Дискретный интегродифференцирующий фильтр с промежуточным сглаживанием отсчетов входного сигнала Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

11. Хлыбов Е. С., Гаврилов Б. Г., Егоров Д. Е. Модельные исследования ионосферных токов, электрических полей и ускорений заряженных частиц // Сб. тр. XLVII науч. конф. МФТИ. М.: Изд-во МФТИ, 2002.

12. Калинин А. И., Черенкова Е. Л. Распространение радиоволн и работа радиолиний. М.: Связь, 1971. 450 с.

13. Демерчан К. С., Нейман Л. Р., Коровкин Н. В., Чечурин В. Л. Теоретические основы электротехники. СПб: Питер, 2006. 576 с.

14. Калантаров П. Л., Цейтлин Л. А. Расчет индуктивностей. Л.: Энергоатомиздат, 1986. 488 с.

Сведения об авторах

канд. техн. наук; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра проектирования компьютерных систем; E-mail: [email protected] д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра проектирования компьютерных систем

Поступила в редакцию 16.03.10 г.

УДК 621.396:681.323

С. И. Зиатдинов

ДИСКРЕТНЫЙ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЙ ФИЛЬТР С ПРОМЕЖУТОЧНЫМ СГЛАЖИВАНИЕМ ОТСЧЕТОВ ВХОДНОГО СИГНАЛА

Рассмотрен интегродифференцирующий фильтр со взвешенным суммированием промежуточных сумм отсчетов входного сигнала. Показано, что предложенный алгоритм фильтрации по статистическим характеристикам практически не уступает известным алгоритмам и обладает значительно большей вычислительной эффективностью.

Ключевые слова: дискретизация сигнала, промежуточное суммирование, дискретная фильтрация, отношение сигнал/шум.

При реализации цифровых фильтров необходимо выполнять значительное количество математических операций умножения и сложения (вычитания), что требует либо быстродействующих вычислителей, либо больших временных затрат на реализацию алгоритма фильтрации. В месте с тем в случае, когда постоянная времени фильтра значительно превышает период следования отсчетов входного сигнала, можно подвергать взвешенному суммированию не каждый отсчет входного сигнала, а их промежуточные суммы. Очевидно, что в этом случае возникают определенные информационные потери, связанные с отклонением амплитудно-частотной характеристики фильтра (АЧХ) от желаемой АЧХ [1].

Целью настоящей работы является создание дискретного интегродифференцирующего фильтра, обладающего высокой вычислительной эффективностью при сохранении качества фильтрации.

Суть предлагаемого метода фильтрации заключается в том, что из последовательности отсчетов входного сигнала х[1] формируются промежуточные суммы из т отсчетов

т-1

хъ [п] = £ х[пЬ -1 ],

1=0

Алексей Юрьевич Гришенцев Анатолий Григорьевич Коробейников

Рекомендована кафедрой проектирования компьютерных систем

которые далее с периодом Т^ = ЬТ (Ь > т) поступают в дискретный интегродифференци рующий фильтр.

В качестве непрерывного аналога рассматриваемому фильтру рассмотрим фильтр верх них частот с АЧХ вида

W (р) =

1 + рТф

(1)

где Тф — постоянная времени фильтра, р = ую .

Путем подстановки в (1) р = 2(z -1)/ Т- (z +1) получим следующее выражение для час тотной передаточной функции интегродифференцирующего фильтра в плоскости z [2]:

а(1 - z_1)

W (z) =

1 + bz'

(2)

= ePT- . a =

где 2 = ; а = 2Тф /(ТЕ + 2Тф ); Ь = (ТЕ - 2Тф )/(ТЕ + 2Тф ). Передаточной функции (2) будет соответствовать следующее разностное уравнение, определяющее выходной сигнал фильтра:

т-1 т-1

у[п] = а^ х[пЬ - ¿] + а^ х[пЬ -1 -1] - Ьу[п -1]. (3)

1=0 ¿=0

Соотношение (2) после несложных преобразований позволяет получить следующее выражение для АЧХ рассматриваемого фильтра:

2а

^ m-1 Л

X cos/юТ

V i=0 у

^ m-1 Л

X sin/юТ

V i=0 у

(1 - cos юЬТ)

Ф(ю) = K

1 + 2b cos юЬТ + Ь

На рисунке показаны нормированные АЧХ интегродифференцирующего фильтра при Тф /Т = 10, Тф = 0,001 c, L=m для различных значений суммируемых отсчетов входного сигнала m. Из представленных графиков видно, что промежуточное сглаживание отсчетов входного сигнала приводит к заметному сужению полосы пропускания фильтра. Вместе с тем в диапазоне юТ = 0—0,15 АЧХ фильтра практически не зависит от числа суммируемых отсчетов входного сигнала.

Ф(ю) т = 1

0,8 т = 5

0,6 т = 10

0,4 т = 15

0,2

0,2

0,4

0,6

юТ

Для определения статистических характеристик выходного сигнала рассматриваемого фильтра необходимо знать его импульсную характеристику, значения которой в моменты времени tn = пТ^ можно представить следующим образом [3]:

0[п] = Сп,

1

0

где с0 = а; с1 = - а - Ъ; с2 = -схЪ; с3 = -с2 Ъ; ...; ек = - скЪ и т.д.

Пусть на входе рассматриваемого интегродифференцирующего фильтра действует аддитивная смесь отсчетов полезного сигнала и помехи, причем полезный сигнал примем в виде последовательности отсчетов гармонического колебания

ис (¡Т) = ис 8т(ю/'Т)

с амплитудой ис и частотой ю. Отсчеты помехи будем считать некоррелированными с нулевым средним значением и дисперсией а2. Тогда дисперсию помехи на выходе сумматора, формирующего промежуточные суммы отсчетов входного сигнала, можно найти из выражения

2 2 оЕ = то х.

При этом дисперсия помехи на выходе фильтра будет равна

оф = £ о|G2(/Щ

i=0

(4)

где О ) — значения импульсной характеристики в моменты времени = ¡ТЬ.

Средняя мощность полезного сигнала на выходе фильтра будет определяться соотношением

P =

£ u^ (ti )G(iTL)

i=0

2

где черта сверху означает усреднение по времени,

—-1

uc! (ti) = £ Uc sin roT(iL + k).

k=0

В результате отношение сигнал/шум на выходе фильтра принимает вид

(5)

(6)

Pc

q = -f =

о;

ф

ю m-1

£ £ Uc sin roT (iL + k )G (iLT)

,i=0 k=0_

£ о2G2 (iLT)

i=0

(7)

Для интегродифференцирующего фильтра без промежуточного сглаживания отсчетов входного сигнала дисперсию помехи, среднюю мощность выходного сигнала и отношение сигнал/помеха можно записать в виде

(оф )2 = £ o2G2(iT); Pc* =

i=0

£ uc(iT)G(iT)

q=

pc

(оф )

(8)

(9)

£ o2G2(iT)

i=0

Рассмотрим наиболее часто встречающийся на практике случай, когда постоянная времени фильтра Tф значительно превышает период следования 7^ = ЬT промежуточных сумм

отсчетов входного сигнала. При этом в соотношениях (4)—(9) можно без заметных погрешностей перейти от сумм к интегралам

т2

ис

<■> m02 ю <■>

оф = —JG2(t)dt; Pc = ф LT 0 С (LT)

ю —-1

J £ sin ro(t + kT)G(t)dt

0 k =0

ю

2

2

_2 ^ Т 7"2

(°ф )2 = T 'G )dt; £ =

T 0 T

2

J sin юtG(t)

.0 _

Из представленных на рисунке нормированных АЧХ фильтров следует, что в диапазоне юГ = 0—0,15 коэффициенты передачи фильтра практически совпадают. Поэтому для данного диапазона частот можно без существенной погрешности записать, что

Pc = m2 Pc*/ L2.

Тогда выигрыш в отношении сигнал/шум для фильтра без промежуточного сглаживания по сравнению с рассматриваемым интегродифференцирующим фильтром составит

* * Л

Pc /(Оф )2 L

d = c ф =L. (10) Рс/оф m

Из соотношения (10) видно, что при количестве суммируемых отсчетов m=L предлагаемый дискретный интегродифференцирующий фильтр по своим статистическим характеристикам практически не уступает интегродифференцирующему фильтру без промежуточного сглаживания.

В качестве примера положим период поступления отсчетов входного сигнала Г= 100 мкс, количество суммируемых импульсов m=10 и L=m. В данном случае при реализации дискретного интегродифференцирующего фильтра без промежуточного сглаживания за одну секунду необходимо выполнить 30 000 операций суммирования и 30 000 операций умножения. При реализации предлагаемого алгоритма дискретной фильтрации с промежуточным сглаживанием за одну секунду необходимо выполнить 30 000 операций суммирования и всего 3000 операций умножения без заметной потери качества фильтрации.

Полученные в работе математические соотношения носят общий характер и могут быть использованы для дискретных фильтров с практически любой импульсной характеристикой.

GO

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986. 512 с.

2. Бесекерский В. А. Цифровые автоматические системы. М.: Наука, 1976. 575 с.

3. Зиатдинов С. И., Осипов Л. А. Нерекурсивные алгоритмы оценки параметров сигналов // Изв. вузов. Приборостроение. 2002. Т. 45, № 3. С. 19—22.

Сведения об авторе

Сергей Ильич Зиатдинов — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный

университет аэрокосмического приборостроения, кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

информационно-сетевых технологий 08.07.09 г.