Ситуации k-равновесия в играх с квазиупорядоченными исходами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Замечание. Используя данную теорему, можно получить, подобно теореме 2 из [3], представление для ортогональных рациональных функций в терминах автоморфных функций Шоттки- Бернсайда.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Bullheel А., Gonzalez-Vera Р., Hendriksen Е., Njastad О. Orthogonal rational functions. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.

2. Джрбашян M.M. Ортогональные системы рациональных функций на единичной окружности с заданным множеством полюсов //ДАН СССР. 1962. Т. 3. С. 1794 -1798.

3. Лукашов АЛ. Ортогональные рациональные функции на нескольких лугах единичной окружности // Изв. ПАН Армении. Сер. Математика. 2001. Т. 36, №5. С. 52-61.

4. Peherstorfer F. On Bernstein-Szcgo orthogonal polynomials on several intervals // SIAM J. Math. Anal. 1990. Vol. 21, № 2. P. 461 - 482.

УДК 519.83

В. В. Розен

СИТУАЦИИ К-РАВНОВЕСИЯ В ИГРАХ С КВАЗИУПОРЯДОЧЕННЫМИ ИСХОДАМИ

1. Игра п лиц с квазиупорядоченными исходами задаётся в виде системы

G =<N,(A'i)ieN, А,(со,-)ieN,F >, (1)

где N ={1,...,л} - множество игроков, Х{ - множество стратегий игрока /, А - множество исходов, со,- - отношение квазипорядка, выражающее предпочтения игрока /', F : [J^, —> А - функция реализации. Всякое непустое

¿6/V

подмножество S с. N называется коалицией в игре G. Для произвольной коалиции S определим множество её стратегий Xs и отношение предпочтения <в5 в виде

*5 = П*^ = ГК- (2)

ieS ieS

Пусть К с. 2n - некоторое семейство коалиций.

Определение 1. Ситуация а0 е = X называется ситуацией

i<=N

К-равновесия, если ни у какой коалиции SeK не существует такой стратегии х5 е Xs, при которой

F(*°||*s)>"' F(x°).

Ситуация АГ-равновесия, при которой K~2N, называется ситуацией сильного равновесия. Как известно, в играх численными выигрышами си-

туации сильного равновесия существуют весьма редко. В настоящей статье укачан способ нахождения в игре (1) такого семейства коалиций К, для которого существует ситуация А"-равновесия. В качестве следствия дано достаточное условие существования ситуаций сильного равновесия в играх с квазиупорядоченными исходами.

2. Для формулировки основного результата введём

Определение 2. Будем говорить, что исход аеЛ допустим для шрока 1—1,...,п в игре С, если не существует такой стратегии х1 £ Х1, для которой при всех б Х^ выполняется

<»■

Через О ¿(с) будем обозначать множество исходов, допустимых для игрока /' в игре С. Множество исходов, допустимых для всех игроков, есть 0(С) = р) О, (С). На множестве X, стратегий игрока /' введём отношение

<бЛ/

" 12 доминирования стратегий, полагая для произвольных я,-,*,- е X1 :

х) >х} «,у):у 6£,у):уех^}'.

(Т есть оператор взятия мажорант подмножества в квазиупорядоченном множестве <Л,со, >). Подмножество йсА называется антицепью отно-

(0

сительно квазипорядка а», если условия а1,а2еВ, аг>а2 влекут ах ~аг. Основной результат статьи представляет

ТЕОРЕМА. Пусть К — семейство тех коалиций игры С, для которых подмножество 1>(С) является антицепью относительно квазипорядка со5 . Тогда ситуация, состоящая из Р,--максимальных стратегий игроков, является ситуацией /С-равновесия в игре С.

Доказательство теоремы основано на следующих леммах.

ЛЕММА 1. Множество ОДС) исходов, допустимых для ифока I в игре С, является мажорантно стабильным относительно квазипорядка ю;.

ЛЕММА 2. Исход в ситуации, в которой игрок i использует Р;-максимальную стратегию, является допустимым для игрока £.

ЛЕММА 3. Исход б ситуации, в которой каждый игрок использует р,--максимальную стратегию, является допустимым.

Для доказательства теоремы рассмотрим ситуацию хп = (х,°)1бЛГ, в которой каждая стратегия игры является Р, -максимальной (/еЛу. По лемме 3 выполняется Р(х°)£/)(С). Предположим, что существует такая коалиция и стратегия х5 еХ5, что

дcs) = F(*5txj^NS■)>F(дC0). (3)

ws

Тогда согласно (2) для каждого ieS выполнятся F(xs,x^\s) > F(x°) и по лемме 1 F(xs,xy\s)e Dj(G) (iе S). Рассмотрим теперь j & N \ S. Так как стратегия Лу является ß,-максимальной, то по лемме 2 будет Таким образом, f| £>,(G) = £>(G). Ус-

ieN

ловия F(x°), F(xs,xx\s) e D(G) и (3) приводят к противоречию с предположением, что DIG) - антицепь относительно квазипорядка cos-, что и завершает доказательство теоремы.

СЛЕДСТВИЕ. Если в каждом квазиупорядоченном множестве <Л,ш, > (/ £ N) подмножество допустимых исходов игры D(g) является

антицепью, то ситуация х° = (xf)i<EN, состоящая из ß, -максимальных стратегий игроков, будет ситуацией сильного равновесия.

Действительно, пусть SqN - любая коалиция игры G. Предположим,

«>s

что для a,h е D(G) имеет место а > Ь. Тогда при каждом ieS согласно (2)

I», Е, Е5

будет а>Ь и по свойству антицепи а~Ь. Получаем а~Ь, где es =ш5 r^i со^1. Показали, что D(g) является антицепью относительно любого квазипорядка (St/V). По доказанной теореме ситуация х" будет ситуацией сильного равновесия в игре G.

3. Для конкретизации полученного результата обратимся к ифе п лиц в нормальной форме с функциями выигрыша игроков

r=<N, (Xt )feAf, >.

Функция выифыша и,- ифока есть отображение множества А" ситуаций игры Г в R. Ифу Г можно рассматривать как ифу с квазиупорядоченными исходами, в которой в качестве множества исходов берется Л = {и = (м,(*),...,мп(дг)): х £ X], а отношение предпочтения ифока i определено условием и <ы' v <=> u, < v,. Положим а, = sup inf ui (х^у^).

xi Уым

Стратегия xfeXit на которой достигается супремум функции Inf ui(xt, yN\j), называется осторожной стратегией Ифока i. Осторож-

Укм

ная стратегия Ифока / является также ß,--максимальной. Исход а = (а1>...,ап) £ А будет допустимым исходом в игре Г тогда и только тогда, когда а,- > сх, для всех /-/,.. ,,п. Игра Г называется несущественной в смысле Мулена [1], если множество её допустимых исходов одноэлементно. Так как в этом случае множество допустимых исходов игры будет антицепью относительно любого квазипорядка, то по следствию доказанной теоремы получаем известный результат, что ситуация в осторожных

стратегиях будет ситуацией сильного равновесия в несущественной игре с функциями выигрыша шроков [1, с. 28, теорема I].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мулен Э. Теория игр. М.: Мир, 1985.

2. Розен И.В. Математические модели принятия решений в экономике. М.: Книжный дом. Университет - Высшая школа, 2002.

УДК 517.927.25

В. С. Рыхлов

О СИЛЬНОЙ НЕРЕГУЛЯРНОСТИ ПРОСТЕЙШЕГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА 5-го ПОРЯДКА С НЕОДНОРОДНЫМИ НЕРАСПАДАЮЩИМИСЯ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ'

Рассмотрим обыкновенный дифференциальный оператор ¿,, порождённый дифференциальным выражением 1(у) = у^5\х) с граничными условиями

и, (У) := аУ>(у_1)(0) + ау0у(,/-2)(0) + (1) = 0, V = и,

где ау, ау0еС, аш=0 и (аго.азо.а^.а^) ^ (0,0,0,0). В случае а20 =«зо =а40 =а50 = О, то есть когда краевые условия однородны, в [1] описаны все возможные нерегулярные краевые условия и доказана полнота собственных функций оператора I. в пространстве /,2[0,1]. В настоящей статье даётся описание некоторых сильно нерегулярных неоднородных краевых условий.

Пусть У = 1,5, есть корни 5-й степени из -1,

X = —р5. Как известно, функции у} (а, р) = ехр(рм ]х), У = 1,5, образуют фундаментальную систему решений уравнения 1(у) - Ху = 0.

Введём числа ак = а^со}1"1, А = 1,5, где (04, ...,а5) = (сХ|, ...,а5) Г2-', О = ((0у_1)у Будем обозначать далее ^(у,) = +ерт' й^Др), где

%-(р) = ау(рш¡У'1 + аУ0, и^(р) = (рЮу)"-1, и положим

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекг № 03-01-00169) и гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект НШ-1295.2003.1).