CC BY
31
УДК 681.3
КОМПЛЕКСНАЯ ОЦЕНКА В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ПРОГРАММАМИ
П. А. Колесников, И.Ф. Набиуллин, Б.К. Уандыков
Рассматривается задача оптимизации программы по стоимости при ограничении на значения комплексных оценок, отражающих интересы различных органов. Для решения задачи предложен метод сетевого программирования. Сформулирована двойственная задача и доказана ее выпуклость
Ключевые слова: задача, программа, оценка, управление
Введение
Во многих случаях программы имеют несколько целей (экономические, экологические, социальные и т.д.).* Для согласования этих целей формируются комплексные оценки. Широкое распространение получил метод формирования комплексных оценок на основе матричных сверток.
В работах [1, 2] рассмотрена задача минимизации стоимости программы, обеспечивающей требуемое значение комплексной оценки.
Предполагается, что заданы затраты Су, требуемые для достижения оценки у по направлению
I, I = 1, п, у =1, т. В работе рассматривается ситуация, когда заданы две системы комплексного оценивания, отражающие интересы различных органов.
Постановка задачи
Большие программы, как правило, отражают интересы различных органов. Так, например, программы реформирования предприятий отражают интересы как самих предприятий, так и органов власти региона, в котором находятся предприятия. Программы регионального развития отражают интересы как региона, так и федеральных органов власти. Понятно, что эти интересы, как правило, не совпадают. Примем, что имеются две системы комплексного оценивания, отражающие интересы двух органов власти. Пусть заданы требуемые значения комплексных оценок К1 и К2, соответственно, для первой и второй системы комплексного оценивания.
Задача. Определить вариант программы, обеспечивающий значения комплексных оценок не менее требуемых с минимальными затратами.
Для получения нижних оценок разделим затраты су на две части иу и Уу
и,у + Уу = с у (1)
Получаем две оценочные задачи.
Задача 1. Определить вариант программы, обеспечивающий комплексную оценку не менее К1
Колесников Павел Анатольевич - ИПУ РАН, аспирант, тел. (495) 334-79-00
Набиуллин Ильгиз Фнунович - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07
Уандыков Берик Кусманович - ИПУ РАН, канд. техн. наук, докторант, тел. (495) 334-79-00
(по первой системе комплексного оценивания) и минимизирующий
и = £ иш (2)
г
где- оценка варианта по /-му направлению.
Задача 2. Определить вариант программы, обеспечивающий комплексную оценку не менее К2 (по второй системе комплексного оценивания) и минимизирующий
V =Е у« (3)
г
где- оценка варианта по /-му направлению.
Если обозначим Щи) значение (2) в оптимальном решении первой задачи, П(у) - значение (3) в оптимальном решении второй задачи, то оценка снизу минимальных затрат для исходной задачи равна
¥(и,у) = П(и) + V(v) (4)
Двойственная задача. Определить и и у, удовлетворяющие (1), так чтобы ¥(и,у) была максимальной.
Теорема. Двойственная задача является задачей выпуклого программирования.
Доказательство. Пусть и V и и2,у2 -два решения двойственной задачи. Рассмотрим их выпуклую линейную комбинацию.
и
и = я и+ (1-Я)
у= Я у1+(1- Я
Имеем
її (и, у)=и (я и1 + (1-Я)и 2)
+
+
>Яи ()+(1-Я)и (и 2)+
+Я¥ ()+(-Я)У ( 2) =
= 4у [)+ V (!)] +
+ (1 -я) (и 2)+ V V 2)] =
= Я^ (иУ)+(1 -я) (и 2 V2)
Теорема доказана.
Опишем основной шаг алгоритма решения двойственной задачи. Пусть при заданных и и у получены оптимальные решения первой и второй задачи {X} к = 1,£, {/}, к = 1,(, где £ - число решений первой задачи, / - число решений второй задачи. Обозначим - изменение переменной и у, и
соответственно (-Ху) - изменение переменной Уу.
Предполагаем, что Zjj такое что, оптимальные решения первой и второй задачи остаются оптимальными. В первой задаче величина U(u) изменяется на
Л( z) = min 2 Zijxlj
k ij
Во второй задаче величина V(v) изменится на
8(z)=- max 2 zv ук
к У
Суммарное изменение нижней оценки F(u,v) составит
Л( z) +^(z) = min 2 Zijx,j- max 2 zijyv к i,j k i,j
Для того чтобы оценку (4) можно было увеличить необходимо и достаточно, чтобы существовало ненулевое решение неравенства
min 2 zjxkj > max 2 z^y^. (5)
к iJ k iJ
Неравенство (5) сводится к системе линейных неравенств
2zyxq >2ZyУj, q = 1,^ к = 1 t
i,j i,j
Заметим, что решение z этой системы инвариантно к умножению на любое положительное число. Выбор конкретных значений {z,j} определяется из условий появления новых решений хотя бы для одной задачи. Иллюстрацию работы алгоритма проведем на простом примере программы из двух направлений, каждое из которых оценивается по четырехбальной шкале.
Пример. Поскольку направлений всего два, то каждая из комплексных оценок определяется одной матрицей. Эти матрицы приведены ниже.
Из этих матриц видно, что в первой системе комплексного оценивания приоритет имеет второе направление, в то время как во второй системе комплексного оценивания приоритет имеет первое направление.
Затраты на подпрограммы по направлениям приведены ниже.
Оценка Направление""^^-^ 1 2 3 4
1 20 40 60 80
2 40 60 100 160
Примем требуемые значения комплексной оценки не менее 3 по обоим направлениям.
1 шаг. Возьмем иу = Уу = 0,5 Су для всех (/у). Решение первой задачи
4;80 3;90 3; 100 4; 110 4;120
3;50 2;60 3;70 3;80 3;90
2;30 2;40 2;50 2;60 3;70
1;20 1;30 1;40 1;50 2;60
2^^ 1;10 2;20 3;30 4;40
Имеем х1 = (2;3), х2 = (4;2), U(u) = 70. Решение второй задачи
4;80 2;90 3; 100 3;110 4;120
3;50 1;60 2;70 3;80 4;90
2;30 1;40 2;50 3;60 3;70
1;20 1;30 2;40 2;50 3;60
2^^ 1; 10 2;20 3;30 4;40
Решение второй задачи
У1 = (3;2), У2 = (4;1), V(v) = 60 Оценка снизу ¥(и,у) = 70 + 60 = 130.
2 шаг. Составляем неравенство т/п(х12 + х23; х14 + х22) > тах(х\Ъ + х22, х14 +х21) Преобразуем это неравенство в систему линейных неравенств
х12 + х23 — х13 + х22 + 8 Х12 + Х23 — Х14 + Х21 + 8
Х14 — ^3 + 8
Х22 — Х21 + 8 где 8 > 0. Одно из решений этой системы
Х13 = 0, Х21 = 0, Х12 = 8, Х14 = 8, х22 = 8, х23 = 8.
Возьмем 8 = 5.
Решение первой задачи.
4;80 3;90 3; 105 3;110 4;125
3;55 2;65 3;80 3;85 3; 100
2;35 2;45 2;60 2;65 3;80
1;20 1;30 2;45 2;50 2;65
1; 10 2;25 3;30 4;45
Имеем
х1 = (2;3), х2 = (4,2), U(u) = 80. Решение второй задачи.
4;80 2;90 3;95 3; 110 4; 115
3;45 1;55 2;60 3;75 4;80
2;25 1;35 2;40 3;55 3;60
1;20 1;30 2;35 2;50 3;55
1; 10 2; 15 3;30 4;35
Имеем
у1 = (3;2), у2 = (4,1) V(v)= 55.
Оценка снизу Е(и,у) = 80+55=135.
Оптимальные решения не изменились, однако, оценка увеличилась на 5.
3 шаг. Поскольку оптимальные решения остались прежними, то и решение системы неравенств осталось прежним. Возьмем 8 = 5.
Решение первой задачи.
4;80 3;90 3; 110 3; 110 4;130
3;60 2;70 3;90 3;90 3; 110
2;40 2;50 2;70 2;70 3;90
1;20 1;30 1;50 1;50 3;70
1; 10 2;30 3;30 4;50
Оптимальные решения: х1 = (2;3), х2 = (3,3), х3 = (4, 2), u(u) = 90.
Решение второй задачи.
4;80 2;90 3;90 3; 110 4; 110
3;40 1;50 2;50 3;70 4;70
2;20 1;30 2;30 3;50 3;50
1;20 1;30 2;30 2;50 3;50
1; 10 2;10 3;30 4;30
Оптимальные решения:
у1 = (3;2), у2 = (4,2), у3 = (4, 1),
V(v) = 50, Е(и,у) = 140.
Заметим, что существует общее оптимальное решение для обеих задач: х3 = у2 = (4;2).
Поэтому это решение является оптимальным для исходной задачи. При отсутствии общего решения применяем метод ветвей и границ.
Литература
1. Андроникова Н.Г., Бурков В.Н., Леонтьев С.Н. Комплексное оценивание в задачах регионального управления. (Научное издание / ИПУ РАН) - М., 2002.
2. Андроникова Н.Г., Баркалов С.А. Бурков В.Н., Котенко А.М. Модели и методы оптимизации региональных программ развития. (Препринт / ИПУ РАН) - М., 2001.
Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН (г. Москва)
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
COMPLEX ESTIMATION IN PROBLEMS OF MANAGEMENT OF PROGRAMS P.A. Kolesnikov, I.F. Nabiullin, B.K. Uandykov
The problem of optimization of the program in costs is considered at restriction on values of the complex estimations reflecting interests of various bodies. For the decision of a problem the method of network programming is offered. The dual problem is formulated and its camber is proved
Key words: a problem, the program, an estimation, management
