CC BY
23
УДК 624.04
В.В. Купавцев
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
ВАРИАЦИОННЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ
Вариационная формулировка задачи устойчивости упругих прямолинейных стержней с переменной по длине изгибной жесткостью, сжатых переменным продольным усилием, преобразована минимаксным методом в вариационную формулировку, уравнением Эйлера которой является интегральное уравнение устойчивости упругих стержней. Ядро интегрального уравнения устойчивости представлено в виде симметризации полученного в явном виде несимметричного ядра.
Ключевые слова: упругий стержень, однопролетный, устойчивость, вариационная формулировка, критическая нагрузка, минимаксная задача, интегральное уравнение, ядро, симметризация ядра.
Рассматривается задача устойчивости прямолинейного однопролетного упругого стержня длиной L и переменной изгибной жесткостью EI(x) (0 < x < L), сжатого продольным усилием XN( x). Внешние нагрузки, пропорциональные безразмерному параметру X, при потере устойчивости стержня не изменяются ни по величине, ни по направлению. Концы стержня закреплены одним из следующих шести классических способов: 1) оба конца стержня жестко заделаны; 2) жестко заделан один конец и шарнирно оперт другой; 3) жестко заделан один конец, а другой заделан в опору, имеющую возможность смещаться в поперечном направлении; 4) жестко заделан один конец и свободен второй; 5) оба конца шарнирно оперты; 6) шарнирно оперт один конец, а другой заделан в опору, подвижную в поперечном направлении. Предполагается, что условия закрепления концов стержня допускают продольное смещение второго конца при нагружении стержня [1].
Согласно энергетическому критерию потери устойчивости критическое значе-
*
ние X параметра нагружения X равно минимуму функционала, равного отношению потенциальной энергии изгиба стержня к изменению потенциальной энергии внешних сил, выраженных через поперечные перемещения v(x) оси стержня с точностью до величин второго порядка малости [2]
X* = min a2 (v, v)/a, (v, v). (1)
veV2,v*0
Здесь и далее используются симметричные билинейные формы
a,(v,u) = [v'y/N;u'4N 1, a2 (v,u) = [v"4EI;u"4EI 1, [v;u] = Lv(x)u(x)dx, (2)
0
где штрих означает производную функции; а [v; u ] — скалярное произведение в пространстве L2(0,L) функций, квадратично интегрируемых на отрезке 0 < x < L [3]. Квадратичные формы a,(v, u) и a2(v, u) заданы на V, х V, и V2 х V2 соответственно, где Vj (j = 1,2)— подпространство функций Соболева пространства W^L) [4]. Меняя соответствующим образом значения этих функций на множестве меры нуль, можно сделать функции из V1 абсолютно непрерывными, а функции из V2 непрерывно дифференцируемыми на отрезке 0 < x < L , где почти всюду они будут иметь обычную вторую производную. Подпространство V2 составляют функции пространства W(02L), которые удовлетворяют в зависимости от типа закрепления концов стержня одному из следующих шести видов граничных условий:
1) v(0) = v'(0) = v( L) = v (L) = 0; 2) v(0) = v' (0) = v(L) = 0; 3) v(0) = v'(0) = v'(L) = 0;
4) v(0) = v' (0) = 0; 5) v(0) = v(L) = 0; 6) v(0) = v' (L) = 0. (3)
Подпространство Vi составляют функции пространства ^(02L), удовлетворяющие лишь тем граничным условиям из (3), которые относятся к поперечным перемещениям v(0) и v(L) концов стержня.
Вопросы устойчивости стержней при различных вариантах закрепления их концов с учетом начальных несовершенств и развития деформаций ползучести рассмотрены в [5]. В [6] определена критическая нагрузка внецентренно сжатого стержня таврового сечения. Динамическая устойчивость сжатых вязкоупругих стержней рассмотрена в [7]. Двусторонние оценки критического значения параметра нагружения в задаче устойчивости упругого консольного стержня, сжатого полуследящей силой, получены в [8].
Так как изгибная жесткость E (х) > E m;n > 0 и внутреннее продольное усилие — сжимающее, т.е. N(х) > Nmin > 0, а EI(х) и N(х) предполагаются кусочно гладкими функциями на [0, L], то квадратичная форма üj (v, u), определяемая по формуле (2), является непрерывной и положительно определенной в пространстве Vj х Vj (j = 1,2) [4]. Тогда существует форма потери устойчивости v* (х) е V2 стержня, на которой достигается нижняя грань функционала (1).
Для преобразования вариационной формулировки (1) необходимо сначала ее преобразовать в задачу о минимуме квадратичного функционала. Поскольку нелинейный функционал (1) является однородным нулевой степени, то функция v* (х) определена с точностью до числового сомножителя. Его можно выбрать таким, чтобы выполнялись равенства
^(v*,v*) = 1, Ü2 (v*,v*) = X*. (4)
Тогда из условия однородности функционала (1) следует, что исходная задача эквивалентна нахождению нижней грани квадратичного функционала ü2 (v, v) при дополнительном условии, т.е.
X* = min ü2 (v*, v*). (5)
veV2, ü1(v,v)=1 V '
*
Далее показывается, что определение критического значения X параметра на-гружения в рассматриваемых задачах устойчивости упругих стержней можно представить в виде минимаксной задачи
X* = min sup |ü2 (v, v) - Xü1 (v, v) + X}, (6)
veV2 XeR
где верхняя грань берется по всем вещественным X .
Действительно, при всех v e V2, для которых a^v, v) < 1 или a^v, v) > 1, устремляя X к или к —X соответственно, получим, что
sup |ü2(v,v)-Xü1(v,v) + X}=ot. (7)
XeR
Согласно (4), множество тех v e V2, на которых ü2(v, v) конечно, а a^v, v) = 1, не пусто. Поэтому, отыскивая в (6) нижнюю грань после вычисления верхней грани, нужно отбросить все значения на тех v , для которых справедливо (7). Следовательно, min sup |ü2 (v, v) -Xü1(v, v) + X} равно правой части (5) и имеет место равенство (6).
veV2 XeR
Оказывается, что решение двойственной к минимаксной задаче (6), заключающейся в нахождении максиминимума функционала (6), равно критическому значе-
*
нию X параметра нагружения в рассматриваемой задаче устойчивости. Пусть
J(X) = inf |a2 (v, v) - Xa1 (v, v) + X} . (8)
veV2
Поскольку максиминимум функционала не превосходит его минимаксимума на той же области определения [2], то sup J(х)< X . Тогда
XeR
J(X*) < sup J(X) <X*. (9)
XeR
Из определения нижней грани функционала (1) и существования элемента v*, на котором она достигается, следует, что для любого v e V выполнено неравенство a2(v,v) -X*a1(v, v) > 0, (10)
где знак равенства имеет место, когда v = v* . Тогда J(X ) = X . Таким образом, в (9) слева и справа имеют место равенства, т.е.
max J (X) = max inf ^(v, v) -Xai(v, v) + X} = X*. (11)
XeR XeR veV2 1
Следует отметить, что нельзя представить выражение J(X) в явном виде как
*
функцию X, не используя искомого X . Из неравенства (10) следует, что справедливо равенство J(X) = X при всех значениях X < X . ЕслиX > X , положив в (8) v = nv*
и учитывая равенства (4), получим, что ja2 (nv*,nv*)-Xa1 (nv*,nv*) + Xj ^ -co при
*
n ^ c , т.е. J(X) = -c при всех X > X .
*
Итак, в (11) нельзя представить X как решение задачи на максимум. Это стало бы возможным, если бы удалось построить двойственную задачу к задаче (8) при каждом значении X . Сделать это классическими методами теории двойственности [2] нельзя. В функционале (8) интегрант Л(x,v',v'') = EI(x)(v '')2 -XN(x)(v ')2 не является выпуклой функцией по совокупности переменных v и v для X > 0 . Воспользоваться же процедурой релаксации невыпуклых вариационных задач [2] не удается, поскольку этот интегрант не является при значениях X > 0 неотрицательным. Тем не менее, максиминная формулировка (11) задачи устойчивости упругих стержней оказывается полезной для создания новых вариационных формулировок этой задачи.
*
Далее показывается, что критическое значение X параметра нагружения в рассматриваемых задачах устойчивости является решением вариационной задачи на нахождение минимума функционала, отыскиваемого на множестве функций, которые никаким граничным условиям удовлетворять не обязаны. Пусть на R х У2 х W(0L) задана форма
Ф(Х, v, ф) = a2 (v, v) + x[^VN ; c^/N ] - 2X [фл/N; v ' VN ] + X, (12)
где функции ф( x) пространства W^L) являются абсолютно непрерывными на отрезке 0 < x < L , но никаким граничным условиям удовлетворять не обязаны. Так как интегрант, т.е. выражение, находящееся под знаком интеграла в правой части (12), тождественно равно EI(v")2 + ХМ(ф- v')2 - ХМ(v')2, X < 0 1иГф ф(Х, v, ф) = -да
а при X > 0 infc®(X, v, ф) = a2(v, v) -Xaj(v, v) + X . Тогда, согласно (11), имеем
X* = max inf inf Ф(Х, v, ф). (13)
XeR veV2 фе^®-,
Поменяв порядок вычисления нижних граней в (13), найдем infv Ф (X, v, ф). Эта задача о минимуме квадратичного функционала Ф(Х, v, ф) по v в пространстве V2 . Она имеет, как известно [2], единственное решение w(x) в пространстве такое, что
L
minv Ф(Х, v, ф) = Ф(Х,w,ф). Введем следующие обозначения: ю (x,ф) = J N(z)ф(г)dz ;
(х) = |((г - L)г |EI(г))dz ; ^ (х,ф) = ^ - Ь)г ю (z - Ь)ю(ф)/Е1(г))dz (г = 0,1, 2). Из о о
условия [ф' (мм);и] = 0 для всех и е , где Ф'(у) — производная Гато функционала
Ф(Х, V, ф) по переменной V при фиксированных X и ф, найдем, что
' X X X Л
м( х) = X
(14)
I ^ (у, ф^у + С1 (ф) | е1 (у)йу + С2 (ф) | ео (.У)Ф + хСъ (ф) V о о о у
где, в зависимости от типа закрепления концов стержня, С^ф), С2(ф) и Сз(ф) равны: 1) С1(ф) = [tо(L,ф)е1(L) - tl(L, ф)ео(L)][eо(L)e2(L) - е2(Ь)]-1, С2(ф) = [tl(L,ф)е1(L) -—о (Ь, ф)е2(L)][eо(L)e2(L) - е2(Г)]-1, Сз(ф) = о; 2) С^ф) = -tl(L,ф)е^(L), С2(ф) = о Сз(ф) = о; 3)С1(ф) = Сз(ф) = о, С2(ф) = -^(Ь,ф)ео'(Ь); 4)Сх(р) = С2(Ф) = Сз(<р) = 0; 5) С1(ф) = ю(о, ф) ЬЬ-, С2(ф) = о, Сз(ф) = [е2( Ь)ю(о, Г) ЬЬ- + tl( Г, ф)]Г'; 6) С1(ф) = о,
С2(ф) = -ю (о, ф), Сз (ф) = ео (Г)ю(о, ф) - tо( Г, ф).
Функция м>(х) является непрерывной на отрезке о < х < Г с абсолютной непрерывной первой производной. м''(х) существует почти всюду и непрерывна за исключением тех точек, в которых имеет скачок Ы1 (х). В этих точках мМ'(х) имеет такие скачки, что функция Ы1 (х)м'' (х) является абсолютно непрерывной на отрезке о < х < Г . Кроме того, (Е1 (х)м''(х)) ' почти всюду существует и непрерывна на этом отрезке и имеет такие скачки в тех точках, где терпит разрыв N(х), что (Ым'' ) ' +XNф = С1(ф) является константой при фиксированной ф(х).
Поскольку ЫуФ(Х,у,ф) = Ф(Х,м,ф) = Х + Х^ф>/ж;ф^/N^-Х2^(м,М, то, перейдя к новой переменной у( х) = ф( х)^ N (х), получим
X* = тах М Х([у;у]-Х[К(у);К(у)] + 1), (15)
ХеЯ уеЬ2
где К (у) =(ю(х, у + (х - Г )С1 (у
тегральный оператор с квадратично суммируемым ядром к(х, у) (о < х, у < ь), т.е.
ь
К (у) = | к (х, у)у( у ^у , о
где к (х, у) = ,/ N (у)/ Е1 (х) ((у - х) + к0( х, у)), (16)
а функция ко( х, у) в зависимости от типа закрепления концов стержня равна:
1) {(х - Г) ((Ь)е о (у) - ео (Ь)ех (у)) + ех (Ь)е (у) - е2 ((у)}/( (Ь)ег (Г) - е2 (Г))
2) (Г - х) ех (у) / ег(Ъ); з) -ег(у)/ео(Ь); 4) о; 5) (х - ь)) Г ; 6) -1.
В формуле (16) х(г)— единичная функция Хевисайда: %(г) = 1 при г > о и Х(г) = о при г < о .
Билинейная симметричная и непрерывная форма [[(у);К($)] в пространстве Ь2 (о,Ь)х Ь2 (о,Ь), где у(х), $(х) е Ь2(о, Ь), является строго положительной формой в случаях закрепления концов стержня, которым соответствуют граничные условия з, 4 и 6 из (з). В других случаях закрепления концов стержня эта форма также будет
о
строго положительной формой, если рассматривать ее в подпространстве Ь2(о, Ь)
о
пространства Ь2(о,Ь). Подпространство Ь2(о,Ь) образовано функциями, ортогональными к функции у о (х) = N (х) по норме Ь2 (о, Ь).
Необходимо отметить, что полученные в [9] выраженные через изгибающие моменты вариационные формулировки рассматриваемых задач устойчивости стержней в случаях 3, 4 и 6 закрепления их концов, отличаются также от аналогичных вариационных формулировок в случаях 1, 2 и 5 закрепления их концов. В [10] получены вариационные формулировки, выраженные через изгибающие моменты и перерезывающие силы, для задач устойчивости упругих стержней с упруго заделанными и опертыми концами.
Рассмотрим задачу на собственные значения билинейной формы [K(у); K($)] в ¿2 (о, L) в случае граничных условий 3, 4 и 6 или в ¿2(0,L) в случае граничных условий 1, 2 и 5 из (3). Она является эквивалентной нахождению характеристических чисел самосопряженного строго положительного линейного вполне непрерывного оператора G(у) = K • K (у)[3]. Здесь звездочкой обозначен операторK (у), сопряженный с оператором K (у), а точкой — произведение операторов. Следует отметить, что ядро оператора K (у) согласно формуле (16) является несимметричным. Ядро оператора G (у) является симметричным, так как получается путем симметризации ядра (16) оператора K (у).
Множество всех характеристических чисел оператора G, расположенных в неубывающем порядке, образует последовательность положительных чисел 0 <Х1 < Х2..., сходящуюся к +да , а Я,1 равно нижней грани функционала
= min [у;у]/[K(у);K(у) . (17)
Минимум функционала (17) отыскивается среди функций пространства ¿2 (0, L) в случаях закрепления концов стержня, которым соответствуют граничные условия 3, 4 и 6 из (3). В тех же случаях закрепления концов стержня, которым соответствуют граничные условия 1, 2 и 5 минимум функционала (17) отыскивается среди функций пространства ¿2(0, L), т.е. функций у(х) пространства ¿2(0, L), удовлетворяющих дополнительно условию
lj (у( х)Ц N (x))) = 0. (18)
0
Далее доказывается, что справедливо следующее равенство Х1 = X*. Обозначим через S (X) минимум функционала правой части равенства (15) в области его определения: S(X) = шТуХ([у;^]-X[K(у);K(у)] +1). Из определения нижней грани функционала (17) следует, что для любой функции из области его определения выполняется неравенство [у;у]-Х}[K(у);K(у)]^0. Легко видеть, что S(Х) = -да при Х< 0 и S(х) = X при 0 < X < Х1. Полагая, что у = у]Н и n ^ -да, получим, что
S(Я) = -да при X > Xi. Таким образом, максиминимум в (16) равен Xi, т.е. X* = Х1.
*
Итак, критическое значение параметра нагружения X в задаче устойчивости од-нопролетного упругого стержня равно минимуму функционала (17). Отыскивая его, например, методом Ритца, аппроксимирующие функции выбираются из пространства ¿2 (или ¿2) и никаким граничным условиям могут не удовлетворять.
Библиографический список
1. Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М. : Гостехиздат, 1955. 475 с.
2. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М. : Машиностроение, 1991. 336 с.
3. РекторисК. Вариационные методы в математической физике и технике. М. : Мир, 1985. 589 с.
4. Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М. : Мир, 1985. 368 с.
5. Устойчиво сть полимерных стержней при различных вариантах закрепления / С. В. Литвинов, Е.С. Клименко, И.И. Кулинич, С.Б. Языева // Вестник МГСУ 2011. Вып. 2. Т. 2. С. 153—157.
6. Ильяшенко А.В. Локальная устойчивость тавровых неидеальных стержней // Вестник МГСУ 2010. № 4. Т. 3. С. 162—166.
7. Тамарзян А.Г. Динамическая устойчивость сжатого железобетонного элемента как вязко-упругого стержня // Вестник МГСУ 2011. № 1. Т. 2. С. 193—196.
8. Дудченко А.В., Купавцев В.В. Двусторонние оценки устойчивости упругого консольного стержня, сжатого полуследящей силой // Вестник МГСУ 2011. Т. 6. С. 302—306.
9. Купавцев В.В. Вариационные формулировки задач устойчивости упругих стержней через изгибающие моменты // Вестник МГСУ. 2010. Вып. 4. Т. 3. С. 285—289.
10. Купавцев В.В. О вариационных формулировках задач устойчивости стержней с упруго защемленными и опертыми концами // Вестник МГСУ 2011. № 4. С. 283—287.
Поступила в редакцию в июне 2012 г.
Об авторе: Купавцев Владимир Владимирович — кандидат физико-математических наук, доцент, профессор кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(499)183-46-74, [email protected].
Для цитирования: Купавцев В.В. Вариационные формулировки интегрального уравнения устойчивости упругих стержней // Вестник МГСУ 2012. № 9. С. 137—143.
V.V. Kupavtsev
VARIATIONAL FORMULATIONS OF THE INTEGRAL EQUATION OF STABILITY OF ELASTIC BARS
The author considers the variational formulations of the problem of stability of non-uniformly compressed rectilinear elastic bars that demonstrate their variable longitudinal bending rigidity in the event of different classical conditions of fixation of bar ends.
Identification of the critical bar loading value is presented as a minimax problem with respect to the loading parameter and to the transversal displacement of the bar axis accompanied by the loss of stability. The author demonstrates that the critical value of the loading parameter may be formulated as a solution to the dual minimax problem. Further, the minimax formulation is transformed into the problem of identification of eigenvalues in the bilinear symmetric and continuous form, which is equivalent to the identification of eigenvalues of a strictly positive, linear and completely continuous operator. The operator kernel is presented in the form of symmetrization of the non-symmetric kernel derived in an explicit form.
Within the framework of the problem considered by the author, the bar ends are fixed as follows: (1) both ends are rigidly fixed, (2) one end is rigidly fixed, while the other one is pinned, (3) one end is rigidly fixed, while the other one is attached to the support displaceable in the transverse direction, (4) one end is rigidly fixed, while the other one is free, (5) one end is pinned, while the other one is attached to the support displaceable in the transverse direction, (6) both ends are pinned.
Key words: elastic bar, stability, variational formulation, critical loading, minimax problem, integral equation, kernel, kernel symmetrization.
References
1. Rzhanitsyn A.R. Ustoychivost' ravnovesiya uprugikh system [Stability of the Equilibrium State of Elastic Systems]. Moscow, Gostekhizdat Publ., 1955, 475 p.
2. Alfutov N.A. Osnovy rascheta na ustoychivost' uprugikh system [Principles of the Stability Analysis of Elastic Systems]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1991, 336 p.
3. Rektoris K. Variatsionnye metody v matematicheskoy fizike i tekhnike [Variational Methods in Mathematical Physics and Engineering]. Moscow, Mir Publ., 1985, 589 p.
4. Litvinov V.G. Optimizatsiya v ellipticheskikh granichnykh zadachakh s prilozheniyami k mekhanike [Optimization in Elliptic Boundary-value Problems Applicable to Mechanics]. Moscow, Mir Publ., 1985, 368 p.
5. Litvinov S.V., Klimenko E.S., Kulinich I.I., Yazyeva S.B. Ustoychivost' polimernykh sterzhney pri razlichnykh variantakh zakrepleniya [Stability of Polymer Bars in Case of Various Methods of Their Fixation]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 4, vol. 2, pp. 153—157.
6. Il'yashenko A.V. Lokal'naya ustoychivost' tavrovykh neideal'nykh sterzhney [Local Stability of T-shaped Imperfect Bars]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 4, vol. 3, pp. 162—166.
7. Tamarzyan A.G. Dinamicheskaya ustoychivost' szhatogo zhelezobetonnogo elementa kak vyazk-ouprugogo sterzhnya [Dynamic Stability of a Compressed Reinforced Concrete Element as a Viscoelastic Bar]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 1, vol. 2, pp. 193—196.
8. Dudchenko A.V., Kupavtsev V.V. Dvustoronnie otsenki ustoychivosti uprugogo konsol'nogo sterzhnya, szhatogo polusledyashchey siloy [Two-way Estimates of Stability of an Elastic Cantilever Bar, Compressed by a Half-tracking Force]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 1, vol. 6, pp. 302—306.
9. Kupavtsev V.V. Variatsionnye formulirovki zadach ustoychivosti uprugikh sterzhney cherez iz-gibayushchie momenty [Variational Formulations of Problems of Stability of Elastic Bars Derived by Using Bending Moments]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 4, vol. 3, pp. 285—289.
10. Kupavtsev V.V. O variatsionnykh formulirovkakh zadach ustoychivosti sterzhney s uprugo zash-chemlennymi i opertymi kontsami [About the Variational Formulations of Stability Problems for Bars with Elastic Fixation of Supported Bar Ends]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 4, pp. 283—287.
About the author: Kupavtsev Vladimir Vladimirovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associated Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (499) 183-46-74.
For citation: Kupavtsev V.V. Variatsionnye formulirovki integral'nogo uravneniya ustoychivosti up-rugikh sterzhney [Variational Formulations of the Integral Equation of Stability of Elastic Bars]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 9, pp. 137—143.
