Двойственные методы исследования дифференциально-геометрических структур Текст научной статьи по специальности «Математика»

T. Nekipelova, V. Tsyrenova Elastic interaction of cylinder

In the work we compute the maximum local stresses in the contact zone of the cylinder with a rigid element. The initial decision is made in terms of displacements. To solve the problem, we use a uniform grid on each of three axis directions.

УДК 514.76

К. В. Полякова

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

Двойственные методы исследования дифференциально-геометрических структур

Продолжается исследование многообразия, проводимое ковариантным методом в работе [7] и опирающееся на деривационные формулы и структурные уравнения.

Ключевые слова: деривационная формула, структурные уравнения, пфаффовы производные, скобка Ли, тангенциальнозначные формы.

1. Базисные и слоевые координаты на многообразии.

Рассмотрим га-мерное гладкое многообразие Хт, некоторую окрестность, в которой текущая точка определяется локальными координатами х' и линейно независимые 1-формы [5] а' = х^ёх} (',]', к = 1, т). Требование линейной независимости

форм а' равносильно условию det(xj0 . Система а' = х'^ёх1

© Полякова К. В., 2014 92

разрешима относительно дифференциалов ёх1: ёх1 = х1а]

где

(* \ х)

матрица, обратная к матрице (х/ ). Дифференци-

руя формы а1 внешним образом, получим структурные уравнения Лаптева [5]

ёа1 = а1 ла1) , (1)

*

где а1) = -хк)ёх'к -х)как (х)к = х'щ). Переменные х) , х)к называются слоевыми координатами [5].

Деривационная формула, т. е. выражение для дифференциала точки М многообразия Хт , имеет вид [1]

ёМ = а1е1, (2)

где е1 — базисные векторы касательного векторного пространства ТМХт , а1 — структурные формы многообразия Хт . Дифференциальные 1-формы а1 образуют кобазис, сопряженный к базису { в }, т. е. а1 (в )) = 81) .

Замечание 1. Относительно натурального репера {8 1}

*

векторы в раскладываются по формуле в = х ) 8) , поэтому

ёМ = ёх1 8 1.

Из структурных уравнений Лаптева (1) следует, что структурные формы а дифференцируемого многообразия Хт образуют так называемую полную совокупность форм, а система уравнений а' = 0 вполне интегрируема и фиксирует точку

М е Хт .

2. Пфаффовы производные функции на многообразии.

Пусть на многообразии Хт задана скалярная функция / . Ее

дифференциал й/ определяет в двойственном касательном

* д/ пространстве Тм Хт поле ковектора й/ = —- йх' . При пере-

дх1

' 1, л д/ д/ дх3 ходе к новым координатам у = у (х ) имеем —- =-:--- .

ду1 дх] ду1

Переходя к произвольному кореперу {ю1}, получим

ю ю %

й/ = д 1 / ю1, где величины д1 / = д3/ х 1 называются пфаффовыми производными функции / по отношению к кореперу

{ю1} ) и являются координатами указанного ковекторного поля [3, с. 67].

Рассматривая действие дифференциала й/ на базисных векторах е1, получим

юю й/(е 1) = д 1/ ю] (ег) = дг/, (3)

т. е. касательные векторы е1 выступают операторами пфаффовых (частных в репере {ю1}) дифференцирований функций:

ю ю

е1 (/) = й/(е1) = д 1 / . Можно обозначить д / = д 1 / или еще

короче д е / = /1. Далее будем также использовать выражение пфаффовых производных через частные:

/1 =д 3/ х 3 . (4)

Формула (3) в более короткой записи принимает следующий вид:

й/ = / ю1 . (3')

Покажем инвариантность формы (3'), используя обозначе-

х у

ния ^ , ^ для пфаффовых производных функции f в коорди-

натах xi, yl:

y У y ßvJ * x x * x x x

df = f■ С = Oj f -^x kal = dk fx k С = f С .

ox s---'

9 kf f

Проведенные выкладки приводят к формуле

У Ii Ox

к

fr = flxk—y J

Oy

J

выражающей связь между пфаффовыми производными функции, заданными в разных координатах, при этом формула пре-

y у * x

i i Oy к j образования корепера имеет вид: со = yt—rx ja .

Oxk

2. Пфаффовы производные 2-го порядка для функции на многообразии. Известное свойство внешнего дифференциала от произведения двух форм, одна из которых имеет нулевую степень, т. е. функция, сформулируем в виде следующей леммы.

Лемма 1. Если co = a'gi — линейная комбинация 1-форм, коэффициентами которой являются функции (т. е. 0-формы) g, на многообразии Xm, то внешний дифференциал действует по закону

d : со = g,C е T* (Xm) = ^ da = g,dC + dg, лС e .

Лемма Картана. Пусть для 1-форм в а и линейно независимых 1-форм аа (С л ... лС ф 0, а= 1,r ) имеет место

равенство валаа = 0. Тогда однозначно определены такие гладкие функции Сар, что ва = Сар со р , причем С[ар] = 0.

Далее обобщим лемму 1 на случай, когда коэффициентами линейной комбинации форм являются векторы, а не функции, а также покажем, что лемма Картана также справедлива в векторной форме, точнее, для векторнозначных форм.

Дифференцируя выражение (3') внешним образом, получим уравнения - /] а-^лС = 0, разрешая которые по лемме Картана придем к уравнениям на пфаффовы производные /1 функции / :

df1 - /у С = /С (/] = ] ), (5)

где /] — пфаффовы производные 2-го порядка. Уравнения

(5) можно записать в виде А/ = /уС , где А/ = й/ - / со( — тензорный дифференциальный оператор.

Переходя в формуле (5) к реперу [йх1} , получим:

* * *

д]/)х \+д]/йх 1 = /] (-х \ёх] -хС) + /]С .

Свернем последнее равенство с матрицей х'к :

* * *

д]/)х 14 + д]/йх1х'к = /](-х 1А1 -хС)4 + /1]Сх'к,

тогда

дк/)-д]/х1йхк =-/]йхк - /]хаСх1к + /1]Схк.

Приводим подобные, сворачиваем с обратной матрицей х ^

*

дк1/х к = хС + .

х с

Собирая слагаемые при базисных формах и учитывая их линейную независимость, получим выражение для пфаффовых производных второго порядка:

/- = д кЛхкгХ13 + д ^хЦ- . (5')

Утверждение 1. Линейный однородный закон А= /-а1

для пфаффовых производных / функции f в корепере [а1}

эквивалентен выражению (5') для повторных пфаффовых производных через частные производные 1-го и 2-го порядков

и слоевые координаты х1-, х'-к.

Таким образом, пфаффовы производные 2-го порядка,

„ ^ дf (хк) „

в отличие от частных производных д-/ =—:-- 2-го поряд-

дх1 дх]

ка, связаны с многообразием на более высоком уровне, так как включают не только базисные координаты х 1 , но и слоевые координаты х-, х-к .

3. Производная функции по направлению вектора. Для вектора х = хг£г е ТмХт с помощью (3') имеем выражение для производной функции / по направлению вектора х:

дх/ = х(/) = #(х) = х1/г . (6)

Свойства производной д х/ при этом формализме сохраняются:

а

дх/ = д, / = хгд^/ = хг дх/ = хг/г . (7)

4. Тангенциальнозначные формы и их дифференцирования. Форма смещения. Из деривационной формулы (2) видим, что dM можно рассматривать как векторнозначную 1-фор-му со значениями в касательном пространстве TмXm , т. е. тан-генциальнозначную 1-форму. Обозначим множество всех тан-генциальнозначных 1-форм со значениями в пространстве TMXm

через =П1 (TмXm). Касательные векторы будем считать

тангенциальнозначными 0-формами, т.е. П0и =&0 (TмXm) — множество всех тангенциальнозначных 0-форм, поэтому ^0 = TмXm . Аналогично = (TмXm) — множество всех тангенциальнозначных 2-форм со значениями в касательном пространстве TMXm , £2?2 = ^2(TM Xm) — множество всех тангенциальнозначных форм со значениями в соприкасающемся (касательном 2-го порядка) пространстве TмXm .

Действуя формой dM на векторы £] , х = х}£] :

dм(£] ) = £1С (£] ) = £] , dм(х) = £1хС1 (£] ) = х} £] = х ,

видим, что она соответствует тождественному преобразованию касательного пространства TмXm, т. е. является канонической формой [3, с. 118], формой смещения [2, с. 117] или структурной формой расслоения [4, с. 48]. Учитывая геометрический смысл формулы (2), форму dM = с1£1 будем называть формой смещения.

Замечание 2. Значок тензорного умножения часто опускают [6, с. 290].

Обобщением леммы 1 на случай, когда коэффициентами линейной комбинации форм являются векторы, а не функции, служит

Определение. Если ю = ю1£1 — векторнозначная (тан-генциальнозначная) 1-форма, то внешний дифференциал может действовать следующими двумя способами:

1) а : а е Ц1 = Ц (ТмХт) ^ йа = в^а1 еЦ = Ц (ТмХт);

2) а: аеЦ1 =Л>1(ТмХт) ^

^ аа = вга®' - а1 л авг е лЦ = ц (тМхт),

в1 еЛ^ = Л0 (ТмХт), причем внешние дифференциалы скалярных форм а®1 в обоих случаях одинаковы.

Видим, что в первом случае увеличивается степень формы, но не порядок касательного пространства, в котором она принимает значения. А во втором случае увеличивается и степень формы, и порядок касательного пространства, в котором она принимает значения, поскольку дифференцируется и 1-формы

а1 и 0-формы в1.

Современный контравариантный метод использует способ 1, в то время как способ 2 в ковариантном методе является более плодотворным.

Лемма Картана справедлива и в векторной форме, точнее для векторнозначных форм, поскольку от векторной записи векторнозначных форм можно перейти к координатной записи.

Лемма 3. Пусть для векторнозначных 1-форм в а и линейно независимых 1-форм аа (а1 л ... лаг ф 0, а = 1,г ) имеет место равенство валаа = 0. Тогда однозначно определены такие векторы Сар, что ва = Сар ар , причем С[ар] = 0.

Дифференцируя внешним образом уравнение (2) первым способом, получим а (аМ) = а1 л а1-в 1.

Дифференцируя внешним образом уравнение (2) вторым способом и разрешая по лемме Картана, получим

Ав1 = а]в1}, (8)

где оператор Л действует по закону:

Ле1 = ёе1 - со/еу-. Новые векторы , принадлежащие касательному пространству 2-го порядка ТМХт , симметричны.

Замечание 4. Выражение (3') аналогично деривационной формуле (2), поэтому ее дифференциальные следствия (5) имеют вид аналогичный следствиям (8) деривационных формул (2).

Замечание 5. Дифференцируя формулу (2) обычным образом, получим

ё2А = (ё С + соу со С) £ + С С е^,

наглядно показывающую, что касательное пространство 2-го порядка Т^Хт натянуто на векторы е1 , е1у, т. е.

ТМХт = $Рап(е , ) .

Пространство Т^Хт обобщает соприкасающуюся плоскость кривой трехмерного пространства, поэтому его также называют его соприкасающимся пространством.

5. Координатное представление векторов соприкасающегося пространства. Векторы е1]- являются пфаффовыми

со

производными векторов е1, т. е. [4, с. 113] е1у = ду е1. По аналогии с выводом пфаффовых производных второго порядка для

функции, используя обозначения д 1 =——, ду =———- и пре-

дх1 дх1 дх]

*

образования репера е1 = х 1 ду , из уравнений (8) можно найти

выражение для пфаффовых производных е1у векторов е1 :

* * *

£с = хкх Сдк1 + хк х 1кд 1. (9)

Утверждение 2. Тензорный закон (8) для векторов в1 в корепере {а1} эквивалентен выражению (9) для пфаффовых производных в- через операторы частных дифференцирований 1-го и 2-го порядков и слоевые координаты х-, х'-к.

Таким образом, пфаффовы производные в-- в отличие от частных дифференцирований д- связаны с многообразием на более высоком уровне, так как кроме базисных координат включают и слоевые координаты х1-, х1-к .

6. Скобки Ли касательных базисных векторов. Пфаффовы производные в-- будем считать производными векторов

в1 по направлению векторов в - : в- = дЕе^ . Тогда альтернации (без множителя) пфаффовых производных в- являются скобками Ли векторов в1 : [в ,в - ] = д вв- - дЕе^ = в - -в- = 0 . Таким образом, для векторов в1 построена скобка Ли:

в ,в- ] = 0, (10)

т. е. { в1 } — голономный репер. Также можно сказать, что пфаффовы производные в1- векторов в1 позволяют построить

а а

скобку векторов: в, в- ] = д 1 в- - д- в1 = в ^ - в- = 0 . Для построенной скобки (10) очевидно выполнение тождества Якоби.

В разложении в1 = х - д - присутствует обратная матрица слоевых координат, поэтому в силу известной формулы [/Х, gY] = fg[X, Y] + /Х(g)¥ - gY(/)Х

и очевидных равенств д -х 1 = 0 получим

[е, е у ] = [ хк д к, х\ д 1 ] =

= хкх )[дк, д 1 ] + хкдк х у д 1 - х у д 1 хкдк = 0.

Рассматривая ёМ как линейное преобразование касательного пространства Тм Хт, с помощью условий сопряженности реперов получены (естественные с точки зрения аппарата исследования) равенства: ёМ(е1) = е1.

Для линейного отображения ёе1: ТМХт ^ Т^Хт из касательного пространства 1-го порядка в касательное простран-

ство 2-го порядка имеем: ёе1 (е у) = е1у - е^х- . С точностью до

слоевых координат ху 1-го порядка имеем ёе1 (е у) = е1у . В любом случае справедливо равенство

[е,еу ] = ёеуу (е) - ёе1 (еу) = 0.

7. Скобка Ли произвольных касательных векторов. Рассмотрим произвольный касательный вектор х = х1е1 е ТМХт . Дифференцируя вектор х, получим

ёх = е1 (ёх1 + х} со 1у) + х1е1усо у .

Условия инвариантности вектора х имеют следующий вид:

ёх1 + х] со у = х\со у, где х1,- = д у х1 = де х1, тогда ёх = х1 со1,

7 7 7 7 7

причем

х1 = [д 1 х = дех] = х/ е у + х} еу1 (11)

— пфаффовы производные вектора х.

[х, у] = дхУ -дух = хгдеу - у1 д х = у ^ -х1у1.

Скобку [ х, у] можно найти, используя известную формулу [х, у] = дху - дух . Действительно,

(11)

При

вычислении скобки векторов пространства ТмХт можно также использовать формулу

[х, у] = йу(х) - йх(у) = у® (х) - х ® (у).

Учитывая условия сопряженности базисов, получим

В у] = угх' - хгу .

С помощью обозначений (11) приведем скобку к виду

[х, у] = (у-х - х)у] в . (12)

Последнее равенство показывает, что [х, у] е ТмХт .

Коммутатор (12) в касательном пространстве ТмХт обладает известными свойствами кососимметричности, аддитивности, однородности. Для доказательства тождества Якоби покажем, что произведение векторов (векторных полей) соответствует композиции их действий на функциях. Имеем

х(/) = df (х) = х'/г . Тогда

ху (/) = х( у/) = х(у/г ) = х-(у)/, + у/- ), ух(/) = у(х/) = у(х1 / г ) = у- (х]/1 + х1 / - ).

При вычитании вычисленных выражений в силу симметрии пфаффовых производных / - получим

ху(/) - ух(/) = (ух - х-у )/г ,

(ху - ух)(/) = (у1х - х]у] )д.

Тогда можно легко доказать тождество Якоби [[х, у], г] + [[у, 2], х] + [[г, х], у] = 0, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые.

Список литературы

1. Акивис М. А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977.

2. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М., 1967.

3. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т.9. С. 5—247.

4. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М., 1981. Т. 1.

5. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т.1. С.139—189.

6. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр 4. Дифференциальная геометрия : учеб. пособие для вузов. М., 1988.

7. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998.

K. Polyakova

Dual methods of investigation of differential-geometric structures

We proceed the studying manifold carried out by means of covariant method in [7] and based on derivation formulae and structure equations.

УДК 514.75

Ю. И. Попов

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград Связности на оснащенной регулярной гиперполосе БИт

Данная статья является продолжением работы [1]. На оснащенной полем нормалей 1-го рода гиперполосе 5Нт[1] введены внутренние аффинные и нормальные центроаффин-

© Попов Ю. И., 2014 104