CC BY
48
УДК 532.546 + 536.425
М.А. Токарева
Двумерная задача фильтрации в тонком пороупругом слое*
M.A. Tokareva
Two-Dimensional Problem of Filtration in Thin Poroelastic Layer
Рассматривается математическая модель фильтрации в тонком пороупругом слое. Для описания процесса используются законы сохранения масс, закон Дарси, реологический закон типа Максвелла и уравнение сохранения импульса системы. Рассмотрены различные режимы движения в зависимости от поведения возникающих в задаче малых параметров.
Ключевые слова: двухфазная фильтрация, по-роупругий слой, вязкоупругость.
We consider mathematical model of filtration in thin poroelastic layer. For describing this process we use the laws of conservation of mass, Darcy’s law, the rheological Maxwell law and the equation of conservation of momentum for system. We consider the different regimes of motion, depending of the behavior of small parameters arising in problem.
Key words: two-phase filtration, poroelastic layer, viscoelasticity.
Введение. В основу математической модели фильтрации в пороупругом слое положены уравнения сохранения массы для каждой из фаз без учета фазовых переходов, закон Дарси, учитывающий движение твердого скелета, реологический закон типа Максвелла и уравнение сохранения импульса системы [1—3]. Вопросы разрешимости одномерных задач для этой модели исследовались в работах [4-5].
Уравнения модели Рассматривается следующая система уравнений составного типа
d(1 ф) + div((1 — ф)й*8) = 0,
dt
дф + div^vf ) = 0,
Кфп
М
' m
(Vpf + pf ^,
ф(Vf — Vs ) = —
1 d^ _ фт xbQ dpe 1-ф dt —~Pe — Ф
(1)
(2)
(3)
pg+div (a—+ (d|) ) )—^°=0,
Ptot = ФPf + (1 — Ф)Ps,
Pe = (1 — ф) (Ps — Pf ),p = фPf + (1 — Ф)Рs
(4)
(5)
где pf ,ps,vs,vf - соответственно истинные плотности и скорости фаз; ф - пористость; д = (0, -д)-плотность массовых сил; к - проницаемость, р -
*Работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки Российской Федерации №1.3820.2011.
коэффициент динамической вязкости жидкости;
V, ßф, b,m - параметры твердой фазы; ptot - общее давление (заданная функция). Задача записана в эйлеровых координатах (t,x,z). Истинные плотности ps,pf принимаются постоянными. Искомыми являются величины ф, Vs, Vf, pf, ps.
Проведем обезразмеривание уравнений (1)-(5). Пусть x,z,t - безразмерные переменные, определенные равенствами
x _ z к H
x =Y, z = — , t = £ T01, £ = — < 1,
L H L
где [L] = [H] = [м], То] = [1/с]; к - произвольное вещественное число.
Положим:
/ \ -\ -/к xz
Pf (t, x, z) = ap(t, x, z) = ap(£ Tot, j, h >,
vl (t,x,z) = ßV (t,x,z) = ßl VS (£kTot, x, H ),i = 1, 2, vf (t, x, z) = ßlVf (t, x, z) = ßlVf (£kTot, j H),i = 1, 2
ptot (t, x, z) = aptot(t,x,z ), a a
Pf 9 = HP f9, Ps9 = HPs9 '
Здесь [ßl] =[м/с], [a] =[Па], а все функции с верхней чертой являются безразмерными.
Система (1)-(5) в скалярной форме преобразуется к виду
скТ д(1-ф) + ßl ду1(1-ф) + ß2 ду1(1-ф) ь 10 dt + L дх + H dz
0,
Ркт дФ + ßl dVf (1-ф) + ß2 dvf(1-ф) = 0
ь 10 dt + L дх + H dz = 0,
Двумерная задача фильтрации.
ф(в1г 1 - в1 VI) = -,
Ф(в2V2 - вЧ) = -- Нг,V ,
(7)
1. Пусть к > 2 и а = єк^то. Тогда при £ ^ 0 приходим к системе
+ Зіг((1 - Ф)у8) = 0,
1 - ф
к дф , 1 1 дф 2 2 1 дф\
То ~М + в VI Ьдх + в2 VI нд=. ) =
1 дф ^ Ьдх
: Н д г
_ фт !- -\ л.Ъа ( к д (Ро - Р) ,
= ——а\Ргог - Р) - ф вФ\£ Тоа---------------------ц-+
1_1 ад(рНоі - р) , 02-2 ад(ріоі - рК (8)
+в " ( дх +в г Н дг 1 (8)
2 в1 д ((1 ,, дїі ) + в1 д ( дїі ) +
2Ь дх ^ - ф)~дХ) + Н Тг ^ - ф)^) +
+ в2 д (п ф-\ дг1\ а дР'
+НЬді Iа - ф)дї) =---------
'іоі
Ьи дх ’
(9)
дх + Зіг(фг ,) = 0,
Кф(V) - VI) = -фпдй,
дх = Ріі,
( = - ^ро, - р),
д ((1 - ф) §)=о.
-а„„+ Р А (п_ ф) дгГ\ +2 ¿1 ± ф)
:м+Ьдх ( (1 - ф))+'2Н2дг ((1 - ф)дд )+ 2 д (,. . . дг1'\ д {,. , , дг'1
Ни™ Ь2 дх
+ в1 д ( (1 ф)дг)\
+ных\(^ - ф)дї)
дх ) Н2 дг
а дро
дг ) (10)
НЬдху г; дг ) Ш дг
Для получения безразмерной формы уравнений следует положить
в1 = £к г0Ь, в2 = £к т0Н.
2 ді {(1 - ф) іг) + дх {(1 - ф) д~) =
)■
2. Пусть к = 2 и а не зависит от е. Тогда после предельного перехода получим следующую систему
После этого системе (6)—(10) можно придать
вид
д(1д1Ф'> + &їг((1 - ф)гї) = 0,
дх + ¿.іг(фгі) = 0,
^ф(і] - г1) = -ф*Ш,
ф(г2 - гї) = -фп (Ц - V,я) £к™ ,1ф -ф-(ри, - р)-
(11)
(12)
а(1 - ф) сИ
-£кГ0ивфф'
Ъ с(ріоі - Р)
сг ’
(13)
2£к ^ (ч - ф) §) +ск-2 дг (ч - ф) §) +
ТрУ
а
+екй((' - ф)§) = а(14)
(ек+2 т ((1 - Ф) д2) + 2екй ((1 - Ф) д4) + +екдк ((1 - ф) ) = рд + ^8° ■
(15)
В системе (11)-(15) коэффициенты Т0^к , 'а, т°vвф безразмерные. Парамет-
ры р, V, вф,то, Ь, К фиксированы. Свободным остается параметр а, от выбора которого будет зависеть вид системы после предельного перехода при е ^ 0.
д(1дхФ') + сіг((1 - ф)гї) = 0,
дх + Сіг(фг,) = 0,
дР дР _ _ _
дх ’ дг Рі 9:
Ріоі = Р д ((1 - ф)І) =
а дрі,
д г
гг =
д г ) иго дх
дріоі
д
3. Пусть к < -2 и а не зависит от є. Тогда после предельного перехода приходим к следующей системе
д(1дїФ'> + Сіг((1 - ф)гї) = 0,
(16)
(17)
(18)
дг Vу" ^ дг 1 (19)
2дх О1 - ф) д-ш) + ш (а - ф) Щ =° (20)
дх + Сіг(фг,) = 0,
г.ї = г,,
1 Сф = -авффт С(Ріоі - Р)
1 - ф Зі
д (о - ф>§)
Зі
0,
1
Рассмотрим систему (16)—(20). Из (16) следует, что ї^ф = Зігг1 = 0. Тогда из уравнения (18)
получим р> = 0, т.е. ф и ріоі - р сохраняются
вдоль характеристик уравнения (16). Для нахождения г),г'2 используется система (19)—(20).
Для линеаризованных уравнений (19) и (20) легко получить представление для компонент скоростей г),г12 вида г1 = А(і)г + В(х,і),г1 =
-гВХ(х,£) + С(х,£), где А(х,1),В(х,1),С(х,£) -произвольные функции, которые могут быть найдены после задания начальных и краевых условий.
После этого возвращаемся к характеристической системе и получаем представление для ф и р. Тем самым ф,vs,vf ,pf найдены, а давление р8 находится из соотношения (5).
Библиографический список
1. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физикоматематические основы фильтрации воды. - М., 1971.
2. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. - Новосибирск, 1983.
3. Connolly J.A.D., Podladchikov Y.Y. Compaction-driven fluid flow in viscoelastic rock // Geodin. Acta. - 1998.
4. Папин А.А., Токарева М.А. Модельная задача о движении сжимаемой жидкости в вязкоупругой горной породе // Известия АлтГУ. -2010. - №1.
5. Папин А.А., Токарева М.А. Задача о движении сжимаемой жидкости в деформируемой пористой среде // Известия АлтГУ. - 2011. - №1.
