CC BY
24
Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 262-263
УДК 539.3
ДИСПЕРСИЯ ИЗГИБНОЙ И КРУТИЛЬНОЙ ВОЛН В БАЛКАХ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ
© 2011 г. О.И. Орехова
Нижегородский филиал Института машиноведения им. А. А. Благонравова РАН
Поступила в редакцию 16.05.2011
Предложена математическая модель, описывающая распространение изгибных и крутильных волн в балке кругового или кольцевого сечения. Проанализированы частотные зависимости фазовых и групповых скоростей волн.
Ключевые слова: изгибная волна, крутильная волна, фазовая скорость, групповая скорость, частота волны, амплитуда волны.
Система уравнений, описывающих распространение изгибных и крутильных волн в балке цилиндрического сечения (депланация отсутствует), имеет вид:
( \
~, „ =
0,в -
3,
ех з + (Х + ц)( Jр + ^)0
- -2(А, + ц)(03 + 030),
w,« +е02^ш -гХ,xXtt — 2
(1)
, хх.
Р
где Х(х, ґ) — поперечные смещения частиц в плоскости хоі; 0 = 0О +0(х, ґ) — угол поворота сечения складывается из постоянной составляющей 0О и переменной 0( х, ґ), зависящей от ко -ординаты и времени; 3с — полярный момент инерции; 3, — момент инерции при кручении; 3 — осевой момент инерции; F — площадь поперечного сечения балки; сТ — скорость сдвига, р — плотность материала, X, ц — константы Ламе, Гу, Гр — осевой и полярный радиусы инерции соответственно.
Решая систему уравнений (1), находим дисперсионные уравнения для волн:
— крутильной
Так как нет депланации, изгибные и крутильные волны развязаны. Крутильная волна описывается уравнением Клейна — Гордона, имеется зона непропускания, тем больше, чем больше 0О; а из-гибная волна аналогична волне при колебаниях балки с предварительным натягом, натяг пропорционален 0О.
Крутильная волна
Зависимость частоты волны (ю) от волнового числа (к) при различных значениях начального угла поворота (00) представлена на рис. 1, где кривая 1 соответствует значению 0О = 0, кривые 2, 3 — значениям 0О > 0.
Рис. 1
ю — ±
(
о\ 3 + (Х + ц)( 3р + )00
Л
к2 + 6(Х + ц )F02 + 2(Х + ц ^0
(2)
— и изгибной
ю — ±к
^ + ц 0о
і+г2ук2
(3)
Начальное значение частоты крутильной волны (ю0) зависит от значения 0О согласно уравнению:
ю,
— ±0^^^Л/2(^+ц)^(зТёОУ.
При возрастании волнового числа (к ^
зависимость в уравнении (2) стремится к линейной, а дисперсионные кривые — к прямым.
Дисперсия крутильной волны нормальная, если начальный угол поворота отличен от нуля (0О > 0), при любых значениях к. При отсутствии начального угла поворота (0О = 0) значения фазовой и групповой скоростей совпадают (Уф = Угр = ±сх^7^пр), то есть дисперсия отсутствует.
При больших значениях волнового числа (к ^ ), значение фазовой и групповой скоро-
стей стремится к некоторой постоянной, зависимой от 0о . На рис. 2 представлены зависимости фазовых (Уф) и групповых (Угр) скоростей от волнового числа при одном значении угла поворота (0О > 0).
Рис. 2 Изгибная волна
Начальное значение частоты волны Ю0 не зависит от угла поворота 0о и при любых значениях Юо = 0 (рис. 3). При больших значениях волнового числа (к ^ <») дисперсионные кривые стремятся в одну и не зависят от начального угла поворота. На рис. 3 показана дисперсионная зависимость частоты волны Ю от волнового числа к при различных значениях начального угла поворота 0о: 1 — зависимость при 0о = = 0; 2, 3 — при значениях 0о > 0.
Рис. 3
Зависимости фазовых (Уф) и групповых (Угр) скоростей от волнового числа при одинаковых значениях начального угла поворота 00 представлены на рис. 4, где кривые 1 соответствуют 0о = 0, кривые 2 — значениям 0о > 0.
Рис. 4
При больших значениях волнового числа кривые фазовой скорости стремятся к «Со», вне зависимости от угла поворота, а кривые групповой скорости при значении начального угла поворота, отличного от нуля, стремятся к одной кривой, которая не совпадает с кривой групповой скорости при 00 = 0.
При к = к' дисперсия волны отсутствует, а фазовая и групповая скорости равны; при к < < к' дисперсия волны нормальная (Уф > Угр); при при к > к' дисперсия аномальная (Уф < Угр).
DISPERSION OF A FLEXURAL AND TORSION WAVES IN CYLINDRICAL BEAMS
O.I. Orekhova
A mathematical model is presented, that describes the distribution of flexural and torsion waves in a beam of a circular or ring section. Frequency dependences of phase and group wave velocities are analyzed.
Keywords: flexural wave, torsion wave, phase speed, group speed, frequency of a wave, amplitude of a wave.
