Моделирование тепловых процессов в почвогрунтах Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ПОЧВОГРУНТАХ

Р. К. Сагындыкова1, А. Ы .Курбаналиев2, А. Т. Дыйканова1, С. Т. Жусупбекова1

1 Кыргызский национальный аграрный университет им. К. И. Скрябина, 720005, г. Бишкек Кыргызстан 2Ошский государственный университет, 723500, г. Ош, Кыргызстан

УДК 631.67

Б01: 10.24411/9999-018А-2019-100010

Увеличение производства продуктов сельского хозяйства, которые являются нашей основной задачей, достигается главным образом, за счет интенсификации сельскохозяйственных угодий, то есть требуется научное обоснование рациональных сроков и норм полива, обеспечивающих получение запрограммированных урожаев сельского хозяйства путем комплексного управления основными факторами жизнедеятельности растений. Большое распространение поверхностных способов орошения диктует необходимость создания механико-математических моделей и методик их решения, позволяющих выявить основные закономерности как фильтрационных, так и чисто гидродинамических процессов. Ключевые слова: теплоемкость, теплопроводность, температуропроводность, температура, частные производные, линеаризация, нелинейное уравнение.

Введение

Изучение задачи распростронения влажностных и тепловых процессов в почвогрунтах всегда была важной и актуальной проблемой для аграрии. Исследование этих процессов в почвогрунтах, необходимо рассматривать в органической слитности, совместно так как для оптимального роста и развития различных сельхозкультур на сельскохозяйственном поле, необходимо четко знать какими приоритетными эффектами и субстанциями надо объязательно считаться. В настоящее время, существуют ряд математических моделей процесса распространения тепла в почве [1], при этом коэффициенты теплопроводности и теплоемкости самого рассматриваемого нелинейного уравнения теплопроводности отражают по мере возможности все те влияния, которые они испытывают в результате реальной изменчивости свойств и состояние почвы. В начале рассматривается двумерное уравнение теплопроводности, которое описывает расспространение тепла в почвогрунтах, с определенными начально-краевыми условиями, при этом коэффициенты теплопроводности и теплоемкости апроксимируются экспоненциально и показательно. Таким образом, для анализа и нахождения температурного поля, можно отказаться от системы уравнений кондуктивной, радиационной и массообменной проводимостями, а ограничиться лишь одним уравнением теплопроводности с осложненной за счет всех вышеуказанных факторов коэффициентов теплопереноса [1]

с**' >§=дХ

сх дх

Х(х,у,Х)

дТ дх

+ ■

д_

ду

су.

(1)

Из сказанного следует, что термические характеристики: X - коэффициент теплопроводности, С - коэффициент объемной теплоемкости, имеют решающее значение при изучении, оценке и регулирование теплового режима в почве. Знание вышеуказанного комплекса характеристик крайне необходимо при решении большого количества важных агротехнических задач. Эти характеристики определяют собой распределение температуры в

Р. К. Сагындыкова, А. Ы .Курбаналиев, А. Т. Дыйканова, С. Т. Жусупбекова 65

почве, ход этой температуры на различные глубины почвы по времени, количества тепла, получаемого поверхностью почвы благодаря солнечной радиации, причем это тепло частично проникает в пахотный слой почвы и аккумулируется в ней. Весьма важно знать, какая ожидается температура почвы через определенное время, какова тенденция этой температуры, как она будет изменяться. Важно также знать содержание тепла в почве и какие меры нужно и можно предпринять для того, чтобы уменьшить или увеличить количество тепла в ней. Проблема теплопереноса в почве, за последние годы, превратилось в бурно развивающую отрасль, так как ее теоретические, методические и экспериментальные достижения проникли в самые разнообразные области агропромышленного комплекса.

1. Постановка задачи

Основной нашей задачей является исследование двумерного нелинейного уравнения теплопроводности, разработка и определение его аналитических частных решений, описывающих распространения тепла близких к реальным, со следующими начально-краевыми условиями:

распределение тепла в начальный момент:

Т (х,у,0)= (х,у ), (2)

распределение тепла на поверхности почвы:

Т(0,0,1 ) = 02 (1), (3)

распределение температуры на глубине х = Н0 , у = Н1:

Т(Но,Уо,1) = 0з (1), Т(Хо,Н^1) = а4 (1). (4)

Для определения решений нелинейного уравнения (1), вся трудность заключается в сложности коэффициентов теплоемкости с(х, у,1) и теплопроводности Х(х,у,1). Известно, что они определяются из экспериментальных данных [2], причем они могут быть приближенно записаны некоторыми количественными зависимостями от х,у,1. И еще отметим, что вопросам линеаризации уравнения (1) посвящена научная работа [3] в которой исследуемое уравнение записывается как:

Т = Т + Т (5)

т хх уу •

Последнее уравнение рассматривались многими авторами как для одномерных, так и двумерных потоков.

2.Алгоритм решения задачи

Рассмотрим случай, когда коэффициенты теплоемкости и теплопроводности подчинены одинаковым законам изменения - экспоненциальным, как функции_

с(х,уД )= Со еуТ, Х(х,уД )= X 0 еуТ

(6)

Тогда, подставляя их в уравнение (1), после несложных математических преобразований, получим нелинейное уравнение

дТ д2Т д2Т

— =---^ + У

д1 дх2 ~ 2 Г

2 дТ

где т ^ X01/с0.

Вводя новую функцию и подставляя в (7), имеем

ду2

0(х,у,1):

дТ

чдх у

+

чду у

,уТ

Р т = Qxx + Qyy.

(8) (9)

Последняя уравнение совпадает по форме с уравнением (1) и является объектом дальнейших исследовании.

I. Решение уравнения (9) имеет решение в классической форме:

Р(х,у, т )= Ъ (х )• Ъг (у). Ъ (т ). (I0)

Определяя частные производные и подставляя в (9) получим:

од • ъг (у). ъДт)={2.{3+Ъ • (и)

Искомые функции запишутся как: (х) = ехркх, Ъ2(у)= ехр1у,Ъ3(т)= ехртт . При этом величина т определяется из дифференциального уравнения

Ъ3'(т)= к2Ъ3 + т2Ъ3, тогда сама искомая функция запишется следующим образом

Р(х, у, т) = ехркх • ехр1у • с0ехр(к2 +12 )т

II. Другая форма линеаризации уравнения (7) такова

с(х,уД ) = с0е

ах+Ьу+сг

X (х,у,1 ) = X 0еах+Ьу+с1,

тогда, подставляя их в исследуемое уравнение (9), получим

Тт = + Тпп , где £ = х + т, п = у + т . Решение этого уравнения будем искать в специальном виде

Т(х,у,т) = ц(т)рф + у(т), / = а(т)[£ + п - в(т)]

(;2) (;3) (;4) (15) (;6)

Определяя Т = , Т{е = ца2р", Тт = цр + ц — -царр' +у, Т = цар'

а

Т = ца2р , и подставляя в (15), получим

Р -

а' р'

-z + —

2а3 2а

а + Ь 2а

Р'-

ц

Р =

У

(17)

Уравнение (16) становится неоднородным обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, при значениях

а(т) =;, в(т) = пт, ц(т) = ехркт, /(т) = техркт/1. (;8)

Корни характеристического уравнения (17) имеют вид Л,2 =

п + а + Ь 2

±л/В

/2,

когда дискриминант

сти записываются

Б =

п + а + Ь 2

+ 2к

, и в зависимости от его решения однородной ча-

Р0 (х,у,т) = с;ехрХ; (х + у - пт)+ с2ехрХ2 (х + у - пт), Б > 0, р0 (х,у,т)=(с; + с2 (х + у - пт))- ехрХ2 (х + у - пт), Б = 0, (;9)

Р0 (х, у, т) = ехрр(х + у - пт)[с;совд(х + у - пт) + с28тд(х + у - пт)], Б < 0, при этом частное решение уравнения (17) записывается как р(х,у,т) = Р0 (х,у,т)+ А, а сама искомая функция окончательно примет вид

Т(х,у,1 ) = ехр

кЛ

V с0 У

V

Л

с0 у

+ А

т

+ уехр

кЛ

V с0 У

(20)

2

г

г

Р. К. Сагындыкова, А. Ы .Курбаналиев, А. Т. Дыйканова, С. Т. Жусупбекова Заключение

Разработана математическая модель двумерного уравнения теплопроводности, предложены два вида решений исследуемого уравнения. Разработанные механико- математические модели передвижения тепла в почвогрунтах вносят определенный вклад в развитие теории задач тепломассопереноса. Конечные результаты получены в явной формульной зависимости от физико-механических свойств почвы, удобные для практического применения, дают хорошие приближения к известным экспериментальным данным. Результаты могут быть рекомендованы к включению в программы специальных курсов для студентов-гидромелиораторов, почвоведов, КНИИ ирригации и всех заинтересованных специалистов.

Список литературы

1. Туганбаев У. М., Сагындыкова Р. К. Исследование двумерного уравнения теплопроводности в почвогрунтах // Вестник ПГУ им. С. Торайгырова, Казахстан, 2013.

2. Куртенер Д. А., Решетин О. Л., Чудновский А.Ф. Решение уравнения теплопроводности при переменном коэффициенте переноса // Сб. трудов по агроном. физике. 1970. № 26. С.71-79.

3. Туганбаев У.М., Сагындыкова Р. К. Исследование уравнения теплопроводности в почвогрунтах с учетом коэффициента температуропроводности // Вестник КГУСТА им. Н. Исанова, Бишкек, 2014.

Сагындыкова Рахат Кайыпбековна - ст. преподаватель Кыргызского аграрного университета им. К. И. Скрябина; email: [email protected]; Курбаналиев Абдикерим Ырысбаевич - д-р. физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой Ошского

государственного университета; email: [email protected]; Дыйканова Айнура Тынчыбековна - канд. физ.-мат. наук, доц., зав. кафедрой Кыргызского аграрного университета им. К. И. Скрябина; email: [email protected];

Жусупбекова Самара Твлвбековна - ст. преподаватель Кыргызского аграрного университета

им. К. И. Скрябина; email: [email protected]