CC BY
33
УДК 531.1
Л.А. Булатов, канд. техн. наук, доц., (4872)35-18-32. [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
В.Д. Бертяев, канд. техн. наук, проф., (4872)35-18-32, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
А.Е. Киреева, канд. техн. наук, доц., (4872)35-18-32. кпеаЬпа@уапс!ех.ги (Россия, Тула, ТулГУ)
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПЛОСКИХ ШАРНИРНЫХ МЕХАНИЗМОВ
В данной статье представчены основные теоремы и принципы теоретической механики, применяемые для исследования динамического поведения шарнирно рычажного механизма. Рассмотрен алгоритм и приведет пример документа МаМсас!, в котором обеспечивается минимальное время вычислений.
Ключевые слова: динамика, шарнирный механизм, метод Рунге-Кутта, дифференциальное уравнение движения.
В общем виде движения машины можно разделить на три основных режима (периода): разгон, установившееся движение и останов.
В режиме разгона угловая скорость в начале режима со0 = 0, в конце
¡2 А
сох - -—, где Аиз6 - избыточная работа, I - приведенный момент инер-
V "Л
ции. В режиме установившегося движения изменение кинетической энергии (в среднем за один оборот ведущего вала) АЕ = 0. В пределах одного оборота происходят периодические колебания угловой скорости вала машины.
В режиме останова (когда двигатель отключен) выполняется работа, затрачиваемая на преодоление сил трения.
Уравнение движения главного вала механизма имеет вид [2]
J2 А I -соп
——^ + —--
2
'1
пр пр
Так как величина избыточной работы Аиз6, являясь функцией угла поворота вала ср, угловой скорости со и времени /; есть величина переменная, т.е. Аиз6 = при этом 1пр - /((р), то при установившемся режиме работы машины угловые скорости в начале и конце одного цикла Т (например, одного оборота) равны: ^оиау =(°0КОИ ~^ср-
За цикл изменение кинетической энергии равно нулю А Г = 0. Внутри цикла угловая скорость вала может меняться, что вызывает дополнительные динамические (инерционные) нагрузки, а также дополнитель-
ное трение в кинематических парах, снижающее надежность механизма и его кпд.
Ухудшаются условия работы механизма, приходится увеличивать материалоемкость машины, повышать прочность звеньев, нести дополнительные энергетические затраты на преодоление трения.
Коэффициент неравномерности хода ведущего вала машины ö выразим формулой
g _ Ю max — Ю min
Ю ср
Ю max + Ю min (-
где Ю ср ~ 2 ■ Ю max _ Ю ср
1 + -V 2 ,
, ®max2 ~Юср2 (1 + g),
Ю min Ю ср
1 -2 , ®min2 ~Юср2 (1 -g) , V 2 У
Величина 5 может находиться в следующих пределах: для ударных
Ж 1 о 1 1
машин и прессов 8< 5, для металлорежущих станков о =20 '50' для двигателей 8 <
100
В случае необеспечения требуемой величины ö при работе машины могут возникнуть нежелательные явления и процессы (вибрация, повышенные энергетические затраты, невозможность выполнения технологического процесса и т.д.). При условии периодических колебаний угловой скорости вала для получения заданной величины ö используют маховик -массивное колесо с большим моментом инерции.
Основная задача при расчете маховика - это определение его момента инерции. Маховик с таким моментом инерции I в интервале ско-
А А махов А
ростей от ю max до ю min должен произвести работу, равную изменению кинетической энергии механизма за это время:
Aизбшax _ AE мех.
Расчет величины момента инерции маховика
Приведенный момент инерции механизма можно представить в виде
'^^.max _ 1 пост.часть + 1 махов + A/max при Ю _ Юшяк
1 пр.Щт _ 1 пост.часть + 1 махов + Amin , при Ю _ Юшт , где 1постчасть - постоянная составляющая приведенного момента инерции механизма; 1махов - момент инерции маховика или маховых масс (колес, валов и т.д.), (величина постоянная для данного механизма); A/max- составляющая приведенного момента инерции при максимальной скорости в
цикле ю max; AImin - составляющая приведенного момента инерции при минимальной скорости в цикле ю min . Тогда
I max ю 2 I min ю 2
A max _ A E _ InP 'ю max _ Апр 'ю min Аизб _AE мех _ 2 2 •
Механизм рассматривается в произвольном положении с учётом действующих сил, действующих в данный момент времени.
Для составления дифференциального уравнения движения механической системы с одной степенью свободы можно применять теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме (или уравнения Лагранжа 2-го рода)
dT
dt
_Е Nk & )+Е Nk (fI ),
k k
где T - кинетическая энергия системы; Z Nk {f^ ) - сумма мощностей
kk
Z Nk &)-
внешних сил; I / сумма мощностей внутренних сил.
к
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел, образующих механическую систему: кинетической энергии тел, совершающих вращательное движение плюс кинетическая энергия тел, совершающих плоское движение плюс кинетическая энергия тел, которые движутся поступательно.
Окончательное выражение кинетической энергии системы принимает вид:
Т = 11пр (ф)® 2,
где 1пр - приведенный момент инерции механизма.
Для механической системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных идеальными шарнирами сумма мощностей внутренних сил
равна нулю I N к (рк )= 0.
кк
Учитывая выражения для движущегося момента Мд и полезной нагрузки ¥н, получим
I Nk(рек )= Мд (Ф,Ю)Ю = МД (Ф)®2
к
Дифференциальное уравнение движения механизма
1 ,/ (ф)ф2
2
1пр (ф)ф + 21Пр (ф)ф2 _ Мпр (Ф> ф)
где ''пр (ф)= Ц (ф) - производная " по углу
поворота ведущего звена.
Из решения дифференциального уравнения второго порядка с учётом начальных условий, можно получить закон движения ведущего звена ф(?), его угловую скорость ф ()= ® и угловое ускорение ф^ )=е.
Для определения реакций внешних и внутренних связей плоский шарнирно-рычажный механизм расчленяется на отдельные звенья, и изображаются реакции внешних и внутренних связей каждого звена.
Применяя к каждому телу механизма теорему о движении центра масс (в проекциях на оси координат) и теорему об изменении кинетического момента (для кривошипов относительно осей вращения, для шатунов относительно осей проходящих через центр масс) можно получить систему уравнений, которые позволяют определить все неизвестные реакции опорной плоскости и дифференциальное уравнение движения механизма.
Решение поставленной задачи сводится к численному интегрированию дифференциального уравнения движения механизма и решению системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных динамических реакций внешних и внутренних связей.
Задача интегрирования дифференциального уравнения связана с большим количеством предварительных вычислений и может быть условно разбита на пять блоков:
- решение системы уравнений геометрических связей или вычисление геометрических соотношений;
- вычисление кинематических соотношений;
- вычисление приведенного момента инерции механизма 1пр (ф) и приведенного момента внешних сил Мпр (ф, ф);
- вычисление производной от приведенного момента инерции по углу поворота ведущего звена 'пр (ф);
- численное интегрирование дифференциального уравнения.
Все это может быть проведено в Mathcad несколькими способами использующими различные встроенные процедуры-функции. Отличие этих способов и методов заключается во времени вычислений, которое требуется для нахождения: решения системы уравнений геометрических связей, приведенного момента инерции механизма 1пр (ф) и его производной (ф), приведенного момента внешних сил Мпр (ф, ф), а также решения дифференциального уравнения движения.
Подробно о методах решения данного дифференциального уравнения изложено в [1]. Ниже рассмотрен алгоритм и приведет пример документа Mathcad, в котором обеспечивается минимальное время вычислений.
Для интегрирования системы уравнений при заданных начальных условиях используем встроенную в пакет Mathcad процедуру-функцию rkfixed реализующую метод Рунге-Кутта [1] и имеющую следующий вид:
(и,Т0Дь N, D ),
"Ф(о)1
где и = , ч - вектор начальных условий; 70, - граничные точки интер-_ф (0 )]
вала, на котором ищется решение дифференциального уравнения. Начальные условия, заданные в векторе и - это значение решения в точке 70; N -число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение. При помощи этого аргумента определяется число строк N +1 в
"Ф ^ и )1
вектор, эле-
матрице, возвращаемой функцией rkfixed; D (t U ) =
ЪЪ (t U )
ментами которого является угловая скорость и угловое ускорение маховика, определяемых уравнениями.
Матрица, получаемая в результате решения, содержит три столбца; первый - для значений времени t, второй - для значений угла поворота ф(?), третий - для значений угловой скорости ф (t).
Решение системы линейных алгебраических уравнений для нахождения динамических реакций внешних и внутренних связей сложностей не вызывает и реализуется любым из методов реализованных в Mathcad [1].
Список литературы
1. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Практикум. Учебное пособие // - СПБ, БХВ - Петербург, 2005, 752 с.
2. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: ч. 1, 2 // - М., Наука, 1983.
L.A. Bulatov, V.D. Bertjev, A.E. Kireeva
DYNAMIC BEHAVIOR OF FLAT HINGED MECHANISMS
This article presents the main theorem and principles of theoretical mechanics, applied to study the dynamic behavior of the hinged lever mechanism. Consider the algorithm and an example of a document Mathcad, in which a minimal computation time.
Key words: dynamics, sharnirny mechanism, method Runge-Kutta, differential equation of movement.
Получено 19.06.12
