CC BY
6
7. Шевченко Ю. И. Связность в продолжении главного расслоения // Там же. Вып. 22. C. 117—127.
8. Cartan E. Lecons sur la theorie des espaces a connexion projective. Paris, 1937.
A. Kuleshov
Connections of the 2nd order on a family of centered planes in a projective space
In the prolongation G 2( Br) of the principal bundle G(Br), associated with a family of centered planes Br, by Laptev — Lumiste's way
foundamental-group connection of the 2nd order is given. Equations of
2 2 the object Г of this connection and the curvature object R of this
connection are found. It is shown that connection of the 1st order Г on the bundle G(Br) together with affine connection Г']к in the parameter
space Vr induce one-parameter bunch of the connections Г .
УДК 514.76
Л. А. Лукичева
(Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары)
Двойственные нормальные связности на распределении гиперплоскостных элементов в римановом пространстве
Построены основы двойственной теории нормальных связностей, индуцируемых на оснащенном регулярном распределении гиперплоскостных элементов в римановом пространстве Уп .
Ключевые слова: расширенное риманово пространство, нормализация, тензор, структурные уравнения, нормальная связность, двойственность.
Результаты работы получены с использованием инвариантных методов дифференциально-геометрических исследований: метода внешних форм Э. Картана [10], метода нормализации А. П. Норде-на [6], метода продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [2].
На протяжении всего изложения индексы принимают следующие значения:
I,К,I = 0п ; I,К,I,8,Т,Р,в, J = 1П ;
т, у, к, 5,1 = 1, п -1; а = 0, 8 ; а = 1, 8 .
1. Рассмотрим риманово пространство Уп, структурные уравнения которого имеют вид
Вв1 = в1 а в[ , БвК =вК лвI + 2 4РввР лвв ; (1)
^ж - - g1LвLI - gLKвI = 0, g1LgLK = 8К, (2)
где g1K — невырожденный симметричный тензор риманова пространства Уп .
Согласно работе [8], система форм Пфаффа «К }
С =в1, «0° = - Л вЬ , < = о, Ск =вК - 5К вв (3) п +1 п + 1
определяет пространство проективной связности Рп,п . Формы
этой системы в силу (1) удовлетворяют уравнениям Картана — Лаптева [1; 2]:
Вс0 = с а С - ¿С ), Вс00 = 0 , ВсС0 = 0 ,
В®К = ®к а С +1 КкрвС а С, (4)
С1 = 0, Вцрв = В-крв = ^0Рв = 0, ^крв = гкрв .
Пространство проективной связности Pn,n без кручения, определяемое системой (3), со структурными уравнениями (4) назовем расширенным римановым пространством [5] и обозначим V* •
В расширенном римановом пространстве Vn* рассмотрим распределение гиперплоскостных элементов M , дифференциальные уравнения которого в репере нулевого порядка имеют вид [3; 7]:
( =Л>оК, (5)
УЛЩ. + Л(° =ЛЩХ, (6)
УЛПп +ЛПП®0° -Л>П = ЛХ • (7)
Предположим, что распределение MeVn регулярное (то
deft I
есть Л = Л" * 0):
аПЛП, =3 , КА] , УЛП-А>0 = -Л^Па*. (8)
Функция А есть относительный инвариант первого порядка и удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:
й 1п А = А;®; - (п +1)(®00 + <), А; . (9)
2. Следуя работе [9], рассмотрим систему из (n +1)2 форм
Пфаффа wf :
—0 ,,0 1 д К —к „к \п \к] п —п п
®0 =®0--7ЛК®0 , ®0 =®0 +А]пАп^о, ®0 =®0,
п+1
О"0 = ]] , а* = ®к + (А* Л]; - 3к , (10)
п + 1
а-п =-А>0, =®0(- 0) = 0, а = -А>°0 (- 0) = 0,
< = <--7ЛК-0К .
п + 1
Преобразование I форм проективной связности по закону (10) является инволютивным, то есть I = I 1. Действительно, согласно системе (10) имеем
=^кй0к, (11)
где
А" = -а",, Л"" = А";, Л!А" . (12)
Функции А Ь = Ар А",Ь (см. (9)) имеют строение
А, = -А,, А" = -А" + А,а"а"к" . (13)
Справедлива
Теорема 1. Регулярное распределение гиперплоскостных элементов М в расширенном римановом пространстве V" индуцирует в первой дифференциальной окрестности многообразие М в РП", двойственное исходному, дифференциальные уравнения которого имеют вид (11).
3. Предположим, что распределение (необязательно голо-номное) гиперплоскостных элементов М в римановом пространстве V" оснащено в смысле Э. Картана [14], то есть на
М с V" задано поле геометрического объекта у" } [3]: ^у1" + у!„®, -у'а" + а' =у1как ,
" " 1 " " " "К 0 ' /1 л\
у + У>0° - У«0®«" + У>0 (- 0) + (- 0) = уКаК. Согласно [4] на оснащенном в смысле Нордена — Картана распределении гиперплоскостных элементов М с Vn каждая
а а
из систем форм [в"0,в""} [11]:
0
в0 = ®0 (= 0) + у"®,0 (- 0) - У,0 (У"к®0к - ур) + (у)2 ®0,
в" = +у>," -®00 +у>0 -у"®") + 2У"0®0"; (15)
а 0 а а 0 а
в0 =в0+вщ>0-у"®0"), в"" =в""+В"ш(®0-у®), (16)
а
определяет нормальную связность [12] V1 в расслоении нормалей первого рода. Заметим, что на неголономном регуляр-
ном распределении гиперплоскостных элементов, оснащенном в смысле Нордена — Картана, индуцируются восемь нормаль-
0-7
ных связностей V1 ; на голономном оснащенном в смысле Нордена — Картана распределении гиперплоскостных эле-
0-6,8
ментов индуцируются восемь нормальных связностей V 1.
Пусть распределение (необязательно голономное) гиперплоскостных элементов M в римановом пространстве Vn оснащено в смысле Э. Бортолотти [13], то есть на MeVn задано поле геометрического объекта {у°, /°} [3]:
J 0 0 к . 0 0. 0/п\ 0 L 0,п
dV] -V°(] + У(° + (° 0) = У°С° , У * 0,
(17)
d/° - + />° - + ( (- 0) = />L •
В силу наличия многообразия Me Pnn, двойственного исходному распределению MeVn, системе форм (15), (16) соответствует двойственная ей система форм {9n0, 9nn }:
о
9° =(° + -уЧУкС-уПУС) + (02<,
(18)
к = К + у па - а0 + у0 К - «п) + 2кп°®0п;
а 0 а а а
к=е(0+в:к-уо, в:=в:+вппк-уо. (19)
а
Эта система определяет нормальную связность V1 в расслоении нормалей второго рода, являющуюся двойственной [9] по
а
отношению к связности V1 относительно инволютивного преобразования форм связности (10).
а а
Каждая из систем форм {вп0, в пп } удовлетворяет структурным уравнениям Картана — Лаптева [1; 2]:
а Ж Ж 1
De:=e: ле;+^ ^ ®<f л®0г,
Ж 1 & (20)
De: = 2^т л®0Т .
а
При Л^-] = 0 функции ВП на голономном распределении гиперплоскостных элементов МсVn примут вид
1 2 2 з 3 3 ВП = ВП ВП = ВП — ВП ВП = — ВП
в.т --в., ВП - В. - 6 В. , (21)
6 6 7 7 8 8
Т) т _ Т>т ТУ т _ пт _ п и т т>п
Вт - Вт > Вт - Вт - 0 > Вт - Вт •
Доказана
Теорема 2. На оснащенном в смысле Нордена — Борто-лотти регулярном распределении гиперплоскостных элементов МсУп в расслоении нормалей второго рода индуциру-
а
ются девять нормальных связностей v1 , определяемых системами форм (18), (19), причем связность v1 определена на голономном распределении М с Уп.
В силу соотношений (213), (214), (217) справедлива Теорема 3. На оснащенном в смысле Нордена — Бортолот-
ти голономном распределении гиперплоскостных элементов
— — — —
МсУп нормальные связности v1 и v1, v1 и v1 совпадают.
5
5
3
Список литературы
1. Евтушик Л. Е. и др. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии. Итоги науки и техники / ВИНИТИ АН СССР. 1979. Т. 9.
2. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Труды Моск. матем. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.
3. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Труды геом. семинара / Ин-т науч. информ. АН СССР. 1971. Т. 3. С. 49—94.
4. Лукичева Л. А. Нормальные связности на распределении гиперплоскостных элементов в римановом пространстве // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. 2011. № 4(72), ч. 1. С. 43—50.
5. Лукичева Л.А. Расширенное нормализованное риманово пространство // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. 2011. № 2(70), ч. 1. С. 96—103.
6. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.
7. Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Труды геом. семинара / Ин-т науч. ин-форм. АН СССР. 1973. Т. 4. С. 71—120.
8. Столяров А. В. Двойственная геометрия нормализованного пространства аффинной связности // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. 2005. № 4. С. 21—27.
9. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1994.
10. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.; Л., 1948.
11. Фисунова С. В. Нормальные связности на распределении гиперплоскостных элементов // Сб. науч. тр. студентов и аспирантов. Чебоксары, 1997. Вып. 2. С. 49—55.
12. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий. Ереван, 1990.
13. Bortolott' E. Connessioni nelle varieta luogo di spazi; applicazi-one alla geometria metrica differanziale delle congruanze di rette // Rend. Semin Fac. Univ. Cagliari. 1933. № 3. С. 81—89.
14. Cartan E. Les espaces a connexion projective // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. 1937. № 4. С. 147—159.
L. Lukicheva
Dual normal connections on the distribution of hyperplane elements in Riemannian space
Foundations of the dual theory of normal connections induced on equipped regular distribution of hyperplane elements in Riemannian space Vn are constructed.
