Движение периодической системы штампов по ортотропной упругой полосе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 2

В. К. Лащенов

ДВИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ШТАМПОВ ПО ОРТОТРОПНОЙ УПРУГОЙ ПОЛОСЕ

Рассматривается динамическая стационарная задача о движении периодической системы симметричных параболических штампов по границе упругой ортотропной полосы. Методом кусочно-однородных решений (КОР) задача сведена к нормальной системе Пуанкаре—Коха экспоненциального типа. Решение задачи о полубесконечном штампе и подистемы КОР построены в квадратурах методом Винера—Хопфа.

Ранее изучались стационарные смешанные задачи о контакте движущегося штампа с полуплоскостью [1-5] и полосой [6, 7].

Результаты и метод решения данной задачи могут быть использованы при исследовании контактного взаимодействия ведомого упругого колеса с абсолютно твердым дорожным покрытием. Актуальность такого исследования очевидна. Нагруженное через ось ведомое колесо машины испытывает несколько видов деформации. В статическом случае — это реакция со стороны твердого дорожного покрытия, которую можно рассматривать как вдавливание в обод колеса жесткого штампа силой, равной нагрузке на ось. При движении — это осесимметричное центробежное поле нормальных напряжений, вызванное вращением колеса вокруг своей оси, и стационарное поле динамических напряжений, бегущее по ободу колеса со скоростью, равной скорости движения оси относительно дорожного покрытия. На малых скоростях движения последние два фактора можно не учитывать. Если же материал обода податлив, например, если это резина, и скорость движения велика, то эти факторы становятся существенными и могут оказывать влияние на прочностные характеристики колеса [8].

1. Постановка задачи. Пусть по верхней грани упругой ортотропной полосы —то < Х1 < 0 < У1 < 1 в направлении оси Оух\ движется с постоянной дозвуковой

скоростью с периодическая система симметричных параболических штампов, нижняя грань полосы находится в скользящей заделке. В подвижной системе координат ХОУ х = Х1 — сЬ, у = ух, Ь —время, штампы имеют фиксированные участки контакта с полосой, основание штампов определяется уравнением

у = ах2 — 2а1\х +1, 0 < х < 21\,

где а > 0, ¿1 —заданные постоянные. Трение между штампом и полосой отсутствует, напряжения вне штампа и контактные нормальные напряжения под его краями равны нулю.

Поставленная задача является линейной, и её граничные условия имеют вид

V = тху =0 (у = 0), тху =0 (у = 1), (1.1)

ау =0 (—¿2 < х < 0, у =1), V = ах2 — 2а1хх (0 < х < ¡1, у = 1), (1.2)

и = тху =0 (х = ¡1, х = —¡2; 0 <у < 1), (1.3)

и, V — компоненты вектора смещений в направлении осей х и у, ау, тху, ниже ах — компоненты тензора напряжения, 212 —расстояние между штампами.

© В. К. Лащенов, 2004

Решение задачи (1.1)—(1.3) построим в виде рядов

оо оо

<x,y)=Y. uk(x,y), v(x,y) = vk(x,y) (—I2 < x < li; 0 < y < 1),

k=_o k=_o

где u0(x,y), v0(x,y) —решение неоднородной смешанной задачи о полубесконечном штампе с граничными условиями (1.1),

ay =0 (x < 0, y =1), v = ax2 — 2al\x (x > 0, y = 1), (1-4)

uk(x,y), vk (x,y), к = ±1, ±2,... — элементы двух подсистем КОР однородной задачи (1.1),(1.4). Каждый элемент первой подсистемы (к = 1, 2,...) имеет особенность при x = второй (к = —1, —2, ...) при x = —ж.

2. Решение неоднородной задачи о полубесконечном штампе. В координатах x, y решение дифференциальных уравнений движения в трансформантах Лапласа имеет вид [7]

= J U(p,y)epxdp, „(X)í/) = -L J V(p, y)epxdp, (2.1)

L L

где

U(p, y) = A_ (Ci sin r_py + C2 cos r_py) + A+ (C3 sin r+py + C4 cos r+py), V(p, y) = B_(—C1 cosr_py + C2 sinr_py) +B+(—C3 cosr+py + C4 sinr+py), ( )

A± = (вы + Pe¡6)r±, B± = pc2 — fin + [366rl, r± = {[Ai ± (X2 — 4\0\2)1/2](2\0)_1}1/2, Ao = в22вбб, Ai = (в11 — pc2)p22 + (вбб — рс2)вбб — (в12 + вбб)2, A2 = (в11 — рс2)(вее — pc2). Здесь Cq, q = 1,..., 4 — произвольные функции аргумента p; r± —положительные вещественные числа, в^ — коэффициенты ортотропии в соотношениях Гука, разрешенных относительно напряжений

du dv du dv í du dv

^=Р1П--= H21 "7¡--Txy = [366 --h ТГ"

dx dy dxdy y dy dx

ftij = fijí, fijj > 0; p — плотность материала полосы, L - прямая Re p = e.

Рассмотрим задачу (1.1), (1.4). Однородные условия (1.1) приводят к соотношениям

Ci = C3 = 0, C2 = (A+ r+ — B+)C(p) sin r+p, (2.3)

C4 = (—A_r_ + B_)C(p) sinr_p,

C(p) —произвольная функция. Согласно смешанным граничным условиям (1.4) имеем

а+ (p) = C(p)Ni(p), v+(p) +v_(p) = C(p)N2(p), p e L, (2.4)

где

+ 0 +0 a+(p) = / (x, 1)e_pxdx, v+(p) = 1v(x, 1)e_pxdx = 2ap_5(1 — lip),

(p) = J v(x, 1)e pxdx, Ni(p) = p [Di sin(r_ + r+ )p + D2 sin(r+ — r_)p],

-о

N2(p) = (ви — pc2)(Pi2 + вбб )(r2 — r+ )sinr_p sin r+p,

+

22

2Di = (ei2 + вбб )(r_ — r+)R(c), 2D2 = —(ei2 + вбб)(т-_ + r+ )[R(c) + 2(ви — pc2)pc2], 98

v

Д(с) = [(вп - рс2)1322 - в212]т-т+ - (ви - рс2)рс2 — функция Релея, имеющая единственный положительный нуль. Верхние индексы плюс и минус обозначают аналитичность функций в правой и левой полуплоскости соответственно.

Нули функций ^(р), лежащие в первой четверти комплексной плоскости И,ер> 0, 1т р > 0 и перенумерованные в порядке возрастания их вещественной части, обозначим через ак, к = 1, 2,... Нетрудно проверить [9], что

11е ак = + -2 < 7 < 2, 1т ак = 0(1)

т_ + т+

Учитывая симметричное расположение нулей функции ^(р) относительно начала координат (и обеих осей), положим а_к = -ак. При любой скорости с € (0,сд), сд — единственный положительный корень уравнения Н(с) = 0, функция ^(р) на мнимой оси не имеет нулей, исключая двукратный нуль р = 0. Далее предполагаем, что с < сд.

Нули функции N2 (р) все вещественные и находятся элементарно. Положительные нули перенумеруем по возрастанию и обозначим через Ьк, к = 1, 2,...; Ь_к = -Ьк.

Исключив функцию С(р) из соотношений (2.4), придем к уравнению Винера—Хопфа

V_(р) + 2ар_3(1 - /1р)= К(р)а+ (р), р € Ь, (2.5)

К (р)= Н2(р)/Н1(р).

Вначале найдем решение соответствующего однородного уравнения

v_(p) = К(р)а+(р), р € Ь, (2.6) разбив его на две задачи Римана [10]:

vJ(p)= К3(р)о+ (р), р € Ь, з = 1,2, (2.7)

(р) = (p), ^(р) = (p), К (р) = К1 (р)К2 (р).

'о

Поскольку

/Зп ~ рс2 Н

(/Зц — РС2)Р22 ~ /?12 :

Н = (вп - рс2)(т_ + т+ )/К(с), то, пологая К\(р) = Нtgпр/р, путем факторизации тангенса для первой задачи Римана находим

= Кер>0. (2.8)

VI (-р) г(1/2 + р)

Пусть К2(р) = К(р)/К\(р). Функция К2(р) на мнимой оси вещественна, не имеет ни нулей, ни полюсов,

^2(0) = Д(С) -К2(г/3) = 1 + 0(е-2^), ¡3 ±оо,

п(т_ + т+ )[(в11 - рс2)в22 - в22]

индекс ее на Ь равен нулю. Следовательно, решение второй задачи Римана можно найти по формулам Гахова [10]

-+(Р) = —Ц = ехр{ —— [ <й}, Пер > 0, (2.9)

v2 (-р) п } г2 + р2

(+ТО

АI нклтлт

г2 - в2

Факторизовав функцию К(р), используя формулы (2.6)—(2.9), запишем неоднородное уравнение Винера—Хопфа (2.5) в следующем виде:

у~(р) , /0) а+(р) ^ т

У0 (р) Р3 а0+(р)

/(р) = 2а(1 — 1\р)/у-(р). Отсюда на основании асимптотических оценок а° (р) = 0(р1/2),

а+(р)/а°(р) = 0(р 7), 7 > 3/2, р полученных по теореме абелева типа

[11], и в силу условий под краем штампа имеем

то

а+ (р) = (p)g(p),

д(р)

руо (0)

(0) ПЛ П у-**(0) [у-*(0)

о- (0) р) V рУ 2у0 (0) (0)

Звездочка обозначает дифференцирование по р.

Определив функцию ао(р), из первого уравнения (2.4) с учетом сделанной факторизации находим

с{р)=(2л°)

Подстановка выражения (2.10) в формулы (2.3) полностью определяет функции (2.2) и позволяет по формулам (2.1) получить решение неоднородной задачи (1.1),(1.4):

„ = ид(р, у) ерх ф, д = 1,..., 5. (2.11)

ь

Здесь и далее и1 = и, = V, из = тХу, и4 = ах, и5 = ау,

/ о Г 7

С{р)и1{р, у) = и(р, у), С{рШр) = У(р), и3(р, у) = /Збб Г+Ри2

ди2 ди2

и4(р,у) = /Зцри1+1312-^—, и5(р,у) = р21ри1 + [322-^—,

Ь — контур интегрирования, совпадающий с мнимой осью, исключая окрестность точки р = 0, которую он обходит слева или справа в зависимости от того, берутся ли вычеты при разложении интеграла в ряд по вычетам в нулях функции N1(р) или М2(р).

3. Подсистемы КОР. Построим две подсистемы КОР. Каждый элемент первой подсистемы согласно п. 1 должен удовлетворять однородным условиям (1.1), (1.4) и иметь особенность при х = Эти элементы представимы в виде суммы решения

основной задачи с условиями скользящей заделки V = тху = 0 на обеих гранях полосы, получаемого по формулам (2.2) при р = Ъу , и решения корректирующей смешанной задачи (1.1),

ау = —аку (х< 0,у =1), V = 0, (х > 0, у = 1), (3.1)

где ау = Nl(Ъk)вЬкХ —напряжения, возникающие в к-м однородном решении основной задачи.

Смешанные условия (3.1), записанные в трансформантах Лапласа

а+(р) + ^(Ъу )(р — Ъу )-1 = ^(р)С(р), у-(р) = ^(р)С (р), приводят к уравнению Винера—Хопфа

у-(р) = К(р)[а+ (р) + ^(Ъу)(р — Ъу)-1], р е Ь.

2

—* V-

Зная решение однородного уравнения (2.6), получим

С(р)

а+(Ък)М2(р)(р-Ък)'

о

Таким образом, элементы первой подсистемы КОР имеют вид

и^у) = С\ид(Ьк,у)е^+^М^к\ Г ид(р, у) ерх с1р, (3.2)

д 2та+ (Ьй) 7 Щр)(р - Ьк)

ь

Ск — произвольные постоянные, к =1, 2,...,д =1,..., 5.

Элементы второй подсистемы КОР с особенностью при х = -то строятся аналогично. Путем наложения решений основной (1.1), оу = 0 (у =1) и смешанной (1.1),

ау = 0 (х < 0, у =1), V = -К2(ак)ва*х, (х > 0, у =1)

задач находим

и*(х, у) = Ск ид(ак, у) еакХ - ^ [ ид(р,у) е^ ф, (3.3)

д 2пгv0 (ак)У .1(р)(р - ак)

к = -1, -2,...

4. Решение задачи для прямоугольника. Согласно пп. 2-3 функции

о

ид (х,У)= ия (x,У), д =1,..., 5 (41)

к=_о

удовлетворяют уравнениям теории упругости и граничным условиям (1.1)—(1.2). Для завершения решения задачи остается удовлетворить условиям (1.3) на торцах путем надлежащего выбора коэффициентов Ск ,к = ±1, ±2,.... Для их нахождения воспользуемся соотношением обобщённой ортогональности [7] 1

![и 1(рк,У)и6(рт,у) - и7(рк,у)и2(рт,у)Цу = 0, рк = р2т (4.2)

о

Здесь иб(р, у), ич(р, у) —трансформанты Лапласа функций

Рс2 Л „. „ л вп _2 ди2

у) = ( ^--1 ) м3(ж, у) - рс2 ди1

вбб ) ду

Ряды (4.1) подставим в однородные условия

и1(х,у) = 0, и7(х,у) =0 (х = ¡1, х = -¡2; 0 <у < 1), (4.3)

равносильные условиям (1.3). Контурные интегралы разложим в ряды по вычетам в нулях функции N2 (р), при х = ¡1 ив нулях функции .^(р) при х = -¡2 .В образовавшихся двойных рядах, меняя порядок суммирования и вводя неизвестные

Хк = Ск вЬк11, к = 1, 2,...; Хк = Ск с_ак12, к = -1, -2,... для з = 1, 7, получим

оо оо

]Г ид(Ьк, у){Хк \ХиТ1(Ьп, -Ьк )в_(-Ь«+Ьп)11 - Х_пТ2(-ап, -Ьк)в_ап12_Ь«11 ]-

к=1 п=1

-Si(-bfc)} = S1q Rl(y) + ¿7q R2(y),

J2 Uq(ak, y){X-k + ^ХпТз(Ъп, ak)e-akl2-bnl1 - X-nTA(-an, ak)e-(ak+anl]+

k=1 n=1

+S2(ak)} = Slq Яз(у) + S7q Ri(y),

R2j-I(y) = - lim R2j (y) = - limn

/(0) d3 Л0) /"(0) д •

3! dp3 2! dp2 2 dp д

md~p+m

[Fj (p)pUi(p,y)],

[Fj(p)p-1U7(p,y)], j = 1,2;

т, = т)щ(т) т(.,= т)щ(т)

Щ(т)а+(г)(т - г)' 2[ Щ{т)УоШт-гу

Р1(р) = у-(р)ер1г/Щ(р), ¥2(р) = а-0(р)е-р12/^(р), Зуч — символ Кронекера.

Первое уравнение системы при ц = 1 и ц = 7 умножим соответственно на и^(Ът,у) и — и2(Ът,у), полученные равенства сложим и результат проинтегрируем по у от 0 до 1. Аналогично поступим со вторым уравнением, предварительно заменив в указанных множителях Ът на ат.

Используя соотношение ортогональности (4.2), приходим к нормальной системе Пуанкаре—Коха с двусторонним определителем

e ani>2-bmi\

Xm-Y, XnTi(bn, -bm)e-(bm+bn)h - X-nT2(-an, -Ът)

n=1

= h1(bm) - S1(-bm),

X-m + Y XnT3(bn,am)e-aml2-bn 1 - X-nT4(-an,am)e-(am+an)l2 =

n=1

m = 1, 2,...\

= Ъ,2(ат) — Б2(ат),

1

^^-^у^е^р^) — R2j ^Щ^у^у

Мр) = 1->

1р1(р,у)и6(р,у) — и2(р,у)и7(р,у)]йу

о

матричные элементы которой экспоненциально убывают по номерам строк и столбцов.

Для нахождения контактного давления под подошвой штампа можно воспользоваться формулой

т

иу

av(x,1) = Y uk(x,1)

5

k=-n

где функции u°(x, 1) и uk(x, 1) определены выражениями (2.11), (3.2), (3.3) при

U5(p, 1) = p[(A-ß12 + B-ß22T-)(A+ r+ - B+) sinr+pcosr-p--(A+ ß12 + B+ ß22r+)(A-r- - B-) sin r-p cos r+p],

m и n — число кусочно-однородных решений из первой и второй подсистемы КОР, обеспечивающих выполнение условий на торцах с любой заданной точностью, достигаемой за счет решения нормальной системы Пуанкаре—Коха, редуцированной соответствующим образом.

Аналогичным образом может быть получено решение задачи и для более широкого диапазона дозвуковых скоростей.

Summary

V. K. Laschenov. Movement of a parabolic punch system along an ortotropic elastic strip.

The dynamic steady-state problem of movement of the periodic system of symmetric parabolic punches along the boundary of an elastic orthotropic strip is considered. The solving of the problem by the method of piecewise-homhgeneous solutions is reduced to a normal exponential-type Poincare-Koch system. The system of piecewise-homogeneous solutions and the solution of the problem of a semi-infinite punch are constructed in quadratures by the Wiener—Hoph method.

Литература

1. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1953. 264 с.

2. Александров В. М., Мхитарян С. М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 487 с.

3. Александров В. М., Коваленко Е. В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 334 с.

4. Бабешко В. А., Глушков Е. В., Зинченко Ж. Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 343 с.

5. Нахмейн Е. Л., Нуллер Б. М. О дозвуковом стиционарном движении штампов и гибких накладок по границе упругой полуплоскости и составной плоскости // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 1. С. 134-144.

6. Белоконь А. В., Шехов В. П. Смешанные задачи теории вязкоупругости с движущимися штампами // Статические и динамические смешанные задачи теории упругости. Ростов на/Д: Изд-во Рост. ун-та, 1983. С. 231-246.

7. Лащенов В. К., Нуллер Б. М. Метод кусочно-однородных решений в стационарных задачах теории упругости // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 2. С. 321-331.

8. Левин М.А., Фуфаев Н. А. Теория качения деформируемого колеса. М.: Наука, 1989. 270 с.

9. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

10. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

11. Поль Б., Бреммер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. М.: Иностр. литер., 1952. 506 с.

Статья поступила в редакцию 14 октября 2003 г.