Двумерная суперсимметричная квантовая механика и преобразования Мутара Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.984

А. А. Юрова, А. В. Юров, В. А. Юров

ДВУМЕРНАЯ СУПЕРСИММЕТРИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МУТАРА

Исследуется двумерный суперсимметричный гамильтониан H, компонентами которого служат сдвинутые на константу два скалярных (h0, h1) и один матричный (hmi) квантово-механические гамильтонианы. Предполагая, что решение спектральной задачи для оператора h0 известно, обсуждается применение многомерного обобщения метода факторизации для нахождения hmi и hi, дискретный спектр которых содержит нижний уровень, отвечающий энергии, меньшей чем энергия основного состояния h0. Предложена схема построения суперсимметричного гамильтониана H с вырожденным уровнем E = 0. Для этого случая предъявлен (0 + 1)-супермультиплет с нарушенной U (1) симметрией. Описан алгоритм реализации алгебры расширенной суперсимметрии. Установлена связь между задачей о «добавлении» нижнего уровня к спектру матричной компоненты супергамильтониана и формулой Мутара. Обсуждаются преобразования Мутара при d > 2.

This is a treatise on a two-dimensional supersymmetric hamiltonian H whose components consists of two scalar (h0, h1) and one matrix-valued

(hmi) quantum-mechanical Hamiltonians with constant terms added to the

mix. In particular, the article discusses the ways to utilize a known solution of the spectral problem for operator h0 in the multi-dimensional generalization of the factorization method in order to pro-duce such hml and h1 that their ground-state eigenvalues will be identical to each other but lower than that of h0. Then we propose a new scheme designed for the task of construction of su-persymmetric Hamiltonian H with a degenerate eigenvalue E = 0 and provide the corresponding (0 + 1) super-multiplet with a broken U (1) symmetry. Next, we describe the algorithm for production of the algebra of an extended supersymmetry. We determine the important connection that relates the Moutard formula with a problem of «insertion» of a new ground-state eigenvalue to the spectrum of the matrix-valued component of H. And, finally, we discuss the Moutard transformations and their viability for the higher dimensional cases when d > 2.

Ключевые слова: суперсимметрия, преобразование Мутара, квантовый гамильтониан.

Keywords: supersymmetry, Moutard transformation, quantum-mechanical Ha-miltonian.

Введение

Суперсимметричная квантовая механика реализует описание систем с двойным вырождением энергетических уровней. В случае единственной пространственной переменной (d = 1) суперсимметрия связа-

81

© Юрова А. А., Юров А. В., Юров В. А., 2018

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2018. № 1. С. 81 — 95.

82

на с одномерным методом факторизации и формализмом преобразования Дарбу (ПД) [1 — 3]. ПД связывает друг с другом два гамильтониана Но и кг.

Н0 = у+у + Е0, Н1 = уу+ + Е0,

'=I'+=-ж, (1)

где р = р(х; Е0) — решение уравнения Н0р = Е0р (опорная функция) с

фиксированным значением спектрального параметра Е = Е0. Легко видеть, что Но и Н1 сплетаются посредством у и у+:

ук0 = Н1ц, Н0 у+= у+Н1. (2)

Отсюда следует, что если у(х; Е) — это общее решение уравнения Ноу = Еу с некоторым (произвольным) значением спектрального параметра Е, то функция у(1)(х; Е) = уу является общим решением уравнения Н1у(1) = Еу(1) с тем же значением Е. Справедливо и обратное утверждение, причем у = у+уК1). Так как уф = 0, то для нахождения решений уравнения Шрёдингера с гамильтонианом Н1 и значением Е = Е0 следует вначале определить решение ф линейно независимое с опорной функцией:

ф'р-р'ф = 1, (3)

после чего подействовать на ф оператором у и найти второе, линейно независимое с уф решение. Проделав эту процедуру, легко убедиться, что общее решение уравнения Нр(1) = Е0р(1) будет иметь вид

<р(1) = ^ С йхр2 + ^. (4)

р Р

Замечательной особенностью ПД является то, что эти преобразования позволяют получать квантово-механические гамильтонианы, спектры которых совпадают с точностью до конечного числа уровней (для краткости далее в тексте под словом «спектр» мы будем понимать дискретную часть полного спектра соответствующего оператора). Теперь предположим, что мы можем решить уравнение Ноу = Еу для всех значений спектрального параметра. Несложно убедиться, что если опорная функция является знакоопределенным решением уравнения Н0ф = Еоф, то функция у(1) = уу будет принадлежать пространству квадратично интегрируемых функций I2, при условии что этому пространству принадлежит и функция у. Другими словами, ПД отображает пространство I2 само в себя, откуда прямо следует, что спектры операторов Н0 и Н1 совпадают с точностью до уровня Е0. Уровень Е0 может принадлежать спектру гамильтониана Н0. В этом случае ф будет знако-определенной, лишь если это волновая функция основного состояния Н0. При этом спектр Н1 получается из спектра Н0 вычеркиванием уровня Е0 [4]. Так как ПД обратимы, это дает возможность отталкиваясь от исходной решаемой модели (с гамильтонианом Н0) строить новые гамильтонианы с дополнительными уровнями. Например, чтобы получить

гамильтониан Н1 со спектром, содержащим нижний уровень Ео, лежащий ниже всего спектра оператора Н0, а в остальном совпадающим с ним, следует выбрать ненормируемую, всюду положительную опорную функцию ф, удовлетворяющую асимптотическим условиям

р ^ , х ^ + <х,

причем собственная функция гамильтониана Н1, отвечающая собственному значению Е = Ео, находится по формуле (4) с Сг = 0. Подробный анализ такого преобразования содержится в работе [5]. Наконец, можно обойти условие знакоопределенности опорной функции и удалять уровни целыми группами, пользуясь специальной схемой, предложенной в [5], причем нижний уровень в серии, составленной из этих групп, может быть возбужденным.

Все сказанное имеет прямое отношение к одномерной суперсимметричной квантовой механике, основанной на известных перестановочных соотношениях

[<2, н ] = [о+, н ] = о, {<2, О+} = н,

(5)

где

О = (+, О+= Ц+(, н = diag (Но - Ео, Нг - Ео), (6)

причем (г± = (( + () /2, ст12 — матрицы Паули. Отметим, что ц и ц+ — бозонные, а и (+ — фермионные операторы уничтоже-

ния/рождения. Если дискретные спектры Но и Нг отличаются на один уровень, то (5) отвечает точной суперсимметрии. Если же уровень Ео отсутствует в спектрах обоих гамильтонианов, то суперсимметрия нарушена. Легко видеть, что уровень Ео не может одновременно присутствовать в спектре Но и спектре Нг. Это означает, что если нижний уровень в спектре одномерного суперсимметричного гамильтониана равен нулю, то он невырожден.

В данной работе мы рассмотрим случай двумерный суперсимметричной квантовой механики. Операторы, удовлетворяющие алгебре (5), представляются в виде (7):

г о о о о > Г о Ц+ о ^

О = Ц1 Ц2 о о о о о о , 2+ = о о о о о о , (7)

1о Ц2 -Ц1 о V ,о о о о V

83

где

н = diag (Но - Ео, Ны - 2бш1 Ео, Нг - Ео), (8)

Но = Ц+шЦш + Н1 = ЯшЯ+ш + Ео , Нш1 = Нш1 + нш1 - Ео$ш1 , (9)

причем

Нш1 = ЦшЦ+ + Ео$ш1, нш1 = РшР+ + Ео$ш1, (1о)

ут = дт - дт (1п р), рт = еткц+, ет1 — единичный антисимметричный тензор, р = р (х1, х2; Е0) — опорная функция, дт = д / дхт, т = 1, 2 и всюду в

дальнейшем по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

В отличие от случая й = 1, между спектрами Н0 и к в общем случае нет никакой связи (связи существуют между скалярными гамильтонианами, сплетенными операторами Дарбу высшего порядка, однако классы соответствующих потенциалов весьма узки [8]). Для иллюстрации последнего утверждения рассмотрим притягивающий кулоновский _ потенциал (этот пример позаимствован из работы [4]) и = -ат-1, а > 0.

84 Несложно убедиться, что если в роли ф выбрать волновую функцию основного состояния, то и(1) = +ат 1. Таким образом, гамильтониан к вообще не обладает дискретным спектром, тогда как при й = 1 спектр Н1 должен был получиться из спектра Н0 вычеркиванием нижнего уровня. Сказанное должно прояснить то обстоятельство, что при й > 1 мы не имеем общих формул, выражающих волновые функции Н\ через волновые функции Н0, подобные одномерному случаю, так как наличие таких формул означает и наличие общих связей между спектрами Н0 и Н\. Не запрещено, однако, существование общих формул, связывающих решения у, у/(1) многомерных уравнений Шрёдингера (4) с одинаковым значением спектрального параметра. Для случая й = 2 такая формула может быть выведена при помощи преобразования Мутара (25) [9].

Замечание.

Связи между волновыми функциями гамильтонианов Н0 и Н\ возможны, когда потенциалы и и и(1) переводятся друг в друга путем подходящего выбора параметров {Ли}, от которых они зависят, то есть если

и(1) (х1, х2; 11 = и (, х2; }). Пример такого двумерного потенциала

приведен в основном тексте статьи (формула (28)).

Общие связи между спектрами существуют для пар к, Нт1 и кг, Ити Действительно, учитывая, что к можно представить в виде Н1 = р+т Рт + Е0, несложно проверить истинность соотношений сплетания:

ЧтН0 = КлЧг , РтН1 = НтгРг ,

(11)

Н0Цш = у+ Н1т , Н1 Р+т= Р+ Н1т , что и означает наличие таких связей. По этим же формулам сплетается с Н0 и Н\ оператор 1пт1. Его спектр совпадает со спектрами скалярных гамильтонианов с точностью до, быть может, уровня Е0.

В работе [7] изучалась суперсимметрия, определенная с помощью операторов (7) —(10), причем предполагалось, что р(х1, х2; Е0) — волновая функция основного состояния гамильтониана Н0. Как показано в цитируемой статье, такой выбор опорной функции приводит к тому, что уровень Е0 отсутствует в физических частях спектров Нт1 и Н\, то есть к ненарушенной суперсимметрии. Основное внимание было уде-

лено связям между спектрами Но, 1пш1 и Н1 при условии Е > Ео. В этой работе нас будет интересовать главным образом вопрос о наличии уровня Ео в спектрах этих гамильтонианов. В частности, мы обсудим задачу о добавлении уровня Ео, отсутствующего в спектре Но, к спектрам двух других гамильтонианов. Такой выбор темы обусловлен тем обстоятельством, что именно наличие или отсутствие уровня Ео в спектрах Но, Нш1 и Н1 определяет, точна или нарушена суперсимметрия в рассматриваемой модели. В первом разделе будет развит общий подход, позволяющий осуществить эту процедуру. В разделе 2 на примере радиально-симметричного потенциала мы покажем, что при специальном выборе асимптотик опорной функции могут быть реализованы 25 различных случаев «распределения уровня Ео» по спектрам Но, Нш и Н1. В тринадцати из них уровень Ео вообще отсутствует в спектрах всех гамильтонианов, что означает наличие спонтанно нарушенной суперсимметрии, а в четырех случаях суперсимметричный гамильтониан обладает двукратно вырожденным уровнем с Ео — ситуация, не встречающаяся для й = 1 в общем случае и для й > 2 при удалении уровня с помощью волновой функции основного состояния гамильтониана Но (случай, подробно исследованный в [4; 7; 1о]. Там же, используя суперполевой формализм, мы продемонстрируем, что наша модель приводит к наличию супермультиплета полей со спонтанно нарушенной !Д1) симметрией. В разделе 3 мы кратко опишем алгоритм построения й = 2 моделей расширенной суперсимметрии, обобщающий соответствующий алгоритм для одномерных моделей, предложенный в [11]. В разделе 2 демонстрируется тесная связь между задачей о добавлении уровня Ео к спектру матричной компоненты й = 2 супергамильтониана и формулой Мутара, поэтому, имея в виду возможные обобщения указанной задачи на й > 2, в разделе 4 мы демонстрируем многомерные преобразования Мутара, реализованные между волновыми функциями из пространств, объединенных в обобщенный комплекс де Рама [4].

1. Добавление уровня и преобразование Мутара

Рассмотрим уравнение Шрёдингера

Ноу = Еу,

где Но = -Д + и.

Будем называть интегрируемыми потенциалами такие функции и = и (х1, х2), для которых это уравнение может быть решено явно для

любого значения спектрального параметра Е. Пусть и — некоторый заданный интегрируемый потенциал. В отличие от одномерного случая, потенциал

и(1) = и - 2Д 1пр, (12)

85

где ф — опорная функция (Нор = Еор(, уже не является интегрируемым.

86

Предположим, что значение спектрального параметра Е0 лежит ниже энергии основного состояния гамильтониана Н0. Нас интересует следующий вопрос: какой следует выбрать опорную функцию ф, чтобы уровень Е0 появился в физической части спектров Н\ и Нт1 ?

Для скалярного гамильтониана ответить на этот вопрос не составляет труда. Действительно, легко убедиться, что функция р"1 удовлетворяет уравнению

к р = Е0 -р, (13)

р р

поэтому достаточно выбрать ф положительной для всех х1 и х2 и обладающей экспоненциальным ростом по всем направлениям на плоскости. Ситуация здесь буквально совпадает с одномерным случаем (если не рассматривать поведение возбужденных уровней).

Рассмотрим теперь матричный гамильтониан. В [4] показано, что все собственные функции Нт1, отвечающие значениям Е > Е0, строятся из собственных функций скалярных гамильтонианов Н0 и Н1 с помощью операторов ут и рт. Очевидно, что если у — второе решение уравнения Шрёдингера с Е = Е0, то функция

Ут = ЦтУ (14)

будет удовлетворять соотношению

Кт = ЕУт . (15)

Докажем, что если ут достаточно быстро убывает на бесконечности вместе со своими производными, то (14) является не только достаточным, но и необходимым условием того, чтобы ут была решением (15). В самом деле, пусть ут — нормируемое решение (15). Определим функции рт и От равенствами

рт = Нтгуг, От = ИтЩП (16)

и будем считать, что эти функции вместе с ут квадратично интегрируемы. Из (9) — (11) следует, что От + рт = 2Е0ут, то есть

(рт + От, рт + От) = 4 Е^. (17)

С другой стороны, можно убедиться, что

КН = ИткК = Е Кг , (18)

откуда

КЧ = НтгП = Е^Ут . (19)

Таким образом,

(Ут , КЧ ) = (НтУт , Ч ) = (Рт ,°т ) = Е^ . (20)

Комбинируя с (17), получаем (рш - ош, рш - ош) = о, следовательно ош = рш = Еуш. Окончательно из (16) получаем, что уш должна удовлетворять уравнениям

НшУ = ншУ = ЕУш . (21)

Осталось учесть, что из результатов работы [4] следует существование взаимо однозначного соответствия между собственными функциями операторов Нш1 и Но. Это утверждение совместно с формулой (21) завершает доказательство.

Аналогичное рассуждение справедливо и для функции, возникающей при действии рш на решение (не обязательно нормируемое) уравнения Шрёдингера с потенциалом и(1) и энергией Е = Ео. Это означает наличие нетривиальной связи между решениями ц> и отвечающих одинаковым значениям спектрального параметра (Е = Ео) и потенциалам и и и(1) из соотношения (12). Соответствующую связь легко установить, используя (21). Из этих уравнений следует, что

Ц+Уш = Т+пУш = о, (22)

то есть должны существовать две функции ц> и такие, что:

Уш = ЦУ = ршу(1), (23)

и удовлетворяющие уравнениям

Ну = Еу, Ну(1) = Еоу(1). (24)

Интегрируя (23), получаем искомую связь, которая оказывается известной формулой (или преобразованием) Мутара [9]:

у(1) = —[йхкекш (рдшу-удшр). (25)

у

Отметим, что 1-форма под интегралом в (25) замкнута.

Таким образом, формула Мутара оказывается тесно связанной с задачей построения матричной компоненты Нш1 супергамильтониана (8), в спектр которой входит уровень Ео. Можно сказать, что наличие этой формулы означает выполнение необходимого условия существования уровня Ео в спектре Нш1. Разумеется, в рассматриваемом двумерном случае это утверждение тривиально, но при й > 2 ситуация становится иной. Мы вернемся к этому вопросу в последнем разделе.

2. Радиально-симметричный потенциал

Рассмотрим случай, когда исходный потенциал обладает радиальной симметрией и = и(г) (г = ^Jх[+X2), и потребуем, чтобы аналогичным свойством обладала и опорная функция преобразования ф. Линейно независимые решения с ф и 1/ф мы обозначим ц> и (напомним, что ф и ц> — это решения уравнения Шрёдингера с потенциалом

87

88

и, а 1 / ф и — с потенциалом и(1), см. (12)). Отсюда получаем две функции, удовлетворяющие уравнению Шрёдингера с матричным потенциалом 1пт1 и значением Е = Е0:

ут = Цту = , фт = рУ1 = ^тХ^. (26)

Г р г

Выше мы предполагали, что фиксирован интегрируемый потенциал и(г), отвечающий гамильтониану И0, а опорная функция ф подбирается таким образом, чтобы уровень Е0 присутствовал или нет в спектрах

Нт1 и Н1. Можно поступить и иначе, то есть задать явный вид опорной функции, после чего прямой подстановкой в уравнение Шрёдингера найти потенциалы и и и(1). Пусть регулярная при г Ф 0, всюду положительная функция ф принимает следующие асимптотические значения: р ^ г" при г ^ж и р ^ гь при г ^ 0. В этом, простом, случае вопрос о

наличии уровня Е0 в спектрах трех гамильтонианов Н0, Нт1 и Н1 может быть исследован до конца. Результаты такого исследования удобно представить в виде таблицы.

Нахождение уровня Б0 в спектрах компонент супергамильтониана при соответствующих асимптотических условиях

Область изменения параметра Ь Область изменения па раметра а

1. (-ж;-1) 2. (-1; 0] 3. а = 0 4. (0; 1] 5. (1; +<х>)

1. (-ж; -1] 0 0 0 Кг Кг / К

2. (-1;0) к0 0 0 Кг Кг / К

3. Ь = 0 К 0 0 0

4. (0; 1) Кг, К Кг 0 0

5. [1; +<х>) Кг, К Кг 0 0 0

В первой строке указана область изменения параметра а, а в первом столбце — параметра Ь. В клетках вписаны гамильтонианы, в спектре которых имеется уровень Е0, при соответствующих значениях параметров а и Ь. Значок 0 означает, что этот уровень отсутствует в спектрах всех трех гамильтонианов.

Эта таблица пригодна и для обычных в приложениях случаев, когда функция меняется не по степенному, а по показательному закону. Например, волновая функция основного состояния (с энергией Е0) для регулярных потенциалов степенного типа убывает на бесконечности экспоненциальным образом и не обращается в нуль в начале координат. Этому соответствует клетка (3; 1) (с Ь = 0 и а £ (- ж; - 1)) в нашей таблице. Отсюда видно, что в этом случае уровень Е0 присутствует только в спектре скалярного гамильтониана Н0, в согласии с результатами работы [4].

Комментируя таблицу, отметим, что из всех 25 вариантов в 13 случаях суперсимметрия спонтанно нарушена (клетки со значком 0), а среди остальных 12 имеются 4 случая, когда уровень Е = 0 супергамильтониана (8) по крайней мере двукратно вырожден.

Поясним последнее обстоятельство. Спектр суперсимметричного гамильтониана (8) состоит из уровней

{Е, - Е0, Е(1) - Е0},

где Е{, Е(1) — уровни дискретных спектров Н0 и Н соответственно. Выберем ф такой, чтобы выполнялись асимптотические условия (1; 5) или (2; 5) в таблице. В результате в спектре (8) появляется двукратно вырожденный уровень Е0, которому отвечают собственные функции

Т г =

Используя явный вид нечетных суперсимметричных операторов (7), можно убедиться, что известные соотношения для волновых функций, отвечающих нулевому уровню,

ОТ 1,2 = О+Т 1,2 = 0

удовлетворяются.

В качестве примера выберем р = ехр(аг) / гк, где а, к > 0. Такая функция удовлетворяет требуемому асимптотическому поведению. В результате получаем два скалярных потенциала, соответствующих гамильтонианам Н0 и Нг:

и =-г-

к2 а(2к -1)

и(1) =

к2 а(2 к +1)

( 0 > ( 0 >

0 0 %-уТ -2р-1 х2 г -2р-1 1 0 V

, Т 2 = . (27) 89

( V

(28)

Добавленный уровень соответствует энергии Е0 = -а2. В этом несложно убедиться, заметив, что эти потенциалы интегрируются с помощью гипергеометрических функций. Дискретные спектры определяются формулами

ЕЫ т =-

а2(2к +1)2

11 + 2

(29)

N + >/ т2 + к2 к и(1), N — главное, а т — магнитное

где знак «-» относится к и, «+» квантовое число.

Построенные потенциалы интересны с той точки зрения, что на их примере можно рассмотреть качественное отличие многомерных преобразований Дарбу от их одномерного аналога. В частности, сравнение спектров гамильтонианов Н0 и Н1 показывает, что добавление нижнего уровня сдвигает весь спектр. Если рассмотреть потенциалы (28), то видно, что уровни гамильтониана Н1 смещаются вниз по отношению к уровням Н0. Это смещение максимально в нижней части ямы и убывает как 1 / N в верхней части спектра. В свою очередь, спектр суперсимметричного гамильтониана (8) вырожден двукратно, включая уровень Е = 0. Его нормируемые вакуумные волновые функции даются выражениями (27) после подстановки явного вида ф.

В работе [7] показано, что д-мерную суперсимметричную квантовую механику можно рассматривать как (0 + 1)-мерную теорию д-ком-понентного суперполя. Интересно рассмотреть с полевой точки зрения описанную модель с вырожденным нулевым уровнем. Соответствующий лагранжиан имеет вид [7]

^■=-^(дх)2 + 2Угу --1 (да(х))2 -2 (дтХ(х))щУт, (30)

где х = (х(£), у(0), — двухкомпонентный спинор, %(х ) = - 1пр — суперпотенциал, ф — опорная функция, д = у0д, у0 = ст1, у1 = ¿ст2, у = у+у0, г = 1, 2. Скалярные поля хг вещественны, а фермионное поле майорано-

во: у = ус = СуТ, С = ст2. После перехода к гамильтоновскому формализму и канонического квантования получается квантовый суперсимметричный гамильтониан, который в координатном представлении совпадает с оператором (8).

Очевидно, что третий член, описывающий взаимодействие скалярных полей, спонтанно нарушает и(1) симметрию, если суперпотенциал радиально симметричен. Подставим явный вид нашей опорной функции в (30) и перейдем к новым полевым переменным

х^) = г^) со8( в (*)), уф = г^) вт( в (*)).

Потенциальная энергия скалярных полей минимизируется при г = г0 = к/а. Раскладывая два последних члена в (30) около точки г0 и переходя к сдвинутому полю Я(£) = г(Ь) - г0, получаем систему из одного массивного (с массой т = а2/ к) скалярного поля (К), годстоуновского бозона (в) и двух безмассовых фермионов.

3. Расширенная суперсимметрия

В предыдущем разделе мы показали, как построить двумерный суперсимметричный гамильтониан с двукратно вырожденным уровнем Е = 0. Можно получить и модели, в которых все уровни (включая нулевой, если он принадлежит спектру) вырождены многократно. Такая ситуация реализуется в моделях расширенной суперсимметрии:

{<2, Qk} = б1ки, Н] = 0, I, к = 1, ..., N. (31)

Одномерная расширенная суперсимметричная квантовая механика, основанная на технике преобразования Дарбу, исследовалась в работе [11]. В этом разделе мы покажем, как можно реализовать соответствующую алгебру в случае й = 2 (см. также [12]).

Рассмотрим два супергамильтониана: Н1 = Н из (8) и Н, определенный соотношением

Н = ^ (к - Е0, Кг - 2дт1Е0, К - Е0). (32)

Оператор кт1 отличается от 1гт1 тем, что сплетается с к1 не операторами рт, а дуальными к ним ±^т . Соответственно, его спектр совпадает

со спектром Нт1, кроме, возможно, уровня Е0. Отметим, что такие «эквивалентные по спектру» матричные операторы уже рассматривались в работе [10].

Нам потребуются еще три оператора: 01 = 0 из (7) и

( 0 0 0 0 А Г 0 42 -41 0 1

-4+ 0 0 0 , в = 41 0 0 42+

4+ 0 0 0 0 0 -4+

10 -4+ 42 0 V 10 -4+ -4+ 0 V

02 =

удовлетворяющие перестановочным соотношениям

0+ в+В0+ = 02в+ВО! = вщ - н2в = 0, Н = {0+, } = в+в, н2 = {02+, 02} = вв+.

Можно убедиться, что операторы

Н [2] = ^ (н, н2), 01 [2] = ^ (01, 02),

'0 0Л

02[2]=

в 0

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

образуют алгебру (31) при N = 2.

Введенные операторы являются исходными блоками для построения матриц расширенной суперсимметрии для любого натурального N. Так, на следующем шаге следует найти оператор А, факторизующий суперсимметричный гамильтониан Н[2]. Этот оператор имеет блоч-но-диагональный вид:

А = ^ (в, в+). (38)

Оператор А сплетает Н[2] с АА+, поэтому естественно объединить их в новый супергамильтониан с удвоенной матричной размерностью. При этом структура 01[3] повторяет структуру Н(3), 02[3] получается из 0г[2] формальной заменой В ^ А и возникает еще один супергенератор 0э[3]:

0э [3] =

Г 0 0 0 0 А

в 0 0 0

0 0 0 0

,0 0 -в+ 0 V

(39)

Операторы Н(3) = diag(A+A, АА+) и 0к[3], к = 1, 2, 3 реализуют алгебру расширеной суперсимметрии при N = 3. На №м шаге супергамильтониан

Г в+в^ 0 А

Н ^ ] =

N N 0

0

^^ V

(40)

факторизуется операторами BN+1 = diag( BN, в+). В свою очередь, Н^ + 1], вк^ + 1], (к < N определяются заменой BN ^ BN+l и добавлением нового

91

92

оператора 0^1 + + 1] с новой матричной структурой. На каждом шаге размерность матриц удваивается, поэтому соответствующая алгебра реализуется матрицами 2№1 * 2№1. Например, при N = 4 будет четыре оператора 0;[4] размерности 32* 32 и такой же супергамильтониан Н[4]:

Н [4] = diag} (Н1, Н2, Н2, Н1, Н2, Нь Нь Н2), (41)

01[4] = diag} (01, 02, 02, 01, 02, 01, 01, 02),

(42)

05[4]=

( 0 0 0 0 0 0 0 0 А

в 0 0 0 0 0 0 0

в 0 0 0 0 0 0 0

0 в+ -в+ 0 0 0 0 0

в 0 0 0 0 0 0 0

0 в+ 0 0 -в+ 0 0 0

0 0 в+ 0 -в+ 0 0 0

V 0 0 0 в 0 -в в 0 V

(43)

причем в = 2, 3, 4 и элементы трех соответствующих операторов лежат под главной диагональю матрицы (43) параллельно ей. Если в качестве исходной скалярной модели взять рассмотренный в предыдущем разделе потенциал, то очевидно, что все уровни, включая нулевой, будут вырождены с кратностью 2^

4. Преобразования Мутара в высших измерениях

В первом разделе была продемонстрирована тесная связь между процедурой «добавления» уровня к спектру матричного гамильтониана кт1 и формулой Мутара, а во втором обсуждалась эта процедура для радиально-симметричных потенциалов. Ясно, что для несимметричных потенциалов подобное исследование провести гораздо сложнее. С новыми трудностями приходится сталкиваться и в моделях с й > 2. Вместо трех гамильтонианов (двух скалярных и одного матричного) возникает цепочка матричных операторов [4]

Н0 о Н(1) + Н(1) о... о Н(й-1) + Н(й-1) о Н1. (44)

Каждый оператор имеет матричную размерность Ст х Ст, т = 0, ..., й,

Ст =-—-. Собственные функции операторов Н(т) и НМ связаны с

т!(— - т)!

собственными функциями соответствующих операторов Н(т-1), Н(т+1), а Н(т)= Н(т) + Н(т)- 1Е0 (I — единичная матрица) имеет вид обычного, квантово-механического гамильтониана. Операторы Н(т) и Н(т) факто-ризованы, соответственно, операторами 4(т-1), (4т-1))+ и (4(т))+, 4(т) и существует естественный гомоморфизм пространств антисимметричных волновых функций в пространства внешних дифференциальных

форм. Операторы при этом становятся универсальными операторами типа внешнего дифференцирования, а описанный комплекс является обобщением комплекса де Рама [4].

Подобно двумерному случаю, разобранному в разделе 1, можно показать, что уровень Ео (значение спектрального параметра опорной скалярной функции й переменных, с помощью которой строится цепочка (44)) присутствует в спектрах гамильтонианов Н(т), если и только если он присутствует в спектрах Н ' и

Н(т) (при достаточно быстром убывании соответствующей собственной функции). В свою очередь, это приводит к необходимости существования связей между (не обязательно нормируемыми) решениями уравнений на собственные значения операторов Н(т) и Н<т+2) при Е = Е0. Оказывается, такие связи действительно существуют в требуемом количестве (д - 1). Целесообразно назвать их многомерными формулами (или преобразованиями) Мутара. Ограничимся обсуждением модели с й = 3. В этом случае элементы цепочки (44) имеют вид

= + Е0$т1 , = РткР++1 + Е0^т1 ,

Нй = р+шкрл + Е05м, НЫ = Ч+тЧ, + Е05м, (45)

Рт1 = ет1к1к .

(46)

Пусть

МУ =МР1 =( п1у(1))(у(1))~1 = Ео, н}У}) = ЕУЫ), н}ф} ) = ЕоФИ),

где верхний индекс принимает значения } = 1, 2. Трехмерные формулы Мутара связывают пары функций у, У и фф1*1, у(1) :

т/ + ^ткп дк(п ) , (47)

У'(ру/(1))

где 1 = Г й3х'—-—5—-, £ = | г - г' |, /(г) — произвольная дифференцируе-•>

мая функция и все подинтегральное выражение зависит от г' (кроме £). Обратное к (47) преобразование определяется формулой

у(1) =

Р^

1

-|г ^тРгРхФ^Х , (48)

где Г — контур интегрирования. Аналогично

У =-+ ^т ), ] = | й3 (49)

и

йХт^^ <2)

'Г Р

у = йхт ВткЛУ п . (5о)

93

Подчеркнем, что, как и в формуле (25), 1-форма под интегралом в (48) и (50) замкнута.

Аналогичные формулы можно получить и при d > 3. Отметим, что в четномерных пространствах возникает дополнительная специфика, позволяющая объединять с помощью многомерных формул Мутара волновые функции гамильтонианов одинаковой матричной размерности, а именно Cd+х C1 ddl. В частном случае d = 2 мы имеем обычные преобразования Мутара между скалярными гамильтонианами.

Введенные выше преобразования позволяют разработать технику построения многомерных супергамильтонианов с точной и нарушенной суперсимметрией, а также супергамильтонианов с вырожденным уровнем E = 0. Исследование соответствующих моделей будет представлено в отдельной работе.

Заключение

Мы рассмотрели задачу построения d = 2 суперсимметричных гамильтонианов с точной (в том числе с вырожденным уровнем E = 0) и нарушенной суперсимметрией. Оказалось, что задача «добавления нижнего уровня» тесно связана с формулой Мутара. Показано, что можно получить формулы, обобщающие двумерное преобразование Мутара при d > 2. В заключение отметим два открытых вопроса, которые связаны с дальнейшим развитием метода многомерной факторизации и приложений многомерных преобразований Мутара.

1. Как уже говорилось, существует естественный гомоморфизм пространств волновых функций в пространства внешних дифференциальных форм. В то же время известно, что лишь дифференциальные формы являются полями, на которых можно определить не зависящий от выбора метрики дифференциальный оператор, а именно оператор внешнего дифференцирования. Возникает естественный вопрос: нельзя ли реализовать обобщенный комплекс де Рама, описанный в предыдущем разделе, используя лишь язык дифференциальных форм и операторы (прямой и сопряженный) внешнего дифференцирования? При этом все основные свойства комплекса будут зависеть лишь от топологии соответствующего многообразия и не будут зависеть от метрики.

2. Преобразования Мутара выражаются с помощью замкнутых 1-форм. Если допустить наличие особенности у потенциала u и, соответственно, у опорной функции, то такие формы, оставаясь замкнутыми, уже не будут точными. Интересно выяснить, как связано общее число таких преобразований Мутара с первым (поскольку в этих преобразованиях участвуют 1-формы) числом Бетти для данного многообразия, то есть с размерностью первой группы его когомологий.

Список литературы

1. Darboux G. Theörie generale des surfaces. N. Y., 1972.

2. Infeld L., Hull T. E. The Factorization Method // Rev. Mod. Phys. Vol. 23. 1951. Р. 21.

3. Beckers J., Debergh N. Parastatistics and supersymmetry in quantum mechanics // Nucl. Phys. 1990. Vol. 340. P. 767-776.

4. Андрианов А. А., Борисов Н. В., Иоффе М. В. Метод факторизации и преобразование Дарбу для многомерных гамильтонианов // Теоретическая и математическая физика. 1984. Т. 61, № 2. С. 183 — 198.

5. Березовой В. П., Пашнев А. И. Суперсимметричная квантовая механика и перестройка спектров гамильтонианов // Теоретическая и математическая физика. 1987. Т. 70, № 1. С. 146 — 153.

6. Адлер В. Э. О модификации метода Крама // Теоретическая и математическая физика. 1994. Т. 101, № 3. С. 323 — 330.

7. Андрианов А. А., Борисов Н. В., Иоффе М. В., Эйдес М. И. Суперсимметричная механика: новый взгляд на эквивалентность квантовых систем // Теоретическая и математическая физика. 1984. Т. 61, № 1. С. 17—28.

8. Андрианов А. А., Иоффе М. В., Нишнианидзе Д. Н. Полиномиальная суперсимметрия и динамические симметрии в квантовой механике // Теоретическая и математическая физика. 1995. Т. 104, № 3. С. 463 — 478.

9. Верещагин М. Д., Верещагин С. Д., Юров А. В. Трехмерное преобразование Мутара // Математическое моделирование. 2006. Т. 18, № 5. С. 111 — 125.

10. Andrianov A.A., loffe M. V. Nonlinear Supersymmetric Quantum Mechanics: concepts and realizations // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2012. Vol. 45, № 50.

11. Березовой В. П., Пашнев А. И. Одномерная расширенная суперсимметричная квантовая механика // Теоретическая и математическая физика. 1989. Т. 78, № 2. С. 289—296.

12. Юров А. В. Преобразование Дарбу в квантовой механике : учеб. пособие. Калининград, 1998.

Об авторах

Алла Александровна Юрова — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининградский государственный технический университет, Россия.

E-mail: AIUrova@kantiana.ru

Артем Валерьянович Юров — д-р физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия.

E-mail: AIUrov@kantiana.ru

Валериан Артемович Юров — канд. физ.-мат. наук, PhD по математике, ст. науч. сотр., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия.

E-mail: vayt37@gmail.com

The authors

Dr Alla Yurova, Associate Professor, I. Kant Baltic Federal University, State Technical University, Russia.

E-mail: AIUrova@kantiana.ru

Dr Artem Yurov, Professor, I. Kant Baltic Federal University, Russia.

E-mail: AIUrov@kantiana.ru

95

Dr Valerian Yurov, senior researcher, I. Kant Baltic Federal University, Russia. E-mail: vayt37@gmail.com