Алгоритм дискретной фильтрации с промежуточным сглаживанием отсчетов входного сигнала Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ

УСТРОЙСТВА

УДК 621.396:681.323

С. И. Зиатдинов

АЛГОРИТМ ДИСКРЕТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМ СГЛАЖИВАНИЕМ ОТСЧЕТОВ ВХОДНОГО СИГНАЛА

Рассматривается алгоритм дискретной фильтрации с формированием промежуточных сумм отсчетов входного сигнала. Показано, что предложенный алгоритм фильтрации по статистическим характеристикам практически не уступает известным алгоритмам и обладает значительно большей вычислительной эффективностью.

Ключевые слова: дискретный сигнал, промежуточное суммирование, дискретная фильтрация, отношение сигнал/шум.

При реализации дискретных (цифровых) фильтров необходимо выполнять большое количество математических операций сложения и умножения, что требует значительных либо аппаратных, либо временных затрат. Предметом исследования в настоящей статье является создание алгоритма дискретной фильтрации с небольшим в единицу времени количеством операций сложения и умножения, который, однако, по своим характеристикам практически не уступает известным алгоритмам.

Суть предлагаемого алгоритма дискретной фильтрации заключается в следующем. Пусть на вход устройства фильтрации поступает с периодом Т непрерывная последовательность отсчетов входного сигнала х[п]. С помощью сумматора осуществляется текущее суммирование т отсчетов входного сигнала х[п], х[п-1], ..., х[п-(т-1)] и формируются промежуточные суммы

т-1

хЕ [п] = 2х[пЬ -^ (1)

1=0

где Ь=т+к; £=0,1,2, ...

Полученные промежуточные суммы отсчетов сигналов (1) далее поступают в дискретный фильтр (ДФ). На рис. 1 приведена схема рассматриваемого устройства дискретной фильтрации, в котором электронный ключ (Кл) с периодом Т-^= ЬТ подает промежуточные суммы в ДФ.

Проведем исследование характеристик данного устройства фильтрации. В качестве аналога рассматриваемому устройству возьмем непрерывный фильтр нижних частот (ФНЧ) первого порядка с частотной передаточной функцией

W (р) =

K

1+рТф

(2)

где К, Тф — коэффициент передачи и постоянная времени фильтра соответственно; р = ую .

Рис. 1

Данной передаточной функции соответствует разностное уравнение [см. лит.]

y[n] = axY [n]+axY [n-1]-by[n-1], (3)

в котором весовые коэффициенты определяются как

Tv

a=-

Tv+ 2Тф

b =

Tv- 2Тф Tv+ 2Тф

С помощью соотношения (1) разностное уравнение (3) записывается следующим образом:

т-1 т-1

у[п] = а^ у\пЬ-/]+а^ х[пЬ-1-1]-Ьу[п-1].

г=0 г=0

Нетрудно показать, что данному разностному уравнению соответствует амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) [см. лит.]

f m-1 Л 2 f m-1 Л 2

2a1 ^ cos/юТ + ^ sin /юТ

Л /=0 1 /=0

____(1+cos roLT)

Ф(ю)=K

1+2b cos roLT+Ь

Нормированные АЧХ Ф(/) при Тф / T = 100, Тф = 0,01 c, L=m для различного числа суммируемых отсчетов m показаны на рис. 2. Здесь же приведена АЧХ Wf непрерывного ФНЧ. Представленные графики показывают, что во всех случаях в полосе прозрачности (уровень -6 дБ) АЧХ фильтров практически совпадают.

Ш Ф(/)

0,8

0,6

0,4

0,2

0

\ W(f)

/ Ф(f)

m=20

" m-40

m-60 \ ——_

0,2

0,4 0,6 0,8 2ж/Т Рис. 2

Для нахождения статистических характеристик выходного сигнала фильтра необходимо знать его импульсную характеристику, которая для непрерывного фильтра определяется соотношением

Алгоритм дискретной фильтрации с промежуточным сглаживанием отсчетов сигнала 51

c+j<X>

G(t) = J W(p)eptdp = 2 res,

(4)

где 2 res — сумма вычетов в подынтегральной функции выражения (4), с = const. Представим подынтегральную функцию в виде отношения двух функций:

W ( p)ept = P( p)/ Q( p).

Из формулы (2) следует, что для ФНЧ первого порядка функция P( p) / Q( p) имеет один вещественный полюс pi = -1/ Тф. При этом вычет функции P( p)/ Q( p) определяется формулой

res =

P( p) = Kept

dQ( p)

dp

Tф

Тогда в точке p = p1 получим следующее выражение для импульсной характеристики непрерывного ФНЧ первого порядка:

-"Г ' (5)

G (t) = Ke~11Тф/Гф .

Будем считать, что на входе рассматриваемого устройства действует непрерывная последовательность отсчетов аддитивной совокупности полезного сигнала и помехи. Причем отсчеты полезного сигнала имеют одинаковый уровень Uc, а отсчеты помехи не коррелиро-

ваны и имеют нулевое математическое ожидание и среднеквадратическое значение а х. При этом дисперсия помехи на выходе сумматора будет определяться выражением

2 2 °Е = то x.

С учетом соотношения (5) дисперсия помехи на выходе ДФ с точностью до постоянного множителя равна

оф =£о| С ),

i=0

где О ) — значения импульсной характеристики в моменты времени = ИЬ.

При этом мощность полезного сигнала на выходе ДФ определяется соотношением

~\2

(6)

Pc =

2 mUcG(ti)

i=0

(7)

В результате отношение сигнал/шум на выходе ДФ можно записать в следующем виде:

п2

ю

2 тисО (Ц ) _i=0

Pc

2

(8)

2 G 2(ti)

i=0

Для ДФ нижних частот без формирования промежуточных сумм отсчетов входного сигнала дисперсия помехи, мощность полезного сигнала, а также отношение сигнал/шум определяются из выражений

(°ф )2 = S 2(t*); P

i=0

i=0

P*

* \2

(°ф )

(9)

S 2(i)

i=0

где ^ = И.

В реальных условиях постоянная времени фильтра Тф намного больше периода Тг = ЬТ

поступления промежуточных сумм в ДФ. Тогда в соотношениях (6)—(9) можно без существенной погрешности перейти от сумм к интегралам:

ma

2 <»

LT

JG2(t)dt; Pc

m2Uc2

0 2 <»

(LT )2

(°ф)2 =TJg2 (t)dt; Pc* = U2

0

J G(t )dt

0

J G(t )dt

(10)

Полученные выражения (10) позволяют определить преимущество в отношении сигнал/шум алгоритма фильтрации без промежуточного сглаживания перед предлагаемым алгоритмом:

\2

Ь

(11)

P c

q=-

'(°ф )2

P./c2

m

При этом количество суммируемых отсчетов входного сигнала т может принимать значения в диапазоне от 1 до Ь.

Из формулы (11) следует, что при т=Ь предлагаемый алгоритм дискретной фильтрации по статистическим характеристикам практически не уступает алгоритму без промежуточного сглаживания.

Если принять период поступления отсчетов входного сигнала равным Т= 100 мкс, количество суммируемых импульсов т=100 и Ь=т, то при реализации дискретного фильтра без промежуточного сглаживания за 1 с необходимо выполнить 30 000 операций суммирования и 30 000 операций умножения. При реализации же предлагаемого алгоритма дискретной фильтрации с промежуточным сглаживанием за 1 с достаточно выполнить 30 000 операций суммирования и всего 300 операций умножения без заметной потери качества фильтрации.

Полученные математические соотношения носят общий характер и будут справедливы для сглаживающих фильтров с практически любой импульсной характеристикой.

2

ЛИТЕРАТУРА

Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. М.: Радио и связь, 1986. 512 с.

Сведения об авторе

Сергей Ильич Зиатдинов — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

информационно-сетевых технологий 02.07.08 г.