CC BY
34
УДК 519.72
ДВУХЦЕЛЕВАЯ ПРОГРАММА РАЗВИТИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ РЕГИОНА
О.И. Дранко
Рассматривается задача формирования двухцелевой программы развития предприятий, обеспечивающей достижение обеих целей программы с минимальными затратами. Состояние программы оценивается двумя интегральными критериями - комплексными оценками, формируемыми на основе системы матричных сверток. Задача заключается в отборе в программу проектов, обеспечивающих требуемые значения комплексных оценок с минимальными затратами. Для решения задачи предлагается метод ветвей и границ с получением нижних оценок на основе метода сетевого программирования
Ключевые слова: задача, метод, программа, цели
Введение
Разработка программ развития предприятия требует описания объекта управления, определения основных (существенных) факторов, характеризующих состояние предприятия, оценки этих факторов, создания механизмов разработки и реализации программы развития. Решение этих задач сталкивается с трудностями, предопределенными особенностью объекта управления.
Одной из основных задач при разработке программ развития предприятия является оценка социально-экономического состояния региона, как существующего, так и желательного. Действительно, чтобы управлять необходимо в первую очередь оценить, где мы находимся, и куда хотим попасть. В последнее время большое распространение для построения комплексных оценок объектов самого различного типа получил подход, основанный на использовании дерева целей. На основе этого дерева строится многошаговая процедура агрегирования. Причем на каждом шаге производится агрегирование только двух оценок (дихотомическое представление дерева целей) [1].
В статье рассматривается задача формирования программы развития с учетом двух целей (двух систем комплексного оценивания) - предприятия и региона, в котором расположено предприятие.
Постановка задачи для случая одной цели
Рассмотрим задачу формирования программы развития предприятия, обеспечивающей требуемое значение комплексной оценки с минимальными затратами, в которой применяется четырехоценочная шкала (1 - плохо, 2 - удовлетворительно, 3 - хорошо, 4 - отлично). Примем, что задана процедура формирования комплексной оценки программы. Программа оценивается по т критериям. Обозначим 8% минимальное (граничное) значение /-го критерия, которому соответствует оценка ] ( = 1,2,3,4). Таким образом, если значение критерия у лежит в полуинтервале
Дранко Олег Иванович - ИПУ РАН, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. (495) 334-79-00
< У, < 8у+1,
то оценка по соответствующему направлению равна /
Имеется п проектов - претендентов на участие в программе. Каждый проект характеризуется затратами ек и показателями эффекта ак1 вклад к-го проекта в г-ый критерий. Обозначим хк = 1, если к-й проект включен в программу, хк = 0 в противном случае. Предполагая, что эффекты суммируются, получаем, что увеличение ,-го критерия в результате реализации программы составит
АУ, =Еак,хк (1)
к
а соответствующая оценка по ,-му направлению равна
м =в(у, )=в{у/ + 4у) (2)
где у0 начальное значение /-го критерия, в - преобразование численного значения критерия в дискретную (качественную) шкалу. Суммарные затраты на реализацию программы составят
С(х)=£ екхк . (3) /
Обозначим К(1) - комплексную оценку программы при оценках направлений
J ^ j2,"', ]т )
Задача. Определить множество проектов, обеспечивающих К(1) = КТ при минимальных затратах (3). Задача относится к сложным задачам дискретной оптимизации.
Рассмотрим ситуацию, когда для каждого направления / существует свое множество проектов
Qi, / =1, т, причем эти множества не пересекаются. В этом случае существует эффективный алгоритм решения задачи.
1 шаг. Решаем т задач о ранце для каждого критерия: минимизировать
С, (х)= Е екхк (4)
при ограничении
Еакхк ^8г 4 - У0 =Д/4 (5)
кeQi
Как известно, решение задачи о ранце при правой части ограничения Д-4 дает оптимальные
решения и для всех меньших значений правой части, то есть для Д 3 Д- 2 и Д 1. Обозначим - минимальные затраты, требуемые для достижения оценки J по г-му критерию.
2 шаг. Поскольку структура формирования комплексной оценки является деревом, то решаем задачу, последовательно решая для каждой матрицы процедуры комплексного оценивания задачу с двумя переменными.
Двухцелевая система комплексного оценивания
Большие программы, как правило, отражают интересы различных органов. Так, программы развития предприятий отражают интересы как самих предприятий, так и органов власти региона, в котором находятся предприятия. Понятно, что эти интересы, как правило, не совпадают. Примем, что имеются две системы комплексного оценивания, отражающие интересы двух органов власти. Пусть заданы требуемые значения комплексных оценок К1 и К2, соответственно, для первой и второй системы комплексного оценивания.
Задача 1. Определить вариант программы, обеспечивающий значения комплексных оценок не менее требуемых с минимальными затратами.
Для получения нижних оценок разделим затраты с, на две части uij и у у
Щ + Vij = ср (6)
Получаем две оценочные задачи.
Задача 2. Определить вариант программы, обеспечивающий комплексную оценку не менее К1 (по первой системе комплексного оценивания) и минимизирующий
и = Е и, (7)
Иг
г
где- оценка варианта по г-му направлению.
Задача 3. Определить вариант программы, обеспечивающий комплексную оценку не менее К2 (по второй системе комплексного оценивания) и минимизирующий
V =Е Уу (8)
г
где - оценка варианта по г-му направлению.
Если обозначим П(и) значение (27) в оптимальном решении первой задачи, П(у) - значение (38) в оптимальном решении второй задачи, то оценка снизу минимальных затрат для исходной задачи равна
Г(иу) = П(и) + V(v) (9)
Двойственная задача. Определить и и у, удовлетворяющие (6), так чтобы Е(иу) была максимальной.
В работе [2] доказано, что это задача выпуклого программирования.
Опишем основной шаг алгоритма решения двойственной задачи. Пусть при заданных и и у получены оптимальные решения первой и второй задачи {/} к = 1,5 , {/}, к = 1,/ , где 5 - число решений первой задачи, t - число решений второй задачи. Обозначим - изменение переменной им и соответственно (^у) - изменение переменной У,.
Предполагаем, что Zj такое что, оптимальные решения первой и второй задачи остаются оптимальными. В первой задаче величина U(u) изменяется на
Л(z) = min Z Zijxtj k ij
Во второй задаче величина V(v) изменится
на
S(z) = - max Z zij ykj
k ij
Суммарное изменение нижней оценки F(u,v) составит
Л(z) + S( z) = min Z Zij xkij - max Z Zij yk
k i, j k i, j
Для того чтобы оценку (4) можно было увеличить необходимо и достаточно, чтобы существовало ненулевое решение неравенства
min Z zij xkij > max Z zt] yij (1°)
k i, j k i, j
Неравенство (10) сводится к системе линейных неравенств
Zzyxfj >Zzy-yij, q=1,5, k = 1, t
i, j i, j
Заметим, что решение z этой системы инвариантно к умножению на любое положительное число. Выбор конкретных значений {zj} определяется из условий появления новых решений хотя бы для одной задачи. Иллюстрацию работы алгоритма проведем на простом примере программы из двух направлений, каждое из которых оценивается по четырехбальной шкале.
Пример. Поскольку направлений всего два, то каждая из комплексных оценок определяется одной матрицей. Эти матрицы приведены ниже.
Из этих матриц видно, что в первой системе комплексного оценивания приоритет имеет второе направление, в то время как во второй системе комплексного оценивания приоритет имеет первое направление. Затраты на подпрограммы по направлениям приведены ниже. ______________________
'^'^■^.Оценка Направление"-^^
1 0 0 0 0
2 0 0 00 60
Примем требуемые значения комплексной оценки не менее 3 по обоим направлениям.
1 шаг. Возьмем иу = Уу = 0,5 еу для всех (/у). Решение первой задачи
4;80 3;90 3; 100 4; 110 4;120
3;50 2;60 3;70 3;80 3;90
2;30 2;40 2;50 2;60 3;70
1;20 1;30 1;40 1;50 2;60
X 1; 10 2;20 3;30 4;40
Имеем х1 = (2;3), х2 = (4;2), П(и) = 70. Решение второй задачи
4;80 2;90 3; 100 3;110 4;12 0
3;50 1;60 2;70 3;80 4;90
2;30 1;40 2;50 3;60 3;70
1;20 1;30 2;40 2;50 3;60
1;10 2;20 3;30 4;40
Решение второй задачи
У1 = (3;2), У2 = (4;1), V(v) = 60 Оценка снизу Е(иу) = 70 + 60 = 130.
2 шаг. Составляем неравенство
тт(212 + 223; 214 + 222) > тах(213, + 222;
214 +22\)
Преобразуем это неравенство в систему линейных неравенств
212 + 223 > 213 + 222 + 8
212 + 223 > 214 + 221 + 8 214 > 213 + 8
222 > 221 + 8
где 8 > 0. Одно из решений этой системы
213 = 0, 221 = 0, 212 = 8, 214 = 8,
222 = 8, 223 = 8.
Возьмем 8 = 5.
Решение первой задачи.
4;80 3;90 3; 105 3; 110 4;125
3;55 2;65 3;80 3;85 3; 100
2;35 2;45 2;60 2;65 3;80
1;20 1;30 2;45 2;50 2;65
1; 10 2;25 3;30 4;45
Имеем
х1 = (2;3), х2 = (4,2), П(и) = 80. Решение второй задачи.
4;80 2;90 3;95 3; 110 4; 115
3;45 1;55 2;60 3;75 4;80
2;25 1;35 2;40 3;55 3;60
1;20 1;30 2;35 2;50 3;55
1; 10 2; 15 3;30 4;35
Имеем
У = (3;2), у2 = (4,1) V(v)= 55.
Оценка снизу Е(и,у) = 80+55=135.
Оптимальные решения не изменились, однако, оценка увеличилась на 5.
3 шаг. Поскольку оптимальные решения остались прежними, то и решение системы неравенств осталось прежним. Возьмем 8 = 5.
Решение первой задачи.
4;80 3;90 3; 110 3; 110 4; 130
3;60 2;70 3;90 3;90 3; 110
2;40 2;50 2;70 2;70 3;90
1;20 1;30 1;50 1;50 3;70
1; 10 2;30 3;30 4;50
Оптимальные решения: х1 = (2;3),
х2 = (3,3), х3 = (4, 2), и(и) = 90.
Решение второй задачи.
4;80 2;90 3;90 3; 110 4; 110
3;40 1;50 2;50 3;70 4;70
2;20 1;30 2;30 3;50 3;50
1;20 1;30 2;30 2;50 3;50
1; 10 2; 10 3;30 4;30
Оптимальные решения:
.у1 = (3;2), у2 = (4,2), у3 = (4, 1), V(v) = 50, Е(и,у) = 140.
Заметим, что существует общее оптимальное решение для обеих задач: х3 = у2 = (4;2).
Поэтому это решение является оптимальным для исходной задачи. При отсутствии общего решения применяем метод ветвей и границ.
Метод ветвей и границ целесообразно применить и в том случае, если решение двойственной задачи требует многих итераций (с решением на каждой итерации системы линейных неравенств). Дело в том, что с каждой следующей итерацией число неравенств, как правило, увеличивается, а приращение оценки уменьшается. Ограничимся для иллюстрации в примере только двумя шагами с оценкой 135.
1 шаг. Разделим множество всех решений на два подмножества. В первом подмножестве оценка по первому направлению не больше 2, а во втором - больше 2.
Оценка первого подмножества.
Исключая из таблицы третий и четвертый столбец получаем, что решение первой задачи
х1 = (2, 3) с той же оценкой
и(и) = 80.
Однако, для второй задачи, исключая третий и четвертый столбцы из таблицы, получаем другое решение:
у1 = (2, 4) с оценкой П(у) = 95.
Оценка снизу ¥(и, у) = 175.
Оценка второго подмножества.
Исключая из таблицы первый и второй столбцы получаем решение:
х1 = (4, 2) с оценкой и(и) = 80.
Исключая первый и второй столбцы из таблицы, получаем те же решения:
у1 = (3, 2), у2 = (4, 1) с оценкой
П(у) = 55.
Оценка снизу ¥(и, у) = 135.
Выбираем второе подмножество с минимальной оценкой.
2 шаг. Разделим множество решений второго подмножества на два подмножества. В первом подмножестве оценка по второму направлению не больше 2,а во втором - больше 2. Оценка первого подмножества равна ¥(и, у) = 135. Оценка второго подмножества равна ¥(и, у) = 160. Выбираем первое подмножество.
Замечая, что оценка по первому направлению не может равняться 3, а по второму - не может равняться 1, получаем единственное оптимальное решение (4, 2) с величиной затрат 140.
Литература
1. Бурков В.Н., Буркова И.В., Губко М.В., Дино-ва Н.И. и др. Механизмы управления: Мультифункцио-нальное учебное пособие / Под ред. чл.-к. РАН Д.А. Новикова - М.: Ленанд, 2010. - 192 с.
2. Буркова И.В. Метод сетевого программирования в задачах нелинейной оптимизации. - Автоматика и телемеханика. - 2009. № 10.
Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН (г. Москва)
THE DUAL-PURPOSE PROGRAM OF DEVELOPMENT OF THE ENTERPRISES OF REGION
O.I. Dranko
The problem of formation of the dual-purpose program of development of the enterprises, providing achievement of both purposes of the program with the minimal expenses is considered. The condition of the program is estimated by two integrated criteria - the complex estimations formed on the basis of system of matrix convolutions. The problem consists in selection in the program of the projects providing demanded values of complex estimations with the minimal expenses. For the decision of a problem the method of branches and borders with reception of the bottom estimations on the basis of a method of network programming is offered
Key words: a problem, a method, the program, the purposes
