Дивергенция композитных тонкостенных стержней замкнутого профиля в потоке газа Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Том XX

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 1989

№ 2

УДК 629.7.015.4.023 : 62 — 419.8

ДИВЕРГЕНЦИЯ КОМПОЗИТНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ЗАМКНУТОГО ПРОФИЛЯ В ПОТОКЕ ГАЗА

В. В. Кобелев, А. Д. Ларичев

На основе модели тонкостенных анизотропных стержней замкнутого профиля [1] рассматривается задача о дивергенции композитного крыла большого удлинения в потоке газа. Полученное решение в замкнутом виде показывает степень влияния анизотропии и формы поперечного сечения на критическую скорость дивергенции. Ранее про.блема дивергенции анизотропных крыльев на основе модифицированных балочных моделей рассматривалась несколькими авторами [2, 3].

I. Уравнения дивергенции анизотропного крыла. Предлагаемая модель тонкостенных композитных стержней замкнутого профиля основывается на следующей кинематической гипотезе: поперечное сечение под действием внешних нагрузок получает линейное перемещение вдоль выбранных координатных осей (дС), хг, хз) и поворот вокруг этих осей. На основании этой гипотезы перемещение любой точки с координатами х\, хг, хз, лежащей на поверхности стержня, может быть записано в следующем виде:

Ц|=—Хзф, и?=хзИ, из— 1/ — *2Й.

Здесь и — перемещение в направлении О, <р—повороты вокруг осей х\, Х2. Допустим теперь, что крыло представляет собой монококовую оболочечную конструкцию в виде конуса. Сечение конуса — профиль крыла — меняется подобным образом по размаху крыла. Строительная ось крыла совпадает с осью *1, хорда крыла параллельна оси хг, а ось хз нормальна несущей поверхности. Такое крыло будет моделироваться тонкостенным стержнем замкнутого профиля. Направляющей конической поверхности будет профиль крыла, вытянутый в направлении хорды.

Для получения определяющих уравнений деформирования перейдем в систему координат, связанную с поверхностью тонкостенного стержня. Эта система координат криволинейная и в окрестности поверхности стержня вводится следующим образом. Ось || выбирается параллельно оси XI, координата отсчитывается вдоль линии профиля крыла, т. е. является параметром дуги направляющей конической поверхности. Координата |3 выбирается так, чтобы в окрестности поверхности крыла орты системы координат образовали правую тройку ортонормированных векторов. Компоненты вектора перемещения в системе £|, |2. 6з даются формулами

“i = — *зф. “1= — U sin8 + Q«(0). и\ = t/cos0 + Qx(6),

где

“(0) = *3 cos 0 + sin 0. x(0) = X3 sin 0 — x2 cos 0.

Учитывая соотношение d0/d|2=l//?, где R — радиус кривизны контура, а 0 — угол между осями х2 и g2, можно получить следующие выражения для деформаций и кривизн поверхности тонкостенного крыла в системе кординат (£,, |2, |3)

s, = —x3y', e2 = 0, у = Ф sin 0 — W s>n ® + ^' “(0). 4, = — (t/" cos 0 + £2"x(0)).«2 = 0,

T =------t/' sin 0 + £2'u)(0) + Ф sin 0) + 2Q',

где штрих над переменной обозначает первую производную по координате £ь

Будем считать, что толщина стенки крыла < мала по сравнению с хордой крыла и размахом крыла, т. е. /

Для распределения деформаций по толщине крыла при этих условиях справедлива гипотеза Кирхгофа — Лява, и определяющие уравнения деформирования крыла можно получить с использованием классической теории тонких анизотропных оболочек. Для этого выпишем выражения для полной потенциальной энергии изгиба тонкой анизотропной оболочки в виде [4]

I I

Я“тИ (Снг? + Сбб72 + 2С1бе,7 + 0„и? + О66т2 +

о о

£

+ 2С,6 Х|т) ^ (Р3 и т1 £2 -1~/л2ф) ^|,. (2)

жесткостные коэффициенты в функционале (2) даются формулами Сц — A^t, £)i( = A^t3/12, где Atj—тензор упругих постоянных при плоском напряженном состоянии. Приравнивая к нулю вариацию полной потенциальной энергии л, получаем уравнение равновесия тонкого анизотропного крыла в потоке газа

(СО,, U")"-(SCMU'y + (MD„ Q")' + (GD,6Q')" +

+ (SCmV)' = с1яЬ cos2 A(Q + U' tg A) —

- (MDwUy - (GDi6U")' + (HDUQ")" - (WCmQ')' +

+ (ЯС,6ф')' = C^qbe cos2 A(ft + U’ tgA) —

- SC66U' + (XC„Q')' - (УС„<р')' + SC669 = 0. (3)

/ / ll

Здесь введены обозначения: C=^cos20d£2, S = $sin20dg2, H=\x2d%2, W = J io2ii£2, / =

о о oo

ill i

= 5 *3^2. X = ^x3<ad%2, M = ^ x sin 0//?d§2, G = ^ cos Q(to/R — 2)dg2 для геометрических xa-0 0 0 0 рактеристик поперечного сечения крыла. В правой части уравнения (3) записаны выражения

для аэродинамических нагрузок Р3, т,, т2, действующих на крыло:

Р3= q cos2 АаСу, m, = qcos2 АаеСу, Су = С“(й + U' tg Л), m2 = 0.

Здесь Л — угол стреловидности, а —хорда крыла, е — эксцентриситет подъемной силы, q — скоростной напор, q=pVi/2, V—скорость набегающего потока, су—коэффициент подъемной силы, X = qCy (рис. 1). Аэродинамические силы вычисляются по теории несущей полосы [5]. В корневом сечении ограничимся рассмотрением случая, когда крыло жестко заделано в фюзеляж. При этом возникают так называемые условия главного типа:

U=U’ = Q = ф=й' = 0. (4)

На свободном конце следует наложить условия отсутствия сосредоточенных сил и моментов:

C,,<j>'/-Cl6*a' = 0;

CmS(<p-U') + D;6M Q” + (DUCU"Y + (0,«CQ')' = 0;

DUCU" £>16 GQ' = 0; DhffQ + 0,вМ(ф— t/') = 0; >• (5)

- + С,6Хф' - (DUHQ")' - [016М(ф— I/')]' + DkGU" = 0.

Рис. 1

2. Критическая скорость дивергенции. Приведем систему (3) к одному дифференциальному уравнению. С этой целью выразим в третьем уравнении системы (3) переменную 1!' через £2 и ф и подставим в первые два уравнения, пренебрегая малыми членами порядка 12/Ь2. Второе уравнение системы примет вид

С,* Г

(£2 + х£2"), х :

СМГ

'D„{M + G)

c^s

и* Л

DUH С

(6)

Малая величина х имеет порядок 12/1}. После подстановки полученного выражения в первое уравнение получим:

„ Г С16Л-|Г -Л [t* Л+т^г] [<;, > —J5PT-J

(7)

Краевые условия принимают вид

Q (0) = Q" (L) = £2' (L) = 0.

(8)

Краевая задача (8) для уравнения (7) изучена в [5] применительно к проблеме дивергенции изотропного крыла. Для прямого крыла постоянной жесткости на изгиб наименьшее собственное число краевой задачи (8) для уравнения £2"'=Х*£2 равно Х* = 6.22/1\ а соответствующая собственная функция £2(*]) = ехр[— 1.849(1 — дс|/£)] + 2ехр [0.9245(1 — х\Щ] X X сое(1.602(1 —Х\Щ).

Из (7) следует, что собственное число X краевой задачи равно

г C^ir С|6Х I

[с"у- c^vr][tgA+ c№w]

X*

COS

(9)

Отношение критических скоростей дивергенции анизотропного крыла VАп и изотропного крыла Ко с изгибной жесткостью Си/ и той же формы равно

121-Г 1______f

L с„

С2**2

1/2

j J^l + ctgA-

-1/2

(10)

Величины жесткостных коэффициентов Сц, Cie, Сев выражаются через приведенные упругие постоянные орготропного материала обшивки крыла an, ац, ап, сщ по формулам

Си = t(A \ cos4 a.j + Аз sin4 af + Аз);

Сi6 = t sin a.j cos ttf(At sin2 оf — Ai cos2 o^);

Cee = /(Ai + At) sin2 оif cos2 a.f + ta66,

где j4 i = ai i—A3, Лг = в22 — Аз, у4з = а|2 + 2авв.

Ill

Здесь а^—угол, который составляет со строительной осью крыла направление главной оси симметрии материала.

3. Дивергенция крыла эллиптического и прямоугольного сечения. В качестве одного из примеров рассмотрим дивергенцию анизотропного крыла следующей формы (рис. 2). Верхняя часть контура >предстааляет собой половину эллипса с осями айв (ц = в/а1), а нижняя часть—отрезок прямой *3 = 0, соединяющий точки (—а/2,0), (а/2,0). Геометрические характеристики эллиптического профиля имеют вид:

Здесь ґ

— полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно.

Другой пример относится к крылу с кессоном коробчатого типа. Пусть, для определенности, профиль поперечного сечения кессона представляет собой прямоугольник со сторонами а и Ь (Ь — строительная высота кессона). Геометрические характеристики поперечного сечения кессона определяются формулами:

а для отношения критических скоростей дивергенции анизотропного крыла и изотропного крыла той же формы и изгибной жесткости получаем

1/2 —1/2

На рис. 3 показаны графики зависимости приведенной скорости дивергенции анизотропного крыла К<!|„/Уо от угла армирования а ^ для различных значений угла стреловидности. Из графиков видно, что увеличение приведенной скорости дивергенции наибольшее, когда угол армирования лежит в пределах 150-г 170°. Отсюда следует, что для достижения максимального эффекта необходимо укладывать волокна так, чтобы направление волокон составляло угол 10-г 30 градусов со строительной осью крыла, образуя острый угол с направлением потока. В расчетах

К

90

135

Рис. 3

использовались следующие данные для упругих постоянных материала крыла: аи = 80 ГПа, а22 = 20 ГПа, 0|2 = 6 ГПа, а6е = 7,68 ГПа. Максимальная эффективность для Л = 15° равнялась 58%, Л = 30°— 10%; Л = 45° — 4%.

4. Замечания и выводы. Следует указать, что эффективность использования композиционного материала можно существенно повысить, если применить профиль крыла асимметричный относительно оси 0*3. В этом случае структура уравнений (3) изменится, так как появятся члены, определяющие геометрическую (через асимметрию профиля) связь кручения и изгиба. Таким образом, в дополнение к связи изгиба и кручения крыла, обусловленной анизотропией упругих свойств материалов, добавляется взаимодействие, вызванное геометрической асимметрией сечения крыла. Этим достигается смещение вперед оси кручения.

Формулы (7) — (10) пригодны в том случае, когда основным фактором аэродинамического воздействия на крыло, вызывающим потерю устойчивости, яляются изгибающие усилия, вызванные подъемной силой. Под воздействием этой силы возникает изгиб, а за счет анизотропии конструкции или асимметрии профиля — кручение крыла. Величина аэродинамической нагрузки определяется эффективным углом атаки й, который при определенной соотношении между жесткостями крыла и углом армирования может быть уменьшен, и критическая скорость «из-гибной» потери устойчивости возрастает. Повышение критической скорости «изгибной» формы потери устойчивости, однако, не безгранично, так как при повышении скорости набегающего потока на крыло будут оказывать воздействие скручивающие аэродинамические моменты, обусловленные эксцентриситетом подъемной силы. При этом реализуются формы потери устойчивости, условно называемой «крутильной» дивергенцией. Критическая скорость потери устойчивости такого типа существенно выше, что обусловлено относительной малостью скручивающих моментов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кобелев В. В., Ларичев А. Д. Модель анизотропных тонкостенных стержней. — Механика композиционных материалов. 1988, № 1.

2. W е i s s h а а г Т. A. Divergence of forward swept wings. — J. of Aircraft, 1980, vol. 17, N 6.

3. К о б e л e в В. В. Дивергенция анизотропного крыла с обратной стреловидностью.— Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. 16, № 2.

4. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. — М.: Наука, 1974.

5. Бисплингхофф Р. Л., Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость. — М.: Изд. иностр. лит., 1958.

Рукопись поступила 6/1 1988 г.