Две теоремы об отношении дисперсий уравненных измерений, дисперсий МНК-поправок и дисперсий исходных измерений Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Геодезия

УДК 528.3

ДВЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ОТНОШЕНИИ ДИСПЕРСИЙ УРАВНЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ, ДИСПЕРСИЙ МНК-ПОПРАВОК И ДИСПЕРСИЙ ИСХОДНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Владимир Абрамович Падве

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры прикладной информатики СГГА, тел. (383)343-18-53

Доказываются две теоремы. Одна - об отношении дисперсий оптимизированных (уравненных) значений измерений к дисперсиям измеренных значений тех же измерений. Другая - об отношении дисперсий МНК-поправок в измерения к дисперсиям тех же измерений.

Ключевые слова: оптимизированные (уравненные) значения измерений, МНК-поправки в измерения.

TWO THEOREMS OF THE RELATIONSHIP BETWEEN THE ADJUSTED MEASUREMENTS DISPERSIONS, THOSE OF THE LEAST-SQUARES CORRECTIONS AND OF THE INITIAL MEASUREMENTS

Vladimir A. Padve

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph.D., Prof., Applied Information Science department, tel. (383)343-18-53

Two theorems are being proved: one of the relationship between the optimized (adjusted) measurements values dispersions and those of measured values, the other deals with the relationship between the dispersions of the least- squares corrections to measurements and those of the same measurements.

Key words: optimized (adjusted) measurements values, the least- squares corrections to measurements.

Геодезистам известна теорема о среднем значении отношения весов геодезических измерений до и после уравнивания [1]. Позднее было установлено, что, если измерения свободны от неслучайных ошибок, то дисперсия каждого

измерения ay больше дисперсии уравненного (оптимизированного) значения того же измерения aY . Это следует из соотношения соответствующих ковариационных матриц:

KY = K - KV ^

a

Y

a

yi

a V ^

aYi <ayi

(1)

Построение ковариационных матриц Ky и Ky, используемых для оценки

точности уравненных значений измеренных величин, должно быть проконтролировано. С этой целью доказываются две теоремы.

17

Геодезия

Теорема 1. Сумма отношений дисперсий независимо измерявшихся величин 2 2

после уравнивания а у к дисперсиям их значений а y до уравнивания равна числу необходимых измерений k:

(2)

Дадим доказательство данной теоремы как для параметрической, так и для коррелатной версий МНК-оптимизации (уравнивания) измерений. Сумма (2) -это след произведения двух матриц: ковариационной матрицы уравненных измерений Ку и обратной исходной ковариационной матрицы измерений K-1:

tr(KY • К-1).

Действительно, пусть

( а 2 а Y1 К12 К13' ( - 2 аУ1 0 0 ^

II l>H К21 2 а Y2 К23 а К-1 = 0 а-2 0

V К31 К32 а Y) 0 V 0 а-2 )

Их произведение равно:

КуК-1

'2/—2 а Yi ' а У i

V

k21

k31

k12

/ а2

а Y2 / а у2

k32

k13

k23

Л

а

Y

/а

2

уз )

(3)

2

где kij = Kij / Qj . В таком случае след матрицы-произведения и есть искомая сумма (3).

Покажем, для каждой из версий МНК-оптимизации, что след произведения Ку *К-1 равен числу необходимых измерений k.

Параметрический способ:

й-(КуК-1) = *(А^АТК-1) = Й-(АТК-1ANkk) = tr^N^) = tr(Ikk) = k. (4)

Коррелатный способ:

tr(KYK-1) = tr(Inn - КВ^^В) = n - й-(БКБТ^;) = n - tr(Ir r)= n - r = k. (5)

18

Геодезия

Окончательно, получаем искомое утверждение:

tr(KY • K-1) = k.

(6)

Данный результат позволяет организовать контроль построения ковариационной матрицы уравненных измерений.

Если в нашем распоряжении имеется априорная ковариационная матрица уравненных измерений Ky=AN‘ A , то, беря её диагональные элементы и соответствующие элементы исходной ковариационной матрицы измерений K, мы можем прямо использовать теорему (2) в форме соотношения (6). Когда же мы имеем апостериорную ковариационную матрицу уравненных измерений

KY = |12 • KY =

т2 ... min mni ... тП

(7)

2 2

то сумма отношений m / ay должна модулироваться делением на апостериор-

2

ное значение масштабного показателя точности (МПТ) |J :

tr(Ky • K 1)/^2 = k.

(8)

2

Теорема 2. Сумма отношений дисперсий МНК-поправок а~~ в измерения к

2

дисперсиям независимых измерений ay до уравнивания равна числу избыточных измерений г:

= r. (9)

Докажем эту теорему для обеих версий МНК-оптимизации измерений. Сумма (9) равна следу произведения ковариационной матрицы МНК-поправок к измерениям KY и обратной ковариационной матрицы измерений K-1:

= tr(KV • K-1). (10)

19

Геодезия

Искомый след для параметрической версии равен:

1г(К^К-1) = tr((K - Ky)K-1) = tr(Im) - tr(K7K-1) = n - k = r. (11)

Для коррелатной версии доказательство аналогично:

tr(KVK-1) = tr(KBTN-lB) = tr(BKBTN-1) = tr(NrrN-J) = tr(Irr)= r. (12)

Подстановка результатов (11) и/или (12) в формулу (10) доказывает теорему:

= tr(Kv • K-1) = г. (13)

Полученный результат позволяет организовать контроль построения ковариационной матрицы МНК-поправок к измерениям.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шилов П.И. Способ наименьших квадратов. - М.: Геодезиздат, 1941. - С. 197-198. Получено 04.05.2011

© В.А. Падве, 2011

20