Двухсеточный метод для нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка с двумя параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Численное решение дифференциальных уравнений

37

уравнений, не эффективны. В работах [1, 2] предложены методы численного решения квазилинейных дифференциально-алгебраических систем уравнений в частных производных произвольного индекса.

Список литературы

1. Свинина С.В. Об устойчивости сплайн-коллокационной разностной схемы для одной квазилинейной диффренциально-алгебраической системы уравнений в частных производных первого порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2018. Т. 58, № 11.

2. Свинина С.В., Свинин А.К. Об устойчивости однойразностнойсхемы для квазилинейной дифференциально-алгебраической системы уравнений в частных производных индекса (k,0) // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2019. Т. 59, №4.

Вариационные методы построения разностных уравнении и итерационных алгоритмов для приближенного решения задачи Дирихле

Н. М. Темирбеков1, Ж. Р. Жаксылыкова2 1 Национальная Инженерная академия РК

2Казахский Национальный педагогический университет им. Абая Email: [email protected] DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10074

При аналитическом решении задач математической физики мы сталкиваемся с серьезными математическими трудностями. Поэтому для решения сложных задач мы используем различные численные методы поиска приближенных решений.

Рассматривается эллиптическое дифференциальное уравнение. При решении:

1) Для построения разностных уравнений был применен вариационный метод Ритца с использованием базисной функций, который приводит к решению системы линейных уравнений. Вопросы сходимости решений, получаемых методом Ритца, рассматриваются в многочисленных работах и монографиях.

2) Для построения итерационных алгоритмов был применен метод сопряженных градиентов, который среди известных итерационных методов, используемых для решения систем линейных алгебраических уравнений, выделяется своей эффективностью.

Приведены примеры расчетов для модельных задач. Результаты вычислительного эксперимента подтверждают высокую эффективность предлагаемого вариационного метода.

Список литературы

1. Самарский А.А. Теория разностных схем - М.: Наука, 1983. - 616 с.

2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики - М.: Наука, 1989. - 608 с.

3. Мухамбетжанов А.Т., Отелбаев М.О., Смагулов Ш.С. Об одном новом приближенном методе решение нелинейных краевых задач.// Вычислительные технологии, Том 3, №4, 1998.

4. Н.М. Темирбеков, Ж.Р. Жаксылыкова. Об итерационном методе фиктивных областей для решения эллиптического уравнения в областях со сложной геометрией // Известия МКТУ им. Х.А.Ясави, Серия математика, физика, информатика. - 2018. - Т.1. - №1(4), С.128-132.

5. N.M.Temirbekov, Zh.R.Zhaksylykova. AnIterative Method for Solving Non linear Navier-Stokes Equationsin Complex Domains Taking into Account Boundary Conditions with Uniform Accuracy // AIP Conference Proceedings 2018. V.1997, 020036 (2018); DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10001 10.1063/1.5049030.

6. Temirbekov A.N., Wojcik W. Numerical Implementation of the Fictitious Domain Method for Elliptic Equations // International Journal of Electronics and Telecommunications.-2014.- Vol.60, Issue 3, -P.219-223.

7. Temirbekov A.N. Numerical implementation of the method of fictitious domains for elliptic equations // 3rd International Conference on Analysis and Applied Mathematics, ICAAM 2016.-Vol. 1759, -P. 020053-1-020053-6; DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10001 10.1063/1.4959667.

Двухсеточный метод для нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка с двумя параметрами

С. В. Тиховская

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН Email: [email protected] DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10075

Рассмотрена краевая задача для нелинейного сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с двумя малыми параметрами. Для линеаризации используются

38

Секция 2

итерации Ньютона и Пикара. Для решения задачи на каждой итерации применяется разностная схема второго порядка на сетке Шишкина, которая сходится равномерно по обоим малым параметрам [1]. Для уменьшения требуемого количества арифметических операций для решения разностной схемы предлагается каскадный двухсеточный метод [2, 3]. Для повышения точности разностной схемы, применяется экстраполяция Ричардсона с использованием известных решений разностной схемы на обеих сетках. Исследованы некоторые свойства решения дифференциальной задачи в случае различных малых параметров аналогично [4]. Обсуждаются результаты некоторых численных экспериментов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 18-31-00487).

Список литературы

1. Gracia J.L., O'Riordan E., Pickett M.L. A parameter robust second order numerical method for a singularly perturbed two-parameter problem // Applied Numerical Mathematics. 2006. V. 56, № 7. P. 962-980.

2. Задорин А.И., Тиховская С.В. Решение нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка на основе схемы Самарского // Сибирский журнал вычислительной математики. 2013. Т. 16, № 1. С. 11-25.

3. Задорин А.И., Тиховская С.В. Двухсеточный метод для нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи на сетке Шишкина // Сибирский журнал индустриальной математики. 2013. Т. 16, № 1 (53). С. 42-55.

4. Çakir M., Amiraliev G.M. A Numerical Method for a Singularly Perturbed Three-Point Boundary Value Problem // Journal of Applied Mathematics. 2010. V. 2010. P. 495184-1-495184-17.

Computation of mean-field equilibria for various optimization problem with non-symmetric control

V. V. Shaidurovu, V. S. Kornienko,1,2

1 Institute of Computational Modeling of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences

2Siberian Federal University

3Tianjin University of Finance and Economics

Email: [email protected]

DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10076

The study is devoted to applying of semi-Lagrangian approach to numerical modelling of problems described in "Mean Field Games" framework. Mean field games are a relatively new field of research developed by J.-M. Lasry and P.-L. Lions [1-3], which helps to understand the limiting behavior of systems involving great numbers of rational agents playing in differential games under partial information and symmetry assumptions. This approach allows the transfer of the ideas of statistical physics to a new class of models in which the contribution of an individual player does not significantly influence on the behavior of the entire mass of players. The appearance of this approach is caused by the great complexity of traditional approaches [4] to describe such interaction systems. It leads to searching of Nash equilibria [5] for a large number of agents. In this case, mean-field equilibrium is described by the coupled system of two parabolic partial differential equations: the Fokker-Plank-Kolmogorov equation and the Hamilton-Jacobi-Bellman one. This mathematical model can be used for quantitative modeling of the optimal using of alternative resources, more efficient realization of environmental problems, network sales, and other economic activities of the great population of agents.

This project was supported in part by the Major Research Plan of the National Natural Science Foundation of China (91430108) and the National Natural Science Foundation of China (11171251).

References

1. Lasry J.-M., Lions P.-L. Jeux à champ moyen. I. Le cas stationnaire // C. R. Math. Acad. Sci. Paris. 2006. V. 343(9).619-625

2. Lasry J.-M., Lions P.-L. Jeux à champ moyen. II. Horizon fini et contrôle optimal // C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 2006. V. 343(10):679-684.

3. Lasry J.-M., Lions. P.-L. Mean field games // Jpn. J. Math. 2007. V.2(1). P: 229-260

4. Cormen T. H., Leiserson C. E., Rivest R. L., Stein C. Introduction to Algorithms (2nd ed.). Massachusetts: MIT Press, 2001. pp. 344.

5. J. Nash. Non-cooperative games // Annals of Mathematics. 1951. V. 54. P. 286-295.