О некоторых вариационных методах решения задачи Дирихле Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

О НЕКОТОРЫХ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

ДИРИХЛЕ

Г.О. Бузыкин, В.И. Власов

Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН, ул. Вавилова, 40, Москва, 119333, Россия, e-mail: gbuzykinOnewmail.ru,[email protected]

Аннотация. Изложено теоретическое обоснование двух вариационных методов решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в плоских областях B: метода наименьших квадратов и метода Треффца. Предварительно установлен ряд утверждений для соответствующих этим методам функциональных пространств: пространства Харди e2 (B) и пространства Вейля 1% (B) функций, гармонических в B. Проведенное численное исследование показало экспоненциальный характер сходимости этих методов.

Ключевые слова: уравнение лапласа, вариационные методы, метод наименьших квадратов, метод Треффца, пространства Харди, пространства Вейля.

1 Введение

1.1. Рассматриваемые методы. Настоящая работа посвящена двум вариационным методам решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа

Ап(г) = 0, г € В, п(г') = Н(г'), г' € Г, (1.1)

в расположенных на комплексной плоскости г = х+гу односвяхных областях В с кусочногладкой границей Г: методу наименьших квадратов [1]-[4] и методу Треффца [2], [4], [5]. В этих методах в качестве аппроксимативной используется система функций £к (г) — гармонических многочленов, — определяемых по формулам

£о(г) := 1, £2к-\(г) := Ке (г - го)к, £2к(г):=1т(г - го)к, к € N (1.2)

где N — множество натуральных чисел, а г0 — некоторая точка комплексой плоскости С. Метод наименьших квадратов является вариационным в пространстве Харди е2(В), а метод Треффца — в пространстве Вейля /2(В); эти пространства определены соответственно в [6]-[8] и [9].

Рассматриваемые методы дают решение задачи (1.1) в виде предела последовательности приближенных решений пм (М — верхний индекс), определяемых как линейная комбинация первых N функций £ к,

N

u = lim uN , uN = aN £k, (1.3)

N^—/

k = 0

Работа поддержана РФФИ (гранты 07-01-00500, 07-01-00503), программой фундаментальных исследований ОМН РАН №3 ’’Современные вычислительные и информационные технологии решения больших задач“ и программой РАН ’Современные проблемы теоретической математики“, проект ’Оптимизация вычислительных алгоритмов решения задач математической физики“

где коэффициенты а^ выбираются из условия минимума отклонения приближенного решения пм (г) от точного п (г) в норме соответствующего пространства.

1.2. Содержание работы. В разд. 2 даны основные положения теории пространств Харди е2(В), а также приведены утверждения, относящиеся к обоснованию метода наименьших квадратов, включая предложения о сходимости последовательности {пм}м приближенных решений (1.3) и аппроксимативных свойствах системы (1.2). Отмечено, что при уловии отсутствия внешних и внутренних заострений контура Г эта система полна в е2(В), а условие г0 € В является необходимым и достаточным для ее минимальности; при этом условии последовательности {а^ }м коэффициентов из (1.3) имеют пределы ак.

В разд. 3 дана теорема об изоморфизме пространства Вейля /2(В) функций п(г) в области В и простванства /2/2(Г) их следов п(г') на границе Г, доказанная на основе установленного неравенства Пуанкаре для простанства Соболева — Слободецкого Ж21/2(Г). Эта теорема, в частности, включает однозначную разрешимость задачи (1.1) в пространстве /2(В) с граничной функцией из /2/2(Г). Проведено также обоснование метода Треффца, включая сходимость {пм}^ к решению п(г) задачи (1.1).

Кроме того, установлено, что сходимость пм (г) к п (г) внутри области В имеет экспоненциальный характер, и такой же характер имеет сходимость последовательности коэффициентов {а^ }^ к своим предельным значениям а к при условии минимальности системы (1.2). Если же г0 € В и, значит, система (1.2) не минимальна, то последовательность {а^}м расходится с экспоненциальной скоростью. Тем не менее, сходимость внутри В последовательности приближенных решений {пм}м к точному п(г) и в этом случае имеет экспоненциальный характер.

1.3. Функциональные пространства. Если А — пространство элементов а с заданной на нем мерой ^, то через Ьр (А), р > 1, как обычно [10], обозначаем банахово пространство

измеримых на А функций /, имеющих конечную норму ||/; Ьр (А)|| = (/л |/(а )Г Ф)1/р. При р =2 соответствующее пространство Ь2 (А) является! гильбертовым со скалярным произведением элементов / и д, определяемым по формуле (/, д; Ь2 (А)) = /л /(а) д(а) ^.

Если В — плоская область, то пространство Соболева Ж22 (В) представляет собой гильбертово пространство функций из Ь2 (В), имеющих квадратично суммируемые по В обобщенные производные первого порядка; определения обобщенных производных и общих пространств Соболева приведены, например, в [11]-[13].

Через С(В), как обычно [12], обозначаем совокупность бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в В.

2 Метод наименьших квадратов

2.1. Пространство Харди е2(В). Пусть жорданова область В ограничена кусочно гладким контуром Г, гладкие звенья которого соединяются под углами (д = 1, . .., ф). Если для всех д выполняются условия ая Є (0, 2), то будем говорить, что В Є (Р£).

Обозначим через г = и (() конформное отображение круга и := (|(| < 1} на В, а через С = X (г) — обратное отображение; границу круга и обозначим через Т.

Пространство Харди е2 (В) состоит из гармонических в В функций с равномерно по г Є (0, 1) ограниченными Ь2-нормами по контурам Гг, параллельным границе Г и опре-

деляемым* по формуле Гг := и (||£| = г}).

Если В € (Р$), то, как показано в [6]-[8], функция и(г) € е2 (В) имеет след и(г') из ¿2 (Г), понимаемый как некасательные предельные значения, и справедлив аналог теоремы Ф.Рисса§:

Пт | и (г) |2 |^| = I | и (г') |2 |^г'|, Пт | и (гг) — и (г') |2 |^г'| = 0, (2.1)

Г^1 ,/гг иг Г^1 ,/гг

где гг = и [г х (г')). Отсюда, в частности, следует, что е2 (В) является гильбертовым пространством со скалярным произведением

(и (г), V (г); в2 (В)) = (и, V) := (и (г'), V (г'); ¿2 (Г))

и нормой ||и (г); е2 (В)|| = ||и|| := ||и (г'); ¿2 (Г)||.

Установлено также, что для произвольной функции к (г') € ¿2 (Г) существует единственное в классе е2 (В) решение и (г) задачи Дирихле (1.1), для которого (почти всюду на Г) выполняется равенство и (г') = к (г').

Таким образом, оператор 8, ставящий в соответствие каждой функции и (г) € е2 (В) ее след и (г') € ¿2 (Г), устанавливает изометрический изоморфизм пространств е2 (В) и

¿2 (Г).

Если В € (Р$), £ — компакт в В, £ — расстояние от х (£) до окружности Т, а /, £ — неотрицательные целые числа, то для решения и (г) задачи (1.1) с граничной функцией к (г') € ¿2 (Г) и его производных Р( 1,г) и(г) имеет место оценка

тах|Р(и) гф)| < || /,. Ь2 (Г)||, (2.2)

где множитель Ане зависит от функции и (г); в частности

Л = -

п

А; Li W

ш'

1/2

, A1 (£) = A0 max I x' (z) I. (2.3)

z e e 1 1

2.2. Аппроксимативные свойства системы |£k} и метод наименьших квадратов. Согласно [7], если B 6 (PS), то система {£к}д°=0, определяемая по формуле (1.2), полна в пространстве e2 (B) при любом z0 6 C, а для ее минимальности в e2 (B) необходимо и достаточно, чтобы z0 6 B.

Метод наименьших квадратов (см. [1]-[8]) применительно к задаче (1.1) с граничной функцией h 6 L2 (Г) заключается в построении ее решения в виде (1.3), где коэффициенты находятся из условия ||h — uN; L2 (Г)|| = min, что приводит к следующей системе линейных уравнений относительно коэффициентов | , ..., }:

N

^ crafc aN = h„ , n =0, 1, ..., N; (2.4)

k = 0

здесь cnk • (Cno Ck^ hn • (£w h).

*) Контуры Гг можно определить и независимо от отображения ш (С) аналогично данному для них в [14] определению применительно к пространствам Харди — Смирнова Ер (В).

§) О теореме Ф.Рисса для классических пространств Харди Нр см., например, [15].

Если В € (Р$), то им (г) сходится к и (г) равномерно на любом компакте £ С В вместе со всеми производными, т.е. справедливо соотношение [6]-[8]

D l’m uN (z)

(2.5)

для любых целых неотрицательных l и m, где D1,m := ö 1+m/öX öym.

Кроме того, если z0 G B, т.е. система (1.2) является минимальной, то коэффициенты из (1.3) имеют пределы

lim = ак, (2.6)

N

(2.6)

и ряд с предельными коэффициентами

u (z) = 2j ak Сk

(2.7)

k = 0

сходится к и (г) в наибольшем вписанном в В круге с центром в го. Если же г0 € В, то система (1.2) теряет минимальность, а значит, последовательность (а^, вообще говоря, расходится.

2.3. Результаты численных экспериментов. Было проведено исследование характера сходимости метода наименьших квадратов с помощью численных экспериментов. При этом в качестве тестовых использовались полученные в [16] аналитические решения ряда задач вида (1.1) в прямоугольной и крестообразной областях с различными граничными функциями Л, существенно отличающимися по гладкости.

Проведенное исследование показало, что внутри области В сходимость им (г) к и (г) имеет экспоненциальный характер, т.е. для любого компакта £ С В выполняется оценка

независимо от того, принадлежит или нет точка г0 области В, т.е. является ли система (1.2) минимальной или нет (при выполнении условий ее полноты).

Исследован также характер сходимости (или расходимости) приближенных коэффици-

система (1.2) минимальна, то сходимость последовательности коэффициентов (а^}^ к предельным ак имеет экспоненциальный характер,

Если же ¿0 В и, значит, система (1.2) не минимальна, то расходимость последователь-

ности коэффициентов (а^также имеет экспоненциальную скорость,

max u (z) — uN (z) = O (e Al N) , N ^ то , Ai = Ai(S) > 0 , (2.8)

ентов а^ при увеличении длины N приближения. Установлено, что если г0 € В и, значит,

(2.9)

(2.10)

несмотря на это, последовательность приближенных решений сходится к точному с экспоненциальной скоростью, согласно оценке (2.8).

3 Вариационный метод Треффца

3.1. Пространства Соболева и Соболева — Слободецкого. Пусть область В с границей Г принадлежит классу (Р£), а (В) — пространство Соболева, норма в котором определяется по формуле

11«; Ж (В)||2 := ||и; ¿2 (В)||2 + |и; И<’2‘ (В) |2 , (3.1)

где |и; Ж2 (В)| — энергетическая норма,

|и; Ж2 (В)|2 := [ |gradи(^)|2 (3.2)

Пространство^ Соболева — Слободецкого Ж21/2 (Г) на границе Г состоит из функций и (¿) Є ¿2 (Г), для которых конечен следущий интеграл:

|ш И’21/2(Г)|2:= [ / !”(»») -”<^[¿.,11^1. (3.3)

иг иг |г1 — ¿2

Норма в пространстве Ж21/2 (Г) определяется по формуле

||и; ^21/2 (Г)||2 := ||и; ¿2 (Г)||2 + |и; ^1/2 (Г)|2 . (3.4)

Известно [17]-[21], что любая функция «(¿) Є Ж2 (В) имеет на Г след^ и(г'), принадле-

1/2

жащий пространству Ж2 (Г), и справедлива оценка

||и(/); ^21/2 (Г)|| < С1 |и(г); Ж (В)|| (3.5)

с константой С1, не зависящей от и(г).

Наоборот, существует линейный оператор £, который всякой функции и(г;) Є Ж21/2 (Г) ставит в соответствие функцию и(г) = £ и(У) Є Ж2 (В) со следом и(^;), причем, имеет место оценка

||и(г); Ж2 (В)|| < С2 ||и(/); ^1/2 (Г)|| (3.6)

с константой С2, не зависящей от и(г;). Таким образом, пространства Ж2 (В) и Ж21/2 (Г) изоморфны друг другу. Заметим, что в качестве линейного оператора £ продолжения пространства Ж21/2 (Г) в Ж2 (В) можно использовать оператор задачи Дирихле для уравнения Лапласа (1.1) в области В.

Приведем важное неравенство Пуанкаре (см. [11]) для функций и(г) из Ж2 (В):

і 11 9

и; ¿2 (В)||2 < М1

1г и (¿) И) + | и; Ж,1 (В)|

(3.7)

где М1 > 0 — постоянная, не зависящая от функции и (г).

1 /2

Аналог неравенства Пуанкаре для функций из Ж2 (Г) устанавливает следующая

Об общих пространствах Соболева — Слободецкого см. [17]-[21].

И) След элемента п(г) € ^21 (В) понимается (см., например, [17]-[21]) как предел в ^21/2 (Г) сужений ип(г'), г' £ Г, п £ М, последовательности липшицевых в 23, т.е. принадлежащих С0,1 (23), функций ип(г), приближающих в норме "^2 (В) элемент п(г).

1 /2

Теорема 3.1 Для функций и(г) из И2 (Г) имеет место неравенство

|и; ¿2 (Г)II2 < М2

(г) Щ) + |и; И'^2 (Г)|

(3.8)

где М2 > 0 — некоторая постоянная, не зависящая от и(г).

Доказательство. Покажем вначале, основываясь на установленной в [17] компактности вложения пространства И21/2 (Г) в ¿2 (Г), что для любой функции и € И21/2 (Г) :=

:= {и € И21/2 : /г и(г) |^г| = 0} имеет место оценка

||и; ¿2 (Г)||2 < М |и; И^2 (Г)|2 (3.9)

с постоянной М > 0, не зависящей от функции и(г).

Действительно, предположим, что (3.9) неверно. Тогда для любого к € N найдется 1/2

функция и& € И2 (Г) такая, что

||и*; ¿2 (Г)|2 > к |и*; И21/2 (Г)|2. (3.10)

Заметим, что в силу (3.10) нормы ||и*; ¿2 (Г)|| для всех к € N отличны от нуля. Рассмотрим последовательность функций г* := и* ||и*; ¿2 (Г)|| 1, к € N. Учитывая (3.10), легко убедиться, что последовательность (г*}^=1 обладает следующими тремя свойствами:

а) г* €И1/2 (Г); б) ||г*; ¿2 (Г)|| = 1; в) | г*; И^/2 (Г)|2 < 1 /к, (3.11)

откуда, в частности, имеем

1К; И21/2 (Г)||2 = ||г*; ¿2 (Г)||2 + | г*; И^/2 (Г)|2 < 1 + 1 /к < 2.

Таким образом, последовательность (г*}^=1 ограничена в пространстве И21/2 (Г). Следовательно (см. [10]), из нее можно выделить подпоследовательность (г*.}^=1, слабо сходя-

1/2

щуюся в пространстве И 21/2 (Г) к некоторой функции г,

г*. ^ г т И21/2 (Г), ] ^ то. (3.12)

Докажем, что г равна нулю на границе Г.

Рассмотрим над пространством И 21/2 (Г) семейство линейных функционалов

Л¥,(м) := [ [ с2) |^1| |еЬ2|,

Jг Jг |г1 — г2 1

где ^ — произвольная функция, принадлежащая классу С(Г х Г). Поскольку по неравенству Коши — Буняковского имеем

|Л^(и)| < ||р; ¿2 (Г х Г)|| |и; И2/2 (Г) | , (3.13)

I 1 11 мм 1/2 11

то выполняется оценка |Л^(и)| < ||<^; ¿2 (Г х Г)|| ||и; И2 (Г)||, т.е. функционалы Л^(и)

1/2

являются ограниченными и принадлежат пространству, сопряженному к И 2 (Г). Слабая

сходимость (3.12) означает, что

€(7~ (Г х Г)

(3.14)

С другой стороны, соотношение в) из формулы (3.11) с учетом неравенства (3.13) дает,

что Л^(г*.) стремится к нулю при ] ^ то для всех ^ €С (ГхГ). Отсюда и из соотношения

(3.14) вытекает, что для любой функции ^ из С (Г х Г) справедливо равенство Л^(г) = 0.

Следовательно (см. [22]), разность г(г1)-г(г2) равна нулю на множестве ГхГ, т.е. функция

г(г), определенная на границе Г, является константой.

1/2

Рассмотрим теперь на элементах пространства И2 (Г) линейный ограниченный функ-

ционал Р(и) := /ги(г) |^г|. Из указанного в (3.11) свойства а) следует, что Р(г*.) = 0 для всех ] € N. Отсюда заключаем, что в силу (3.12) значение Р(г) тоже равно нулю, т.е.

функция г, являющаяся константой, есть просто ноль.

1/2

Из компактности вложения пространства И2 (Г) в пространство ¿2 (Г) следует (см.

1/2

[10]), что последовательность (г*.}^=1, слабо сходящаяся к нулю в И2 (Г), в ¿2 (Г) схо-

дится к нулю сильно, т.е. предел ||г*.; ¿2 (Г)|| равен нулю при ] ^ то, что противоречит свойству б), указанному в (3.11).

Таким образом, оценка (3.9) для функций из И21/2 (Г) установлена. Рассмотрим теперь

1/2

произвольную функцию и € И2 (Г). Имеем

I u(z) |dz| + u — J u(z) |dz|; L2 (Г)

<

< 2

u(z) |dz|; L2 (Г)

+ 2

u — J u(z) |dz|; L2 (r)

(3.15)

Заметим, что функция и — ^и(г) |^г| принадлежит И21/2 (Г), поэтому первое слагаемое в правой части неравенства (3.15) можно оценить с помощью (3.9). Учитывая, что интеграл в формуле (3.9) не изменяется при вычитании из функции и константы, окончательно получаем

u; L2 (Г)||2 < max|2M, 2|Г|| (f u (z) |dzA + |u; W21/2 (Г) |

где через | Г| обозначена длина границы Г. Теорема доказана.

3.2. Пространства Вейля. Пространство Вейля Ц (В) представляет собой фактор-пространство И2 (В) / К, в котором отождествляются функции, отличающиеся на константу; здесь И2 (В) — пространство Соболева И2 (В) гармонических в области В функций, а К — множество вещественных чисел. Его элементы будем обозначать буквами с тильдой, а функции, составляющие данный элемент — той же буквой без тильды (например, и и и). Скалярное произведение в пространстве /2 (В) определяется по формуле [9]

[u, V = (u, v; /2 (B)) := / (grad u, grad v) dxdy.

(3.16)

'■b

где (• , •) обозначает скалярное произведение плоских векторов. Значение интеграла в

формуле (3.16), очевидно, не зависит от выбора функций и € и и г € и, а величина

1/2

||и; /2 (В)|| := [и, и] является нормой в /2 (В).

2

2

2

2

Г

Функцию и назовем естественным представителем элемента и € /2 (В), если она принадлежит этому элементу и удовлетворяет условию

м(z)|dz| = 0. (3.17)

'Г

1 /2

Аналогично, на подпространстве функций u из W2 (Г) введем фактор-пространство

элементов {u + const}, которое назовем пространством Вейля на границе Г и обозначим /2/2 (Г). Его элементы также будем обозначать буквами с тильдой, а функции, составляющие данный элемент — той же буквой без тильды. Скалярное произведение в /^/2 (Г) введем по формуле

(В. * If (Г)) := [ j [‘Ф1) ~ ^ ^ K-.I |<Ы (3.18)

|zi - Z2I2

Как и выше, значение интеграла в (3.18) не зависит от выбора функций u G и и v £?, а

величина Ци; /^/2 (Г)|| := (и, гГ; /^/2 (Г))1/2 представляет собой норму в /^/2 (Г). Функцию

«G и назовем естественным представителем элемента и G /^/2 (Г), если она удовлетворяет условию (3.17).

Теорема 3.2 Пространства /2 (B) и /2/2 (Г) изоморфны друг другу.

Доказательство. 1) Пусть и G /2 (B), и пусть « — естественный представитель этого элемента. Для функции « (z) G W2 (B) однозначно определен след « (z;) на границе Г, принадлежащий пространству W21/2 (Г), и имеет место неравенство

||Й(У); W21/2 (Г)|| < Cl ||Й(z); W (B)||, (3.19)

где Ci > 0 — постоянная, не зависящая от «. Этот след в силу условия (3.17) является естественным представителем некоторого элемента h G /^/2 (Г). Оценим норму элемента h G /21/2 (Г) через норму элемента и G /2 (B). С учетом (3.19) имеем

||h; /21/2 (Г)|2 = |h; И-21/2 (Г)| < ||h; И-21/2 (Г)||2 <

< Cl ||«; Wl (B)||2 = Cl21|«; L2 (B)||2 + Cl2 |û; W1 (B)|2.

Оценивая первое слагаемое в правой части последнего равенства с помощью неравенства Пуанкаре (3.7) и с учетом (3.17), получаем

||h; /21/2 (Г)||2 < «(z) И*|) + C12(Mi + 1) |«; W21 (B)|2 =

= C2(M1 + 1)||и; /2 (B)|2,

где M1 > 0 также не зависит от «.

Таким образом установлено, что любому элементу и G /2 (B) можно поставить в соответствие элемент h G /21/2 (Г), причем справедлива оценка

Il h /21/2 (Г)|| < C1(B) ||и; /2 (B)||, (3.20)

где постоянная с.\{Ъ) = Т > 0 зависит толвко от области Ъ .

2) Обратно, пусть к — произвольный элемент пространства /^/2 (Г), а функция 1/2

к € Ж27 (Г) — его естественный представитель. Существует линейный оператор £, ставящий в соответствие функции к (г') единственную гармоническую функцию £к (г) € € ^2 (В) такую, что [£к] (г') = к (г'), и справедлива оценка

||£к; Ж (В)|| < С2 ||к Ж21/2 (Г)||, (3.21)

где С2 > 0 — постоянная, не зависящая от функции к. Функция £к, удовлетворяющая

условию (3.17), является естественным представителем некоторого элемента и € /2 (В).

Оценим норму элемента и € /2 (В) через норму элемента к € /2/2 (Г). Учитывая (3.21), имеем

||м; /1 (®)|2 = |г*; Ж (В) |'2 < ||Й; Ж (В)||2 <

< С22 И'21/2 (Г)|2 = С22 12 (Г)||2 + С22 |к; И-21/2 (Г)|2.

Оценивая первое слагаемое в последнем равенстве с помощью неравенства Пуанкаре (3.8) и с учетом (3.17), получаем

||и; /2 (В)||2 < С22М^^ и (г) |^ + С22(М2 + 1) |к; Ж^2 (Г)|2 =

= С22(М2 + 1)||к; /2/2 (Г)||,

т.е. справедливо неравенство

||и; /2 (В)|| < С2(В) ||к; /2/2 (Г)||, (3.22)

где постоянная с2(2>) = С-2\/М-2 + 1 > 0 зависит толвко от области Ъ .

Объединяя результаты (3.20) и (3.22) пунктов 1) и 2) доказательства, находим, что линейный оператор £ устанавливает изоморфизм между пространствами /2 (В) и /^/2 (Г). Теорема доказана.

Отметим еще, что полнота пространства /21/2 (Г), очевидно, следует из полноты пространства Ж21/2 (Г) и неравенства (3.8), а полнота пространства /2 (В) следует из изоморфизма пространств /2 (В) и /^/2 (Г).

3.3. Вариационный метод Треффца. Рассмотрим задачу (1.1) с граничной функцией 1/2

к € Ж2 (Г). Ее решение и (г), как было отмечено в п. 3.1, существует и единственно в

пространстве Ж^1 (В).

Перейдем к пространствам Вейля. Пусть ик — элемент пространста /21/2 (Г), содержащий к. Решение и задачи принадлежит некоторому элементу и пространства /2 (В).

Метод Треффца [5] заключается в следующем. Допустим, что — линейно неза-

висимая и полная система в пространстве Ц (В), причем функции и* € и* принадлежат С(В'), т.е. бесконечно дифференцируемы в некоторой области В' Ш В, охватывающей исходную. Элемент и € /^ (В), содержащий решение рассматриваемой задачи, будем строить в виде предела последовательности {и"}"=1 приближенных элементов

^ := ЕГ=1 аN и , (3.23)

где коэффициенты находятся из условия наименьшего отклонения приближенного элемента от точного И в I1 (B), т.е. из условия

||и — ; I1 (B)|| = min.

Это приводит к следующей системе линейных уравнений относительно коэффициентов

К :

[ид., Uj] = [и, и к], А: = 1, N. (3.24)

Подставляя в систему (3.24) выражение (3.16) для скалярного произведения [• , •], переписываем ее в виде

V аУ (gradгífc, gradгí7•) с1хс1у = (grad гí, gradгí^г) с1х с1у, Ат = 1, АГ.

^?=1 Зъ Н

Поскольку все функции и* принадлежат классу С(В'), а и — пространству (В), то, применяя к интегралам, входящим в последнее равенство, тождество Грина [17]-[20], получаем

= — а А///, д.гдц + I ид1/ик^\, к=1, N, (3.25)

.7® ./г

где 5^ — производная по внешней нормали к границе Г. Учитывая теперь, что и(г') = к(г') на Г, а и* — гармонические функции, преобразуем систему линейных уравнений (3.25) к окончательному виду

j=1 " Jr Jr

I UjduUk\dz\ = I hduUk\dz\, fc=l, iV, (3.26)

откуда коэффициенты {а", ... , а"} находятся однозначно, поскольку матрица системы (3.26) есть матрица Грама системы линейно независимых элементов [2]-[4]; отметим также, что она симметрична.

Подчеркнем, что приближенный элемент и", определяемый по формуле (3.23), с коэффициентами {а", ... , а"}, вычисляемыми из системы (3.26), дает приближенное решение задачи (1.1) лишь с точностью до произвольной вещественной постоянной.

Определим приближенное решение и" этой задачи по формуле

«N :=aN + k=1 ßN Ufc (z) >

где и* — некоторые фиксированные функции, принадлежащие соответствующим элементам и*, а коэффициент а" определяется по формуле

Докажем, что последовательность определенных таким способом приближенных решений и" (г) и последовательности всех производных Би" (г) равномерно сходятся

внутри области B соответственно к функции u(z) — решению задачи (1.1) — и ее производным Du(z).

Учитывая очевидные соотношения

U(z) = u(z) — f h(z) |dz|, UN(z) = uN(z) — f uk(z) |dz|,

Jr k=0 ./r

можно увидеть, что для доказательства такой сходимости достаточно установить равномерную сходимость внутри области B функций UN(z) := ^=1 Uk(z) и всех соответ-

ствующих производных к функции U(z) и ее производным.

Используя неравенство Пуанкаре (3.8) и оценку (3.20), связанную с изоморфизмом пространств I1 (B) и i^2 (Г), получаем цепочку неравенств

||и; ¿2 (Г)||2 < M2 ||ii; /21/2 (Г)^2 < С ||и; /1 (B)^ Vйе /1 (B), (3.27)

где М2 > 0 и C = M2 cj^B) > 0 — константы, не зависящие от U, c1(B) — константа из формулы (3.20).

Согласно предположению о полноте системы {Uk}^=1, для заданного е > 0 можно найти число N0 е N и постоянные а1; ... , а«0 такие, что имеет место неравенство

11 ~ \Л No ^ 1 и

||и — 2_^ aUk; /2 (B)|| < е.

Так как элемент UNo = ^^= 1 aN Uk, построенный по методу Треффца, дает наилучшее среди сумм такого вида приближение в норме /\ (B), то отсюда получаем оценку

||U — UNo; i"1 (B)|| < е.

Но поскольку ||U — UN; /\ (B)|| не превосходит ||U — UNo; /2 (B)|| для любого N > N0, то верна также и оценка

||U — UN; /2 (B) || < е для любого N > N0. Воспользовавшись теперь (3.27), получаем, что

||и — UN; ¿2 (Г)|2 < C ||U — UN; /1 (B)||2 < Се2,

где С > 0 — константа, зависящая только от области B, а N > N0.

Для функций U — UN е W2 (B) и любого компакта £ С B справедливо доказанное в [8]

для более широкого класса функций неравенство

sup IDl'm (u(z) - sw(z))| < М(£)||и - uN; Ь2 (Г)|| < M(£)VCs, VA > A0,

где M(£) — некоторая положительная константа, не зависящая от N. Таким образом, последовательность |DUN (z)} N сходится равномерно к DU(z) на любом компакте £ в области B.

Сформулируем без доказательства предложение, позволяющую использовать в методе Треффца в качестве системы {Uk}^1 систему

£2k-1(z) := Re (z — z0)k, £2k(z) := Im(z — z0)k, ке N . (3.28)

Предложение 3.3 Система (3.28) полна, а если г0 Є В, то и минимальна в гильбертовом пространстве Ц (В).

3.4. Результаты численных экспериментов. С помощью численных экспериментов было проведено исследование характера сходимости метода Треффца на тех же примерах краевых задач и с использованием тех же тестовых решений, что и для метода наименьших квадратов.

Исследование показало, что внутри области В сходимость им (г) к и (г) имеет экспоненциальный характер, т.е. выполняется оценка (2.8) независимо от того, принадлежит или нет точка г0 области В.

Литература

1. M. Picone. Nuovo metodo d’approssimazione per la soluzione del probleme di Dirichlet // Atti della Real Accad. naz. dei Lincei. Rend. Serie 5, Classe di sci. fis, mat. e natur. V. 31, № 8. 1922. P. 357-359.

2. С.Г. Михлин. Вариационные методы в математической физике, М.: Наука. 1970.

3. К. Ректорис. Вариационные методы математической физики и техники, М.: Мир. 1985.

4. В.И. Лебедев. Функциональный анализ и вычислительная математика, М.: Физмат-лит. 2000.

5. E. Trefftz. Ein GegenstUck zum Ritzschen Verfahren // Verhanl. d. 2 internat. Kongress fUr techniche Mechanik. Zurich, 1926.

6. В.И. Власов. О решении задачи дирихле посредством разложения в ряд Фурье // Докл. АН СССР. T. 249, № 1. 1979. С. 19-22.

7. В.И. Власов. Краевые задачи в областях с криволинейной границей, Докторская дисс. М.: ВЦ АН СССР. 1990.

8. В.И. Власов, А.В. Рачков. О весовых пространствах типа Харди // Докл. РАН. T. 328, № 3. 1993. С. 281-284.

9. H. Weil. The method of orthogonal projection in potential theory // Duke Mathematical Journal. V. 7. 1940. P. 411-444.

10. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука. 1976.

11. С.Л. Соболев. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л.: Изд. ЛГУ, 1950.

12. О.А. Ладыженская. Краевые задачи математической физики, М.: Наука. 1973.

13. Д. Гилбарг, Н. Трудингер. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, М.: Наука. 1989.

14. M.V. Keldysh, M.A. Lavrentieff. Sur la representation conform des domaines limites par les courbes rectifiables // Ann. Ecole Norm. sup. (3). V. 54. 1937. P. 1-38.

15. Г.М. Голузин. Геометрическая теория функций комплексного переменного, М.: Наука, 1966.

16. Г.О. Бузыкин, В.И. Власов. Исследование некоторых вариационных методов решения краевых задач, основанных на глобальных аппроксимативных системах. Технический отчет ВЦ РАН, 2005.

17. Л.Н. Слободецкий. Обобщенные пространства С.Л. Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных // Учен. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та. Т. 197. 1958. С 54-112.

18. И. Стейн. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, М.: Мир. 1973.

19. R. Adams. Sobolev spaces, New York — San Francisco — London: Academic Press. 1975.

20. P. Grisvard. Eliptic problems in nonsmooth domains, London: Pittman. 1985.

21. Б.В. Пальцев. О смешанной задаче с неоднородными граничными условиями для эллиптических с параметром уравнений второго порядка в липшицевых областях // Матем. сб. Т. 187, № 4. 1996. С. 59-116.

22. В.С. Владимиров. Обобщенные функции в математической физике, М.: Наука. 1976.

ON CERTAIN VARIATIONAL METHODS FOR SOLVING THE DIRICHLET PROBLEM

G.O. Buzykin , V.I. Vlasov

Dorodnicyn Computing Centre of the Russian Academy of Sciences,

Vavilov str., 40, Moscow, 119991, Russia, e-mail: [email protected],[email protected]

Abstract. A theoretical substantiation is presented for two variational methods for solving the Dirichlet problem for the Laplace equation in plane simply connected domains ®: the least square method and the Trefftz’s method. As a preliminary, several assertions have been estab-lished for functional spaces related to the methods, the Hardy space e2 (B) and the Weil space I\ (B) of functions, harmonic in ®. A performed numerical research have shown exponential rate of convergence of these methods.

Keywords: the Laplace equation, variational methods, the least square method, the Trefftz’s method, Hardy space, Weil space.