CC BY
13
ДВА КЛАССА ЧАСТНЫХ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ
ВЛАГОПЕРЕНОСА
Урманбетов Рысбек Джолдошевич
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Высшей и прикладной математики Кыргызского Национального Аграрного Университета имени К.И. Скрябина, город Бишкек (Кыргызстан)
Дыйканова Айнура Тынчыбековна
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Высшей и прикладной математики Кыргызского Национального Аграрного Университета имени К.И. Скрябина, город Бишкек (Кыргызстан)
TWO CLASSES OF PARTICULAR SOLUTION MOISTURE
Urmanbetov Rysbek Djoldoshevich
candidate of physico-matematicheskih Sciences, associate Professor of Kyrgyz National Agrarian University named after KI
Scriabin, Bishkek (Kyrgyz&an)
Dyikanova Ainura Tynchybekovna
candidate of physico-matematicheskih Sciences, associate Professor of Kyrgyz National Agrarian University named after KI
Scriabin, Bishkek (Kyrgyz&an)
АННОТАЦИЯ
Исследование нелинейного одномерного уравнения влагопереноса проведено численными, приближенно - аналитическими и аналитическими методами. Задачей является нахождение аналитических решений, определение распространения влаги в почвогрунте, с выявлением фронта смачивания и границы зон.
ABSTRACT
Inveftigation of nonlinear one-dimensional equation of moifture transfer numerical, approximate - analytical and analytical methods. The objective is to find analytical solutions, defining the spread of moifture in soils, the identification of the wetting front and the border areas.
Ключевые слова: влагоперенос; почва; почвогрунт; гипергеометрическая функция. Keywords: moi^ure transfer; soil; soils; hypergeometric function.
Известно, что движение влажности в глубь почвы происходит под действием самых разнообразных движущих сил, т.е. впитывание есть процесс поступление воды с поверхности почвы в ненасыщенную среду, причем она имеет неустановившийся характер. Наиболее полный характер исследования по одномерной инфильтрации имеется в классической работе Дж.Филиппа [1], в которой дается детальный анализ процесса горизонтального впитывания в однородный грунт, доказано существование решения уравнения влагопереноса с учетом капиллярных, сил с коэффициентами зависящими от влажности.
Исследование нелинейного одномерного уравнения вла-гопереноса проведено численными, приближенно - аналитическими и аналитическими методами. Нахождение аналитических решений, определение распространения влаги в почвогрунте, с выявлением фронта смачивания и границы зон раздела полного и неполного насыщения, является важной задачей.
Нами предлагаются простые оригинальные аналитические методы решения математических моделей движения влаги в почвах для одномерного потока. Нелинейное уравнение влагопереноса без учета гравитационных сил для одномерного случае записывается в виде
dW __д_ dt dx
dW D(W)—
ex
(1)
Для этого уравнения сформулируем следующую начально - краевую задачу:
при о ^р t = 0 W(x,<j> = А0 + А1х + А2х2 + ...,(2)
при о = р 1 ^ 0 W(xJ = В0 + В^ + В2г2 + ...,(3)
при о = е, г > о w(еJ = 0(4) Уравнения (1) с начально - краевыми условиями (2-4) описывает процесс впитывания влаги в почву, когда на поверхности поддерживается некоторой напор воды т.е. имеется избыток жидкости на поверхности почвы с неизвестной границей фронта увлажнения.
Так как уравнение (1) является нелинейным, то аппроксимируя коэффициент D(W) степенным рядом [1]
Б(Ш) = Б 0 + + Б 2 Ш2 + ...,(5) а само решение задачи искать в виде Ш = Ш0 + ^ ! + а2+ ...,(6)
то относительно основного нулевого приближения име-
Ш = Б Ш
ем уже линейное уравнения 4 0 0хх (7) Для него предложим решение в виде Wо(x,t)=fо(t)•f1© , £=ах2/1 (8) Определяя частные производные
£ =2ах/г, £=-ах2Л2, W W =£Х2ахЛ, W =Оа/
^х ' ^ ' ог 0 М 0 1 ' ох 0 1 ' охх 0
и подставляя в уравнение (7), получим
^[т+^Д'-вМаЦ-^О^) вырожденное гипергеометрическое уравнение Гаусса, решение которого имеет вид
1 22 ' 2 ' ' (10)
где ^ (() = , а = -1/4Б0 - функция Похгамме-ра или вырожденная гипергеометрическая функция, представленная с помощью ряда.
Другое частное решение уравнения (9) имеет вид
Г(I) = А^ -к 2 1) + А2х % -к +1,|; 1)
Ш = ехр| (11) т.е.
т.е. решением уравнения (7) будет
А
= ехр| -
^ > (12)
Далее усложним решение (8), т.е. Wо (х,> = Го (1) • А (/)[а + а/], / = б 2* Здесь, также определяя
(13)
= № ■ [в - »', ]-ВД'■ '' <« - »5 ) - Г0Г1 (-
= МЛ
уравнений, причем к=-5/2 , а - произвольная величина, Ь=4а, с=4а/3 .
Таким образом, еще одним точным решением уравнения (7) будет
Аналогично, можно найти еще одно решение методом индукции
= А'1
3 х
(21)
2D.it 4Ю 02!2 ШО?!3
Если продолжить этот процесс, то можно записать целый класс частных решений в виде
ТЙГц(х,1) = 1,(1) 'А + »аЕ5 + (22)
где Г0(О = А!-17-1^, Г](^) = екр(-х2/4ВС11) -' .-I .....аь - определяются яз
подстановка (22) а исследуемое уравнение (7).
где Г0(1)=А1-к-1/2, Г1(^)=ехр(-х2/4Б01) а,,а2,...,ап - определяются из подстановки (22) в исследуемое уравнение (7).
Второй класс частных решений предлагаем находить в форме
и подставляя в исследуемое уравнение, имеем при р =
о и = ^
Тй/„ (х, 1) = А -1
1 [. 115 =']
(16)
(х, Ц = - ^ ) - [а -Ь В^ + 2 | Е. = рз2А
(17)
4рО „5 (а + н + с? *){{+ [2рБ „(а + 5|Ц + 9с ^ ) + (а + в? -+ с? а)("[' + +- [зро п (в 4- 6с $ ) 4- (вЕ; -+ 2с1,1) - к(а -4- 4-с^)]^ = 0
(18)
Вначале, определим частные производные
Это уравнение также имеет одно из частных решений
АС/) = ехР/ (15)
при этом имеем систему алгебраических уравнений, из которых находим к=-3/2 , 2в=а , поэтому
- + г Т 0 12 х2 4Б012 '
2х ■ Ш'2
4Б01
х2
4Б
А затем подставляя в уравнение (7), после некоторых математических преобразований, имеем
Полученное решение, также является точным решением уравнения (7).
Если же решение (7) есть
В полученном уравнении разделение переменных не произошло. Но если взять Г2(£)=х, Г0(1)=1к, то оно записывается в форме вырожденного гипергеометрического уравнения
то, определяя частные производные и подставляя в рассматриваемое уравнение, после несложных выкладок имеем
а его два решения, имеют вид I,(0 = А^-к, |,О + ■ И(-к ■ ±О
(26)
^ =ё,
при этом предположили, что ' а при р=
1/4Б„ имеем
(а+вЕ. + -7сЕ.2
(^ +ка) + (в — Зс — кв)^ + (2с- кс)^2
С,=0
(19)
Уравнение (25) имеет также одно экспоненциальное решение Г1(^)=ехр^ , при к=-3/2 . Таким образом, одним из важных решений уравнения (7) будет
1У0 (х, 0 = А ■ I "^хехр (- х2 /4Б 01) (27)
Полученное решение можно усложнить, если искать решение исследуемого уравнения (7) в виде
Это уравнение имеет одно частное решение =ехр^, а коэффициенты определяются из системы алгебраических
wl
рх"
Г 1 г
(х^^ф-х^аЦа+в^ где Е. = —
(28)
х
+ 2р ; [а + ЕЕ
f f ' J-n-1!
M
Определяя частные производные
= [а + Эв ^ ]+ Н 0£,'[а + = 2рх /X {[з(а + ЕЕ ) + 4рв Е - Зв1"
^о! = (а + в?) + ^-(а + в? - ^ и подставляя в уравнение (7), при р=-1АШ f0(t)=tk, имеем
ИГ-[в
7 3
Ца + В5)ГГ-1 bî ' + (а - уВХ - -
■м
-1 (1 - - (на + -в) |rL = О
(29)
Отсюда, с учетом (2.7.28) имеем еще одно точное решение при к=-5/2 ,а - произвол, в=2а/3 ,
( X2 X2 1
___.
1 4D0tJ _ 6D„t
(30)
W0 (х, t) = А ■ t ^хехр
3D0t 60D„2t2
(32)
Мы заметили, что следующим решением для уравнения (7) будет
Таким образом, уравнение (7) имеет еще один класс част-
'И'о (I. я) = А - ^жхр [ - | ■
1 x'J -х' 1 X*
ÎD„I 20D02t 810 D0V
Полученное решение (30) подталкивает на мысль, что последнее произведение можно представить в виде полинома, например второй и.т.д. степени.
Пусть решение (7) имеет форму
Здесь, так же определяя искомые частные производные и подставляя в (7), после несложных математических выкладок, имеем
^[а + в^ + tf1 ]- + в? + Ч2]-f](вt + ici2) =
D
= D D [2p(Зв + 6cE +4ctI)f1 + 2pl3i + 7в i + llci ::)f'+ ilpli +■ BE + CE 2 P 5 f
Последнее уравнение имеет одно частное решение в виде
(33)
ных решений, общий вид которого записывается как
где f0(t)=At-k-1/2, fj(£)=exp(-x2/4D0t) в1 в2,...,вп- определяются подстановкой (34) в исследуемое уравнение (7).
Итак, нами найдены два класса точных аналитических решений уравнения (7). Зная, что полученные два класса решения удовлетворяют определенным функциональным преобразованиям [2], можно получить другие классы новых решений, а постоянные интегрирования определятся из начально- краевых условий (2- 4).
Список литературы:
1. Филипп Дж.Р. Теория инфильтрации « Изотермические передвижение влаги в зоне аэрации.-Л.: Гидрометео-издат.1972.-168 с.
2. Нерпин С.В., Чудновский А.Ф. Физика почвы. М., «Наука», 1967-583с
