Об одной модели тающего льда Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.546 + 536.425

М.А. Токарева

Об одной модели тающего льда* М.A. Tokareva A Model of Melting Ice

Тающий лед рассматривается как двухфазная сплошная среда, состоящая из воды и льда. В основу математической модели положены уравнения сохранения массы для воды и льда с учетом фазовых переходов, уравнения движения фаз в форме законов Дарси и уравнение теплового баланса снега. Лед рассматривается как пороупру-гая среда.

Ключевые слова: двухфазная фильтрация, по-роупругость, лед.

БО! 10.14258^3811(2013)1.2-08

Melting ice is considered as a solid two-phase medium consisting of water and ice. The mathematical model is based on the equation of mass conservation for water and ice with phase transitions, equations of motion of the phases in the form of Darcy’s law and the equation of heat balance of the snow. Ice is considered as poroelastic medium.

Key words: two-phase filtration, poroelasticity, ice.

Введение. В основу математической модели таяния льда положены уравнения сохранения массы для каждой из фаз с учетом фазовых переходов, закон Дарси, реологический закон типа Максвелла и уравнение энергии системы [1—3]. Вопросы разрешимости одномерных задач для подобной модели без учета фазовых переходов исследовались в работах [4-5].

Постановка задачи. Рассматривается следующая система уравнений составного типа

- Ф)рт) =

(1)

к(ф)

ф{ъи, ~ щ) =-------{Ури, + Ри,д), (2)

р

I (1ф ( оЛрЛ ю\

Ф0^Ф)Л = -[ар° + 13^)- (3)

(Аш С-ш ^ Р%С-%{^ 1 Ф')') ~д! ^ (уРг^г^г /?-ш С-ш

= с1ю(ХЧ6>)+1Удрг<-д~ф),

(4) Рм = ФР-ш + (1 - Ф)Рг, (5) Ре = (1 - ф){рг -рги),р= Фрт + (1 - ф)ри

где Р’Ш,ри'и^'ии1 - соответственно истинные плотности и скорости фаз; /*„, - интенсивности пе-

*Работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки Российской Федерации №1.3820.2011, гранта РФФИ 13-08-01097 и программы стратегического развития Алтайского государственного университета.

рехода массы из воды в лед и изо льда в воду соответственно; ф - пористость; g = (0,0, —g)~ плотность массовых сил; к - проницаемость, р - коэффициент динамической вязкости жидкости; ptot -общее давление (заданная функция); а, /3 - параметры льда; в - температура среды (вj = 0W = в), ((4,cw) = const > 0 - теплоемкости фаз при постоянном объеме; v = const > 0 - удельная теплота плавления льда; А - теплопроводность льда (А = а + bp2, р = ртф + pi(l — ф), а = const > 0, b = const > 0) [6]. Задача записана в эйлеровых координатах (t,x,y,z), A -

полная производная. Истинные плотности pi, pw принимаются постоянными. Искомыми являются величины ф, щ, vw, pw, pi, в. В настоящей работе принята гипотеза (pi, Pw,Ptot) = const, щ = 0, т.е. IWi = —pi^. Рассматривается случай, когда и при отрицательных температурах присутствует некоторое (малое) количество воды.

Предположим, что в системе координат (x,y,z) входящие в систему (1)—(5) функции зависят от z,t. Для возникшей системы рассмотрим следующую задачу: лед занимает область (—оо,ct), t > 0. При z = —оо вода и лёд неподвижны (vw = 0, Vi = 0), и температура в = 6~ (ниже температуры плавления льда); при z = ct известны скорости воды (vw = v°), льда (vi = г>+) и задана температура в = в0 (равная температуре плавления льда). Полагая, что все искомые функции зависят лишь от переменной £ = z — ct (с -неизвестная постоянная), и складывая уравнения сохранения массы, приходим к следующей системе уравнений относительно искомых функций ф, vw, 0, pw

0(«)

—{c4>{pw - рі) - <Ppwvw) = о, (6)

к(ф) ( dpw \

&<• = -—[-Щ--М), (7)

1 d(f> d Сф{ 1 -ф)І£= Ш' ~ ~ d£^Ptot ~Pw^ ^

( j> !ГГ!Г I !>/ ‘'/ ) I f1/! r/l f' II )

= Л(Лі)+^з|-

Граничные условия имеют вид

ф(0)=ф°€ (0,1), </>Ь-оо = </>+ Є (0, 1),

(9)

^-ш(О) ^ — ОО 0,

0(0) = в°,

в\^-оо = в~, fie-

о.

(10)

(11)

В результате преобразований приходим к распавшейся системе, в которой в находится из (9), (11) после нахождения ф,ут,рт из (6)—(8), (10). Основную трудность представляет вопрос разрешимости задачи для функций ф, ут,рт.

Теорема. Пусть выполнены следующие условия: д = 0, ф° > ф+, (ф°,ф+) Є (0,1), /V, > рі,

V0 < 0,

к(ф) =

Кфп, 0 < ф < 1, п< 1, 0, ф< 0.

Тогда существует единственное классическое автомодельное решение (</>*(£), w*(£),-Р(О), * = sj/ задачи (6) - (8), (10).

Интегрируя первое уравнение (6), выводим равенство

сф{рш ~ Pi) ~ Фр-wVw = А = const. (12)

Используя условия (9), из равенства (10) выводим представления для постоянных с и А: с =

_____у°Р™Ф°____ <- о А — Ф+Ф°Р^У° Постте этого

{Ри>-Ръ){Ф°~Ф+) ’ — ф+-ф° ■ 110сле ЭТОГО,

возвращаясь в (10), приходим к равенству фу^, =

1 ф°у° ф°у°

ФфО_ф+ , ИЗ которого следует, ЧТО Vw = фо_ф+ при ф 0. Тогда из (7) получим

(13)

dp рфф°у°

Tt=pw9~ к(ф)(ф° -ф+у

Продифференцируем уравнение (8) по £. Используя (12) и с учетом, что д = 0 и ptot = const, имеем

_ 1 d<t>\ I f)[i{l-n)v ф 1-n аф

d£ ) 0°-0+ ™ ap-(Pru-Pi) i (1-n) _ Q

Pwk ^

Полагая «(</>(£))

1

задаче

Ф+

ф(І-ф)

dr, приходим к

u" + b(u)u' — d{u)u = 0,

,0

Ф

f 1

((0) = / ——dr = uo, w(oo) = 0, J а{т)

Ф+

(15)

где

a(u) = ф(и)(\—ф{и)), d(u) = ф1

pwk u

j3p{ 1 - пу°ф° = —To-----------

1

-ф-п(и).

ф°-ф+ ф(и)(1-ф(и))

Функции d(</>), а(</>) положительны для всех ф €= (0,1). На отрезке [0,п] рассмотрим вспомо-

ФЮ

гательную задачу для г>(£)

1

Ф+

а{т

-dr:

Vй + Ь(г>)г/ — d{v)v = 0, г;(0) = ио, ь(п) = 0. (16)

Решения последней в силу принципа максимума удовлетворяют неравенствам 0 < г>(£) < ио для всех £ € [0, п].

Поэтому функции Ь(у) и d{v) являются строго положительными и ограниченными.

Производная решения задачи (15) в точке £ = п неположительна, поскольку предположение V1 (п) > 0, ввиду граничного условия -у(п) = 0, приводит к противоречию с неотрицательностью г>(£). Представив уравнение (15) в виде

V

ф' = vd(v) >0, -ф = V1 + ! b(т)dт, (17)

о

выводим, что монотонно возрастающая функция ф(С) является неположительной. Поэтому г/(£) < 0 для всех £ € [0, п].

Из (16) следует V1 -\-ctv < 0. Отсюда получаем

«(£) < v0exp(-a*£),

(18)

где а* - минимальное значение функции Ь{т). Уравнение (15) представим в виде

V

(|г/| + J b(т)dт)'— vd(v) = 0

о

и проинтегрируем по £ от 0 до текущего значения £:

«о 5

К(£)|-К(°)1 = J b(т)dт+! тd(т)dт = у>(£) > 0.

0

Имеем |г/(0)| — у>(£) < —?/(£). Интегрируя последнее неравенство по £ от 0 до п, получим

Рассмотрим последовательность функций Vi(^) = Т(щ). Положим

1 / 7 \ 5 "(0

1^(0)! — “ I у 9г’(т)|^т + "^о I =N<00. /(£,«) = J с1(у(т))у(т)с1т, }г(£, у) = J Ь(у(т))с1т.

Поскольку ф(0) < ф(£) < ф(п), то имеем

-Уо «(£)

г/(0) + J Ь(т)с1т < г/(£) + J Ь(т)с1т.

Учитывая, что J Ь(т)с1т > J Ъ(т)с1,т, полу-

о

(01+ J Ь(т)с1т <

о о

1« (4)1 + J 0(т)ат <, \Ъ \.

^0

Отсюда следует, что для всех £ € [0, п]

ИО1<К(0)|<лг.

(19)

Пусть у = |?/(£)|. Уравнение (15) представим в виде

у' + Ь(у)у + <1{у)у = 0.

В частности, имеем неравенство у' + Ьоу < 0. Отсюда следует, что

К01<ЛГехр (-ЪоО- (20)

Представим решение задачи (15) в виде 5

«(£) =щ~ J(1<;/(°)1 “ сР(т))(1т = (21)

о

где значение г/(0) определяется из соотношения

п

[ (К(°)1 +¥>(0)^ = «0-

В пространстве непрерывных функций С[0, п] рассмотрим замкнутое, ограниченное, выпуклое множество М = {"у(£)| 0 < г>(£) < иа, £ €

[0,п]}. Оператор Т определен на множестве М, и в силу принципа максимума имеет место вложение т(м) с м.

Проверим непрерывность оператора Т. Возьмем произвольную непрерывную функцию ■?(£), такую, что гТ(0) = г>о, у(п) = 0. Подставляя гТ(£) вместо г>(£) в (21), получим Т(у).

Пусть последовательность непрерывных функций г^(£), таких, что г^(0) = г>о, щ(п) = 0, равномерно сходится к гТ(£) в пространстве (7[0,п]:

1^(0 ~«(£Ж е [0, тг].

Тогда

£

1^(0-^(01 < J - /(а,щ)\(1а+

О

€

+ ! 1- 1г(а,у)\(1а,

О

I !(<?,%) - /(о-,^)| =

£

= I J[й(г1(т))г;(т) - <1(щ(т))щ(т)\<1т\ <

О

€

< У[|«(т)||4«(г)) -<1(щ(т))| +

О

+ \(1(щ(т))\\Цт) -щ(т)\](1т,

\к(а,щ) - Н(а,Ъ)\ =

Ъ(й) 5(5)

= I J Ъ(щ(т))<1т - У Ь(Щт))<1т\ =

Уо Уо

-«о 5(5)

J [Ь(Ъ(т)) - Ъ(щ(т))\(1т - У Ъ(у(т))<1т ^(5)

Поскольку й{г>), Ь{у) - непрерывные функции, а последовательность щ{£) равномерно сходится к ■?(£), то получаем, что

|/(ег,гО - /(ег,^)1 —>• 0, г->оо,

\Ь(а,щ) — к(а,у)\ —>• 0, * —^ оо Уст £ [0, £].

Поэтому

|«*(С)-«(С)| —> 0, г со У£е[0,п].

Следовательно, оператор Т непрерывен. Из оценок (18), (19), (20) вытекает, что Т является вполне непрерывным. По теореме Шаудера на множестве М задача (15) имеет по крайней мере одно решение. Это решение единственно, если > 0. Действительно, пусть /(£) - достаточно гладкая функция, определенная на интервале [0,п] и равная нулю при £ = 0 и £ = п. Умножим обе части уравнения (15) на /(£) и проинтегрируем полученное равенство по £ от нуля до п, проводя однократное интегрирование по частям.

В результате приходим к следующему интегральному равенству:

П / V \

У «'(£)/' + Г I Ъ(г)<1г + Му) I <£ = 0. (22) о V о /

Пусть VI и «2 - два различных решения уравнения (15). Положим и = VI — г>2, и(0) = и(п) = 0. Из (22) после интегрирования по частям выводим

П

I [/[(Л' -в^ог -в2(от = о,

о

где

В1(0 = и-11 Ъ(г)с1г,

VI

В2(0 = и~1(у1(1(у1) - у2^у2)) > 0.

Определим /(£) как решение следующей линейной задачи:

(ГУ - втг - В2(0/ = №, /(0) = /(п) = о,

где /г(£) - произвольная непрерывная функция. Согласно [7] данная задача разрешима при любой непрерывной правой части. Поэтому и = 0.

Решение задачи (10), (14) на бесконечном интервале получим как предел последовательности {«„(£)} решений задачи (15) при п —> оо, используя независящие от п оценки (17), (18) и (19).

В силу единственности решений задачи (15) ограниченная последовательность {««,(£)} монотонно возрастает и, следовательно, сходится к некоторой функции м(£). Осуществляя предельные переходы в равенствах (21), записанных для {мп(£)}, получим аналогичное равенство для предельной функции. Последнее означает, что м(£) является классическим решением задачи (14). Асимптотическое поведение решения определяется неравенствами (18), (20). Таким образом, теорема доказана.

Библиографический список

1. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. - М., 1971.

2. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. - Новосибирск, 1983.

3. Connolly J.A.D., Podladchikov Y.Y. Compaction-driven fluid flow in viscoelastic rock // Geodin. Acta. - 1998.

4. Папин А.А., Токарева M.A. Модельная задача о движении сжимаемой жидкости в вяз-

коупругой горной породе // Известия АлтГУ. -2010. - №1.

5. Папин А.А., Токарева М.А. Задача о движении сжимаемой жидкости в деформируемой пористой среде // Известия АлтГУ. - 2011. - №1.

6. Кучмент Л.С., Демидов В.Н, Мотови-лов Ю.Г. Формирование речного стока. Физико-математические модели. - М., 1983.

7. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М., 1970.