Изгибные колебания тонкого крыла симметричного профиля в потоке воздуха Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 128-136

Механика =

УДК 539.3

Изгибные колебания тонкого крыла симметричного профиля в потоке воздуха

В. И. Желтков, Чыонг Ван Хуан

Аннотация. Рассматривается обтекание потоком газа прямоугольного крыла большого удлинения. Крыло рассматривается как тонкий стержень в рамках теории В.З. Власова. Внешние нагрузки предполагаются пропорциональными углу атаки профиля с коэффициентами, зависящими от параметров профиля и числа М потока. Предполагается, что эти коэффициенты определены экспериментально для до- и сверхзвуковых скоростей.

Ключевые слова: тонкий стержень, линейная аэродинамика, дивергенция, флаттер.

1. Уравнения состояния изгиба крыла с профилем, имеющим две оси симметрии

Прямые крылья большого удлинения в настоящее время широко используются в конструкциях беспилотных летательных аппаратов (БЛА). Области их применения охватывают мониторинг лесных массивов в пожароопасные периоды, картографию и аналогичные цели. Для таких ЛА характерны дозвуковые скорости; в то же время возможно их размещение на борту сверхзвуковых носителей и сверхзвуковые режимы полета. Таким образом, исследование поведения крыла в широком диапазоне скоростей стационарного полета представляет существенный интерес для практики проектирования БЛА.

Для моделирования крыльев большого удлинения наиболее подходящей является стержневая модель [1-3]. Так как профиль крыла является тонким (отношение максимальной толщины к хорде, иначе относительная толщина с = | < 0.1), то следует применять теорию стержней, учитывающую депла-нацию поперечного сечения В.З. Власова [3]. Уравнения состояния крыла имеют вид

д4и

д4и

д2и

дЧ

+ рЛ Щ? +аурА я? =

„ . в4« т д^ь л д2ь д2в . .

д^в д29 д^в

- - длд1_2 + + ^ + (а?х + а2) А] +

(1)

'дг*

1дг2

лд2и лд2у Т ихзу

+рауА^ - рахА-^ = т,(М); Ь = -у-^-,

. д е ■ зу д2

9x1 = Ях (г) + {г) - • (г),

д ЕЗХ д2

Чу1 = Яу (*) + -^Гу (г) - • {г),

(2)

Е • Хэ

т\ = т

(Зу — Зх) ( д

Входящие в (1), (2) геометрические характеристики крыла имеют смысл осевых (3Х9 Зу) и секториального [3] (3^) моментов инерции профиля. Схема приложения аэродинамических нагрузок показана на рис. 1.

Рис. 1. Схема приложения аэродинамических нагрузок к профилю: -^Д — координаты центра тяжести и центра давления; Мх=¥(Хд-Хт)

Нагрузки на крыло определим по модели линейной аэродинамики [5]:

где т — крутящий момент, распределенный по длине крыла, ду — подъемная сила, распределенная по длине крыла, Бкр = ЬЬ — площадь консоли крыла, Ь, Ь — бортовая хорда и длина консоли, р — плотность воздуха на высоте полета, V —скорость полета, а — угол атаки профиля, в — угол закручивания профиля за счет деформации кручения. Величины Мга и Суа имеют смысл производных аэродинамических коэффициентов по углу атаки и зависят от удлинения, сужения, относительной толщины крыла и числа Маха. Графики этих величин приведены в [5].

Взаимосвязь изгиба и кручения стержня усугубляется еще и зависимостью внешних нагрузок от угла закручивания. Если профиль крыла имеет две оси симметрии, то центр изгиба и центр тяжести совпадают, ах = ау = 0, и система уравнений (1) существенно упрощается:

д4У д4у д2у Бкр ра ■ V

кр

дх4~н"х дШ2 1 ^д2 ~ Т"

- р']х я о я,2 + - Суа ■ в

— Суа ■ а ь

Бкр Ра ■ V2

(4)

д^в-пд^А- 1 д4в ( д°в

дх4 дх2 Рдг2дЬ2 + Р + ']у' д12

Бкр , Ра Бкр и ра ^2

(5)

-Ыха ■в ■ ■Ь ■ - = Ма ■(!■ ■Ь ■

га ь 2 Ь

Здесь Бкр = ЬЬ — площадь консоли, Ь — длина консоли, Ь — бортовая хорда, а — угол атаки БЛА, ра — плотность воздуха на высоте полета, V — скорость набегающего потока.

Очевидно, что в случае симметричного профиля с двумя осями симметрии изгибные колебания полностью определяются углом закручивания, который можно рассматривать как известный закон изменения угла атаки. Тогда решение задачи о поведении крыла в потоке газа можно решать в два этапа: сначала определить закон изменения крутильных колебаний, и затем — изгибных.

В этой статье исследуем изгибные колебания тонкого крыла для профиля с двумя осями симметрии, учитывая влияние на них крутильных колебаний.

Уравнения состояния (4) представляют собой дифференциальные уравнения математической физики с постоянными коэффициентами. Для удобства решения приведем их к безразмерному виду. С этой целью введем безразмерную осевую координату х и безразмерное поперечное перемещение

< = Ь; п = Ь <«>

и разделим первое уравнение на изгибную жесткость . Уравнения (4) примут вид

д4П д 4П , 1 д2 П „„а (*,)(„ , л)М2

^ ^ + П = КСу (М )(а + в)м' (7)

Здесь введено безразмерное время: т = Т-, Т2 = Е; число Маха набегающего потока: М = ; и критерии подобия крыльев:

¿VI

'х АЬ2' "0 2ЕХ

г2 = . К = РаЬ (8

Отметим, что уравнение (7) — линейное неоднородное, причем неоднородность порождается не только наличием балансировочного угла атаки а, но и крутильными колебаниями — углом закручивания в. Для решения этого уравнения применим метод модального разложения [6], согласно которому правая часть уравнения представляется рядом по собственным функциям задачи — решениям однородного уравнения, соответствующего неоднородному.

Рассмотрим однородное уравнение изгибных колебаний

д4 П А ^ =0, (9)

д(4 д(2дт2 гх дт2

в котором положим существование гармонических колебаний:

П «,т) = Па (С) -е^■ Уравнение относительно амплитудных функций па(С) имеет вид

д4Па . П2 д2Па 0 Пп,

дё + ^ д^ - Г2 ■ па (0 = 0 (10)

Переходим от (10) к системе уравнений первого порядка:

дд ЩПа (()= V (С); ^ (()= »х ((),

д д о2

щцх (() = в((); д() = Гх ■п(() - «2 ■ ^ (С),

(11)

где па (С) — безразмерный прогиб (перемещение, перпендикулярное плоскости крыла); V (() — угол поворота профиля вокруг его главной центральной оси инерции, цх (() — безразмерный изгибающий момент, в (£) — безразмерная поперечная сила.

Перейдем к матричной записи, вводя вектор состояния:

ф (С) = (Па V Их в)Т ■ (12)

Система (11) в матричной форме:

ЩФ ^)

/ 0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

V 0 —0? 0

* (С) •

(13)

Аналитическое решение этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид

* (С)=У1(С, ) • Фс(П1), (14)

где *о(0) — значение вектора состояния при ( = 0 (вектор начальных параметров), нормированная матрица фундаментальных решений VI(£, 0) определяется как оригинал матрицы, определяющей преобразование Лапласа уравнения (14) по координате £ [6]:

ун, (р) =

р • I —

/01 0 0 \ 0 0 10

0 0 0 1

п2

\ & 0 — 02 ч

1

1 0 0 0

I = 0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

(15)

Оригинал нормированной матрицы фундаментальных решений выражается через трансцендентные функции:

VI (С, 0)и = -1 • Р • сИ (Р1 • () + Р2 • сов (Р2 • ()) ,

^ Я 1

У1 (С, О)1,2 = • Р3 • 8Ь (Р1 • С) + Рз • 81п (Р2 • С))

У1 (С, О)1,3 = Я • (сИ (Р1 • С) — сов (Р2 • С))

У1 (С, 0)м =

Я • у/а

(Р2 • вИ(Р1 • С) — Р1 • 81п(Р2 • С))

У1 (С, 0)2Д = а • у (С, п)о,з; У1 (С, 0)2,2 = У1 (с, 0)1,1

У1 (С, 0)2,3 = Я • (Р1 • ^ (Р1 • С) + Р2 • в1п (Р2 • С)) ,

(16)

У1 (С, 0)1,3 = У1 (С, 0)1,3; У1 (С, 0)3,1 = а • у (с, 0)1,3; У1 (С, 0)3,2 = У1 (С, 0)2,1 У1 (С, 0)3,3 = Я • Р • сЬ (Р1 • С) + Р22 • сов (Р2 • С)) ,

1

У1 (С, 0)3,4 = у (С, 0)1,2; V (С, 0)4,1 = а • У1 (С, 0)3,4; У1 (С, 0)4,2 = У1 (С, 0)3,1,

У1 (С, 0)4,3 = Я ^^а • Р2 — Р1 • Ь) • вИ (Р1 • С) — (Ь • Р2 + л/а • РО • в1п (Р2 • С))

У1 (С, 0)4,4 = V (С, 0)3,3; я = 0» 02 + 4 •1 •

у гх

Располагая аналитическими выражениями для матрицы фундаментальных решений, можно решать разнообразные однородные и неоднородные решения.

2. Частоты свободных изгибных колебаний

Нетривиальные решения системы существуют, когда равен нулю определитель матрицы, выражающий граничные условия. Для консольного крыла с началом координат в центре тяжести бортового профиля, равны нулю кинематические параметры в начале координат (безразмерный прогиб и угол поворота), и на конце консоли — силовые параметры (изгибающий момент и поперечная сила). Вектор состояния определяется двумя неизвестными начальными параметрами [!хо и ©о. Тогда для определения частот свободных колебаний имеем уравнение

У1(1,0)3,3 У1(1,0)4,3

= 2 • сов (Р2) +

02

г2 + 2

сЬ (Р1)

У1(1,0)3,4 У1(1,0)4,4

+ г • 01 • вш (Р2) • Л(РО =0,

(17)

где

Р2 =

\

'«} + 4:0 +02

Р1 =

\

0 + ^-0 — 01

Уравнение (17) определяет спектр свободных изгибных колебаний крыла.

Расчеты проводились для крыла удлинением Л = 10 и относительными толщинами с = 0-01; 0.025; 0.05. Материал крыла — сталь 3: Е = 200 ГПа, р = 7850кг/м3, V = 0-3. Геометрические характеристики двух профилей — ромбовидного (рис. 2) и «трапециевидного» (рис. 3), параметр трапециевидного профиля а/Ь принят равным 0,8.

Для этих профилей безразмерный параметр гх связан с удлинением крыла Л и относительной толщиной с:

с с 13а + 1 а

= ш; Гх3 = ШУотт' а = ь

Т А

Рис. 2. Ромбовидный профиль

А У

Ь

Рис. 3. Трапециевидный профиль

Результаты расчетов приведены в таблице, в которой приведены значения первых четырех безразмерных частот свободных изгибных колебаний.

Таблица

Безразмерные частоты свободных изгибных колебаний

Профиль Ромбовидный Трапециевидный

с = 0.05 3.589 • 10"3 4.932 • 10_3

с = 0.10 7.177 • 10"3 9.856 • 10"3

с=0.15 0.011 0.015

с = 0.20 0.014 0.02

Так как изгибные колебания для профиля с двумя осями симметрии при известных частотах и формах крутильных колебаний являются вынужденными (см. уравнение (7)), то опасными являются значения частот, совпадающие с собственными частотами крутильных колебаний, то есть резонанс изгибных и крутильных колебаний. При идеально-упругом материале

крыла резонансные амплитуды бесконечны; для их уточнения следует учесть вязкость материала (хотя бы по модели Фойгта).

На рис. 4 показана зависимость четырех собственных частот крутильных колебаний, определенных моделью (5), от числа Маха набегающего потока, полученная авторами, для А = 10, с = 0.1. Равенство нулю собственной частоты трактуется как классическая точка бифуркации решения, то есть потеря устойчивости в форме дивергенции. Видно, что безразмерная частота крутильных колебаний для М < М\ ^ 0.75 значительно выше, чем изгибных (см. таблицу), и крутильные колебания можно рассматривать как периодическое внешнее воздействие на изгибные колебания (4).

Рис. 4. Собственные частоты крутильных колебаний

Тогда при приближении к критической скорости слева частота крутильных колебаний стремится к нулю и может совпасть с собственной частотой изгибных колебаний, что приведет к резонансу по первой изгибной форме. При этом, как уже отмечалось, возможен резонанс изгибных и крутильных колебаний при М, близком к М\. Развивающиеся по резонансной кривой изгибные колебания имеют большую амплитуду и тем самым напоминают флаттер, хотя им и не являются, так как смены форм изгибных колебаний при этом не происходит. Таким образом, можно заключить, что критическая скорость дивергенции есть опасная точка и по изгибу. Рассмотренный резонанс наступает при скорости, меньшей, чем скорость дивергенции; степень близости резонансной и критической скоростей можно оценить как отношение первой собственной частоты крутильных и изгибных колебаний.

При увеличении скорости обтекания до второй критической вышеописанный процесс повторяется; будет ли он реализован, зависит от сохранения прочности крыла в первом процессе. Во всяком случае для решения этого вопроса следует иметь возможность описывать напряженное состояние крыла как в до-, так и в послекритическом состоянии.

Список литературы

1. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.:

Физматгиз, 1961. 341 с.

2. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

3. Власов В.З. и др. Тонкостенные упругие стержни. М.: Физматгиз, 1959. 565 с.

4. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

5. Лебедев А.А., Чернобровкин Л.С. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1973. 616 с.

6. Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела. Ч.1. Статика стержней / М.В. Грязев, В.И. Желтков, А.А. Васин, М.В. Васина. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. 112 с.

7. Чыонг Ван Хуан, Желтков В.И. Определение критических скоростей прямого крыла большого удлинения // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 71-80.

Желтков Владимир Иванович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Чыонг Ван Хуан ([email protected]), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Flexural fluctuations of a thin wing of a symmetric profile in an

air stream

V. I. Zheltkov, Truong. Van Huan

Abstract. Rectangular wing of the big lengthening is placed in the air stream. The wing is considered as a thin rod within Vlasov's theory. External loadings are supposed proportional to angle of attack of profile with the coefficients depending on parameters of profile and number M of air stream. It is supposed that these coefficients are defined experimentally for to- and supersonic speeds.

Keywords: thin rod, linear aerodynamics, divergention, flutter.

Zheltkov Vladimir ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modelling, Tula State University.

Truong Van Huan ([email protected]), post-graduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.

Поступила 30.09.2015