Автоколебания двух тел с нелинейным трением Текст научной статьи по специальности «Физика»

Рис. 3. Зависимость подъемной силы Еь и силы сопротивления Е^ от числа Маха М для тел клиновидной формы (кривые 1 и 3, 7- = п/60, 7+ = п/40 и = п/60, 7 + = п/55 соответственно) и оживальной формы (кривые 2 и 4, I- = п/60, 7+ = п/40 и = п/60, 7+ = п/55 соответственно)

5. Существует предельная величина скорости V* = \/2Ь, при которой исчезает зона отрыва на носу тела (таблица). При этой скорости силы, действующие на тело, одинаковы для клина и оживала (рис. 3). Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 09-08-00396-a.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сагомонян А.Я. Проникание твердых тел в сжимаемые сплошные среды. М.: Изд-во МГУ, 1974.

2. Сагомонян А.Я. Динамика пробивания преград. М.: Изд-во МГУ, 1988.

3. Бивин Ю.К., Колесников В.А., Флитман Л.М. Определение механических свойств среды методом динамического внедрения // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2001. № 2. 87-96.

4. Симонов И.В. Об устойчивости движения удлиненного тела вращения в упругопластической среде при отрыве потока // Прикл. матем. и механ. 2000. 64, вып. 2. 313-322.

5. Симонов И.В. Трансзвуковое обтекание тонкого твердого тела упругой средой // Прикл. матем. и механ. 1984. 48, вып. 1. 114-122.

6. Звягин А.В. Движение тонкого жесткого тела в упругой среде // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 5. 59-66.

7. Черепанов Г.П. Механика разрушения горных пород в процессе бурения. М.: Недра, 1987.

8. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

Поступила в редакцию 24.05.2010

УДК 531.391

АВТОКОЛЕБАНИЯ ДВУХ ТЕЛ С НЕЛИНЕЙНЫМ ТРЕНИЕМ В. Г. Вильке1, И. Л. Шаповалов2

Исследовано движение двух тел, одно их которых связано пружиной с неподвижным основанием, а другое — с телом, движущимся с постоянной скоростью. Взаимодействие тел описывается нелинейным законом трения с падающим участком характеристики. Получены усредненные уравнения движения в канонических переменных действие-угол, найдены стационарные точки, соответствующие автоколебательным режимам, и исследована их устойчивость.

Ключевые слова: автоколебательная система, нелинейный закон трения.

The motion of two bodies is studied. One of them is connected to a motionless basis by a spring, whereas the other one is connected with a body moving at a constant speed. The

1 Вильке Владимир Георгиевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Шаповалов Иван Леонидович — студ. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nazarovich [email protected].

interaction of the bodies is described by a nonlinear friction law with a falling section of the characteristic. The averaged equations of motion are obtained in terms of the canonical action-angle variables. The stationary points corresponding to self-oscillation modes are found and their stability is studied.

Key words: self-oscillating system, nonlinear law of friction.

Контактное взаимодействие двух тел в ряде случаев сопровождается возникновением колебаний частей тел относительно друг друга. Колебания подобного рода называются автоколебаниями или релаксационными колебаниями [1—3]. Их появление связано с притоком энергии в систему от внешнего источника и с наличием нелинейности в законе, описывающем силовое взаимодействие тел. Примерами механических систем с одной степенью свободы, в которых возникают автоколебания, могут служить маятник Фруда и груз на ленте транспортера. В них используется модель сухого трения, когда сила трения покоя превосходит силу трения скольжения. Аналогичная модель позволяет найти периодические движения в системе с двумя степенями свободы [4-6]. Описание динамики колесных экипажей обычно проводится на основе модели взаимодействия шин с дорогой, называемой "магической формулой", в которой сила трения представляется комбинацией двух арктангенсов, зависящих от скорости скольжения шины по дороге, а также формулы в виде многочлена от этой скорости и ее модуля [7].

С математической точки зрения использование законов подобного рода приводит либо к неоднозначности решений, вызванной переменной структурой правых частей дифференциальных уравнений, либо к сложностям аналитического исследования поведения фазовых траекторий. В результате применяются численные методы исследования динамики систем с нелинейным трением [4].

В настоящей работе рассматривается модель трения, описываемая полиномом пятой степени, содержащим нечетные степени относительной скорости трущихся тел. Характерной особенностью силы трения является наличие интервала скоростей, в котором сила трения убывает с ростом скорости. Предложенная модель трения используется для анализа динамики двух взаимодействующих осцилляторов в переменных действие-угол с помощью метода усреднения. На фазовой плоскости усредненных переменных действие найдены стационарные точки и исследована их устойчивость. Этим точкам соответствуют одночастот-ные или двухчастотные колебания, когда точка в двумерном конфигурационном пространстве описывает фигуру типа фигуры Лиссажу.

1. Постановка задачи. Уравнения движения и стационарные движения. Рассмотрим два тела, одно из которых, имеющее массу Ш\, связано с неподвижным основанием пружиной жесткости k\. Второе тело, имеющее массу Ш2, скользит по поверхности первого тела и связано пружиной жесткости k2 с третьим массивным телом, движущимся поступательно вдоль оси Ox с постоянной скоростью v. Первое и второе тела также движутся поступательно вдоль неподвижной оси Ox. Пусть qi — перемещение первого тела в неподвижной системе координат, а q2 — перемещение второго тела относительно массивного тела. Будем считать, что при qi = q2 = 0 обе пружины не деформированы. Поскольку массивное тело движется с постоянной скоростью, то система координат, связанная с ним, является инерциальной. Уравнения движения системы принимают вид

miqi + kiqi = -F (V ), m^qb + k2 q2 = F (V ), F(V)= a(V - giV3 + g2V5), V = v + qi - q2.

Положительные коэффициенты a, gi, g2 определяют характер нечетной функции F(V) на всей числовой оси. Если принять

V2 + V22 1

"' lïï^- ^W (2)

то F(V) в области положительных значений аргумента имеет локальный максимум в точке V1, локальный минимум в точке V2 и убывает на интервале (Vi, V2). Допустим, что F(V) > 0 при V > 0. Это условие будет выполнено, если локальный минимум функции в точке V2 окажется больше нуля, что будет справедливо, если имеет место неравенство 15V2 — 5(V2 + V22) V22 + 3V2f > 0, откуда

5Vi2 > V22. (3)

В дальнейшем будем считать, что F(V) удовлетворяет условиям (2) и (3).

Сделаем замену переменных

q i = -k- iF (v)+x i, q2 = k- iF (v)+X2 (4)

и представим уравнения движения в виде

т\Х\ + к\х\ = - [Г (V) - Г (V)] , Ш2Ж2 + к2 Х2 = F (V) - Г (у), V = V + х\ - Х2. (5)

Система уравнений (5) имеет нулевое решение х\ = Х2 = 0, соответствующее скольжению одного твердого тела по другому с постоянной скоростью. Постоянные растяжения пружин определяются величиной силы трения и, согласно соотношениям (4), равны

910 = -к—Г (у), ^20 = (у).

Устойчивость стационарного скольжения двух тел исследуем на основе линеаризованной системы уравнений (5):

тпХп + кпХп = (-1)пГ'^)(Х1 - Х2), п = 1, 2; ^^) = а(1 - 3^ V2 + 5^V4). (6)

Имеем Ш = —F'(v)(x1 - Х2)2, где

Ш = Т + П, Т = 1 {т1х\ + т2±1), и = ^ (к!х1 + к2х1).

Если V € [0,У1) и ^2, ж), то Г'(у) > 0 и Ш < 0 вне многообразия М = {(Х1, Х2) : Х1 = Х2}, которое не содержит траекторий системы (6). Следовательно, согласно теореме Барбашина-Красовского, стационарное скольжение устойчиво [8]. В противном случае в области значений V € , V;) производная Г'(у) < 0 и стационарное скольжение неустойчиво согласно теореме Красовского о неустойчивости [8].

Найдем производную полной механической энергии системы, используя систему (5):

Ш = - [Г(V + ш) - Г(V)] ш, ш = Х1 - Х2.

Функция Г(V) монотонно возрастает в области V > V* > где V* удовлетворяет равенству Г(V*) = ГV). Тогда справедливо неравенство [Г(V + ш) - Г(V)]ш > 0 для любого ш, если скорость базового тела V > V*. Следовательно, в области V > V* система (5) не имеет стационарных решений, отличных от нуля, все ее решения ограничены в четырехмерном фазовом пространстве (Х1, Х2,Х1,Х2) и асимптотически стремятся к нулевому решению согласно теореме Барбашина-Красовского [8].

Если скорость базового тела относительно неподвижной системы координат V удовлетворяет условию 0 < V < Vo < Vl, где Vo таково, что Г^о) = Г(У2), то справедливо неравенство [Г(V + ш) - Г(V)] ш > 0 для любого ш. Следовательно, все решения системы (5) ограничены в фазовом пространстве и асимптотически стремятся к нулевому стационарному решению [8]. Таким образом, в областях малых и больших значений скорости скольжения V одного тела по другому механическая система обладает положениями равновесия, асимптотически устойчивыми в большом.

Ранее было показано, что на интервалах скоростей базового тела V^1), (У2,и*\ нулевое решение системы (5) устойчиво по Ляпунову.

2. Канонические уравнения движения. Метод усреднения. Исследуем поведение системы, когда скорость скольжения тел V принадлежит интервалу (ио,и*), содержащему интервал (^^2), на котором функция Г (V) убывает. Перейдем к каноническим переменным действие-угол /1, ^>1, /2, ^>2 для двух гармонических осцилляторов по формулам [9]

/7, 7~ 2ип1п . 2 л „

Рп = rrinXn = \/2тпшп1п cos <рп, хк = \/——sin <рп, шп = —, п = 1,2.

V kn т,п

Функция Гамильтона в переменных действие-угол и работа обобщенных сил на возможных перемещениях представляются следующим образом:

H(Ii,l2,<fi,V>2)= uih + W2/2, SA = -[-F(V) - F(v)]5(xi - X2), (7)

где

T. , /2wi/i /2 LU2I2

V = V + \ - COS if 1 — \ - COS lfi2 •

\ mi V m2

Используя (7), запишем канонические уравнения движения с неконсервативными силами в форме [9] L = -[F{V)-F{v)] фп = шп+ [F(V) — F(v)] d(Xl~X2\ п = 1,2. (8)

дфп Oln

Система (8) имеет стандартный вид системы, используемой в методе усреднения, если коэффициент a в выражении силы трения (1) принять в качестве малого параметра в соответствующей системе единиц, где он имеет безразмерную величину. Усредним правые части (8) по быстрым переменным ф1 и ф2, предполагая отсутствие резонансов, когда liU\ + ¡2^2 = 0 для любых целых li и I2. Сохраняя прежние обозначения, получим систему усредненных уравнений

in = Gn(h,h), Фп = Un, n = 1,2, (9)

где

2п 2п 0 0

из которой следует, что частоты быстрых переменных ф1 и ф2 не возмущаются. Стационарным точкам первых двух уравнений системы (9), в которых обращаются в нуль функции Gi и G2, соответствуют автоколебательные режимы, представленные фигурами Лиссажу на плоскости (xi , Х2), всюду плотно заполняющие прямоугольник с центром в начале координат, размеры которого определяются значениями величин l1 и l2 в стационарных точках.

Найдем явный вид усредненных уравнений. Введем новые переменные Рп = л/2сonIn/mn, п = 1,2, и запишем первую группу уравнений системы (8) следующим образом:

PnPn = (-1)nm-1[F(V) - F(v)]Pn cos Фп, V = v + Pi cos Ф1 - P2 cos Ф2, n = 1,2. (10)

Учитывая вид функции F(V), представленной в (1), и усредняя правые части уравнений (10), получим систему уравнений

= -аш^Ь^г, ^), ¿1(^1, ^) = [А + В(^ + 2^2) + С (¿2 + 6^ ¿2 + 3^22)], ¿2 = -аш-1Ь2(^1, ¿2), ¿2(^1, ¿2) = ¿2 [А + В(2Я1 + ¿2) + С(3Я2 + 6^1 ¿2 + ¿22)],

где

15 3 5

= Р\, г2 = Р$, А = 1 — Зд\У2 + Ь§2У4, В = -д2у2--д ь С =-д2.

В силу (2) и неравенства (3) коэффициенты уравнений (11) можно записать в форме

(11)

(у2-У2)(у2-У2) 6^2-У2-У22 1

v?v? ' w?v? ' 8v;2k2'

1 2 1 2 1 2

Коэффициент А = a~1F'(v) отрицателен, когда V принадлежит интервалу (У1,У2). Следовательно, нулевое решение уравнений (11) неустойчиво в этой области значений скорости V. Если относительная скорость двух тел V € (0, V!) и (У2, то), то коэффициент А положителен и нулевое решение уравнений (11) асимптотически устойчиво. Таким образом, в областях малых и больших скоростей относительного скольжения двух тел существуют устойчивые режимы скольжения двух тел относительно друг друга. Этот результат был получен в п. 1 для точных уравнений.

Найдем ненулевые стационарные точки (11), которым соответствуют автоколебательные режимы, и исследуем их устойчивость на основе усредненных уравнений (11). Приравнивая правые части (11) к нулю, получим систему алгебраических уравнений

¿1(^1,^2) = 0, ¿2(^1 ,¿2) = 0. (12)

Если не рассматривать нулевое решение, то система (12) эквивалентна трем системам

\ ¿1 =0, \А + В21 + С^2 = 0,

2 2

A + BZ2 + CZ22 = 0; Z2 = 0;

А + + 2Z2)+C (г{ +6Zl ^2 +3^22)=0, А + Б(2Zl + Z2)+C (3Z12 + 6Zl Z2 + Z2) = 0.

Первые две системы имеют соответственно решения

—В ± Vв2 - 4АС , л =0, = -^-; (14)

-В±УВ*-ААС 21 =-2С-' ^2 = 0'

описывающие автоколебательные режимы, при которых одно из тел движется с постоянной скоростью или покоится, а другое совершает колебательные движения.

Найдем ненулевые решения (13). Сначала складывая, а затем вычитая два уравнения (13), получим систему уравнений

2А + 3Б^1 + Z2) + 4С (Z2 + 3ZlZ2 + Z2) = 0, (^ - Z2)[Б + 2С(^ + Z2)] =0, которая имеет четыре решения

-3В ± л/91р—40АС —В ± ^4ЖГ^ЗБ2 —В л/ШТ^ЗВ^ --; 21 --4С-' -4С-• (16)

Из найденных стационарных решений следует оставить действительные неотрицательные решения согласно определению переменных Zl и Z2. Получим уравнения в вариациях в окрестности каждого стационарного решения в виде

• а (дыгъг2) с , дь1(г1,г2) ^ \ . а (дь2(гиг2) , , дь2(гиг2) ^ \

6 = дгг 6+ дг2 Ъ)> 6 = дгг 6+ дг2 Ь)' (1?)

Здесь ^1, ^2 — вариации переменных Zl и Z2 в окрестности стационарной точки, в которой вычисляются частные производные функций ¿1 и ¿2. Стационарное решение устойчиво, если корни

дЬЛ ^(д^дЬ2_дЬ1дЬ2\

\rrii т2)\дг 1 дг2)' т1т2\дг1дг2 дг2дг1)

характеристического уравнения Л2 + М1\ + N2 = 0 имеют отрицательные действительные части, что, согласно теореме Виета, справедливо, если

N1 > 0, N2 > 0. (18)

Все стационарные значения Zl, Z2 и коэффициенты N1, N2 зависят от трех параметров V2, V2, У12. 3. Существование стационарных точек и их устойчивость. Наибольший интерес с точки зрения существования автоколебательных режимов представляет интервал скоростей базового тела (V, V!). В этом интервале скоростей V нулевое решение (11) неустойчиво, так как система уравнений в вариациях (17) принимает вид

т1 т2

Исследуем устойчивость стационарной точки (14). Имеем

дгх = дг2 = А + + *дг2 = о, ~02\ = бС^.

Условия устойчивости (18) в рассматриваемом случае сводятся к одному неравенству

д^(0^) д£2(0^)

дZl дZ2

= А + 2БZ2 + 3CZ2 > 0,

которое эквивалентно неравенству — 2А > В ¿2, откуда получаем

— V2 — У22) [8^2 — У2)(У22 — V2) + — V2 — У22)2] > 0.

Последнее неравенство справедливо во всем интервале значений V € (У1,У2). Таким образом, стационарное решение (14), а также стационарное решение (15), устойчивость которого исследуется аналогичным образом, устойчивые. Это означает, что в системе существуют автоколебательные режимы, когда одно из тел совершает колебания, близкие к гармоническим колебаниям с конечной амплитудой, а второе тело "почти" не колеблется.

В интервале значений V € (У1, У2) из четырех ненулевых решений (16) остается только одно

^1 = ^2 = г0, г0 = (\/9В2 - 40АС - ЗБ) /(20С) > 0, (19)

поскольку для остальных решений переменные ¿1 и ¿2 могут принимать отрицательные значения. Для исследования устойчивости стационарного решения (19) проверим справедливость неравенств (18). Имеем

=А + 4вг0 + 18сг1 дЬг{^2о) =2вг0 + 12сг1 г, 3 = 1,2, (20)

Так как ¿о является корнем квадратного уравнения ЮС^2 + ЗВ^о + А = 0, то частные производные (20) представляются следующим образом:

дьг(г0,г0) 4 7 дьг(г0,г0) е 8 ..

Условия устойчивости (18) записываются в форме

—4А — 7В^о > 0, (4А + 7В^о)2 > (6А + 8В^о)2. (21)

Первое неравенство (21) представляется в виде

160ж - 7у (у/9у2 + 80ж - Зу) > 0, ж = >0, у = АВУ?У%,

из которого следует неравенство х(2х + у2) > 0, справедливое во всей области значений V € (У1 ,У>). Второе неравенство (21) не выполняется во всей области значений скорости V, поскольку имеет место неравенство

—6А — 8В^о > —4А — 7В^о > 0 ^^ х(8х + 5у2) > 0.

Стационарная точка (19) неустойчива, и степень ее неустойчивости равна единице.

В области значений V € (У1,У2) существуют две неустойчивые стационарные точки — начало координат и точка, определяемая соотношениями (19), и две устойчивые стационарные точки, определяемые соотношениями (14) и (15). Область значений переменных £ = {(¿1,^2,) : ¿1 ^ 0,^2 ^ 0} разбивается двумя сепаратрисами, входящими в особую точку (19), на две области притяжения устойчивых стационарных точек (14) и (15) соответственно. Одна из сепаратрис выходит из начала координат, а вторая приходит в особую точку (19) из бесконечности. В системе устанавливается режим устойчивых релаксационных колебаний, отвечающий либо решению (14), либо решению (15) в зависимости от того, в какую область притяжения попадают начальные условия движения.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты № 07-01-00134, 08-08-00553, 08-0100600.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959.

2. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Либроком, 2010.

3. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

4. Степанов С.Я., Хизгияев С.В. Автоколебания двухмассовой механической системы с кусочно-постоянной моделью сухого трения // Ломоносовские чтения, апрель 2007. М.: Изд-во МГУ, 2007. 142.

5. Хизгияев С.В. Автоколебания двухмассового осциллятора с сухим трением // Прикл. матем. и механ. 2007. № 6. 1004-1013.

6. Pascal M. Dynamics and stability of a two degrees of freedom oscillator with an elastic stop // J. Comput. and Nonlinear Dynamics. 2006. 1, N 1. 94-102.

7. Pacejka H.B. Tyre and Vehicle Dynamics. L.: Elselvier, 2005.

8. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука, 1988.

9. Вильке В.Г. Теоретическая механика. 3-е изд. СПб.: Лань, 2003.

Поступила в редакцию 22.09.2010