определены с точностью до постоянного сомножителя [2], который удобно выбрать так, чтобы последовательность базовых функций была ортонормирована по норме пространства H°B (H°B ) [14]. В результате в зависимости от вида закрепления концов стержня базовые функции равны (t. = k^ ):
1) ф-1 (Х) = k2i-1 ^ Sin (Xk2,-1 ), k2i-1 = 2 PÍ , (5)
Ф2, (X) = k2i [eos (Xkii) + K sin (Xkii) -1], kii = 2Ki, где K1, K2, ... — расположенные по возрастанию корни уравнения tgK = K;
2) ф,. (X) = л/2k, sin(^), k, = ni; (6)
3) ф(X) = л/2 [eos(Xk) + k sin(Xk)-1], k = K; (7)
4) ф, (X) = 4lk , sin(Xk,), k, = n(i - 0,5); (8)
5) ф,, (X) =^2 kt cos (X kt), kt = n(9)
6) ф,(X) = 42k¡ cos(Xk), kt = - 0,5). (10)
Для обоснования указанного далее способа нахождения оценок снизу
искомого значения X* строится последовательность функционалов Фя(ф) (n = 1, 2, ...), минимумы которых в области определения функционала (3) не превосходят X*, т.е. Xn = minФn(ф) < X*. Вычисление Xn заключается в нахождении наибольшего собственного числа матрицы порядка 2n, элементы которых выражаются через базисные функции ф.(Х). В основе построения Фп(ф) лежат неравенства [4] для квадратов норм [ф; ф]А, [ф; ф]в (или [ф; ф]в„), вытекающие из задачи о наилучшей аппроксимации элемента ф(Х) гильбертова пространства HA и HB (HB) базисными функциями ф1(Х), ф2(Х), ••, фп(Х). Используются неравенства, вытекающие из вариационной формулировки (4), а также неравенства [ф; ф]А > [ф; ф]А„, [ф; ф]в < [ф; ф]в„ (или [ф; ф]^ < [ф; ф]~„), выполненные для всех ф из области определения функционала (3). В результате в пространстве L минимум Xn функционала
Фп(Ф) = [ф; ф]л ( [ ф, ] B* [ф; ф,] + к— [ф; ф] - ¿ [ф; ф, ] a [ф; ф. ] 1 (11) l'J= V yj
является оценкой снизу значения X*. Через а* и b^ обозначены элементы обратных матриц к положительно определенным матрицам Грама ЦаЦ и ||bj.|| с элементами, вычисляемыми по формулам
а=[ф.; ф} ]A, bj =[ф.; ф} ]B 1=12, n; j=1,2, n (12)
Для доказательства монотонной сходимости оценок снизу Xn к значению X* используется свойство tn ^ да, если n ^ да.
Следуя методике, указанной в [4] для нахождения минимума функционала (11), получим, что оценка снизу значения X* равна
In = min {/-;1; tn+i}, (13)
где rn — наибольшее собственное число матрицы 2п-го порядка, которая записывается в виде блочной матрицы 2-го порядка с элементами
11с(11)11 11с(12)11
" с(11) = 0, с(12) =5., C(21) = -r\Y b.a.
si ' si si ' si ni/ , sj
C (21) C(21)
si Ji, j =1
С(22) = 5Х+, + Е[ч; Ч]] Ъ] (1,, = 1, 2, ..., п), (14)
м
где 8я. — символ Кронекера, а функция дД) пространства НА согласно [4] определяется из условия, что выполнены равенства [п; ч}А = [п; ф,]в для любой
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве VESTNIK
_MGSU
квадратично интегрируемой на отрезке 0 < £ < 1 функции п(£) из HA. Откуда после интегрирования по частям получены выражения функций qs(£) через базовые функции qs (X) = N(X)J h(X, y)ф^ (y)dy, где
h(X,у) = C(X-УК (y) -C(y S)e0 (X) + h0 (X,y), (15)
где c( z) — симметричная единичная функция типа Хевисайда: x(z) = 1 при z > 0, x(z) = 0,5 при z = 0 и x(z) = 0 при z < 0, а функция h0(£, y) в зависимости от вида закрепления концов стержня равна:
1) e {e, (1) [e1 (X) ^ (y) - ^ (X) e (y) ] - e2 (1) ^ (X) e0 (y) - ^ (1) e (X) e1 (y)};
2) e-1 (1)e, (X)e, (y); 3) - e0-1(1K (X)eo (y);
4) 0; 5) e2(1) + e, (y) + e, (X); 6) eo(1) - eo(y) - eo(X).
Так же как в [4] строится последовательность функционалов ^я(ф), минимумы которых Л в L являются оценками сверху для X*, а величина Л- равна наибольшему собственному значению матрицы ||gs||, элементы которой равны
g*.=¿ [ qs; q} ]Ab =C?2)(16)
j=1
Если отыскивать минимум функционала Fn^) на «-мерном подпространстве, образованном функциями ф ф ..., фп, то получится система уравнений, совпадающая с уравнениями, получаемыми по методу Ритца для нахождения минимума функционала (3). Таким образом, оценка сверху Лп не хуже оценки, получаемой по методу Ритца.
Библиографический список
1. Купавцев В.В. Вариационные формулировки интегрального уравнения устойчивости упругих стержней // Вестник МГСУ 2012. № 9. С. 137—143.
2. Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М. : ГИТТЛ, 1955. 475 с.
3. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. 2-е изд. М. : Машиностроение, 1991. 336 с.
4. Купавцев В.В. Базисные функции метода двусторонних оценок в задачах устойчивости упругих неоднородно-сжатых стержней // Вестник МГСУ 2013. № 6. С. 63—70.
5. Пантелеев С.А. Двусторонние оценки в задачах об устойчивости сжатых упругих блоков // Известия РАН. Механика твердого тела. 2010. № 1. С. 51—63.
6. Santos H.A., Gao D.Y. Canonical dual finite element method for solving post-buckling problems of a large deformation elastic beam // International Journal Non-linear mechanics. 2012. Vol. 47. No. 2. Pp. 240—247.
7. Манченко М.М. Устойчивость и кинематические уравнения движения динамически сжатого стержня // Вестник МГСУ 2013. № 6. С. 71—76.
8. Богданович А.У., Кузнецов И.Л. Продольное сжатие тонкостенного стержня переменного сечения при различных вариантах закрепления торцов. Сообщение 1 // Известия вузов. Строительство. 2005. № 10. С. 19—25.
9. Богданович А.У., Кузнецов И.Л. Продольное сжатие тонкостенного стержня переменного сечения при различных вариантах закрепления торцов. Сообщение 2 // Известия вузов. Строительство. 2005. № 11. С. 10—16.
10. Selamet S., GarlockM.E. Predicting the maximum compressive beam axial during fire considering local buckling // Journal of Constructional Steel Research. 2012. Vol. 71. Pp. 189—201.
11. Vo Thuc P., Thai Huu-Tai. Vibration and buckling of composite beams using refined shear deformation theory // International Journal Mechanical Sciences. 2012. Vol. 62. No. 1. Pp. 67—76.
12. Kanno Yoshihiro, OhsakiMakoto. Optimization-bazed stability analysis of structures under unilateral constraints // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2009. Vol. 77. No. 1. Pp. 90—125.
13. Doraiswamy Srikrishna, Narayanan Krishna R., Srinivasa Arun R. Finding minimum energy configurations for constrained beam buckling problems using the Viterbi algorithm // International Journal of Solids and Structures. 2012. Vol. 49. No. 2. Pp. 289—297.
14. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике / под ред. К.И. Бабенко, Б.Е. Победри. пер. с англ. М. : Мир, 1985. 590 с.
15. Купавцев В.В. Вариационные формулировки задач устойчивости упругих стержней через изгибающие моменты // Вестник МГСУ 2010. № 4. Т. 3. С. 285—289.
Поступила в редакцию в июле 2014 г.
Об авторе: Купавцев Владимир Владимирович — кандидат физико-математических наук, доцент, профессор кафедры теоретической механики и аэродинамики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (495) 780-48-35, [email protected].
Для цитирования: Купавцев В.В. Двусторонние оценки на основе вариационных формулировок интегральных уравнений устойчивости упругих стержней // Вестник МГСУ 2014. № 10. С. 41—47.
V.V. Kupavtsev
TWO-SIDED EVALUATIONS BASED ON THE VARIATIONAL FORMULATIONS OF INTEGRAL EQUATIONS FOR THE STABILITY OF ELASTIC RODS
The author considers the method of two-sided evaluations in solving the problems of stability of one-span elastic non-uniformly compressed rod with variable longitudinal bending rigidity in case of different classic conditions of fixation of the rod ends.
The minimum critical value of the loading parameter for the rod is represented as a problem of calculating minimum value of the functional corresponding to the Euler equation, which is the same as the integral equation for the rod stability. Using the inequalities following from the problem of the best approximation of a Hilbert space element through the basic functions, the author constructs two sequences of functionals, the minimum values of which are the lower evaluations and the upper ones for the required value of the loading parameter. The basic functions here are the derivative forms of the stability loss for a rod with constant cross-section, compressed by longitudinal forces applied at the rod ends.
The calculation of the lower bounds value is reduced to the determination of the maximum eigenvalues of block matrices. The elements of the aforesaid matrices are expressed through the integrals of basic functions depending on the type of the fixation of the rod ends.
The calculation of the upper bound value is reduced to the determination of the maximum eigenvalue of the matrix, which almost coincides with one of the modular matrices. It is noted that the obtained upper bound evaluations are not worse than the evaluations obtained by the Ritz method with the use of the same basic functions.
Key words: elastic rod, stability, non-uniformly compressed, variational formulation, critical loading, integral equation, two-sided estimation, eigenvalue.
References
1. Kupavtsev V.V. Variatsionnye formulirovki integral'nogo uravneniya ustoychivosti up-rugikh sterzhney [Variational Formulations of the Integral Equation of Stability of Elastic Bars]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 9, pp. 137—143. (in Russian)
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС
_мвви
2. Rzhanitsyn A.R. Ustoychivost'ravnovesiya uprugikh system [Stability of Equilibrium of Elastic Systems]. Moscow, GITTL Publ., 1955, 475 p. (in Russian)
3. Alfutov N.A. Osnovy rascheta na ustoychivost' uprugikh system [Fundamentals of the Stability Analysis of the Elastic Systems]. 2-nd edition. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1991, 336 p. (in Russian)
4. Kupavtsev V.V. Bazisnye funktsii metoda dvustoronnikh otsenok v zadachakh ustoychivosti uprugikh neodnorodno-szhatykh sterzhney [Basic Functions for the Method of Two-sided Evaluations in the Problems of Stability of Elastic Non-uniformly Compressed Rods]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 6, pp. 63—70. (in Russian)
5. Panteleev S.A. Dvustoronnie otsenki v zadachakh ob ustoychivosti szhatykh uprugikh blokov [Bilateral Assessments in the Stability Problem of Compressed Elastic Blocks]. Izvestiya RAN. Mekhanika tverdogo tela [News of the Russian Academy of Sciences. Solid Body Mechanics]. 2010, no. 1, pp. 51—63. (in Russian)
6. Santos H.A., Gao D.Y. Canonical Dual Finite Element Method for Solving Post-Buckling Problems of a Large Deformation Elastic Beam. International Journal Non-linear Mechanics. 2012, vol. 47, no. 2, pp. 240—247. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.ynonlinmec.2011.05.012.
7. Manchenko M.M. Ustoychivost' i kinematicheskie uravneniya dvizheniya dinamicheski szhatogo sterzhnya [Dynamically Loaded Bar: Stability and Kinematic Equations of Motion]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 6, pp. 71—76. (in Russian)
8. Bogdanovich A.U., Kuznetsov I.L. Prodol'noe szhatie tonkostennogo sterzhnya peremennogo secheniya pri razlichnykh variantakh zakrepleniya tortsov. Soobshchenie 1 [Longitudinal Compression of a Thin-Walled Bar of Variable Cross Section with Different Variants of Ends Fastening (Information 1)]. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo [News of Institutions of Higher Education. Construction]. 2005, no. 10, pp. 19—25. (in Russian)
9. Bogdanovich A.U., Kuznetsov I.L. Prodol'noe szhatie tonkostennogo sterzhnya peremennogo secheniya pri razlichnykh variantakh zakrepleniya tortsov. Soobshchenie 2 [Longitudinal Compression of a Thin-Walled Core of Variable Cross Section with Different Variants of Ends Fastening (Information 2)]. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo [News of Institutions of Higher Education. Construction]. 2005, no. 11, pp. 10—16. (in Russian)
10. Selamet S., Garlock M.E. Predicting the Maximum Compressive Beam Axial During Fire Considering Local Buckling. Journal of Constructional Steel Research. 2012, vol. 71, pp. 189—201. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/jjcsr.2011.09.014.
11. Vo Thuc P., Thai Huu-Tai. Vibration and Buckling Of Composite Beams Using Refined Shear Deformation Theory. International Journal of Mechanical Sciences. 2012, vol. 62, no. 1, pp. 67—76. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2012.06.001.
12. Kanno Yoshihiro, Ohsaki Makoto. Optimization-bazed Stability Analysis of Structures under Unilateral Constraints. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2009, vol. 77, no. 1, pp. 90—125.
13. Doraiswamy Srikrishna, Narayanan Krishna R., Srinivasa Arun R. Finding Minimum Energy configurations for constrained beam buckling problems using the Viterbi algorithm. International Journal of Solids and Structures. 2012, vol. 49, no. 2, pp. 289—297.
14. Rektoris K. Variational methods in Mathematics, Science and Engineering. Prague, SNTL-Publ., Techn. Liter., 1980. (in Russian)
15. Kupavtsev V.V. Variatsionnye formulirovki zadach ustoychivosti uprugikh sterzhney cherez izgibayushchie momenty [Variational Formuliations of Stability Problems of Elastic Rods Using Bending Moments]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 4, vol. 3, pp. 285—289. (in Russian)
About the author: Kupavtsev Vladimir Vladimirovich — Candidate of Physical and Mathematical Science, Associated Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics; Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, IVIoscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (495) 780-48-35.
For citation: Kupavtsev V.V. Dvustoronnie otsenki na osnove variatsionnykh formuliro-vok integral'nykh uravneniy ustoychivosti uprugikh sterzhney [Two-Sided Evaluations Based on the Variational Formulations of Integral Equations for the Stability of Elastic Rods]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 10, pp. 41—47. (in Russian)
