Двухточечная краевая задача для дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 5, 1998

УДК 517

ДВУХТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В. В. Мосягин

В статье доказана теорема существования единственного решения нелинейной краевой задачи для дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве.

Пусть Н — вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением (•,•). В пространстве Н рассмотрим краевую задачу

^ =/(¿,ж,и), (1)

х(0)=хо, х(Т)=Х, (2)

где параметр и Є Н; хо, X — заданные элементы из Н; Т> 0; оператор / действует из [0, Т] х Н х Н в Н.

Для доказательства разрешимости задачи (1) - (2) в Н воспользуемся следующей теоремой из книги [1].

Теорема 1. Пусть

1) Н — вещественное гильбертово пространство;

2) Г — оператор из Н в Н;

3) существуют такие постоянные т > 0 и М> 0, что М >т и

\\Fvi - Ру2\\<М\\уі - у2\\ V, у2 Є Я; (3)

© В. В. Мосягин, 1998

4) для всех г?1, г?2 Е Н справедливо неравенство

(Тг>1 - Гу2,у\ - у2) > т\\У1 - у2\\2. (4)

Тогда уравнение

Ру = 9 (5)

имеет единственное решение для любого д Е Н и его можно получить методом последовательных приближений.

Укажем достаточные условия, при которых задача (1) - (2) имеет единственное решение.

ТЕОРЕМА 2. Пусть выполнены условия:

Н1) оператор /: [О, Т] х Н х Н —у Н непрерывен и удовлетворяет условию Липшица, т. е. существует такая постоянная К > О, что для любой пары точек (£, ж*, г^) Е [О, Т] х Н х Я, (г = 1,2)

||/(*,Ж1,М1) - /(¿,ж2,и2)|| < ^(||Ж1 - Ж2|| + ||М1 - М2||); (6)

Н2) для любой непрерывной функции х(в) на [О, Т] и всех щ, и2 Е Н существует такая константа Ь> 0, что

( т т \

J - !/(8,х(з),и2) ^,«1 - «2 I >

^0 0 /

> Ц\и1 - и2||2; (7)

НЗ) ТК > Ц (8)

/ кт\

Н4) ТК \1-\—— ) = д < 1. (9)

Тогда задача (1) - (2) имеет единственное решение.

Доказательство. Разрешимость задачи (1) - (2) будем доказывать методом последовательных приближений. За нулевое приближение возьмем любую непрерывную функцию хна [0,Т]. Докажем, что уравнение

т

Аи — J/($, х^ ($), и) (1з = X — хо (10)

однозначно разрешимо в Н. С этой целью воспользуемся теоремой 1. Оператор А удовлетворяет условиям этой теоремы. Действительно, для любых П1, П2 Е Я имеем:

\\Aui - Аи21| =

<

>

< ТК\\щ — «2||;

(Ащ - Аи2,иі - и2) =

(т т

J/(8,х(0\8),иг)(І8 - !

о о

> Ь\\щ - и2II2.

Кроме того, по условию (8) ТК>Ь.

Таким образом, уравнение (10) имеет единственное решение в Н. Обозначим его через ї/0).

В качестве первого приближения возьмем

,(і)

ъ

(і) = х0 + J f{s,x(^0){s),ui0))ds, і Є [0, Г]. (11)

Видно, что

ж<1)(0)=жо, х(1\Т)=Х.

Пусть построено (п — 1)-е приближение. Тогда п-е приближение определим следующим образом:

£

х(п\ь) = х^ +! ¡(8,х(п~1)(8),и(п~1))6$, г е [0,Т], (12)

где и(п — решение уравнения

1

J/($, (з), и) сів = X — X0.

Снова видим, что

жН(0)=жо, х(-п\Т)=Х.

Установим сходимость последовательностей {x^(t)} и {уу.("^}.

Для п>2 имеем:

t

= j[/(s,x(n-1)(s),u(n-1)) -

о

-f{s,x(n-2\s),u{n-V)]ds+ (13)

t

+ j[fis, x^n~2\s), «("-1)) - f(s, x^-V (s), «(”-2))] ds.

0

При t — T из равенства (13) вытекает, что т

I [f(s, x(s), u^-V) - fis, x{n-2\s),u{n-V)} ds

<

<

z

I IIfis^^is),^^) - f(s,x^-2Hs),u^)]\\ds < (14)

<КТ тах - х(п~2ЧМ.

~ О <£<Т

Оценим снизу левую часть неравенства (14), используя условие (7):

і

I[fis, *(""2> (в), u{n~^) - f(s, x^-V is), u(”-2))] ds

>

> LWu^-^ - u{n~2)\\.

Отсюда и из (14) имеем:

КТ

||U(«-1) _u(«-2)|| < max ЦаЛ"-1)^) -æ<n-2>(i)||. (15)

L о<t<T

Теперь из равенства (13) получаем

t

||ж(га) (i) - a:(n_1)(i)|| <K J (||a;(”-1)(s) - ж(п“2)(в)|| +

+ ||u(n_1) -u(n-V\\)ds <

<Тк( 1 + Щ^) max Wx^-^it) - x(n-2){t)\\.

~ \ L ) 0<t<T

Отсюда получаем:

гп — max ||ж(п)(Т) - ж(п_1)(£)|| < КТ (l + rn-i = qrn-i-

0<t<T \ Jj J

Последнее равенство показывает, что

гп < qn~Xr 1,

что влечет равномерную сходимость последовательности {a;(")(i)} на [0,Т]. Из ее сходимости и неравенства (15) вытекает сходимость последовательности Пусть

x(t) = lim x^n\t), u = lim u^n\

n—>oo n—>oo

При n —> oo из равенства (12) получаем:

z

x(t) = xo + J f(s,x(s),u) ds.

Очевидно, что {x(t),u} и является единственным решением задачи (1) - (2). □

Resume

In this paper we consider the existence of a solution of nonlinear boundary value problem for a differential equation in Hilbert space.

Литература

[1] Куфнер A., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М. Наука, 1988. 304 с.